MODUL MAPEL FISIKA KELAS XI MIPA

DINAMIKA ROTASI DANKESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Nama Guru : Drs. MUHAMMAD ALI

NIP : 19591005 198602 1 004

SMA AL ISLAM 1 SURAKARTA

TAHUN PELAJARAN 2017 – 2018

Bab I.

DINAMIKA ROTASI DANKESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Peta Konsep

A. Dinamika Rotasi

Momen Gaya/Torsi (τ )

Kopel dan Momen Kopel Hubungan Momen gaya, Momen Inersia, dan percepatan sudut

Momen Inersia ( I )

Energi Kinetik Benda Gerak Rotasi

Gerak Menggelinding

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Momentum Sudut

B. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan Partikel Kesetimbangan translasi

Kesetimbangan Benda Kesetimbangan translasi

Kesetimbangan rotasi

Titik Berat dan Titik Massa Benda bentuk tali (1 dimensi)

Benda bentuk bidang (2 dimensi)

Benda bentuk ruang (3 dimensi)

Jenis-jenis Kesetimbangan K. Stabil, Labil dan Indeferen

Bab I. DINAMIKA ROTASI DANKESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Prolog : Gaya (F) adalah tarikan atau dorongan yang dapat menyebabkan suatu benda bergerak

atau berubah geraknya. Satuan dari besaran gaya adalah newton (N). Analogi Hubungan antara gerak translasi (lurus) dengan gerak Rotasi (melingkar)

Pengertian sinus, cosinus dan tangen

sin α=ac

sin β=bc

c β a cos α=bc

cos β=ac

α tan α=ab

tan β=ba

b Ingat−ingat Nilai π

Jika berada dibelakang fungsi trigonometri (sinus, cosinus, tangen, dsb), nilai π=180o

Jika tidak berada dibelakang fungsi trigonometri, nilai ¿ 227

=3,14

rps = rotasi per sekon 1 rps = 1 put/sekon = 2π rad/s = 2 x 3,14 = 6,28 rad/srpm = rotasi per menit 1 rpm = 1 put/menit = 2π rad/menit = 6,28 rad/60s = 0,105 rad/sA. Momen gaya atau Torsi atau Torka (τ )

Penyebab gerak translasi (gerak lurus) adalah gaya (F), sedangkan penyebab gerak rotasi (gerak melingkar) adalah momen gaya (τ ). Benda yang bergerak rotasi tentu memilki poros atau sumbu putar.

Momen gaya didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya (F) dengan lengan gaya (d). Lengan gaya (d) adalah panjang garis yang ditarik dari poros sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya.

Secara matematis dituliskan : τ=F xd ....................................................(1.1)

Perhatikan gambar berikut : a

Pada batang OP bekerja sebuah d = r . sinθ gaya F yang membentuk sudut

θ θ terahadap garis mendatar.O P Titik O sebagai poros dan titik P

r θ merupakan titik tangkap gaya F. F

ab = garis kerja gaya b

Untuk gambar di atas besarnya momen gaya adalah :

τ=Fxd=F . r . si nθ ......................................................................(1.2)

Bila gaya F tegak lurus batang OP maka sudut θ=90odan sin θ=1Bila garis gaya F melalui poros (O), maka d = 0 sehingga = 0.

Keterangan : F = gaya, satuannya newton (N) r = jarak titik poros O terhadap titik tangkap gaya P, satuannya m = momen gaya / torsi / torka , satuannya N.m θ = sudut antara gaya F dengan batang OP , satuannya derajat.

Momen gaya merupakan besaran vektor, dan berlaku ketentuan :

Besaran Gerak Translasi Gerak Rotasi Hubungan

Posisi benda x atau s θ x = r.θ

Kecepatan v=dxdt

ω=dθdt v=r .ω

Percepatan a=dvdt

α=dωdt a=r .α

Ukuran Kelembaman m I I = m.r2

Momentum p = m.v L = I.ω L = r.p

Penyebab gerak Gaya (F)Momen gaya(

τ ¿ τ=r .F

Energi kinetik Ek=12m .v2 Ek=1

2I .ω2 (Ek ) rot=r . (Ek ) trans

= + jika gaya F menyebabkan benda cenderung berputar searah dengan arah putaran jarum jam.

= – jika gaya F menyebabkan benda cenderung berputar berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam.

Contoh Soal :

F2

1. F1

A 30o B C D ao

F3

Diketahui tiga buah gaya bekerja pada sebuah batang AD dengan posisi seperti pada gambar di atas. F1 = F2 = F3 = 10 N , tg ao = 4/3 , AB = 2m , BC = 1,5 m , dan CD = 1 m.Hitunglah resultan momen gaya dari ketiga gaya terhadap batang, jika dipilih porosnya adalah : a. Titik A b. Titik B c. Titik C d. Titik D

Penyelesaian :

a. ∑ τ A=τ1−τ2+τ3=F1 . d1−F2 . d2+F3 . d3=10.0−10.3,5+10. 4,5. sin a

¿0−35+45. 45=−35+36=1N .m

Perhatikan baik-baik : Mengapa τ 2=−? Mengapa d1 = 0 ? ; d2 = 3,5 m dan d3 = 4,5 m Mengapa sin ao = 4/5 ?

b. ∑ τB=τ1−τ2+τ 3=F1 . d1−F2 . d2+F3 . d3

¿10.2 .sin 30o−10.1,5+10.2,5 . 45=10−15+20=15N .m

NB. Untuk soal (c) dan (d), agar dilanjutikan sendiri ! ...

c. ∑ τC=τ1+ τ2+τ3=F1. d1+F2 . d2+F3 . d3

.........................................................................................................................................

.......................................................................................................... (Kunci = 25,5 Nm) d. ∑ τD=τ1+τ 2+ τ3=F1 . d1+F2 . d2+F3 .d3

........................................................................................................................................

.......................................................................................................... (Kunci = 32,5 Nm)Soal-soal Latihan :

1. F1 = 10N

F2 = 20N

F3 = 10N Dua buah roda berporos sama. Jari-jari roda kecil 10 cm dan roda besar 25 cm. Pada tepi-

tepi roda bekerja gaya seperti pada gambar di atas. Tentukan resultan momen gaya pada sistem roda di atas. (Kunci = 3 Nm)

2. Diketahui gaya F1 = 12 N, F2 = 10 N , bekerja pada sebuah batang tak bermassa seperti pada gambar di bawah. Kedua gaya membentuk sudut 37o terhadap batang. (sin 37o = 0,6).

F1 A 37o B

F2 37o C

Panjang AB = 3 m dan BC = 2 m. Hitunglah resultan momen gaya pada batang terhadap titik poros B. (Kunci = 33,6 Nm)

3. F2 D C 53o

F1 Pada bidang bujur sangkar ABCDbekerja 3 gaya seperti pada gambardi samping. Panjang sisi bujur sang-

O kar = 2,0 m. Jika diketahui : F1 = 8 N , F2 = 60 N , F3 = 40 N

F3 dan Sin 53o = 0,8 , hitunglah besar

A B resultan momen gaya pada bidang terhadap poros O. (Kunci = 60 Nm)

Soal tambahan : Berapakah resultan momen gayanya jika porosnya : a). Titik A b). Titik B c). Titik c d) Titik D

Kopel dan Momen Kopel (M) :

Kopel adalah pasangan dua buah gaya pada suatu benda yang besarnya sama, sejajar, tetapi arahnya berlawanan.

Besarnya Kopel dinyatakan dengan momen kopel (M) dan didefinisikan sebagai hasil kali antara salah satu gaya dengan jarak antara kedua garis kerja gaya tersebut.Perhatikan gambar berikut :

F d

O

F

Besarnya Momen Kopel dirumuskan : M=F x d satuannya N.m ........(1.3)

Momen kopel dapat dikatakan sebagai momen gaya dalam keadaan khusus. Juga merupakan besaran vektor, dan berlaku ketentuan :

M = + jika M menyebabkan benda cenderung berputar searah dengan arah putaran jarum jam.

M = – jika gaya F menyebabkan benda cenderung berputar berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam.

Contoh soal : F2

F3

2 m 1 m 1 m A B

P Q

F4

F1

Penyelesaian :

Pada batang AB bekerja 2 kopel, yaitu antara F1 dan F2 dan antara F3 dan F4.

M = – M1 + M2 = – ( F1 . AP) + F3.BQ = – (10.2) + 6.1 = – 20 + 6 = – 14 N.mTanda minus (–), berarti perputaran batang AB berlawanan dengan arah jarum jam.Latihan soal :1. F2

F1

1 m 1 m 1 m A D

B C

F3

(Kunci = + 32 N.m)F4

2. Pada sebuah bidang terdapat sebuah kopel yang besar momen kopelnya M = + 40 N.m. Pada bidang tersebut terdapat juga sebuah gaya F yang besarnya 8 N. Tentukan resultan antara momen kopel M dengan gaya F tersebut dan tentukan pergeseran titik tangkap gaya F dari posisi semula. (Kunci : 8 N dan 5 m)Teori untuk menyelesaikan soal nomor 2 :“Bila dalam satu bidang terdapat momen kopel M dan gaya F, maka hasil resultan dari M dan F adalah sama dengan gaya F semula, hanya saja titik tangkap atau garis kerja

gaya F tersebut bergeser dari semula sejauh : d=MF

B. Momen Inersia (I) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya.

1. Momen Inersia Partikel / Benda Titik / massa diskrit Sebuah partikel bermassa m berotasi

mengelilingi suatu poros dengan jari – rjari r memiliki momen inersia sebesar : m

I = m.r2 Rumus dasar ..... (1.4) Keterangan : m = massa partikel / benda (kg) poros

r = jarak tegak lurus dari partikel ke poros (m) I = momen inersia partikel (kg.m2)

Jika terdapat banyak partikel dengan massa masing-masing m1, m2, m3, … dst. dan mempunyai jarak r1, r2, r3, … terhadap poros (sumbu putar), maka momen Inersia total-nya adalah penjumlahan momen inersia dari semua partikel.

Pada sebuah batang AB yang panjangnya 4 m bekerja empat buah gaya, F1 = F2 = 10 N dan F3 = F4 = 6 N seperti tampak pada gambar disamping. Hitunglah besar dan arah momen kopel pada batang AB tersebut.

Pada sebuah batang AD yang panjangnya 3 m bekerja empat buah gaya, F1 = F3 = 6 N dan F2 = F4 = 10 N seperti tampak pada gambar disamping. Hitunglah besar dan arah momen kopel pada batang AD tersebut.

C

Bm 3

m 3

A

I = m.r2 = m1.r12 + m2.r2

2 + m3.r32 + … ............................ (1.5)

Contoh Soal :

1. Tiga buah benda terletak pada sumbu koordinat xy seperti tampak pada gambar. Massa masing-masing benda adalah mA = 1 kg, mB = 2 kg, mC = 3 kg. Tentukanlah momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah : a). sumbu y. c). Sumbu x.b). melalui A, tegak lurus bidang xy. d). Melalui B, tegak lurus bidang xy.

Penyelesaian : (a) sumbu y sebagai sumbu putar (poros), diperoleh data-data rA = 0,

y rB = 3 m, dan rC = 0. Sehinga :

Iy = mA.rA2 + mB.rB

2 + mC.rC2

= 1 (0) + 2.(3)2 + 3(0) = 18 kg.m2

(b) sumbu putar melalui A dan tegak lurus

X bidang xy, maka diperoleh data : rA = 0, rB = 3 m, dan rC = 3 m. Sehingga

IA = mA.rA2 + mB.rB

2 + mC.rC2

= 1 (0) + 2.(3)2 + 3.(3)2 = 45 kg.m2

NB. Untuk soal (c) dan (d), agar dilanjutikan sendiri ! ...

c). IX = mA.rA2 + mB.rB

2 + mC.rC2 rA = ...... , rB = ...... , dan rC = .........

= .............................................................................................. (Kunci = 27 kg.m2)

d). IB = mA.rA2 + mB.rB

2 + mC.rC2 rA = ...... , rB = ...... , dan rC = .........

= ............................................................................................. (Kunci = 63 kg.m2)Soal Latihan :

1. 2m O 4m

½ a ½ a

Dua buah benda massanya 2m dan 4m masing-masing berjarak ½ a dari sumbu putar O. Hitunglah resultan momen inersia kedua benda. (Kunci = 1,5 ma 2 )

2. y(m)

m2 4m m3

3m 3m m1 m4 3m O x(m) 2m

m5

Diketahui : m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 2 kgTentukan Resultan Momen Inersia sistim diatas jika sumbu putarnya adalah : (a). sumbu x (c). melalui titik O tegak lurus bidang xy(b). sumbu y (Kunci : a). 44 kg.m 2 b). 82 kg.m 2 c). 126 kg.m 2)

3. Dua bola masing-masing massanya m1 = 2 kg dan m2 = 3 kg dihubungkan dengan batang ringan tak bermassa seperti pada gambar.

Jika sistem bola diputar pada sumbu di titik a, hitunglah besar momen inersia sistem bola tersebut. (Kunci = 0,35 kg.m 2 )

2. Momen Inersia Benda Pejal / massa kontinu Momen Inersia untuk benda tegar atau bendamassa kontinu dapat ditentukan dengan meng-gunakan persamaan integral sbb. :

I=∫r2 . dm ....................... (1.6)

Keterangan :r adalah jarak elemen massa dm dari sumbu rotasi.

r

dm

Dari persamaaan di atas telah dihitung momen inersia beberapa benda pejal bentuk teratur dan hasilnya sebabagi berikut. (Tugas kalian adalah memahami dan menghafalkan).(Tugas : Memahami dan menghafalkan Tabel Momen Inersia beberapa benda berikut)

Teorema Sumbu Sejajar

I = Ic + m.b2 b = R

= 3/2 m.R2

Ic I = ... .? Keterangan : m = massa benda (kg) ; b = jarak sumbu sejajar dari pusat massa (m)

Contoh Soal :

1. Batang AB massanya 2 kg diputar melalui ujung A ternyata momen inersianya 8 kg.m2.

Tentukan momen inersanya jika batang AB diputar melalui pusat O (AO = OB).Pembahasan :Saat batang AB diputar dengan poros A, momen inersianya 8 kg.m2, sehingga panjang batang L dapat dicari dengan rumus :Poros di ujung batang (di A) :

I = 1/3 mL2 8 = 1/3 (2)L2 L2 = 12 m2 Saat batang AB diputar dengan poros di tengah batang (di O), maka besarnya momen inersia :I = 1/12 mL2 I = 1/12 (2).12 I = 2 kg.m2

2. Sebuah pipa dengan panjang L = 1 meter memiliki jari-jari luar pipa adalah 25 cm dengan jari-jari dalam 20 cm. Jika massa pipa adalah 4 kg, tentukan momen inersia pipa!

Pembahasan

Momen inersia silinder berongga adalah sebagai berikut :

R1 = 30 cm = 0,3 meter, R2 = 40 cm = 0,4 meter, M = 8 kilogram, sehingga :

I = 1/12 m(a2 + b2)

Jika sudah diketahui momen inersia suatu benda dengan poros melalui pusatnya (Ic), maka momen inersia pada bagian lain yang sumbunya sejajar dengan pusat (Ic), dapat ditentukan dengan persamaan :

I = Ic + m.b2 ............................ (1.7)

I = ½ (8)[(0,3)2 + (0,4)2] = 4(0,09 + 0,16) = 4(0,25) = 1 kg.m2

3. Jika sebuah silinder pejal bermassa 20 kg dan berjari-jari 1 m diputar melalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 2 kg menempel pada jarak 0,5 meter dari pinggir silinder, maka hitunglah momen inersia sistem.

4. Momen inersia di pusat sebuah piringan tipis bermassa m dan berjari-jari R adalah ½ mR 2. Tentukan momen inersia piringan jika poros digeser di tepi piringan sejajar dengan poros semula.

Pembahasan :

I = Ic + m.b2 b = R = ½ m.R2 + m.R2

= 3/2 m.R2

Ic = ½ mR2 I = ... .?Soal Latihan :1. Sebuah bola pejal memiliki massa 10 kg dan jari-jari 40 cm. Berapakah besar momen

inersianya bila porosnya :a. melalui pusat bola (Kunci : 0,64 kg.m2)b. sejajar pada tepi bola. (Kunci : 2,24 kg.m2)

2. Sebuah silinder pejal memiliki massa 4 kg dan jari-jari 20 cm. Berapakah besar momen inersianya bila porosnya :a. melalui sumbu silinder (Kunci : 0,08 kg.m2)b. sejajar sumbu pada tepi silinder. (Kunci : 0,24 kg.m2)

3. Sebuah batang bermassa M dengan panjang L diputar melalui poros dipertengahan batang sehingga momen inersianya Ic = 1/12 M.L2. Tentukan besar momen inersianya jika porosnya terletak :a. pada ujung batang (Kunci : 1/3 mL2)b. pada jarak ¼ L dari ujung batang (Kunci : 7/48 mL2)

C. Hubungan antara Momen gaya dengan Percepatan sudut

Sebuah benda bermassa m. Akibat gaya F, benda berotasi dengan jari-jari r dan dengan percepatan tangensial a.

F

a r m

Keterangan :τ = momen gaya (torsi) N.m

I = momen inersia kg.m2

α = percepatan sudut rad/s2

Rumus (1.8) ini sering digunakan, sebagai hukum II Newton pada gerak rotasi.Analog dengan F = m.a (pada hukum II newton pada gerak translasi)

Contoh soal :

1. L

A B Z

F= m.g

a α

Pembahasan :

Momen inersia benda bentuk batang dengan poros di ujung batang : I = 1/3 m.L2

Gaya berat batang F = m.g

a). Pada titik di ujung batang (B)

Mencari percepatan sudut (α )

Pembahasan :I = I silinder + I lumpur

= ½ mS RS 2 + mL rL 2 = ½ (20).(1)2 + 2 (0, 5)2

= 10 + 0,5 = 10,5 kg.m2

τ=F . r F = m.a

¿m .a. r a = r.α

¿m .r .α . r=m.r2 . α

τ=I . α ................. (1.8)

Sebuah batang homogen dalam posisi mendatar massanya m dan panjangnya AB = L. Ujung A dihubungkan dengan engsel. Ketika batang dilepaskan, hitunglah percepatan sudut dan perce-patan tangensial :

a. Pada titik di ujung batang (B)b. Pada titik di tengah batang (Z)

τ=I . α F.r = 1/3 m.L2.α F. ½ L = 1/3 m.L2 .α 3 F = 2 m.L.α

3 m.g = 2 m.L.α α=3 g2L

Mencari percepatan tangensial (a) di ujung batang (B) a = r .α r sampai ujung batang = L, sehingga :

a=L . 3 g2L

→a=3g2

b). Pada titik di tengah batang (Z)

Percepatan sudut disemua bagian batang adalah sama besar, yaitu : α=3 g2L

(Coba perhatikan mengapa sama besar?)Percepatan tangensial (a) pada setiap titik pada batang adalah berbeda bergantung jaraknya dari sumbu putar atau engsel. (Coba perhatikan mengapa berbeda?)Di tengah batang (Z) r = ½ L, sehingga percepatan tangensialnya :

a = r .α a=12L. 3 g

2L→a=3 g

4

Seperti contoh di atas, hitunglah berapa percepatan tangensial titik pada batang yang berjarak :

a). ¼ L dari ujung A (Kunci : 3/8 g) b). ¼ L dari ujung B (Kunci : 9/8 g)

2.

M α

R

T

Pembahasan :

F = w = m.g

a) a= m.g

m+ 12M (buktikanlah !... )

b). a = r.α α= m.g

R(m+ 12M )

c). F – T = m.a T = F – m.a T = m (g – a)

3.

M α

R

m1 Kunci Jawaban (Buktikanlah) :

m2

a¿ . a=(m2−m1) . g

(m¿¿2+m1)¿

4. T1

m1 Massa katrol = M Jari-jari = R

fk T2

Perhatikan gambar di atas.Dari gambar di atas, buktikan bahwa :

m2

a¿ . a=(m2−m1 . μk ) . g

(m¿¿2+m1+12M )¿

(m2 > m1)

Sebuah benda dengan massa = m dihubungkan dengan tali yang dililitkan pada katrol berbentuk cakram yang dapat berputar bebas pada porosnya. Jika massa katrol = M, jari-jarinya = R dan gravitasi bumi = g, tentukanlah :a). percepatan turunnya benda (a)b). percepatan sudut katrol (α )c). gaya tegangan tali (T)

Dua buah benda dengan massa = m1 dan m2 dimana (m2 > m1) dihubungkan dengan tali pada katrol berbentuk cakram tampak seperti pada gambar disamping. Jika jari-jari katrol = R dan gravitasi bumi = g, tentukanlah percepatan (a) yang dialami benda m1 dan m2 : a). Jika massa katrol diabaikan (katrol licin / tali meluncur)b). Jika massa katrol (M) diperhitungkan (katrol berotasi)

b¿ . a=(m2−m1 ) . g

(m¿¿2+m1+12M )¿

b¿ .T1=m1(μk . g+a) dan T 2=m2(g−a)

NB. Jika papan licin, maka harga μk= 0 fk = 0

5. fk

mg.sinθ θ

mg.cosθ

mgθ

Sebuah benda berbentuk silinder (bola) dengan massa = m dan jari-jari = R mengge-linding pada bidang miring dengan sudut kemiringan = θo, tentukan percepatannya.

Jawaban :

Buktikan bahwa besar percepatannya : a=g . sinθ1+k

NB. k = faktor pengali pada momen inersia. Silinder pejal I = 1/2 m.R2 k = ½

Latihan Soal :

[ Kunci : a). 2 m/s2 , b). 40 N , c). 36 N ]

1. Sebuah ember berikut isinya bermassa m = 20 kg dihubungkan dengan tali pada sebuah katrol ber-bentuk silinder pejal bermassa M = 10 kg. Ember mula-mula ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepaskan. Jika jari-jari katrol 25 cm dan percepa-tan gravitasi bumi 10 m/s2 tentukan :a) percepatan gerak turunnya benda mb) percepatan sudut katrolc) tegangan tali [ Kunci : a). 8 m/s2 b). 32 rad/s2 c). 40 N ]

3. Dua buah ember dihubungkan dengan tali dan ka-trol berjari-jari 10 cm, ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepas seperti gambar disam-ping. Jika massa m1 = 5 kg , m2 = 3 kg dan massa katrol M = 4 kg, tentukan :a) percepatan gerak emberb) tegangan tali pada ember 1 c) tegangan tali pada ember 2

4. Sebuah katrol silinder pejal dengan massa M = 4 kg berjari-jari 20 cm dihubungkan dengan dua buah massa m1 = 3 kg dan m2 = 5 kg dalam kondisi ter-tahan diam kemudian dilepaskan. Tentukan perce-patan gerak kedua benda dan tegangan tali T1 dan T2 jika :a). lantai dibawah m1 dianggap licinb).koefisien gesekan antara m1 dan lantai = 0,2

Kunci :a). 5 m/s2 ; 15 N ; 25 Nb). 4,4 m/s2 ; 19,2 N ; 28 N

2. Sebuah katrol bentuknya silinder pejal dengan massa M = 4 kg ditarik dengan gaya F hingga berotasi dengan percepatan sudut sebesar 5 rad/s2. Jika jari-jari katrol adalah 20 cm, tentukan besarnya gaya F tersebut.

( Kunci : F = 2 N )

R

8.

F

D. Energi Gerak RotasiSudah dibahas di kelas X , energi kinetik benda yang bergerak translasi (lurus) adalah :

¿ ................................................................................... (I.9)

Keterangan : m = massa benda (kg) v = kecepatan (translasi) benda (m/s) Ek = energi kinetik benda (J)

Persamaan energi kinetik benda yang bergerak rotasi dapat dijabarkan dari energi kinetik benda yang bergerak translasi (lurus).

Ek=12mv2=1

2m ¿

Jadi rumus energi kinetik benda yang bergerak rotasi : ¿ ...... ( I.10 )Keterangan : I = momen inersia (kg.m2)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

Energi kinetik benda yang bergerak menggelinding (rotasi dan translasi) :

¿ ...... (I.11)

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Pada benda yang Bergerak Menggelinding :

(Em)1 = (Em)2

(Ep)1 + (Ek)trans.1 + (Ek)rot.1 = (Ep)2 + (Ek)trans.2 + (Ek)rot.2 .......... (I.12)

Usaha dalam gerak rotasi.

Usaha dalam gerak rotasi dapat dijabarkan dari usaha pada gerak translasi.

W=F . s=F . r . θ=τ .θ W=τ . θ .................. (I.13)

Analog dengan gerak translasi, besarnya usaha pada gerak rotasi sama dengan perubahan energi kinetik rotasi.

W=∆ Ek=Ek rot .2−Ek rot .1=12I .ω2

2−12I .ω1

2 ................. (I.14)

Keterangan : θ = sudut tempuh (rad) ; ω = kecepatan sudut (rad/s) W = Usaha (J)

Contoh soal :

5. Sebuah silinder pejal bermassa 8 kg berada diatas permukaan yang kasar ditarik gaya F = 60 N seperti diperlihatkan gambar disamping. Jika jari-jari silin-der 50 cm, tentukan percepatan translasi dan percepatan sudutnya.( Kunci : 10 m/s dan 20 rad/s2 )

6. Pada gambar di samping roda katrol pejal C berputar melepaskan diri dari lilitan tali. Massa roda C adalah 300 gram. Jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s2, tentukan besar gaya tegangan tali T.

( Kunci : T = 1 N ) Rumus Jadi : T = 1/3 m.g7. Silinder pejal bermassa m mula-mula diam kemudian

dilepaskan dari ujung sebuah bidang miring dan mulai bergerak ke bawah. Jika panjang bidang miring 5 m dan ketinggian h = 3 m. Tentukan percepatan bola saat tiba di ujung bawah bidang miring (g = 10 m/s2)a).jika bola meluncur b). jika bola menggelinding

[ Kunci : a). 6 m/s2 b). 4 m/s2 ]

1. Bola pejal bermassa 10 kg mula-mula diam kemudian dilepaskan dari ujung sebuah bidang miring dan mulai bergerak mengge-linding. Jari-jari bola adalah 1 meter, dan ketinggian h = 28 m. Tentukan kecepatan bola saat tiba di ujung bawah bidang miring.

Sebuah silinder pejal bermassa 20 kg dan jari-jari 10 cm di dorong dengan gaya 120 N seperti pada gambar di samping. Tentukan percepatan yang dialami silinder jika :a. silinder selip/tergelincir/tak ada gesekanb. silinder menggelinding/ada gesekan(Kunci : a. 6 m/s2 ; b. 4 m/s2)

Silinder pejal

Pembahasan : Hukum Kekekalan Energi Mekanik :

2. Sebuah benda bermassa M dengan jari-jari R menggelinding tanpa slip menuruni bukit, Seperti pada gambar di bawah. Tentukan kelajuan benda di dasar bukit.

fk

mg.sinθ θ s

h mg.cosθ

mgθ

Jawaban :

Buktikan bahwa besar kecepatannya : v=√ 2gh1+k

k = faktor pengali pada momen inersia. Silinder pejal I = 1/2 m.R2 k = ½ ; Bola pejal I = 2/5 m.R2 k = 2/5

Dari gambar diketahui hubungan sin θ=hs→h=s . sinθ

3. Sebuah silinder pejal dan sebuah bola pejal menggelinding pada suatu bidang miring dari

keadaan diam bersamaan. Ketinggian bidang miring adalah h meter. a) Tentukan perbandingan kelajuan silinder dan bola saat tiba di dasar bidang miring. b) Manakah yang tiba lebih dahulu di dasar bidang miring antara dua benda tersebut?

Jawab : a). Setelah dihitung dengan persamaan v=√ 2gh1+k

diperoleh hasil bahwa :

b). laju bola (√15) lebih besar dari laju silinder (√14) , jadi bola pejal akan sampai lebih dulu di dasar bidang miring dari pada silinder pejal.

4. Silinder pejal dengan jari-jari 5 cm bermassa 0,25 kg bertranslasi dengan kelajuan linear

4 m/s. Tentukan energi kinetik silinder jika selain bertranslasi silinder juga berotasi!

Diketahui : m = 0,25 kg ; r = 5 cm = 0,05 m ; v = 4 m/s Soal : Ek = ..... ?Jawab : Energi kinetik total dari Silinder pejal

5. Sebuah silinder berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut 120 rpm. Bila masa silinder 20 kg dan jari-jari 20 cm, berapakah energi kinetik rotasi silinder ?

Diketahui : m = 20 kg ; R = 20 cm = 0,2 m

Soal : Ek = .... ? Jawab :

=

12060 putaran /s = 2 putaran /s x 2 rad/putaran = 4 x 3,14 = 12,56 rad/s

I =

12 mR2 =

12 x 20 x (0,2)2 = 10 x 0,04 = 0,4 kgm2

EK =

12 I 2 =

12 x 0,4 (12,56)2 = 0,2 x 157,754 = 31,6 joule

6. Sebuah roda gerinda yang homogen mempunyai massa 0,9 kg dan jari-jari 8 cm. Roda mula-mula berputar dengan kecepatan sudut 1400 rpm. Karena pengaruh gaya gesekan, roda berhenti setelah 35 sekon. Hitung momen gaya yang dialami roda akibat gaya gesekan tersebut.Diketahui : m = 0,9 kg ;

ω1= 1400 rpm = (1400).(2π rad)/60s = (1400)(2x3,14 rad)/60s = 146.6 rad/s t = 35 s ; ω2= 0 (sampai berhenti) Soal : τ = ?

Jawab : Momen inersia gerinda (bentuk gerinda silinder pejal tipis) I = ½ m.R2

I = ½ (0,9)(0,08)2 = 2,88 x 10-3 kg.m2

Sudut yang ditempuh dalam waktu 35 sekon : θ = ½ (ω1+ω2).t = ½ (146,6 + 0).35 = 2.565,5 rad

Sesuai persamaan (I.13 dan I.14), dapat dituliskan :

W=τ . θ=12I .ω2

2−12I .ω1

2

τ .(2.565,5)=0−12(2,88 x 10−3)¿

τ=12,1x 10−3N.m

Soal Latihan :

1. Sebuah bola pejal (I=2/5 mR2) massanya 1 kg dan jari-jarinya 10 cm menggelinding di lantai mendatar dengan kelajuan 1 m/s. Tentukan energi kinetik total bola tersebut. (Kunci : 0,7 J)

2. Sebuah bola berongga (I=2/3 mR2) menggelinding melalui puncak bukit dengan kelajuan 1 m/s pada saat di puncak. Tentukan kelajuan bola ketika berada 4 m di bawah puncak.(Kunci : 7,0 m/s)

3. Sebuah silinder tipis melakukan gerak translasi dan rotasi pada bidang miring yang memiliki ketinggian 1,6 m. Jika g = 10 m/s2, tentukanlah kecepatan silinder pada kaki bidang miring tersebut. (Kunci : 4 m/s)

4. Sebuah silinder pejal digelindingkan padaBidang horisontal dengan kecepatan te –tap 10 m/s, kemudian naik ke atas bidang miring dengan sudut kemiringan 30o. Jikag = 10 m/s2, tentukan ketinggian maksimumyang dicapai silinder tersebut. V(Kunci : 7,5 m)

5. Seperti soal nomor 4, tetapi bendanya berupa bola pejal. (Kunci : 7,0 m)6. Sebuah silinder pejal berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut 120 rpm. Bila

massa silinder 20 kg dan jari-jarinya 20 cm, berapakah energi kinetik rotasi silinder tersebut.(Kunci : 31,6 J)

7. Sebuah bola pejal menggelinding pada bidang miring yang memiliki ketinggian 2,52 m. Jika jari-jari bola 50 cm dan g = 10 m/s2, tentukanlah kecepatan sudut bola tersebut pada saat tiba di dasar bidang miring. (Kunci : 12 rad/s)

E. Momentum Sudut Pada Gerak RotasiPernahkah kita melihat orang bermain gasing? Mengapa gasing yang sedang berputar meskipun dalam keadaan miring tidak roboh? Pasti ada sesuatu yang menyebabkan gasing tidak roboh. Setiap benda yang berputar mempunyai kecepatan sudut. Bagaimana hubungan antara momen inersia dan kecepatan sudut?

v

m O r A

Gambar di samping memperlihatkan benda A berotasi dengan sumbu putar (poros) di O.r adalah jarak antara O dan A (jari-jari rotasi).

Jika massa benda A = m dan kecepatan liniernya = v, maka besar momentum linier bendas tersebut : p = m × v.

Hasil perkalian momentum (linier) p dengan jari-jari rotasi r disebut momentum sudut, dan diberi notasi L. Jadi : L=p . r=m.v . r=m (ωr ) r=mr2ω=I .ω L=I .ω ..... (I.15)

Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arah momentum sudut mengikuti aturan tangan kanan, yaitu apabila ke-empat jari tangan kanan (selain ibu jari) dikepalkan mengikuti arah rotasi benda (ω), maka jempol yang teracung menunjukkan arah momentum sudut (L).

Hubungan antara momentum sudut dengan momen gaya adalah :

τ=I . α=I . dωdt

= I . dωdt

→τ=dLdt ..................................... (I.16)

Hukum Kekekalan momentum sudut :“Jika tidak ada momen gaya luar (τ ) yang bekerja pada suatu sistem ¿, maka besar momentum sudut (L) adalah konstan”. Sehingga hukum kekekalan momentum sudut dapat dituliskan :

L1 = L2 atau I1 1 = I2 2 ..................................................................... (I.17)

Keterangan :v = kecepatan linear (m/s)p = momentum linier (kg.m/s)L = momentum sudut (kg.m2/s)m = massa benda (kg)R = jarak partikel ke sumbu putar atau jari-jari rotasi (m)ω = kecepatan sudut (rad/s)I = momen inersia (kg.m2)

Hukum kekekalan momentum sudut dapat digunakan untuk 2 benda seperti berikut ini. Dua benda mula-mula bergerak searah kemudian digabungkan.

I1 + I2 =

I1 .1 + I2 .2 = ( I1 + I2 ). ....................... (I.18)

Dua benda mula-mula bergerak berlawanan arah kemudian digabungkan.

I1 I2 =

I1 .1 + I2 .2 = ( I1 – I2 ). ....................... (I.19)

Contoh soal :

1. Sebuah silinder tipis berongga dengan diameter 120 cm dan massa 20 kg berotasi melalui pusat sumbunya seperti gambar berikut ini. Jika kecepatan sudutnya 5 rad/s, hitunglah momentum sudutnya!

Penyelesaian: Diketahui : d = 120 cm → R = 60 cm = 0,6 m

m = 20 kg ω = 5 rad/s

Ditanya: L = ... ?Jawab:

I = m.R2 = (20)(0,6)2 = 7,2 kg.m2 L = I . ω = (7,2)(5) = 36 kg.m2/s

2. Seorang perenang bermassa 48 kg meloncat meninggalkan papan tumpu dalam konfigurasi lurus dengan kecepatan sudut 0,3 rps terhadap pusat massanya. Perenang kemudian menggelungkan tubuhnya hingga berjari-jari kira-kira 25 cm. Dengan menganggap perenang sebagai sebuah batang homogen dengan panjang 2 m sesaat setelah meloncat, kemudian menjadi sebuah bola homogen saat menggelung, perkirakan kecepatan sudutnya saat menggelung.Diketahui : m = 48 kg ; 1 = 0,3 rps ; Soal : 2 = .... ?Jawab :ω1

ω1

ω2

ω2

ω

ω

Sesaat meloncat seperti batang homogen :

I1 = 1/12 m.L2 = 1/12 (48)(22) = 16 kg.m2

Pada saaat menggelung seperti bola homogen :

I2 = 2/5 m.R2 = 2/5(48)(0,25)2 = 1,2 kg.m2

Sesuai hukum kekekalan momentum sudut :

I1 1 = I2 2 (16)(0,3) = (1,2)(2) 2 = 4,8/1,2 = 4 rps.

Soal Latihan :1. Seorang penari balet ketika lengannya merapat ke tubuh memiliki momen inersia 4 kg.m 2,

dan kecepatan putarannya 12 rps. Ketika lengannya terentang dan momen inersianya 16 kg.m2 , berapakah kecepatan putarannya? (Kunci : 3 rps)

2. Sebuah komedi putar berdiameter 3 m dengan momen inersia 120 kg.m2 berotasi dengan kelajuan 0,5 rps. Empat orang anak masing-masing bermassa 25 kg tiba-tiba melompat dan duduk di tepi komedi putar.(a). tentukan kecepatan sudut komedi putar sekarang(b). tentukan energi total yang hilang akibat gesekan antara anak dan komedi putar.(Kunci : a. 0,17 rps ; b. 395 J)

3. Dua buah cakram momen inersianya masing-masing 0,6 kg.m2 dan 0,2 kg.m2 mula-mula terpisah dan bergerak searah dengan kecepatan sudut masing-masing 10 rad/s dan 12 rad/s. Kedua cakram kemudian digabung. Berapakah kecepatan sudut kedua cakram setelah digabung? (Kunci : 10,5 rad/s)

SOAL DINAMIKA ROTASI Kerjakan pada buku tugas dan dikumpulkan. Untuk soal teori cukup dipilih jawabannya yang benar, tetapi untuk soal hitungan harus dibuktikan!

1. Perhatikan pernyataan dibawah ini : 1. Torsi merupakan hasil kali silang antara gaya dan vektor posisi. 2. Torsi memungkinkan benda berotasi 3. Torsi merupakan besaran vector

4. Dimensi torsi sama dengan tekanan. Pernyataan di atas yang benar adalah … . a. 1 , 2 dan 3 b. 1 dan 2 d. hanya 4 c. 2 dan 4 e. semua benar

2. 2m O 4m

½ a ½ a Dua buah benda massanya 2m dan 4m masing-masing berjarak ½ a dari sumbu putar o. Resultan momen inersia kedua benda adalah ... .

a. 3,0 ma2

b. 1,5 ma2 d. 2/3 ma2

c. 1,0 ma2 e. 1/4 ma2

3.

α

F

Sebuah katrol dari benda pejal dengan tali yang dililitkan pada sisi luarnya ditampilkan seperti gambar di atas. Gesekan katrol diabaikan. Jika momen inersia katrol I = β dan tali ditarik dengan gaya tetap F, maka nilai F setara dengan ... .

a. F = α.β.Rb. F = α.β2.R d. F = α.β.R-1

c. F = α.(β.R)-1 e. F = R.(α.β)-1

4. Dua buah benda berbentuk bola pejal dan silinder pejal massanya sama dan jari-jarinya sama. Keduanya berotasi pada sumbunya dengan kecepatan sudut bola ω 1 dan kecepatan sudut silinder ω2. Bila ω1= 2 ω2 maka perbandingan energi kinetik bola pejal dengan silinder pejal adalah ... .

a. 4 : 5b. 5 : 4 d. 5 : 16c. 16 : 5 e. 5 : 2

5. F1= 20N

F2= 40N F3= 10N

R

Dua buah roda berporos sama. Jari-jari roda kecil 10 cm dan roda besar 25 cm. Pada tepi roda bekerja gaya seperti pada gambar di atas. Resultan momen gaya pada sistem roda di atas adalah ... .

a. 11,5 Nmb. 9,0 Nm d. 3,5 Nmc. 6,5 Nm e. 1,5 Nm

6. Sebuah komedi putar berdiameter 3 m dengan momen inersia 120 kg.m 2 berotasi dengan kecepatan sudut 4 rad/s. Empat orang anak yang massanya masing-masing 40 kg tiba-tiba melompat dan duduk di tepi komedi putar. Maka kecepatan sudut komedi putar sekarang menjadi ... .

a. 3,2 rad/sb. 3,0 rad/s d. 1,6 rad/sc. 2,4 rad/s e. 1,0 rad/s

7. Silinder berongga dan silinder pejal memiliki massa dan diameter sama. Jika kedua silinder digelindingkan dari puncak suatu bidang miring yang sama maka yang mencapai kaki bidang miring terlebih dahulu adalah ... .

a. Silinder berongga d. Bergantung pada bahan silinderb. Silinder pejal e. Bergantung pada kemiringan bidangc. Kedua silinder sampai bersamaan

8. F1= 10N

F2= 20N

F3= 10N

Dua buah roda berporos sama. Jari-jari roda kecil 10 cm dan roda besar 25 cm. Pada tepi roda bekerja gaya seperti pada gambar di atas. Resultan momen gaya pada sistem roda di atas adalah ... .

a. 0 Nmb. - 2 Nm d. 3 Nmc. +2 Nm e. 5 Nm

9. 8m O 2m

0,5a 1,5a Dua buah benda massanya 8m dan 2m masing-masing berjarak 0,5a dan 1,5a dari sumbu putar O. Resultan momen inersia kedua benda adalah ... .

a. 7,0 ma2

b. 6,5 ma2 d. 4,5 ma2

c. 5,0 ma2 e. 2,5 ma2

10. Perhatikan pernyataan dibawah ini.1. Momen inersia dan momen gaya merupakan besaran vektor2. Momen inersia dan momen gaya mempunyai dimensi yang sama3. Momen inersia dan momen gaya berbanding lurus dengan jarak.4. Momen inersia dan momen gaya butuh acuan sebagai sumbu putar.

Pernyataan di atas yang benar adalah … .a. 1 , 2 dan 3b. 1 dan 2 d. hanya 4c. 2 dan 4 e. semua benar

11. Sebuah bola berongga (I = 2/3 mR2) menggelinding pada bidang miring dengan sudut

kemiringan α o.(tan α = 43

) besar percepatan bola berongga tersebut adalah ... .

a. 4,0 m/s2

b. 4,8 m/s2 d. 5,7 m/s2

c. 5,3 m/s2 e. 5,8 m/s2

12. Sebuah bola pejal (I=2/5 mR2) massanya 1 kg dan jari-jarinya 10 cm menggelinding di lantai mendatar dengan kelajuan 1 m/s. Energi kinetik total bola tersebut adalah ... .

a. 1,2 Jb. 0,9 J d. 0,5 Jc. 0,7 J e. 0,4 J

13. Sebuah bola berongga (I=2/3 mR2) menggelinding melalui puncak bukit dengan kelajuan 1 m/s pada saat di puncak. Kelajuan bola ketika berada 4 m di bawah puncak adalah ... a. 3,0 m/s

b. 4,0 m/s d. 6,0 m/sc. 5,0 m/s e. 7,0 m/s

14. Satuan momentum sudut adalah ... . a. kg.m2/sb. kg.m/s2 d. kg.m2/s2

c. kg.m/s e. kg.s/m

15. Sebuah silinder pejal (I = 1/2 mR2) bermassa 8 kg dan jari-jari 0,2 m. Silinder mengge-linding dengan kelajuan 24 m/s. Besar energi kinetik total silinder adalah ... .

a. 3.456 Jb. 2.456 J d. 1.152 Jc. 2.304 J e. 304 J

16. Sebuah partikel bermassa 3 gram bergerak melingkar dengan jari-jari 3 cm dan kecepatan sudut 10 rad/s. Besar momentum sudut partikel terhadap pusat lingkaran adalah ... . a. 1,2x10-5kg.m2/s b. 1,5x10-5kg.m2/s d. 2,5x10-5kg.m2/sc. 1,8x10-5kg.m2/s e. 2,7x10-5kg.m2/s

17. Keping yoyo (200 gr) bergerak ke bawah melepaskan diri dari lilitan talinya. Jika keping yoyo dianggap roda pejal (silinder pejal) dan posisi benang seperti pada gambar di samping (g = 10 m/s2), maka momen gaya T yang bekerja pada yoyo adalah ... .

a. 0,01 Nmb. 0,02 Nm d. 1,00 Nmc. 0,20 Nm e. 2,00 Nm

6 cm18. Sebuah benda berbentuk slinder berongga (I = mR2) bergerak menggelinding tanpa

tergelincir mendaki bidang miring kasar dengan kecepatan awal 10 m/s. Bidang miring itu mempunyai sudut elevasi Ao dengan tan Ao = 0,75. Jika g = 10 m/s2 dan kecepatan benda itu berkurang menjadi 5 m/s, maka jarak pada bidang miring yang ditempuh benda tersebut adalah ... .a. 12,5 mb. 10 m d. 5 mc. 7,5 m e. 2,5 m

19. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan gerak rotasi dengan percepatan sudut 15 rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tentukan percepatan (total) yang dialami titik A setelah benda berotasi tepat selama 0,4 sekon.a. 0,60 m/s2

b. 3,75 m/s2 d. 6,00 m/s2

c. 3,90 m/s2 e. 6,25 m/s2

20. Anggaplah seluruh massa sebuah roda sepeda bermassa 740 gram terkonsentrasi di tepinya berjarak 34 cm dari sumbu rotasi (poros). Roda sepeda berputar bebas 210 rpm. Berapakah gaya gesek yang harus dikerjakan pada tepi roda agar roda berhenti berputar dalam waktu 0,92 sekon. a. 2 Nb. 4 N d. 8 Nc. 6 N e. 10 N

Catatan : Bacaan Huruf Yunani α = alpha β = beta γ = gamma δ = = delta ε = epsilonθ = theta ω = omega φ = phi (fi) τ = tau μ = mu

ρ = rho π = pi σ = ∑ . = sigmaPRAKTIKUM FISIKA KELAS XI MIPA

DINAMIKA ROTASI1. Tujuan percobaan :

a. Menghitung percepatan dan kecepatan bola dan silinder yang menggelinding pada bidang miring dengan rumus Dimanika Rotasi.

b. Membuktikan cepat manakah antara bola dan silinder yang menggelinding pada bidang miring sampai di dasar bidang miring.

2. Alat dan Bahan yang digunakan : a. Bidang miring c. Meteran e. Bola pejal dan silider berongga b. Jangka sorong d. Stopwatch/HP f. Neraca

4. Langkah percobaan :5.

A v1

S

h

θ v2

C B

1. Timbang massa bola dan massa silinder, kemudian catat pada tabel data2. Ukur jari-jari bola dan jari-jari silinder, kemudiaan catat padaa tabel data.3. Aturlah kemiringan bidang AB sesuai dengan sudut yang diminta dalam tabel (θ).4. Ukurlah jarak AB yang akan ditempuh bola/silinder, dan catat pada tabel data (s)5. Letakkan bola/silinder di atas bidang miring di titik A ( dipegang dahulu).6. Lepaskan bola/silinder dan catat waktu yang diperlukan sampai ke dasar bidang (B)7. Ulangi percobaan 3 s/d 6 diatas dengan mengubah sudut kemiringan bidang AB

sesuai tabel (θ).

4. Data Hasil Percobaan :

Massa bola (m) = ........ gr. = ......... kg ; Jari-jari = ........ cm = ........ m ; k = ........Massa silinder(m) = ........gr = ......... kg.; Jari-jari = ........ cm = ........ m ; k = ........

No. θ (o)

s (m)

Bola pejal Silinder berongga

t (s)

a = g sin θ1+k

v2 =

√ 2gh1+k

t (s)

a = g sin θ1+k

v2 =

√ 2gh1+k

1. 15o

2. 20o

3. 25o

4. 30o

5. 350

Jumlah

Rata-rata

Perhatikan : sin θ = h/s h = s.sin θ dan harga g = 9,8 m/s2

5. Hitunglah harga percepatan (a) dan kecepatan benda (v2), di rumah.

6. Dari Data percobaan dan Rata-rata perhitungan hasil diatas, tuliskan dalam kesimpulanmu : (a). Benda manakah yang lebih cepat sampat di dasar bidang miring (B)?, (b). Besar manakah rata-rata percepatan dan kecepatan dari kedua benda. (c). Hitunglah Momen Inersia bola dan silinder. (d). Hitunglah Gaya gesekan benda (bola dan silinder ) dengan bidang miring. (e). Sebutkan apa yang mempengaruhi dan yang tidak mempengaruhi harga percepatan (a)

dan kecepatan (v) kedua benda.

7. Tugas (Dikerjakan sebagai lampiran pada laporan) Buktikan rumus-rumus yang digunakan dalam perhitungan diatas.

a =

g sin θ1+k dan v2 = √ 2gh

1+k k = Faktor pengali dari Momen Inersia

----- Selamat mengerjakan -----

B. KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Internalisasi Pendidikan Agama dalam materi Kesetimbangan, untuk menambah keimanan dan ketaqwaan kepada Allah Swt :

Semua ciptaan Allah SWT dalam keadaan setimbang : Q.S. Al Mulk (67) : 3 – 4

حمن ذي خلق سبع سماوات طباقا ما ترى في خلق الر ال- ثم ارجع٣من تفاوت فارجع البصر هل ترى من فطور -

تين ينقلب إليك البصر خاسأ وهو حسير - ٤البصر كرYang telah Menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. Tidak akan kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pengasih. Maka lihatlah berulang lagi, adakah kamu lihat sesuatu yang cacat?Kemudian pandanglah sekali lagi , niscaya penglihatanmu akan kembali kepadamu dengan tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itupun dalam keadaan letih.

Tubuh manusia diciptakan dalam keadaan seimbang : Q.S. Al Infithar (82) : 7

ذي خلقك فسواك فعدلك - ٧ال -Yang telah Menciptakanmu lalu Menyempurnakan kejadianmu dan Menjadikan (susunan tubuh)mu seimbang,

Gunung dibuat agar bumi tidak goncang ( biar stabil ) An Nahl (16) : 15 , Luqman(31) : 10 , Al Anbiya’(21) : 31

كم عل وألقى في األرض رواسي أن تميد بكم وأنهارا وسبال ل١٥تهتدون -

Dan Dia Menancapkan gunung di bumi agar bumi itu tidak goncang bersama kamu, (dan Dia Menciptakan) sungai-sungai dan jalan-jalan agar kamu mendapat petunjuk,

Umat islam adalah umat yang di tengah/seimbang (adil dan pilihan) - Al Baqarah(2) : 143 Agar membalas penghormatan yang lebih baik / setidaknya seimbang - An Nisa’ (4) : 86 Agar kita berlaku adil - Al Maidah (5) : 8 & An Nahl (16) : 90 Agar kita jangan kikir dan jangan boros (tengah-tengah) - Al Isra’ (17) : 29 Bacaan sholat dengan suara yang tengah-tengah - Al Isro’(17) : 110 Agar minta kebahagiaan dunia dan kebahagiaan akherat - Al Baqarah (2) : 201 Agar mencari akherat dan tidak melupakan urusan dunia - Al Qashash(28): 77

Prolog :

Dalam sub bab ini akan kita pelajari tentang Kesetimbangan partikel, kesetimbangan benda tegar, titik berat dan macam-macam kesetimbangan. Untuk memudahkan dalam memahami sub bab ini kita harus menguasai tentang uraian vektor. (Mengulang materi kelas X). Uraian vektor : Perhatikan gambar disamping Y

Sebuah vektor, misalnya (vektor) gaya (F) yang membentuk sudut θ terhadap sumbu X positif Fy Fdapat diuraikan menjadi dua komponen, yaitu ke sumbu X (Fx) dan sumbu Y(Fy). Besarnya masing-masing komponen :

Θ Fx Fx = F.sinθ dan Fy = F.cosθ X

Menghafalkan/mengerti besarnya sin, cos dan tan untuk sudut-sudut istimewa.

Jika diketahui tanΘ = 3/4 , maka sinΘ = 3/5 , dan cos Θ = 4/5Jika diketahui tanΘ = 4/3 , maka sinΘ = 4/5 , dan cos Θ = 3/5

Ingat lagi hubungan sinus, cosinus dan tangen :tan α= sin αcos α

sin α=ac

sin β=bc

c β a cos α=bc

cos β=ac

18

α tan α=ab

tan β=ba

bB.1. Kesetimbangan Partikel atau Benda Titik.

Partikel adalah bagian benda yang sangat kecil sehingga bentuknya dapat dianggap sebagai sebuah titik.

Bila pada suatu partikel bekerja suatu gaya, maka gaya tersebut hanya memungkinkan partikel bergerak translasi saja, sedang kemungkinan gerak rotasinya diabaikan. Sehingga syarat sebuah partikel dalam keadaan setimbang adalah jika jumlah gaya yang bekerja pada partikel tersebut = 0.

∑ F x=0 Syarat kesetimbangan partikel : ∑ F=0 ∑ F y=0 .......

(I.20) ∑ F z=0

Untuk menyelesaikan soal-soal kesetimbangan partikel, disamping dapat menggunakan persamaan (I.20), dapat pula dengan menggunakan prinsip keseimbangan “Tiga gaya”.

F1 F2 Jika ada 3 buah gaya bekerja pada suatu

partikel (titik) dan menyebabkan partikeltersebut setimbang, maka :

γ 1. Resultan dua buah gaya tersebut sama besar dan berlawanan arah dengan satu β A gaya yang lainnya. α 2. Hasil bagi setiap gaya dengan sinus sudut

di depannya adalah sama besar.

F3 F1

sin α=

F2

sin β=F3

sin γ ...... (I.21)

NB. Titik A (pertemuan dari tiga gaya) disebut sebagai partikel (benda titik)Contoh soal :

1. Bila sistem berikut dalam kesetimbangan, tentukanlah besar gaya tegangan tali T1 dan T2

30 60

T2 T1

w = 40 N

Penyelesaian Cara 1 : Menggunakan Uraian Gaya

Digambar dulu gaya dan uraian gaya-gayanya.

T1 sin 60 T2 T1

T2 sin 30

30 60 T2 cos 30 T1 cos 60

F = w = 40 N

Pada sumbu y

Σ Fx=0T1 cos 60°= T2 cos 30 °

T1(12 )=T2(12 √3)T1=T2√3 . .. .. . .. ..( a)

Σ F y=0T 1 sin 60 °+T 2 sin 30 °=W

T 1(12 √3)+T2 (12 )=40

(T 2√3)(12 √3)+T 2(12 )=40

T 2(32 )+T 2 (12 )=40

2 T2=40T 2=20

Pada sumbu x

19

T 1=20√3 N dan T2=20 N

Penyelesaian Cara 2 : Menggunakan Prinsip Kesetimbangan 3 gaya

Dari gambar diketahui bahwa :

T2 T1 α = 90o + 60o = 150o

β = 90o + 30o = 120o

: γ = 60o + 30o = 90o

γ

T 1

sin β= w

sin γ T 1=

sin βsin γ

.w

β α

T 1=sin120sin 90

.40=

12 √3

1.40

w = 40 N T 1=20√3N

T 2

sin α= w

sin γ T 2=

sin αsin γ

.w

T 2=sin150sin 90

.40=

121

.40 T 2=20N

Soal Latihan : 6N

F 1. Pada sebuah partikel bekerja

gaya-gaya seperti pada gambar 4N ao 6 N

Apabila partikel dalam keadaan 45o setimbang, tentukanlah :

a. Besar gaya F, dan 62 N 43 N b. Besar sudut ao.

ao 2. Jika pada sistem di samping dalam

T1 keadaan setimbang, tentukanlah bo T2 gaya tegangan tali T1 dan T2.

(tg ao = 4/3 , tg bo = ¾) w = 20 N

3. ao ao

T1 T2 T1 tg ao = 3/4

bo bo tg bo = 4/3

T3 T3

w = 16 N

Jika pada sistem di atas dalam keadaan setimbang tentukanlah gaya tegangan tali T1, T2 dan T3.

4. ao

A T1 T2 tg ao = 3/4

B w

Gaya gesekan antara benda A dengan bidang 20 N. Jika pada sistem di atas dalam keadaan setimbang tentukanlah berat benda B dan gaya tegangan tali T1 dan T2.

5.

20

ao

T1 bo T3

T2 tg ao = 4/3 tg bo = 3/4

w1 w2 = 32N Apabila sistem di atas dalam keadaan seimbang, tentukanlah berat w1 , serta gaya tegangan tali T1 , T2 dan T3.

6. Perhatikan gambar di bawah ini. Apabila gesekan tali pada katrol di abaikan dan sistem dalam keadaaan setimbang,

T1 tentukanlah berat benda w1 dan

37o gaya tegangan tali T1 dan T2. T2

(Sin 37o = 3/5)

w1 = 20 N w2 = ... ?

7. Perhatikan gambar di bawah ini. Apabila gesekan tali pada katrol di abaikan dan Sistem dalam keadaan setimbang,

T1 300 tentukanlah berat benda w1 , w2, T3

gaya tegangan tali T1 , T2 dan T3. 53o

T2

(Sin 53o = 4/5)

w1 = ... ? w2 = .. ? w3 = 900 N

8. Perhatikan gambar di bawah ini. Apabila gesekan tali pada katrol di abaikan,

tentukanlah besar gaya F dan tanAo agar sistem disamping dalam keadaan setimbang.

Ao = ... ?

W1 = 20 N F = ... ? W2 = 10 N

B.2. Kesetimbangan Benda Tegar

Benda tegar adalah benda yang bentuk dan volumenya tidak berubah karena pengaruh suatu gaya atau tekanan.

Bila pada sebuah benda (tegar) bekerjaa suatu gaya, maka benda tersebut bisa menga-lami beberapa kemungkinan. Mungkin masih dalam keadaan diam, Mungkin bergerak translasi (lurus) saja, Mungkin bergerak rotasi saja, Mungkin bergerak translasi dan rotasi (menggelinding).

Penyebab gerak translasi adalah gaya (F), dan penyebab gerak rotasi adalah momen gaya (τ ) atau bisa juga momen kopel (M).

Syarat kesetimbangan benda (tegar) :

a. Syarat setimbang translasi : ΣF=0

b. Syarat setimbang rotasi : Στ=0

c. Syarat setimbang translasi dan rotasi :

ΣF=0Στ=0

NB. Harap diingat lagi pengertian dan rumus tentang momen gaya di depan, sebab akan digunakan dan sangat berperan dalam penyelesaian soal-soal kesetimbangan benda.

Contoh Soal :1. Perhatikan gambar di bawah ini. Batang AB homogen memiliki panjang 80 cm dan

berat 18 N. Ujung A dihubungkan

21

C dengan engsel, sedang ujung B dihubungkan ke dinding C dengan

T = .. ? seutas tali dan digantungi beban sebesar 30 N. (AC = 60 cm).Tentukan besar gaya tegangan

A B tali BC, dan gaya nornal di A (NA) NA

∑ τ A=0→sistemsetimbang rotasi dantranslasi

wbt .12AB+wB . AB−T . sinα . A B=0

18 (1/2) + 30 = T (60/100) 3/5 T = 39 T = 65 N

Gaya nornal di A :

∑ F x=0→N A−T .cos α=0→N A=65. 45=52N

2. Seorang anak bermassa 50 kg berdiri diatas tong 50 kg diatas sebuah papan kayu bermassa 200 kg yang bertumpu pada tonggak A dan C.

Jika jarak anak dari titik A adalah 1 meter dan panjang papan kayu AC adalah 4 m, tentukan : a) Gaya yang dialami tonggak A b) Gaya yang dialami tonggak C

Pembahasan

Digambar dahulu gaya-gaya yang bekerja pada sistem kesetimbangan batang :

wB = wbeban = manak.g + mtong.g = (50 + 50).10 = 1.000 NwAC = berat batang AC = mAC.g = 200.10 = 2.000 N

NA = gaya normal atau gaya tekan yang dialami tonggak/penumpu di A

NB = gaya normal atau gaya tekan yang dialami tonggak/penumpu di B

a) Untuk mencari gaya yang dialami tonggak A, pilihlah titik C sebagai poros.

Z

NA

22

∑ τC=0→N A . AC−wB .BC−w AC . ZC=0

N A .4−1.000 .3−2.000 .2=0→4 N A=3.000+4.000

N A=7.000

4=1.750N

b) Untuk mencari gaya yang dialami tonggak C, pilihlah titik A sebagai poros.

∑ τ A=0→wB . AB+wAC . AZ−NC . AC=0

1.000 .1+2.000.2−NC .4=0→4N C=1.000+4.000

NC=5.000

4=1.250 N

3. Seorang anak bermassa 100 kg berada diatas jembatan papan kayu bermassa 100 kg yang diletakkan di atas dua tonggak A dan C tanpa dipaku. Sebuah tong berisi air bermassa total 50 kg diletakkan di titik B.

Jika jarak AB = 2 m, BC = 3 m dan AD = 8 m, berapa jarak terjauh anak dapat melangkah dari titik C agar papan kayu tidak terbalik?Pembahasan : Gambarkan dulu gaya-gaya pada sistem :

Titik C jadikan poros, saat papan tepat akan terbalik NA = 0(artinya ujung batang A tidak menempel / membebani penumpu di A)

∑ τC=0→N A . AC−wB .BC−w AD. ZC+wO . X=0

N A .5−500.3−1.000 .1+1.000 . X=0

(0 ) .5−1.500−1.000+1.000 . X=0❑

1.000 . X=2.500→X=2,5m4. Sebuah tangga seberat 500 N di letakkan pada dinding selasar sebuah hotel seperti

gambar di bawah ini!

Cara 2 : Menggambar gaya-gaya pada soal di atas dan jarak-jarak yang diperlukan :

Jika dinding selasar licin, lantai diujung lain tangga kasar dan tangga tepat akan tergelincir, tentukan koefisien gesekan antara lantai dan tangga!

Pembahasan :Cara 1 : Dengan memakai rumus jadi.

μ = ½ ctg θ μ = ½ (6/8) = 3/8

Z

23

Urutan yang paling mudah jika dimulai dengan ΣFY kemudian ΣτB terakhir ΣFX. Jumlah gaya pada sumbu Y = 0

Jumlah torsi di B = 0

5. Perhatikan gambar berikut !

6. Budi hendak menaikkan sebuah drum yang bermassa total 120 kg ke atas tangga dengan sebuah katrol seperti terlihat pada gambar berikut.

PembahasanSketsa soal di atas adalah sebagai berikut.

Balok AB = 5 m, BZ = 1 m (Z = titik berat balok). Jika berat balok 100 N, dan sistem setimbang, tentukan berat beban C.

PembahasanGaya-gaya yang bekerja pada balok AB digambarkan lebih dahulu.

Jari-jari drum adalah 40 cm dan tali katrol membentuk sudut 53° terhadap horizon-tal. Jika percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s2, tentukan gaya besar gaya yang diberikan Budi agar drum tepat akan terangkat!

Gaya normal yang segaris dengan gaya berat w tidak diikutkan karena saat tepat drum akan terangkat nilai gaya normal adalah nol, juga gaya normal pada

Jumlah gaya sumbu X = 0

24

Jarak gaya w ke poros dapat ditentukan dengan memakai sudut yang diketahui.

Terakhir, syarat kesetimbangan:Σ τp = 0

Soal-soal Latihan :

1.

A B C

Batang AC panjangnya 3 m dan beratnya 400 N ditumpu pada titik A dan B yang terpisah 2 m. Seorang anak berjalan dari A ke C. Jika berat anak tersebut 250 N , tentukan jarak maksimum anak dari A agar batang masih tetap dalam keadaan setimbang.

2. O Batang homogen AB beratnya w1 = 50 N diikat dengan tali di C dan dihu bungkan pada dinding

T di O seperti tampak pada gambar disamping. (tg ao = 4/3).

A ao C B NA Beban w2 = 100 N di gantung pada ujung B.

Bila AC = 1/2 AB dan sistem seimbang, w1 Tentukanlah gaya tegangan tali T dan

w2 gaya normal di A (NA).3.

T1 T2

A B C D

Batang AD homogen panjangnya 4 m dan beratnya 100 N digantung seperti tampak pada gambar di atas. AB = 0,5 m, BC = 2 m, dan CD = 1,5 m. Tentukan gaya tegangan tali T1 dan T2.

4. Tiga buah bola masing-masing berjari-jari RA = RB = 30 cm, dan RC = 20 cm.

C Berat ketiga bola wA = wB = 48 N , wC = 32 N. Jika g = 10 m/s2. Tentukanlah Gaya yang dikerjakan oleh salah satu bola besar terhadap :

A B a. bola kecil (C). b. lantai.

5.

M A B

Gaya normal yang segaris dengan gaya berat w tidak diikutkan karena saat tepat drum akan terangkat nilai gaya normal adalah nol, juga gaya normal pada

Batang homogen AB = CD = 4 m, beratnya masing-masing 20 N. digantung dan diberi beban seperti pada gambar di atas.AM = 2,5 m , dan CN = 3 m. Bila sistem dalam keadaan seimbang, tentukan berat beban w1 dan w2.

dw = r cos 37°dw = 40 cm × 0,8 = 32 cm

25

30o

C D w1 = ? N

w2 = ? w = 30 N

6. m1 Tiga benda massanya m1 = 100 gr, m2 = 80 gr dan m3 = 60 gr dihubungkan dengan batang yang beratnya diabaikan.

Jarak m1m2 = 30 cm dan jarak m2m3 = 40 cm. m2 m3 Gaya F mengenai tegak lurus kerangka m2m3

pada jarak x dari benda m3 dan gaya F sebidang F x dengan kerangka.

Tentukan nilai x agar kerangka bergerak translasi tanpa rotasi.

7. T1

A C D T2

B

w1 w2

8. C B Batang homogen AB beratnya w1 = 20 N diikat

T αo dengan tali di B pada dinding seperti pada gambar disamping. ( tg αo = 4/3 )

w2Beban w2 = 80 N digantung pada ujung B.Bila sistem setimbang,

w1

A NA tentukanlah : a. Gaya tegangan tali T b. Gaya normal pada engsel A (NA)

B.3. Titik Berat dan Titik Massa

a. Koordinat Titik Tangkap Resultan Gaya Sejajar Perhatikan gambar di bawah ini.

Tiga buah gaya sejajar F1 , F2 , dan F3 bekerja pada bidang datar xy dengan posisi (koordinat) titik tangkap seperti pada gambar.

Y F3

F2

y3 F1

y2

y1

o x1 x2 x3 X

Resultan gaya (R) dari ketiga gaya adalah : R = F1 + F2 + F3

Posisi atau Koordinat titik tangkap dari resultan gaya R adalah :

X R=F1 . x1+F2. x2+F3 . x3

R

Y R=F1 . y1+F2 . y2+F3 . y3

R

Perjanjian tanda arah gaya :

Gaya F ke atas = + Gaya F ke kanan = + Gaya F ke bawah = - Gaya F ke kiri = -

Contoh soal :

Contoh Soal : F3 = 18N

1. F1 = 10N R

XR = 1,8 m

Berat batang AB diabaikan, berat beban w1 = 100 N, dan w2 = 80 N,AB = 2 m , AC = CD = 0,5 m. Tentukan tegangan tali T1, dan T2.

Jadi titik tangkap resultan gaya yang bekerja pada bidang XY (R) adalah :

= (XR , YR)

Pada batang AC bekerja tiga buah gaya seperti tampak pada gambar disamping.

a. Tentukan Resultan dari tiga gaya tersebut (R).

b. Tentukan jarak titik tang-kap gaya resultan (R) dari ujung A

c. Buktikan bahwa momen gaya dengan poros di titik

26

BA C 2 m 1 m

F2 = 18N

Penyelesaian :

(a). R = F1 + F2 + F3 = 10 – 18 + 18 = 10 N

(b). (X ¿¿R)dari A=F1 . x1+F2 . x2+F3 . x3

R=

(10 ) .0+(−18 ) .2+18.310

¿

X R=0−36+54

10=18

10=1,8m

(c). τ R=10 (1,8 )+18 (0,2 )−18 (1,2 )=18+3,6−21,6=0 (Terbukti ! ...)

Soal latihan :Y

1. F3 = 8N

F1 = 5N

2 -2 0 3 X

F2 = 5N (Kunci : a. 8N b. 0,5 c. terbukti = 0)b. Titik Berat Benda (Z)

Y

y3 3 2

y2 w 1 Z y2 w

w X

0 x1 x2 x3

W

Posisi atau Koordinat Titik berat benda (Z) dapat ditentukan dengan persamaan :

X Z=∆w1 . x1+∆w2 . x2+∆w3 . x3

w

Y Z=∆w1 . y1+∆w2 . y2+∆w3 . y3

w

Keterangan : w = gaya berat partikel-partikel benda = m.g w = gaya berat benda (berat benda) = m.g

Catatan :1. Analog persamaan di atas :

Untuk benda bentuk Batang/tali pejal (homogen), persamaan di atas, berat benda (w) dapat diganti dengan panjang batang/tali (l).

Untuk benda bentuk Bidang pejal (homogen), persamaan di atas, berat benda (w) dapat diganti dengan luas bidang (A).

Untuk benda bentuk Ruang pejal (homogen), persamaan di atas, berat benda (w) dapat diganti dengan volume ruang (V).

Bila yang diketahui massa benda (m) maka berat benda (w) dapat diganti m.2. Bila keadaan benda berongga, maka bagian yang berongga (baik bidang atau ruang)

nilai A atau V-nya berharga minus (negatif).

3. Letak Titik Berat Benda Homogen Bentuk Teratur

3.a. Benda homogen berbentuk Batang atau Tali atau Garis (1 dimensi) Setiap benda terdiri atas partikel-

partikel dalam jumlah yang sangat banyak.

Setiap partikel mempunyai gaya berat ( w) akibat gaya gravitasi bumi yang arahnya sejajar menuju ke pusat bumi.

Resultan dari gaya berat seluruh partikel disebut berat benda dan diberi simbol w. Jadi w=∑ ∆w

Titik tangkap dari gaya berat benda

Jadi Koordinat titik berat benda adalah

= (XZ , YZ)

Pada batang AC bekerja tiga buah gaya seperti tampak pada gambar disamping.

a. Tentukan Resultan dari tiga gaya tersebut (R).

b. Tentukan jarak titik tang-kap gaya resultan (R) dari ujung A

c. Buktikan bahwa momen gaya dengan poros di titik

Tiga buah gaya bekerja pada bidang XY dengan besar dan posisi tampak seperti pada gambar disamping.a. Tentukan Resultan dari tiga gaya

tersebut (R).b. Tentukan jarak titik tangkap gaya

resultan (R) dari pusat koordinat.c. Buktikan bahwa momen gaya

dengan poros di titik tangkap R adalah = 0.

27

3.b. Benda homogen berbentuk Bidang datar (2 dimensi)

3.c.1. Benda homogen (Pejal) berbentuk Ruang3.c.2. Selimut benda bentuk ruang (hanya kulit/selimutnya)

Setiap benda terdiri atas partikel-partikel dalam jumlah yang sangat banyak.

Setiap partikel mempunyai gaya berat ( w) akibat gaya gravitasi bumi yang arahnya sejajar menuju ke pusat bumi.

Resultan dari gaya berat seluruh partikel disebut berat benda dan diberi simbol w. Jadi w=∑ ∆w

Titik tangkap dari gaya berat benda

V=π R2 t

V=13π R2 t

V=2/3 π R328

y0=2 Rπ

y0=14t

y0=14t

4. Titik Pusat Massa

Titik pusat massa adalah suatu titik dimana massa benda seakan-akan terkumpul di titik itu. Letak atau koordinat titik pusat massa dapat ditentukan dengan persamaan seperti koordinat titik berat benda, hanya saja berat benda (w) diganti dengan massa benda (m).

o

z

z = o

(a). (b)5. Jenis-jenis Kesetimbangan

a. Kesetimbangan Stabil (mantab).

Ciri atau tanda benda dalam keadaan stabil adalah ketika benda itu diberi gaya, posisi titik beratnya (Z) naik, dan ketika gaya itu di hilangkan, posisi titik beratnya (Z) kembali ke keadaannya semula.Contoh :

(a). (b). (c). (d).b. Kesetimbangan Labil (goyah).

Ciri atau tanda benda dalam keadaan labil adalah ketika benda itu diberi gaya, posisi titik beratnya (Z) turun, dan ketika gaya itu di hilangkan, titik beratnya (Z) tidak kembali ke keadaannya semula.Contoh :

(a). (b). (c)c. Kesetimbangan Indeferen (netral).

Ciri atau tanda benda dalam keadaan setimbang indeferen adalah ketika benda itu diberi gaya, ataupun ketika gaya itu di hilangkan, posisi titik beratnya (Z) tetap atau tidak berubah.Contoh :

(a) Z1

Z2

(b). (c). Z3

Contoh soal :

1. Tentukan koordinat titik berat dari bangun berikut.

Gambar (a) : Untuk benda-benda dipermukaan bumi de-ngan ukuran yang relatif kecil, letak titik pusat massa (O) berimpit dengan titik beratnya (Z). Tetapi untuk benda-benda yang relatif besar atau tinggi [gambar (b)], maka letak titik pusat massa (O) di atas titik beratnya (Z), sebab makin ke bawah, harga gravitasi (g) makin besar.

Titik pusat massa suatu benda selalu ada dan tetap letaknya, sedang titik berat benda (Z) bisa tidak ada, yaitu ketika berada dalam ruang bebas gravitasi (g = 0), sehingga benda tidak memiliki bobot (w = 0).

Gambar (c). Posisi titik berat (Z) menentukan jenis kesetimbangan.

Z1 = K. Labil

Z2 = K. Indeferen

Z3 = K. Stabil29

Pembahasan :

Cara 2. Boleh juga dengan cara dibuat tabel sebagai berikut :

No L x L.x y L.y1 4 2 8 5 20 2 6 3 18 3 183 6 6 36 3 184 4 6 24 6 24

Juml. 20 86 80

2. Tentukan koordinat titik berat potongan karton homogen pada gambar berikut!

Pembahasan:Gambar diatas dapat kita bagi menjadi 2 bagian, yaitu persegi panjang I (vertikal) dan persegi panjang II (horisontal). Ingat titik berat persegi panjang terletak pada perpotongan diagonal-diagonalnya! Kemudian dari data yang ada dimasukkan ke dalam tabel berikut :

No. A x A.x y A.y1 5 0,5 2,5 2,5 12,52 4 3 12 0,5 2

Juml 9 14,5 14,5

3. Gambar di bawah adalah susunan benda pejal homogen yang terdiri dari silinder pejal dan kerucut pejal. Tentukan koordinat titik berat susunan benda terhadap titik O.

Dari data di atas dimasukkan ke dalam tabel berikut :

Bangun di samping terdiri atas 4 batang/tali. Cara 1.Batang I titik beratnya di z1 : l1 = 4 ; x1 = 2 ; y1 = 5Batang II titik beratnya di z2 : l2 = 6 ; x2 = 3 ; y2 = 3Batang III titik beratnya di z3 : l3 = 6 ; x3 = 6 ; y3 = 3Batang IV titik beratnya di z4 : L4 = 4 ; x4 = 6 ; y4 = 6

Titik berat benda ditentukan oleh persamaan berikut :

X 0=∑ L. x

∑ L=

8620

=4,3

Y 0=∑ L . y

∑ L=

8020

=4,0

X 0=∑ A .x

∑ A=

14,59

=1,61

Y 0=∑ A . y

∑ A=

14,59

=1,61

30

No. V x V.x y V.y

1 4.000π 0 0 20 80.000π2 1.000π 0 0 47,5 47.500π

Juml 5.000 π 0 127.500

X 0=∑ V . x

∑ V=

05.000 π

=0

Y 0=∑V . y

∑V=

127.500 π5.000 π

=25,5

Jadi Koordinatnya :(X0 ,Y 0)=(0 ;25,5)

4. Tentukan letak titik berat bangun berikut terhadap alasnya! Pembahasan :

Letak Yo :

(Atau dengan cara dimasukkan tabel)

Soal-soal latihan : Y (cm) 1. 3

4 Benda batang homogen dengan bentuk dan 2 ukuran seperti pada gambar disamping. 1 Tentukan koordinat titik beratnya. 0 X (cm)

-1 1 2 -1

2. Bidang homogen dengan bentuk dan ukuran 5 cm seperti tampak pada pada gambar disamping.

Tentukan letak titik berat benda di ukur dari dasar benda 3 cm 3 cm (titik o)

4 cm

o2 cm Y

3. Sebuah benda bidang ho- mogen dengan sisi sama yaitu 90 cm, diberi rongga

6 cm berbentuk segitiga dengan 3 cm ukuran seperti gambar. 45 cm Tentukan letak titik berat

X benda dari dasar (Sb.X) 6 cm

` 4. Perhatikan gambar disamping Sebuah benda berbentuk Silinder pejal dengan rongga 4 dm berbentuk kerucut. Ukurannya seperti pada gambar disamping Tentukan letak titik berat ben- 4 dm da dari dasar silinder.

Bagi bidang menjadi dua. Satu, berupa persegi pan-jang yang dianggap utuh (belum dilubang) dan kedua, lubang berbentuk segitiga. Data dari soal :Bidang 1 (Persegi panjang utuh)A1 = (180 x 90) = 16200Y1 = (180/2) = 90Bidang 2 (lubang segitiga) A2 = 1/2(90 x 90) = 4050Y2 = 180 − (90/3) = 150

6 cm31

5. Bidang lingkaran berongga R besar = 6 dm, Rkecil = 3 dm seperti pada gambar disamping.

6 cm Tentukan letak titik beratnya dari dasar benda (Sb.x).

Sb.x

6. Bidang segitiga homogen bentuk dan ukurannya seperti pada gambar disamping.

6 cm Tentukan titik beratnya dari dasar benda ( titik o ).

3 cm

o4 c

7. Sebuah benda terdiri dari :

I = silinder pejal, dan II = setengah bola pejal.

I h h = tinggi silinder , dan R = jari-jarinya.

Tentukan perbadingan h dan R agar benda Dalam kesetimbangan indeferen ( netral ).

II R

8.

ao bo

A B

Batang AB tidak homogen dalam keadaan setimbang seperti pada gambar diatas. Panjang batang AB = 12,5 dm , tan ao = 3/4 dan tg bo = 4/3. Tentukan letak titik berat batang dari ujung A.