Sejarah

Matematika

ii

KATA PENGANTAR

Matematika sebagai ilmu pengetahuan memiliki peran yang penting dalam kemajuan suatu

bangsa. Bangsa yang maju menaruh perhatian yang besa terhadap ilmu pengetahuan dan

matematika. Sejarah menunjukkan peradaban manusia yang paling maju di jaman dahulu

memiliki perkembangan matematika yang besar. Hal ini juga menunjukkan matematika sudah

ada sejak jaman dahulu. Matematika berkembang mengikuti perkembangan manusia itu sendiri.

Mempelajari sejarah matematika bukan hanya sekedar memberikan informasi historis dari

matematika yang sekarang dipelajari, tapi juga memberikan motivasi kepada para pelajar yang

umumnya kurang menyukai matematika. Motivasi yang dimaksu adalah pelajar dapat melihat

bagaimana matematika sangat penting bagi kehidupan, dan merupakan bagian dari peradapan

manusia itu sendiri. Kemudian pelajar bisa berfikir, bagaimana suatu konsep yang sekarang

dikenal abstrak dan membingungkan ditemukan dijaman dahulu yang minim sarana belajar.

Kumpulan makalah sejarah matematika ini diharapkan dapat menolong pelajar untuk

melihat matematika dari jaman prasejarah sampai yang paling modern, yaitu matematika abad

ke-20. Diharapakan juga pelajar bisa melihat bagaimana matematika sangat menarik dari sisi

historis dan menjadi termotivasi untuk belajar matematika.

Penyusu

iii

Sejarah Matematika:

Dilihat dari

Horison Waktu

dan Penemuan

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern,

mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu dan mengembangkan daya pikir

manusia. Obyek-obyek matematika bersifat sosial, kultural, historis. Artinya bahwa

matematika dan pembelajaranya merupakan milik bersama seluruh umat. Betapapun

primitifnya masyarakat, matematika adalah bagian dari kebudayaanya (meski dalam bentuk

yang sederhana).

iv

Sejarah matematika adalah

penyelidikan terhadap asal mula

penemuan di dalam matematika dan

sedikit perkembanganya, penyelidikan

terhadap metode dan notasi matematika di

masa silam. Matematika seperti halnya

aspek kehidupan manusia lainnya,

memiliki sisi yang tidak terpisahkan yaitu

sejarah. Sejarah matematika terbentang

dari sekitar 18000 SM hingga kini serta

memuat sumbangan dari ribuan tokoh

matematika. Sejarah matematika

menampilkan bagian matematika yang

berkaitan dengan perkembangan matematika hingga menemukan bentuknya sekarang ini, yang

terekam dalam kebudayaan besar Mesopotamia, Mesir kuno, Yunani kuno, India kuno, Cina

kuno, Arab kuno, Persia, dan Eropa kuno, serta zaman modern yang sebagian besar terpusat di

Eropa. Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah,

pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas

hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan

aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya,

bangunan dan konstruksi, dan astronomi.

Melihat dalam matematika itu “diciptakan” oleh manusia terdahulu, maka ini memberi

pengetahuan bagi paradigma pembelajaran yang bersifat konstruktifisme. Oleh karena itu kami

ingin menjelaskan sejarah matematika yang ditinjau dari topik materi dan horison waktu, dimana

bertujuan untuk menunjukan proses waktu sejarah matematika itu berjalan hingga menghasilkan

beberapa temuan teori atau ilmu matematika yang kita kenal hingga saat ini.

A. Sejarah Matematika Ditinjau dari Horison Waktu

1. Matematika Prasejarah (18000 – 35000 SM)

Gambar 1.1. Siklus perjalanan sejarah

matematika

v

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun.

Konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa

zaman ini mematenkan perbedaan antara "satu", "dua", dan "banyak", tetapi bilangan yang lebih

dari dua tidaklah demikian.

Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di

pegunungan Lebombo di Swaziland dan berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini berisi 29

torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa

kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka, 28 sampai 30 goresan

pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Juga artefak prasejarah ditemukan di

Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, menunjukkan upaya dini

untuk menghitung waktu.

Tulang Ishango, ditemukan

di dekat batang air Sungai Nil

(timur laut Kongo), berisi

sederetan tanda lidi yang

digoreskan di tiga lajur

memanjang pada tulang itu.

Tafsiran umum adalah bahwa

tulang Ishango menunjukkan

peradaban terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima atau kalender lunar

enam bulan. Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan

rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan

Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti

lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.

2. Mesopotamia (3000 SM – 1600 SM)

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa

Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik.

Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk

belajar. Pada zaman peradaban helenistik Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika

Gambar 1.2. Tulang Ishango, dari 18000 SM – 20000 SM.

matematika

vi

Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan

Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.

Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika

Babilonia diturunkan lebih dari 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Ditulis di

dalam tulisan paku, lempengan ditulisi ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam

tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban

kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM.

Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan

tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Sistem

bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai

1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan

perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu

meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat.

Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat

desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksadesimal (basis-60). Dari

sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan

360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur

lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Kemajuan orang Babilonia di dalam matematika

didukung oleh fakta bahwa 60 memiliki banyak pembagi. Juga, tidak seperti orang Mesir,

Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai tempat yang sejati, di mana angka-

angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam

sistem desimal.

3. Mesir (1600 SM – 1800 SM)

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak

peradaban helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi kaum

terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani

dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir

vii

berlanjut di bawah Khalifah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab

menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah

Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran

Ahmes" berdasarkan penulisnya, diperkirakan berasal dari

tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan

dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu

dari tahun 2000 – 1800 SM. Lembaran itu adalah manual

instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain

memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan,

lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan

komposit dan prima, rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik, dan pemahaman sederhana

Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi

cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri. Juga tiga

unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan paling sederhana

mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran π yang akurat kurang dari

satu persen, (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran, dan (3) ketiga, penggunaan terdini

kotangen.

Naskah matematika Mesir penting lainnya

adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman

Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM.

Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita,

yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu

soal dipandang memiliki kepentingan khusus

karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh volume limas terpenggal: "Jika Anda

dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang, yakni 4 satuan panjang di bawah dan 2

satuan panjang di atas. Anda menguadratkan 4, sama dengan 16. Anda menduakalilipatkan 4,

sama dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan 4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama

dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28 twice,

sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya sama dengan 56. Anda memperoleh

Gambar 1.3. Lembaran

Rhind(Lembaran Ahmes)

matematika

Gambar 1. 4. Lembaran Moskwa

matematika

viii

kebenaran."Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM menunjukkan bahwa bangsa Mesir

kuno dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.

4. Yunani (600 SM – 300 SM)

Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara

tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang

Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh

budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung

kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.

Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh

kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih

terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang

yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani

menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan

simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk

membuktikannya.

Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh

Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) dan

Pythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM).

Meskipun perluasan pengaruh mereka

dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh

Matematika Mesir dan Babilonia. Menurut legenda,

Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari

matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta

Mesir. Thales menggunakan geometri untuk

menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia

dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada

geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap

sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan

matematika.

Gambar 1.5. Thales dari Miletus

matematika

ix

Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras,

yang mendakwakan bahwa matematikalah yang

menguasai semesta dan semboyannya adalah "semua

adalah bilangan".Mazhab Pythagoraslah yang

menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah

yang memulakan pengkajian matematika. Mazhab

Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama

teorema Pythagoras, meskipun diketahui bahwa

teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan

dengan bukti keujudan bilangan irasional.

Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM)

mengembangkan metoda kelelahan, sebuah rintisan

dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai menulis hukum

logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang masih digunakan oleh

matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut.

Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-

20. Selain teorema geometri yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan

bukti bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak-hingga banyaknya bilangan

prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima.

Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metoda

kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan barisan tak

hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia juga mengkaji spiral yang

mengharumkan namanya, rumus-rumus volumebenda putar, dan sistem rintisan untuk

menyatakan bilangan yang sangat besar.

5. Matematika Cina (1200 SM – 200 SM)

Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan dengan yang berasal dari

belahan dunia lain, sehingga cukup masuk akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang

mandiri. Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching,

Gambar 1.6. Pythagoras dari Samos

matematika

x

berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka tahun 300 SM juga cukup

masuk akal.

Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina adalah sistem notasi

posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang" di mana sandi-sandi yang

berbeda digunakan untuk bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagai

perpangkatan dari sepuluh. Dengan demikian, bilangan 123 ditulis menggunakan lambang untuk

"1", diikuti oleh lambang untuk "100", kemudian lambang untuk "2" diikuti lambang utnuk "10",

diikuti oleh lambang untuk "3". Cara seperti inilah yang menjadi sistem bilangan yang paling

canggih di dunia pada saat itu, mungkin digunakan beberapa abad sebelum periode masehi dan

tentunya sebelum dikembangkannya sistem bilangan India. Bilangan batang memungkinkan

penyajian bilangan sebesar yang diinginkan dan memungkinkan perhitungan yang dilakukan

pada suan pan, atau (sempoa Cina). Tanggal penemuan suan pan tidaklah pasti, tetapi tulisan

terdini berasal dari tahun 190 M, di dalam Catatan Tambahan tentang Seni Gambar karya Xu

Yue.

Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina berasal dari peraturan kanonik

filsafat Mohisme kira-kira tahun 330 SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM).

Mo Jing menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan dengan ilmu fisika, dan

juga memberikan sedikit kekayaan informasi matematika.

Pada tahun 212 SM, Kaisar Qín Shǐ Huáng (Shi Huang-ti) memerintahkan semua buku di

dalam Kekaisaran Qin selain daripada yang resmi diakui pemerintah haruslah dibakar. Dekret ini

tidak dihiraukan secara umum, tetapi akibat dari perintah ini adalah begitu sedikitnya informasi

tentang matematika Cina kuno yang terpelihara yang

berasal dari zaman sebelum itu. Setelah pembakaran

buku pada tahun 212 SM, dinasti Han (202 SM–220

M) menghasilkan karya matematika yang barangkali

sebagai perluasan dari karya-karya yang kini sudah

hilang. Yang terpenting dari semua ini adalah

Sembilan Bab tentang Seni Matematika, judul lengkap

yang muncul dari tahun 179 M, tetapi wujud sebagai

bagian di bawah judul yang berbeda. Ia terdiri dari 246

soal kata yang melibatkan pertanian, perdagangan,

Gambar 1.7. Sembilan Bab tentang Seni

Matematika

xi

pengerjaan geometri yang menggambarkan rentang ketinggian dan perbandingan dimensi untuk

menara pagoda Cina, teknik, survey, dan bahan-bahan segitiga siku-siku dan π. Ia juga

menggunakan prinsip Cavalieri tentang volume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri

mengajukannya di Barat. Ia menciptakan bukti matematika untuk teorema Pythagoras, dan

rumus matematika untuk eliminasi Gauss. Liu Hui memberikan komentarnya pada karya ini pada

abad ke-3 M.

Sebagai tambahan, karya-karya matematika dari astronom Han

dan penemu Zhang Heng (78–139) memiliki perumusan untuk pi

juga, yang berbeda dari cara perhitungan yang dilakukan oleh Liu

Hui. Zhang Heng menggunakan rumus pi-nya untuk menentukan

volume bola. Juga terdapat karya tertulis dari matematikawan dan

teoriwan musikJing Fang (78–37 SM); dengan menggunakan koma

Pythagoras, Jing mengamati bahwa 53 perlimaan sempurna

menghampiri 31 oktaf. Ini kemudian mengarah pada penemuan 53 temperamen sama, dan tidak

pernah dihitung dengan tepat di tempat lain hingga seorang Jerman, Nicholas Mercator

melakukannya pada abad ke-17.

Bangsa Cina juga membuat penggunaan diagram kombinatorial kompleks yang dikenal

sebagai kotak ajaib dan lingkaran ajaib, dijelaskan di zaman kuno dan disempurnakan oleh Yang

Hui (1238–1398 M). Zu Chongzhi (abad ke-5) dari Dinasti Selatan dan Utara menghitung nilai

pi sampai tujuh tempat desimal, yang bertahan menjadi nilai pi paling akurat selama hampir

1.000 tahun.

6. Matematika India (800 SM – 5 SM)

Matematika Vedanta dimulakan di India sejak Zaman Besi. Shatapatha Brahmana (kira-kira

abad ke-9 SM), menghampiri nilai π, dan Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) yang merupakan

tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan

akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan

metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan

persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan

memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.

Gambar 1.8. Zhang

Heng (78–139)

matematika

xii

Pānini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta.

Notasi yang dia gunakan sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-

aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di

dalam risalahnya prosody menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner.

Pembahasannya tentang kombinatorikameter bersesuaian dengan versi dasar dari teorema

binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci (yang disebut

mātrāmeru).

Surya Siddhanta (kira-kira 400) memperkenalkan fungsi

trigonometrisinus, kosinus, dan balikan sinus, dan meletakkan

aturan-aturan yang menentukan gerak sejati benda-benda

langit, yang bersesuaian dengan posisi mereka sebenarnya di

langit. Daur waktu kosmologi dijelaskan di dalam tulisan itu,

yang merupakan salinan dari karya terdahulu, bersesuaian

dengan rata-rata tahun siderik 365,2563627 hari, yang hanya

1,4 detik lebih panjang daripada nilai modern sebesar

365,25636305 hari. Karya ini diterjemahkan ke dalam bahasa

Arab dan bahasa Latin pada Zaman Pertengahan.

Aryabhata, pada tahun 499, memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel

trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkan teknik-teknik dan algoritmaaljabar,

infinitesimal, dan persamaan diferensial, dan memperoleh solusi seluruh bilangan untuk

persamaan linear oleh sebuah metode yang setara dengan metode modern, bersama-sama dengan

perhitungan (astronomi) yang akurat berdasarkan sistem heliosentrisgravitasi. Sebuah terjemahan

bahasa Arab dari karyanya Aryabhatiya tersedia sejak abad ke-8, diikuti oleh terjemahan bahasa

Latin pada abad ke-13. Dia juga memberikan nilai π yang bersesuaian dengan 62832/20000 =

3,1416. Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama menemukan rumus Leibniz untuk pi,

dan, menggunakan 21 suku, untuk menghitung nilai π sebagai 3,14159265359.

B. Sejarah Matematika Ditinjau dari Topik Materi

1. Prasejarah

Gambar 1.9. Arca Aryabhata.

matematika

xiii

Sistim bilangan sudah mulai digunakan, hal ini terlihat torehan pada tulang lembobo

yang digunakan oleh kaum perempuan untuk mengingat siklus haid.

2. Mesopotamia (sekarang Iraq)

a. Menentukan sistem bilangan, sistem berat dan ukur pertama kali.

b. Tahun 2500 SM sistem desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi

berbentuk baji.

c. Menggunakan sistem desimal dan π = 3,125.

d. Penemu kalkulator pertama kali.

e. geometri sebagai basis perhitungan astronomi.

f. Metode pendekatan untuk akar kuadrat.

g. Geometrinya bersifat aljabaris.

h. Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno

a. Mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi.

b. Mengenal sistem bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM.

c. Mengenal tripel Pythagoras.

d. Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika.

e. Tahun 300 SM menggunakan sistem bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno

a. Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik).

b. Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut.

c. Hipassus penemu bilangan irrasional.

d. Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya

merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah

persamaan).

e. Archimedes membuat geometri bidang datar.

f. Mengenal bilangan prima

xiv

5. India

a. Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran.

b. Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal.

c. Brahmagyupta menemukan bilangan negatif.

d. Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”.

e. Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema pythagoras,transformasi dan

segitiga pascal.

6. China

a. Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM.

b. Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, sistem desimal, sistem biner,

aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus.

c. memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik.

d. Aljabarnya menggunakan sistem horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Beberapa Matematikawan

1. Thales (624-550 SM)

Matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, tradisi ini menjadi lebih

jelas setelah dijabarkan oleh Euclid.

2. Pythagoras (582-496 SM)

mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam

mengembangkan geometri. Bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun

dia berhasil membuat pembuktian matematis. Pythagoras menemukan sebagai bilangan

irrasional.

3. Socrates (427-347 SM)

filosofi besar dari Yunani. Pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan

idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli

pikir pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)

Mungkin namanya kurang dikenal, tapi beliau disebut sebagai “Bapak Geometri” gan karena

menemukan teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk,

teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori

xv

proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka yang agan2

pake sekarang di sekolah.

5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi)

dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di

zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran

lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)

Kurang begitu terkenal juga. Tapi konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak

memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan yang ahli

dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar

Babilonia. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang

sistem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira

130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

8. Sir Isaac Newton

Newton mencetuskan adanya prinsip kekekalan momentum dan momentum sudut.

Membangun teleskop refleksi yang pertama Mengembangkan teori warna berdasarkan

pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya putih menjadi warna-warna

lainnya. Merumuskan hukum pendinginan dan mempelajari kecepatan suara. Bersama

Gottfried Leibniz yang dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus

diferensial dan kalkulus integral. Menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode

Newton" untuk melakukan pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi

terhadap kajian deret pangkat. Sebuah survei tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan

masyarakat umum di Royal Society mengenai siapakah yang memberikan kontribusi lebih

besar dalam sains, apakah Newton atau Albert Einstein, menunjukkan bahwa Newton

dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar. Sebenernya masih banyak gan, tp jgn

lupain juga bapak yg satu ini:

9. Albert Einstein

Mengemukakan teori relativitas dan juga banyak menyumbang bagi pengembangan mekanika

xvi

kuantum, mekanika statistik, dan kosmologi. Dia dianugerahi Penghargaan Nobel dalam

Fisika pada tahun 1921 untuk penjelasannya tentang efek fotoelektrik dan "pengabdiannya

bagi Fisika Teoretis". Pada tahun 1999, Einstein dinamakan "Tokoh Abad Ini" oleh majalah

Time. Nama "Einstein" digunakan secara luas dalam iklan dan barang dagangan lain, dan

"Albert Einstein" didaftarkan sebagai merk dagang.mUntuk menghargainya, sebuah satuan

dalam fotokimia dinamai einstein, sebuah unsur kimia dinamai einsteinium, dan sebuah

asteroid dinamai 2001 Einstein.

Rumus Einstein yang paling terkenal adalah E=mc²

Relevansi Pada Saat Ini

1. Aritmatika

Digunakan pada pembelajaran operasi hitung campuran.

2. Geometri

Digunakan pada pembelajaran bagun datar dan bangun ruang.

3. Aljabar

Digunakan pada pembelajaran persamaan kuadrat, fungsi.

4. Logika

Digunakan pada pembelajaran logika matematika.

5. Statistika

Digunakan pada pembelajaran statistika inferensial & statistika diferensial .

6. Kalkulus

Digunakan pada pembelajaran turunan, integral, & limit.

Matematika terus berkembangan hingga saat ini. Hal itu tidak bisa di pungkiri oleh

hadirnya suatu sejarah yang di mana menjadi saksi bisu dalam perjalanan matematika hingga

mencapai bentuknya dewasa ini. Dimana sejarah itu di pandang dari dua sisi yaitu Sejarah

Matematika Ditinjau dari Horison Waktu dan topik materi. sejarah matematika ditinjau dari segi

waktu yaitu melewati zaman para sejarah, mesopotamia, mesir, yunani, cina, india dan

matematika modern. Sedangkan bila ditinjau topik materi ada 6 topik besar pada matematika saat

ini yaitu aritmatika, geometri, aljabar, logika, statistika, dan kalkulu

xvii

Sistem Bilangan

Yunani dan

Arab

Ribuan tahun yang lalu tidak ada nomor untuk mewakuli “satu” “dua” atau “tiga”.

Namun jari, batu, tongkat atau mata digunakan untuk mewakili angka. Tidak ada jam atau

kalender untuk membantu mengetahui waktu. Matahari dan bulan digunakan untuk membedakan

waktu, mungkin jaman dahulu tidak tersedia kertas dan pensil untuk menulis nomor dan huruf.

Metode demi metode diciptakan untuk sarana komunikasi dan pengajaran sistem numerik. Untuk

membantu hal tersebut sangat diperlukan pengembangan matematika baru, dan penemuan-

penemuan ilmiah dalam membentuk suatu sistem angka atau bilangan. Dengan adanya sistem

bilangan maka akan sangan membantu manusia untuk berkomunikasi, belajar dan berhitung.

Pada bagian ini akan dibahas sistem bilangan Yunani dan Sistem Bilangan Arab

A. Sistem Bilangan Yunani (Greek Number System)

xviii

Matematika yunani menunjuk pada matematika yang ditulis didalam bahasa yunani antara

tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania

bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi Orang Yunani dipersatukan oleh budaya

dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Islandar Agung kadang-

kadang disebut Matematika Helenestik. Matematika Yunani lebih berbobot daripaa matemtika

yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika

pra-yunani yang masih terpelihara menunjukan penggunaan penalaran induktif, yakni

pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya,

matmatikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika

untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekuatan matematika

untuk membuktikannya. Matematika Yunani diyakini oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624

sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan

pengaruh Orang Yunani dipersengketakan, Orang Yunani mungkin diilhami oleh matemtika

Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari

matematika,geometri, dan astronimi dari pendeta Mesir.

Angka Yunani adalah sistem yang mewakili

angka yang menggunakan huruf dari abjad

Yunani. Jumlah sitem yunani prtama kali kita

kaji adalah sistem Acrophonic yang digunakan

dalam melenium pertama. Acrophonic berarti

bahwa symbol untuk angka yang berasal dari

huruf pertama dari nama nomor, sehingga symbol yang telah datang dari sebuah singkatan dari

kata yang digunakan untuk nomor tersebut.Orang Yunani pada saat itu telah menghilangkan

simbol ‘satu’ ( I ), yang merupakan notasi dan tidak bersal dari huruf awal sebuah nomor.

Namun itu hanyalah sebuah konsekuensi dari perubahan alfabet Yunani setelah angka-angka

tersbut diperbaiki. Pada waktu itu simbol-simbol itu mungkin tidak dianggap huruf, sehingga

tidak ada tindakan untuk mengubahnya dengan perubahan simbol untuk huruf.

Sekarang sistem bilangan Yunani didasarkan

pada prinsip aditf yaitu dengan cara yang sama

Gambar 2.1. Acrophonic 5, 10, 100, 1000, 10000

matematika

Gambar 2.2. 1-10 in Greek acrophonic numbers

matematika

xix

dengan angka Romawi. Gambar disamping adalah 1-10 dalam symbol acrophonic Yunani. Jika

basis 10 digunakan dengan sistem aditif tanpa simbol perantara, maka akan banyak karakter yang

diperlukan untuk mengekspresikan nomor-nomor tertentu, misal jumlah 9999 itu akan

memerlukan 36 simbol dalam sistem aditif dan ini sangat rumit. Orang Yunani telah lihat bahwa

nomor acrophonic Yunani itu khusus untuk 5, hal itu tidak mengherankan karena untuk

menghemat karakter yang diperlukan. Apa yang terjadi bila muncul simbol perantara untuk 50,

500, 5000, dan 50000, tetapi huruf tersebut bukan karakter baru. Angka tersebut bukan symbol

komposit yang terbuat dari 5 dan simbol untuk 10, 100, 1000, dan 10000. Berikut ini adalah

bagaimana komposit tersebut terbentuk:

Orang Yunani

menyebutkan bahwa

negara-negara lain

menggunakan variasi dan sistem jumlah yang berbeda. Meskipun Orang Yunani tidak akan

meneliti secara detail, tetapi sedikitnya Orang Yunani memberi beberapa indikasi dengan

menunjukan beberapa bentuk 50 yang telah ditemukan. Sebagian besar bentuk-bentuknya lebih

tua dari bentuk utama yang Orang Yunani anggap lebih khas 1500 SM sampai 1000 periode lagi.

Berikut ini bentuk-bentuk angka 50 yang

telah ditemukan :

Gambar 2.3. Gabungan angka acrophonic

Gambar 2.4. Berbagai bentuk 50 di Negara Yunani

yang berbeda.

xx

Selain memiliki sistem bilangan, Yunani juga memiliki sebuah sistem yang sangat serupa

yaitu bobot dan ukuran yang tidak mengherankan karena nilai uang pasti akan berkembang dari

sistem bobot. Hal ini dikonfirmasikan oleh fakta bahwa dirham itu juga nama dari unit berat.

Bentuk unit yang menunjukkan drachma. 3807 talenta akan ditulis sebagai:

Unit sekarang akan muncul sebagai T (T untuk talenta). Sejumlah uang yang melibatkan

keduanya yaitu drachma dan obols yang akan ditulis sebagai berikut: 3807 drachma dan 3 obols:

Yunani klasik memiliki 24 huruf dalam alfabet dan ini digunakan bersama dengan 3 huruf yang

lebih tua yang telah digunaan. Berikut adalah 27 alfabet yang dibuat ilmuwan Yunani :

Orang Yunani memillih beberapa huruf, baik

huruf besar maupun huruf kecil dari 24 huruf

klasik. Huruf digamma, koppa, dan san adalah

yang usang. Meskipun Orang Yunani tidak

memberikan simbol-simbol dalam tabel di atas,

simbol-simbol tersebut muncul dalam tabel Gambar 2.5. abjad 1-9. yang berbeda.

xxi

angka di sampng. Perhatikan bahwa 6 diwakili oleh simbol untuk digamma yang usang.

Selanjutnya sembilan huruf berikutnya diambil sebagai simbol untuk 10, 20 ... , 90.

Gambar 2.6. Abjad 10-90

Perhatikan bahwa 90 adalah diwakili oleh simbol untuk koppa yang usang. Sembilan huruf yang

tersisa diambil sebagai simbol untuk 100,, 200 ... , 900, yaitu L

Perhatikan bahwa 900 adalah diwakili oleh simbol untuk huruf san yang usang. Terkadang

ketika surat ini ditulis untuk mewakili angka, setelah itu diletakkan di atas simbol untuk

membedakannya dari huruf yang sesuai.

Sekarang nomor dibentuk oleh prinsip aditif. Misalnya 11, 12, ... , 19 ditulis seperti gambar di

bawah ini.

Gambar 2.7. abjad 11-19.

xxii

Angka yang lebih besar dibangun dalam dengan cara yang sama. Sebagai contoh di sini adalah

269.

Sekarang ini sistem bilangan yang sama dan tanpa modifikasi, tetapi memiliki kelemahan

utama yakni tidak mengizinkan nomor lebih besar dari 999 untuk diungkapkan. Simbol komposit

diciptakan untuk mengatasi masalah ini. Angka antara 1000 dan 9000 dibentuk dengan

menambahkan subscript atau superscript sedikitpun untuk simbol 1 sampai 9. Bentuk pertama

1000, ..., 9000 adalah seperti di bawah ini

Sedangkan Bentuk kedua 1000, ..., 9000 adalah seperti berikut

M merupakan simbol dengan angka kecil untuk jumlah sampai dengan 9999, yang ditulis

di atas itu berarti bahwa jumlah dalam angka kecil dikalikan dengan 10000. Oleh karena itu

menulis β di atas diwakili 20000 M:

Demikian pula ditulis di atas M diwakili 1230000:

Itulah sistem bilangan Yunani yang terlihat sangat maju. Selanjutnya akan dibahas sistem

bilangan Arab

B. Sistem Bilangan Arab (Arabic Numerals)

xxiii

Sistem penomoran yang digunakan disebagain besar dunia saat ini mungkin dikembangkan

di india, tetapi karena orang Arab yang mengirim sistem ini ke Barat maka di sebut dengan

angka arab. Angka india membentuk dasar dari sistem nomor Eropa yang saat ini sudah banyak

digunakan. Namun Orang Yunani tidak menularkan langsung drai india ke eropa, melainkan

datang pertama ke masyarakat islam dan dari ke Eropa. Kisah transmisi ini tidak sesederhana itu.

Bagian timur dan barat dari dunia Arab melihat perkembangan yang terpisah dari angka dengan

interaksi relatif sedikit antara keduanya. Dengan bagian Barat dari dunia Arab yang dimaksud

adalah daerah yang terdiri dari Afrika Utara dan Spayol. Transmisi ke Eropa datang melalui rute

Arab Barat, yaiti pertama kali melalui Spanyol. Setelah memperluas Islam di seluruh Timur

Tengah, orang Arab mulai mengasimilasi budaya dari masyarakat Orang Yunani lemah. Salah

satu pusat belajar terbesar adalah Baghdad, dimana ulam Arab, Yunani, Persia, Yahudi, dan

kelompok sarjan dari daerah Orang Yunani dan dimana seorang sarjana india muncul, membawa

sebuah risalah mengenai astronomi menggunakan sistem numerik india. Bangsa Arab tidak serta

merta mengambil alih sistem bilangan india. Namun, sistem bilangan yang berbeda digunakan

secara bersama di dunia Arab dalam jangak waktu yang panjang.

Angka Arab adalah sebutan untuk sepuluh buah digit (yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Angka-angka adalah keturunan dari angka india dan sistem angka Hindu-Arab yang

dikembangkan oleh matematikawan India, yang membaca urutan angka seperti "975" sebagai

satu bilangan yang utuh. Angka India kemudian diadopsi oleh matematikawan Persia di India,

dan diteruskan lebih lanjut kepada orang-orang Arab di sebelah Barat. Bentuk angka-angka itu

dimodifikasi di saat Orang Yunani diteruskan, dan mencapai bentuk Eropanya (bentuk yang

sekarang) pada saat mencapai Afrika Utara. Dari sana, penggunaan Orang Yunani menyebar ke

Eropa pada Abad Pertengahan. Penggunaan Angka Arab tersebar ke seluruh dunia melalui

perdagangan, buku dan kolonialisme Eropa. Saat ini, Angka Arab adalah simbol representasi

angka yang paling umum digunakan di dunia.

Sesuai dengan sejarah Orang Yunani, angka-angka (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) juga dikenal sebagai

Angka Hindu atau Angka Hindu-Arab. Alasan Orang Yunani lebih dikenal sebagai "Angka

Arab" di Eropa dan Amerika adalah karena Orang Yunani diperkenalkan ke Eropa pada abad

kesepuluh melalui bangsa Arab di Afrika Utara. Dahulu (dan sampai sekarang) digit-digit

tersebut masih dipergunakan oleh orang Arab Barat semenjak dari Libya hingga ke Maroko.

xxiv

Diisi lain, orang-orang Arab menyebut sistem tersebut dengan nama "Angka Hindu",yang

mengacu pada asal Orang Yunani di India. Namun demikian, angka ini tidak boleh dirancukan

dengan "Angka Hindu" yang dipergunakan orang-orang Arab di Timur Tengah

(٩.٨.٧.٦.٥.٤.٣.٢.١.٠), yang disebut dengan nama lain Angka Arab Timur; atau dengan angka-

angka lain yang saat ini dipergunakan di India (misalnya angka Dewanagari). Dalam bahasa

Inggris, dengan demikian istilah Angka Arab dapat menjadi bermakna ganda. Ia paling sering

digunakan untuk merujuk pada sistem bilangan digunakan secara luas di Eropa dan Amerika.

Dalam hal ini, Angka Arab adalah nama konvensional untuk seluruh keluarga sistem angka Arab

dan India. Kemungkinan lainnya ialah ia dimaksudkan untuk angka-angka yang digunakan oleh

orang Arab, dalam hal ini umumnya mengacu pada Angka Arab Timur.

Sistem desimal Angka Hindu-Arab ditemukan di India sekitar 500 Masehi.Sistem ini

revolusioner dalam hal ia memiliki angka nol dan notasi posisional. Hal tersebut dianggap

sebagai tonggak penting dalam pengembangan matematika. Seseorang dapat membedakan antara

sistem posisi ini, yang identik seluruh keluarga angka Hindu-Arab, dan bentuk penulisan (glyph)

tertentu yang digunakan untuk menulis angka, yang bervariasi secara regional. Glyph yang

paling umum yang digunakan bersama-sama dengan Abjad Latin sejak Abad Modern Awal

adalah 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Berikut adalah contoh dari bentuk awal dari angka India yang

digunakan dibagian Timut dari kerajaan Arab.

Gambar 2.8. Perubahan bentuk angka India

Selanjutnya, setelah kurang lebih 100 tahun angka tersbut

mangalami perubahan seperti berikut:

xxv

Perubahan tersebut terlihat bahwa 2 dan 3 telah dirotasi . Alasan untuk perubahan ini yang

munsul karena cara yang juru tulis dalam menulis. Orang Yunani menulis di gulungan yang

Orang Yunani tulis dari kana ke kiri saat Orang Yunani duduk bersila. Oleh karena itu para juru

tulis, bukannya menulis dari kanan ke kiri dengan cara standar yang arab tulis, melainkan

menulis dalam baris dari atas kebawah. Mungkin karena juru tulis tidak memiliki banyak

pengalaman pada saat penulisan angka india, Orang Yunani menulis 2 dan 3 putaran cara yang

benar ahli-ahli menulis Orang Yunani diputar oleh sehingga Orang Yunani akan muncul

dengan benar ketika golongan kitab itu diputar untuk di baca. Bentuk angka dibagian barat

kerajaan Arab terlihat lebih seperti angka Eropa yang digunakan saat ini yang tidak

mengherankan karena dari angka-angka yang sistem bilangan india mencapai Eropa, yaitu

seperti gambar dibawah ini

Leonardo da pisa atau leonardo pisano (1175-1250), dikenal juga sebagai fibonacci,

adalah seorang matematikawan italia yang dikenal sebagai penemu bilangan fibonacci dan

perannya dalam mengenakan sistem penulisan dan perhitungan bilangan arab ke dunia eropa.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien di bandingkan bilangan Romawi,

Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah meditirania untuk belajar kepada

matemetikawan Arab yang terkenal pada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-

an. Dari zaman dahulu hingga awal masa modern, sistem angka Arab hanya digunakan oleh para

ahli matematika. Ilmuwan muslim menggunakan sisten angka Babilonia, serta kalangan

pedagang memakai sistem angka Yunani dan juga Yahudi. Namun setelah kemunculan buku

Fibonacci yang berjudul Liber Abacci atau buku perhitungan, sistem angka dan perhitungan

Arab pun di pakai secara luas, padahal Fibonacci hanya menjadi ‘penyambung lidah’

Mohammad Bin Musa Al-khwarizmi, filsuf asal Khawarizmi, Iran, yang juga dikenal sebagai

ahli matematika, astronomi, dan geografi pada zamannya. Sistem notasi desimal yang di

kembangkannya ialah yang di gunakan oleh Fibonacci untuk menyusun karya monumentalnya

Gambar 2.9. symbol yang sampai ke Eropa

xxvi

itu. Buku ini menunjukkan kepraktisan bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam

pembukuan datang, konfersi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan

berbagai aplikasi alinnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan

dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebar luas

setelah ditemukannya percetakan sekitar 30 abad berikutnya.

Telah kita ketahui bahwa sistem bilangan Yunani itu merujuk pada matematika yang

ditulis dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Kemudian matematika Yunani

diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus dan Phytagoras dari Samos dan beberapa ilmuwan

matematika lainnya. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari

definisi dan aksioma, kemudian menggunakan kekuatan matematika untuk membuktikannya.

Sistem Yunani pertama kali kita kaji yaiyu sistem Acrophonic, yang berarti simbol untuk angka,

sehingga muncul simbol-simbol yang datang dari sebuah singkatan. Simbol yang ditemukan oleh

matematikawan Yunani antara lain 5, 10, 100, 1000, 10000. Kemudian matematikawan Yunani

mengemukakan jumlah acrophonic Yunani dari 1-10, dan simbol-simbolnya menyerupai angka

Romawi. Dari simbol-simbol yang ada, para matematikawan mengembangkan sebuah operasi

hitung, diantaranya tentang geometri, aritmatika, quadratrix, perbandingan seharga dan lain

sebagainya. Kemudian para ilmuwan juga nenulis bermacam-macam judul buku.

Angka Arab atau angka Hindu atau angka Hindu-Arab pertamakali dikembangkan oleh

matematikawan India, dimana urutan sepuluh digit (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), yang diturunkan dari

sistem angka Arab-Hindu. Angka-angka tersebut lebih tepat dikenal sebagai Hindu atau Hindu-

angka Arab. Angaka Arab adalah nama konvensional untuk selurun sistem terkait bahasa Arab

dan angka India, kemudian angka Hindu-Arab sistem desimal ditemukan di India sekitar 500

Masehi. Dari situ muncul bentuk awal dari India dibagian Timur dari kerajaan Arab yang

dikemukakan oleh Al-Sijzi, kemudian angka-angka yang sudah ada, diperbahurui kembali oleh

Al-Biruni.

xxvii

Sistem

Bilangan India

dan Sejarah Nol

Sampai saat ini masih banyak siswa yang hanya menerima mata pelajaran matematika begitu

saja. Oleh sebagian besar guru, mata pelajaran matematika diberikan begitu saja kepada para

siswa secara abstrak berupa simbol-simbol tidak secara real. Yang siswa tahu matematika itu

adalah mata pelajaran yang berhubungan dengan angka (0,1,2,3,4,5,...,dst). Mereka hanya

sebatas mengetahui angka-angka yang ada dan sudah berkembang menjadi bentuk yang kita

kenal sampai saat ini tanpa para siswa mengetahui bagaimana dan bagaimana asal usul angka-

angka tersebut. Angka-angka sekarang ini terkadang membuat tanda tanya mengapa harus

berbentuk seperti itu, karena konsep-konsep angka di masa sejarah awal jauh lebih nyata dari

konsep-konsep abstrak angka pada saat in

xxviii

A. Sistem Bilangan India

Terdapat dua aspek yang berbeda dari sistem bilangan di India. Aspek pertama yang akan

kita bahas yaitu tentang perkembangan angka-angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 menjadi bentuk yang kita

kenal sampai saat ini. Ini sangat penting untuk menyadarkan kita bahwa ada standar cara

penulisan angka. Contohnya pada komputer, pada font yang berbeda menghasilkan banyak

bentuk angka-angka yang meskipun dapat dikenali tetapi berbeda ukuran satu dengan yang

lainnya. Selain itu, versi tulisan tangan sangat banyak dan mungkin sulit untuk dikenali.

Dimulai dengan angka itu sendiri, setelah di Eropa pada abad ke 15 muncul percetakan

yang termotivasi standarisasi simbol. Orang-orang India mengambil simbol yang sering

digunakan oleh mereka. Akan tetapi kita tidak boleh lupa bahwa banyak negara menggunakan

simbol-simbol yang sangat berbeda dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 kecuali simbol yang benar-

benar mereka kenali, misalnya Yunani alfabet adalah seseorang yang tidak terbiasa dengan

angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Mengenai sejarah ditemukannya angka di India

Sekarang ini sudah diterima secara universal bahwa angka desimal berasal dari bentuk-

bentuk yang diciptakan India dan ditularkan melalui budaya Arab ke Eropa, dan mengalami

sejumlah perubahan dalam perkembangannya. Perbedaan penulisan angka yang berkembang di

India sebelum menjadi angka desimal, angka yang ada harus dirubah dengan menggunakan

prinsip tempat-nilai dari Babel untuk melahirkan sistem yang akhirnya menjadi angka yang salah

satunya kita gunakan saat ini.

Terdapat sedikit catatan otentik yang diketahui dari perkembangan matematika Hindu

kuno. Pada tahun 5000-an runtuhnya kota di Mohenjo daro, yang terletak di timur laut Karachi

yang sekarang ini menjadi Pakistan. Ditemukan Jalan-jalan yang sangat luas, rumah-rumah bata,

rumah apartemen dengan kamar mandi keramik, saluran kota, dan kolam renang masyarakat

yang menunjukkan peradaban maju seperti yang ditemukan ditempat lain di Timur kuno. Ini

merupakan awal masyarakat memiliki sistem tulisan, menghitung, menimbang, mengukur, serta

menggali saluran untuk irigasi. Semua itu sangat diperlukan dalam pemikiran matematika dan

rekayasa.

xxix

Salah satu sumber informasi penting tentang angka India berasal dari Al-Biruni. Pada

tahun 1020-an Al-Biruni melakukan beberapa kunjungan ke India. Sebelum ia pergi ke sana Al-

Biruni sudah tahu tenteng astronomi dan matematika di India berdasarkan terjemahan bahasa

Arab dari beberapa teks Sansekerta. Di India ia membuat studi rinci filsafat Hindu dan dia juga

belajar beberapa cabang ilmu pengetahuan dan matematika. Al-Biruni menulis 27 tulisan tentang

pekerjaan dan berbagai bidang ilmu-ilmu di India. Secara khusus tulisan astronomi dan

matematika di India merupakan sebuah kontribusi yang berharga bagi sebuah studi sejarah ilmu

pengetahuan di India. Mengacu pada angka India dalam sebuah buku terkenal yang di tulis

sekitar tahun 1030-an, Al-Biruni menulis :

Sementara kita menggunakan huruf untuk perhitungan numerik sesuai dengan nilai mereka (

orang India ), orang India sendiri tidak menggunakan huruf sama sekali untuk aritmatika. Dan

menggunakan seperti bentuk huruf yang mereka gunakan untuk menulis, yang di berbagai

wilayah negara mereka berbeda-beda, sehingga simbol-simbol numerik bervariasi.

Hal yang wajar untuk dipertanyakan di mana kita dapat melihat berbagai simbol untuk

angka Al-Biruni berasal. Sejarawan telah melacaknya dan akhirnya mereka semua kembali ke

angka Brahmi yang muncul sekitar pertengahan abad ketiga SM. Sekarang ini angka Brahmi

tidak hanya merupakan simbol untuk angka antara 1 sampai 9. Situasinya jauh lebih rumit karena

itu bukan sistem tempat-nilai sehingga simbol untuk angka lebih bervariasi. Sedangkan untuk

angka 2 dan 3 tidak ada simbol khusus.

Berikut ini adalah angka Brahmi satu, dua, dan tiga :

Angka Brahmi telah ditemukan dalam beberapa prasasti di gua-gua, selain itu juga terdapat pada

koin-koin di daerah dekat Poona, Bombay, dan Uttar Pradesh. Penemuan angka-angka ini

memberikan informasi kepada kita bahwa angka Brahmi digunakan selama jangka waktu yang

xxx

cukup panjang yaitu sampai abad ke-4 M. Jelas bahwa antara prasasti yang satu dengan yang

lainnya agak berbeda dalam gaya simbol.

Berikut ini adalah contoh salah satu gaya dari angka Brahmi yang sudah mengalami

perubahan:

Sekarang ini, kita harus bisa

melihat kedepan atau kebelakang

penampilan angka Brahmi. Jika

kita melihat kedepan yang mengarah ke berbagai bentuk angka, kita akan melihat penyebab

munculnya angka yanng kita gunakan sekarang ini . Bagaimanapun cara kita melihat sejumlah

teori yang berbeda mengenai asal-usul angka Brahmi.

Tidak akan ada masalah dalam memahami simbol untuk 1, 2 dan 3. Namun, untuk simbol 4 - 9

tidak akan menemukan kejelasan bagaimana hubungan dari simbol tersebut . Ada cukup banyak

teori yang dikemukakan oleh sejarawan selama bertahun-tahun tentang asal-usul angka, dalam

Ifrah daftar sejumlah hipotesis yang telah diajukan :

1. Angka Brahmi datang dari budaya lembah Indus sekitar 2000 SM.

2. Angka Brahmi berasal dari angka Aramaeman

3. Angka Brahmi berasal dari alfabet Karoshthi.

4. Angka Brahmi berasal dari alfabet Brahmi.

5. Angka Brahmi berasal dari sistem angka sebelumnya yaitu abjad.

6. Angka Brahmi berasal dari Mesir.

Terdapat dua buah hipotesis tentang asal-usul angka. Hipotesis yang pertama

menyatakan bahwa angka-angka berasal dari alfabet yang dalam cara penulisannya mirip dengan

angka Yunani yang merupakan huruf awal dari nama-nama angka. Hipotesis yang kedua

menyatakan bahwa angka-angka tersebut berasal dari sistem nomor sebelumnya seperti angka

Romawi. Misalnya angka Aramaean dari hipotesis 2 didasarkan pada I (satu) dan X (empat):

I, II, III, X, IX, IIX, IIIX, XX

Ifrah mengusulkan teori sendiri, yaitu bahwa:

... sembilan pertama angka Brahmi merupakan sisa-sisa dari sebuah notasi numerik tua

adat, dimana sembilan angka diwakili oleh angka yang sesuai garis-garis vertikal ... Untuk

xxxi

menggunakan angka ditulis dengan cepat, sehingga menghemat waktu. Selain itu, kelompok-

kelompok garis berkembang dalam banyak cara yang seperti digunakan orang-orang tua pada

angka Pharonic Mesir. Dengan mempertimbangkan jenis bahan yang ditulis di India selama

berabad-abad (pohon kulit kayu atau daun kelapa) dan keterbatasan alat-alat yang digunakan

untuk menulis (Calamus atau sikat), bentuk angka-angka menjadi lebih bervariasi dan lebih

rumit dengan ligatures banyak, sampai angka tidak lagi memiliki kemiripan apapun untuk

prototipe asli.

Ini adalah teori yang bagus dan mungkin saja benar, tetapi tampaknya harus benar-benar

ada bukti positif yang mendukung bahwa ide angka Brahmi berevolusi dari:

Seseorang mungkin berharap untuk menemukan bukti angka di suatu tempat di dalam

proses evolusi. Namun, akan muncul keyakinan bahwa kita tidak akan pernah menemukan bukti

yang dapat meyakinkan kita tentang bagaimana asal-usul angka Brahmi. Jika kita memeriksa

perjalanan yang dimulai dari angka Brahmi untuk simbol kita sekarang ini (dengan mengabaikan

sistem lain yang berevolusi dari angka Brahmi) maka selanjutnya kita akan menjumpai simbol

Gupta. Periode Gupta adalah selama dinasti Gupta memerintah negara Magadha di timur laut

India, ini berlangsung dari abad 4 sampai akhir abad 6. Angka Gupta dikembangkan dari angka

Brahmi dan tersebar di wilayah yang luas, yaitu wilayah taklukan kerajaan Gupta.

Di bawah ini merupakan contoh angka Gupta :

Angka Gupta berkembang menjadi angka Nagari, yang kadang-kadang disebut sebagai

angka Devanagari. Angka ini berkembang dari angka Gupta sekitar abad ke-7 dan terus

berkembang dari abad ke-11 dan seterusnya. Nama harfiahnya berarti "menulis para dewa" dan

itu dianggap bentuk paling indah dari semua revolusi bentuk-bentuk angka.

xxxii

Di bawah ini merupakan contoh angka Nagari :

Aspek kedua dari sistem bilangan di India yang ingin kita jabarkan, yaitu fakta tentang

sistem tempat-nilai dengan angka yang berdiri untuk nilai yang relatif berbeda, tergantung pada

angka lain. Meskipun sistem tempat-nilai di Babel merupakan keturunan langsung dari sistem

tempat-nilai di India, kita harus mencatat langsung bahwa India bukanlah yang pertama

mengembangkan sistem tersebut. Orang-orang Babel memiliki sistem tempat-nilai pada awal

abad ke-19 SM untuk basis 60. Sedangkan orang-orang India adalah yang pertama

mengembangkan sebuah sistem basis 10, dan menggunakan sistem tanggal Babilonia.

Dokumen tertua India tanggal yang berisi nomor yang tertulis dalam bentuk tempat-nilai

yang digunakan saat ini yaitu sebuah dokumen hukum 346 tanggal dalam kalender Chhedi yang

diterjemahkan ke tanggal 594 AD. Dokumen ini merupakan sebuah piagam sumbangan Dadda

III Sankheda di wilayah Bharukachcha. Satu-satunya masalah disini adalah beberapa ahli sejarah

menyatakan bahwa tanggal tersebut telah dirubah sebagai bentuk pemalsuan. Walaupun masalah

tersebut menimbulkan keraguan di dalam hati kita, tetapi setidaknya kita harus memiliki

keyakinan bahwa dokumen tersebut memberikan bukti bahwa sistem tempat-nilai telah

digunakan di India pada akhir abad ke-6.

Banyak dokumen-dokumen lain yang ditemukan dengan waktu penemuan dan

penggunaan sistem tempat-nilai yang baik di dalam beberapa teks. Antara lain :

1. sebuah piagam sumbangan Dhiniki 794 tanggal dalam kalender Vikrama yang diterjemahkan

ke dalam tanggal 737 AD.

2. sebuah prasasti dari 675 Devendravarman tanggal dalam kalender Shaka yang diterjemahkan

ke dalam tanggal 753 AD.

3. sebuah piagam sumbangan Danidurga 675 tanggal dalam kalender Shaka yang diterjemahkan

ke dalam tanggal 737 AD.

4. sebuah piagam sumbangan Shankaragana 715 tanggal dalam kalender Shaka yang

diterjemahkan ke dalam tanggal 793 AD.

xxxiii

5. sebuah piagam sumbangan Nagbhata 872 tanggal dalam kalender Vikrama yang

diterjemahkan ke dalam tanggal 815 AD.

6. sebuah prasasti dari 894 Bauka tanggal dalam kalender Vikrama yang diterjemahkan ke

dalam tanggal 837 AD.

Mungkin ada beberapa yang di klaim oleh para Sejarawan sebagai dokumen palsu, akan

tetapi kita tidak tahu pasti kebenaran bahwa mungkin saja ada beberapa dokumen yang asli.

Prasasti pertama yang tanggalnya tidak diperselisihkan adalah prasasti di Gwalior 933 tanggal

dalam kalender Vikrama yang diterjemahkan ke dalam tanggal 876 AD.

Selain itu, terdapat bukti tidak langsung yang menyatakan bahwa India mengembangkan

sistem tempat-nilai pada awal abad pertama Masehi. Bukti-bukti tersebut ditemukan dari prasasti

yang meskipun tidak berada di India, tetapi ditemukan di negara-negara asimilasi budaya India.

Sumber lain yang menjadi bukti adalah naskah yang berisi nomor Bakhshali yang ditulis dalam

tempat-nilai notasi.

Ada beberapa hal yang harus kita ketahui tentang mengapa India maju seperti sistem

nomor cerdik ketika Yunani kuno. Sejumlah teori telah dikemukakan mengenai hal tersebut.

Beberapa sejarawan percaya bahwa dasar Babel basis 60, sistem tempat-nilainya telah ditularkan

kepada orang India melalui Yunani. Yang dimaksud teori di sini adalah ide-ide yang

ditransmisikan ke India, kemudian menggabungkan ide-ide tersebut dengan sistem mereka

sendiri yaitu 10 angka dasar yang telah ada di India untuk waktu yang sangat lama.

Ide untuk tempat-nilai dalam sistem angka di India berasal dari Cina. Secara khusus, Cina

merupakan batang dari tempat-nilai angka semu yang diklaim oleh beberapa orang menjadi dasar

dari sistem tempat-nilai di India. Pandangan ini dikemukakan oleh Lay Yong Lam. Lam

berpendapat bahwa sistem Cina sudah terkandung apa yang dia sebut:

(i) sembilan tanda-tanda dan konsep nol,

(ii) sistem tempat-nilai, dan

(iii) basis desimal.

Hipotesis lain yang dikemukakan oleh Yusuf, menyatakan bahwa idenya adalah tempat-

nilai dalam sistem angka India adalah sesuatu yang dikembangkan sepenuhnya oleh India. Dia

memiliki teori yang menarik tentang mengapa orang India bisa mengembangkan sistem tempat-

xxxiv

nilai. Alasannya adalah Yusuf percaya dengan adanya daya tarik India dalam jumlah besar

tentang sistem tempat-nilai. Salah satu Sejarawan yang mendukung teori bahhwa ide tentang

sistem tempat-nilai datang dari orang India sendiri adalah Freudenthal. Untuk melihat lebih jelas

mengenai daya tarik India dalam jumlah yang besar, kita dapat melihat pada Lalitavistara yang

merupakan sejarah kehidupan Buddha Gautama.

Kisah tentang Lalitavistara Gautama meyakinkan Yusuf bahwa daya tarik India dalam

jumlah besar harus mendorong mereka menciptakan sebuah sistem angka di mana angka tersebut

mudah diungkapkan, yaitu penggunaan sistem tempat-nilai. Yusuf juga menulis seperti dibawah

ini :

... Sistem tempat-nilai desimal dikembangkan ketika jumlah desimal yang ada

kemudian dihubungkan dengan tempat-nilai angka yang diatur kiri ke kanan atau kanan ke kiri.

Dan ini merupakan sistem tempat-nilai di India...

Namun, cerita yang sama di Lalitavistara meyakinkan Kaplan bahwa India memiliki

“ide sistem tempat-nilai” yang berasal dari Yunani. Akan tetapi, yang harus kita tahu yaitu

bahwa sistem tempat-nilai dari India ada karena ditularkan melalui budaya Arab yang kemudian

ke Eropa. Sehingga India memiliki peranan penting dalam pengembangan matematika.dan

kepentingan besar pada pengembangan matematika.

B. HISTORY OF ZERO

Gambar 3.1. Tempat-tempat munculnya nol

matematika

xxxv

Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya

mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu

matematika. Sulit dibayangkan, apabila tidak ditemukan angka-angka tersebut. Menurut Abah

Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Alquran, catatan angka

pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal di

daerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM. Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun

lontar dengan tulisan hieroglif yang dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan

ke atas untuk puluhan, lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk

ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan

tangan. Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik. Bangsa

Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D, dan M, yang

dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad

pertengahan.Sementara itu menurut sejarah, angka romawi sudah ada sejak zaman romawi

kuno. Awalnya sistem perhitungannya diadaptasi dari sistem perhitungan milik bangsa Etruscan.

Begitu dengan angka- angkanya, mirip dengan angka- angka milik bangsa Etruscan (disimbolkan

berdasarkan huruf dan gambar). Angka- angka Etruscan susah buat ditulis maupun di baca,

akhirnya pada abad pertengahan angka romawi di sederhanakan. Contoh dalam bahasa Etruscan

tertulis angka- angka : I ^ X П 8 П . Dalam deretan angka romawi yang baru angka –angka itu

berubah menjadi : I V X L C M. Itulah keunikan angka romawi, kalau diperhatiin tidak ada

angka nol ( 0). Padahal konsep zero (0) sebagai angka sudah dikenal oleh bangsa Romawi sejak

agama Kristen muncul. Menurut pembuatan kalender kristiani, zero sangat penting untuk

menentukan hari paskah. Jadi, kemanakah angka 0 itu, angka nol diganti jadi huruf N. huruf N

itu singkatan dari Nulla, sebuah kata dalam bahasa latin yang memiliki arti Nothing atau tidak

ada.

Konsep nol sangat mengherankan dan membutuhkan pemikiran manusia meskipun

dengan waktu yang cukup lama untuk mendatangkan gagasan nol. Bahkan, meskipun

matematikawan mulai berpikir tentang konsep nol di tahun 2000-1800 SM tidak sampai sekitar

200-300 SM bahwa Babel menggunakan simbol yang akan berkembang menjadi nol yang

sekarang kita kenal. Ternyata matematikawan pertama matematikawan memahami konsep nol,

ada banyak ambiguitas tentang penulisan nomor. Misalnya simbol angka 3 ditulis, tidak ada cara

untuk membedakan antara 3, 30, 300, dan 3.000.000, sehingga zero dikenalkan sebagai

xxxvi

placeholder untuk mengindari ambiguitas ini. Konsep nol sebagai placeholder lebih dahulu

dikenal di India daripada di Babel. Placeholder sangat menarik untuk dipikirkan dan merupakan

sebuah gagasan yang relatif baru dalam matematika. Placeholder pertama kali disusun oleh orang

Babel dimana antara 2000 SM dan 1000 SM.

Hal pertama tentang nol adanya dua penggunaan nol yang keduanya sangat penting tetapi

agak berbeda. Pertama, nol sebagai indikator tempat kosong dalam sistem bilangan nilai tempat.

Penggunaan kedua dari nol adalah sebagai nomor sendiri dalam bentuk yang kita gunakan yaitu

sebagai nol. Ada juga aspek-aspek yang berbeda dari nol dalam dua penggunaan, yaitu konsep,

notasi, dan nama.

Orang berpikir bahwa suatu sistem bilangan nilai tempat muncul maka 0 sebagai

indikator tempat kosong adalah ide yang diperlukan. Hal ini menyebabkan tidak ada bukti bahwa

Babel merasa bahwa ada masalah dengan ambiguitas yang ada. Orang-orang babel menulis di

tanah liat menggunakan tulisan paku. Simbol ditekankan kedalam cetakan tanah liat lunak

dengan tepi miring sebuah stylus berbentuk baji.

Penggunaaan awal nol untuk menunjukkan tempat yang kosong sebenarnya tidak

menggunakan nol sebagai angka tetapi menggunakan beberapa jenis tanda baca sehingga angka

nol memiliki interpretasi yang tepat. Orang Yunani kuno mulai berkontribusi untuk matematika

selama nol merupakan indikator digunakan dalam matematika Babel. Namun orang Yunani

belum mengadopsi bilangan posisional. Euclid’s Elements berisi sebuah buku tentang teori

bilangan, hal ini didasarkan pada geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu

menamai angka karena nereka berkerja dengan angka sepanjang garis.

Dalam tiga buku penting matematikawan India, yaitu Brahmagupta, Mahavira dan

Bhaskara timbul masalah dalam mempertimbangkan nol dan angka negatif sebagai nomor dan

bagaimana beroperasi dengan operasi aritmatika, penambahan, pengurangan, perkalian,

pembagian.

1. Brahmagupta berusaha memberikan aturan untuk aritmatika yang melibatkan angka nol dan

angka negatif pada abad ketujuh. Dia menjelaskan bahwa pemberian nomor kemudian

mengurangi nomor itu sendiri maka akan mendapatkan nol.

xxxvii

2. Mahavira menulis Ganita saru samgraha yang dirancang sebagai pembuktian buku

Bramagupta.

3. Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Bhaskara mencoba

memecahkan masalah dengan menulis n/0 = ∞. Melihat tulisan Bhaskara mungkin kita akan

menganggap pernyataan tersebut benar tetapi pernyataan itu belum tentu benar. Jika hal itu

benar maka 0 x ∞ = n, sehingga semua nomor adalah sama.

Makna Filosofi Angka 0

Angka 0 memiliki arti filosofis dalam diri dan kehidupan kita.

Pertama, ketika kita mengartikan angka 0 sebagai kelipatan, maka 0 berarti titik tolak

untuk melipatgandakan kemampuan kita, serta hasil yang ingin kita capai dari proses upaya yang

kita pilih dalam menyikapi dan melakukan sesuatu. Upaya atau cara yang salah bisa

menghasilkan kesalahan atau melipatgandakan kerugian. Demikian pula sebaliknya, ketika

upaya kita benar atau baik, maka hasilnya adalah kebaikan yang berlipat dan kita menemukan

banyak kebenaran.

Kedua, dengan adanya angka 0, kita dapat mengenal nilai angka-angka lainnya. Angka 1

akan bernilai lebih besar jika diikuti angka 0 menjadi angka 10. Dalam skala 1-10, angka 10

merupakan nilai yang sempurna. Angka 0 membuat angka 1 lebih bernilai, dan angka 1 bisa

membuat angka 0 ada nilainya, yaitu 0 satuan. Hal ini menunjukkan arti bahwa sesuatu memiliki

manfaat, dan kebermanfaatan itu bisa dinilai ketika sesuatu tersebut mampu mengisi kekosongan

dan menutupi kekurangan. Tanpa memahami kekurangan, kita tidak akan menggali dan mencari,

serta memanfaatkan kelebihan kita untuk menutupi kekurangan tersebut. Tidak akan ada yang

sempurna tanpa adanya yang tak sempurna. Nilai manfaat inilah yang menjadikan sesuatu

bermakna dan penting dalam hidup kita hingga bisa menyirnakan kekosongan tersebut. Jika kita

resapi dan kita hayati, fungsi dan nilai kehidupan kita terletak pada memberi manfaat

Ketiga, angka 0 dalam sistem binary berarti tiada. Dalam filosofi agama, angka 0 bisa

diartikan sebagai kembalinya diri terhadap penyucian jiwa dan ketulusan hati, sehingga 0

merupakan titik keikhlasan dan penyerahan, mengosongkan dan merendahkan diri di hadapan

Tuhan. Keikhlasan ini menjadi dasar tumbuhnya upaya untuk menjaga hati dari penyakit hati,

xxxviii

mengikhlaskan hati untuk memaafkan dan menerima kekurangan dan ketidaksempurnaan dalam

diri dan hidup kita, bahkan memahami kekurangan orang lain.

Arti Angka Bilangan 0 dalam Kehidupan Sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari, angka nol memiliki arti dan peran penting dalam hubungan

sosial kita, hubungan vertikal dan spiritual kita dengan Allah, serta berperan banyak dalam

perhitungan dan penghitungan nilai materi dan keadaan yang kita hadapi. Kita mungkin sering

mendengar istilah “kembali ke titik nol” yang dapat menggambarkan sebuah kondisi

keterpurukan, musibah hingga bentuk kepasrahan dan penyerahan atas kehendak terbaik Yang

Maha Berkehendak. Hal ini memberikan makna bahwa titik nol tersebut merupakan awal atau

bahkan hakikat hidup manusia yang sebenarnya, tidak memiliki apa-apa karena semua yang

melekat pada dirinya hanyalah titipan semata-mata saat menjalankan peran kehidupannya.

Dalam penghitungan sehari-hari, angka nol yang hadir berurutan merupakan sebuah

kelipatan, bisa berlipat makin kecil atau makin besar. Misalnya, 0.1, 0.01, 0.001 dan seterusnya,

semakin banyak angka 0 di depan angka yang diikutinya, maka semakin kecil nilainya.

Sebaliknya, semakin banyak angka 0 mengikuti angka (1,2,3,4,5,6,7,8,9) di depannya baik

tunggal maupun tidak, maka semakin tinggi nilainya. Misalnya, dalam sistem keuangan dan

penilaian materi, angka 0 yang menempati 6 digit setelah angka 1 di depannya (1.000.000) tentu

lebih besar nilainya daripada 1.000 atau 300.000. Hal ini menunjukkan arti bahwa angka 0

meskipun berarti kosong akan bernilai jika menyertai angka-angka lainnya dan membentuk

sebuah kelipatan, baik kecil maupun besar.

xxxix

Sejarah Angka

Mesir dan Angka

Babilonia

Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 , sekitar tahun

1900 SM, Lembaran Matematika Rhind Mesir sekitar 2000-1800 SM dan Lembaran Matematika

Moskwa sekitar 1890 SM. Lembaran-lembaran tersebut merupakan bukti dari perkembangan

matematika Mesir dan Babilonia. Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal

sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan

paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri. Terlihat bahwa Matematika Mesir

dan Matematika Babilonia sudah berkemban sejak sangat lama. Pada bagian ini akan dibahas

sejarah matematika kedua peradaban ini, secara khusus tetang sejarah angka yang berkembang

di kegua tempat ini di masa lampau.

xl

A. Sejarah Angka Mesir

1. Bukti Sejarah Perkembanga Angka Mesir

Sistem angka-angka Mesir Kuno digunakan di Mesir Kuno hingga awal milenium

pertama Masehi. Itu adalah sistem desimal yang sering dibulatkan menjadi kekuatan yang lebih

tinggi, yang ditulis dalam hieroglif. Mesir Kuno menggunakan basis sepuluh. Mereka juga

menciptakan 365 hari kalender. Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran

Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes"), diperkirakan berasal dari tahun 1650

SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan

Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah petunjuk bagi pelajar aritmetika

dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, perbagian, dan

pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya,

termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; serta

pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu bilangan 6).

Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika

dan geometri.

Tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan paling

sederhana mengenai geometri analitik:

1. Cara memperoleh hampiran π yang akurat kurang dari satu persen.

2. Upaya kuno penguadratan lingkaran.

3. Penggunaan terdini kotangen.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa dari zaman Kerajaan

Pertengahan, kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali

ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang memiliki kepentingan khusus karena soal itu

memberikan metode untuk memperoleh volume limas terpenggal, misalnya "Limas terpenggal

setinggi 6 satuan panjang, yaitu 4 satuan panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Maka

Jalan keluarnya, anda menguadratkan 4, sama dengan 16. Anda menduakalilipatkan 4, sama

dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan 4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama

dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28, sama

dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya sama dengan 56. Anda memperoleh kebenaran."

Penyelasaian masalah tersebut terlihat di gambar di bawah ini.

xli

Gambar 4.1 Penyelesaian masalah dalam lembaran Moskow dan gambaran modernnya

Rumus umum untuk frustum jelas diketahui oleh Mesir, yaitu :

Misalnya b1 = 0 , Kita peroleh rumus

Selnjutnya lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno dapat

menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.

Perhitungan matematika tertua yang ditemukan berasal dari periode Naqada, yang juga

menunjukkan bahwa bangsa Mesir ketika itu telah mengembangkan sistem bilangan. Nilai

penting matematika bagi seorang intelektual saat itu digambarkan dalam sebuah surat fiksi dari

zaman Kerajaan Baru. Pada surat itu, penulisnya mengusulkan untuk mengadakan kompetisi

antara dirinya dan ilmuwan lain berkenaan masalah penghitungan sehari-hari seperti

penghitungan tanah, tenaga kerja, dan padi.

Teks seperti Papirus Matematika Rhind dan Papirus Matematika Moskwa menunjukkan

bahwa bangsa Mesir Kuno dapat menghitung empat operasi matematika dasar penambahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian menggunakan pecahan, menghitung volume kubus dan

pyramid. Mereka memahami konsep dasar aljabar dan geometri.

Bangsa Mesir kuno merupakan peradaban pertama yang berlatih seni ilmiah. Kata kimia

berasal dari kata yang Alkimia yang merupakan nama kuno untuk Mesir. Dimana orang Mesir

xlii

itu benar-benar unggul dalam ilmu kedokteran dan diterapkan dalam matematika. Tetapi

meskipun ada tubuh besar literatur papyrus yang menggambarkan prestasi mereka di bidang

kedokteran, tidak ada catatan pasti tentang bagaimana mereka mencapai kesimpulan matematika

mereka. Tentu saja mereka harus memiliki pemahaman lanjutan dari subjek karena eksploitasi

mereka di bidang teknik, astronomi dan administrasi tidak akan mungkin terjadi tanpa itu.

2. Sistem Desimal Pada Angka Mesir

Sistem angka-angka Mesir Kuno digunakan di Mesir Kuno hingga awal milenium

pertama Masehi. Itu adalah sistem desimal yang sering dibulatkan menjadi kekuatan yang lebih

tinggi, yang ditulis dalam hieroglif.

Mesir memiliki sistem desimal menggunakan tujuh simbol yang berbeda, meliputi:

1 ditunjukkan dengan satu pukulan.

10 ditunjukkan oleh gambar seorang pincang untuk ternak.

100 diwakili oleh kumparan tali.

1.000 adalah sebuah gambar dari tanaman teratai.

10.000 diwakili oleh jari.

100.000 oleh kecebong atau katak

1.000.000 adalah sosok seorang dewa dengan tangan terangkat di atas kepalanya.

Untuk lebih memperjelas keterangan diatas, disajikan gambar sebagai berikut:

Gambar 4.2. Simbol angka Mesir

Hieroglif merupakan gambar-gambar kecil yang mewakili kata-kata. Sangat mudah untuk

melihat bagaimana mereka akan menggambarkan kata "burung" dengan gambar kecil seekor

burung tetapi jelas tanpa pengembangan lebih lanjut sistem menulis ini tidak dapat mewakili

banyak kata. Untuk Mengatasi masalah ini, bangsa Mesir kuno menggunakan suara kata-kata

xliii

yang diucapkan. Sebagai contoh, untuk menggambarkan ide dengan kalimat bahasa Inggris, kita

dapat melihat bagaimana kalimat "Aku mendengar anjing menggonggong" mungkin diwakili

oleh: "mata", "telinga", "kulit pohon" "kepala dengan mahkota" +, "anjing". Tentu saja simbol

yang sama mungkin berarti sesuatu yang berbeda dalam konteks yang berbeda, sehingga "mata"

bisa berarti "melihat" sementara "telinga" mungkin berarti "suara".

Mesir memiliki sistem basis 10 hieroglyphs (tulisan mesir kuno) untuk angka. Dengan ini

berarti bahwa mereka memiliki simbol terpisah untuk satu unit, satu sepuluh, seratus, seribu,

sepuluh ribu satu, seratus ribu, dan satu juta. Untuk membuat nomor 276, misalnya, lima belas

simbol yang diperlukan: dua "ratus" simbol, tujuh "sepuluh" simbol, dan enam "unit" simbol.

Angka-angka muncul demikian:

Perhatikan bahwa contoh-contoh 276 dan 4622 dalam hieroglif terlihat pada batu ukiran

dari Karnak, berasal dari sekitar 1500 SM, dan sekarang ditampilkan di Louvre di Paris.

3. Pecahan Pada Angka Mesir

Bilangan rasional juga bisa diungkapkan, tetapi hanya sebagai jumlah dari fraksi sauan,

kecuali untuk

dan

. Para tulisan rahasia yang menunjukkan sebagian kecil tampak seperti

mulut, yang berarti "bagian":

Pecahan itu ditulis dengan solidus pecahan, yaitu, pembilang 1 dan penyebut positif di bawah ini.

Jadi,

ditulis sebagai:

xliv

Ada simbol khusus untuk

dan selama dua non-unit pecahan,

(sering digunakan) dan

(jarang

digunakan):

4. Penambahan dan Pengurangan

Untuk tanda tambah dan kurang hieroglif adalah dan , digunakan jika kaki

menunjuk ke arah tulisan, itu menandakan jika pengurangan. Seperti kebanyakan bahasa modern,

bahasa Mesir kuno juga bisa menulis angka sebagai kata-kata fonetis, seperti salah satunya dapat

menulis “tiga puluh” bukan "30" dalam bahasa inggris, ditulis sebagai berikut:

5. Angka Keramat Dalam Angka Mesir

Nomor sistem lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan di papyrus

adalah angka keramat. Ada simbol terpisah untuk:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900,

1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000

Hieroglif tidak tetap sama selama dua ribu tahun atau lebih peradaban Mesir kuno. peradaban ini

dibagi menjadi tiga periode berbeda:

1. Old Kingdom - sekitar 2700 SM sampai 2200 SM

2. Middle Kingdom - sekitar 2100 SM sampai 1700 SM

3. New Kingdom - sekitar 1600 SM sampai 1000 SM

Berikut adalah versi dari angka keramat:

xlv

Gambar 4.4. Versi angka Keramat dalam Angka Mesir

Dengan sistem ini nomor dapat dibentuk dari beberapa simbol. Nomor 9999 baru saja 4 simbol

tangan bersambung bukan 36 hieroglif. Berikut adalah salah satu cara orang Mesir menulis 2765

dalam angka keramat:

Berikut adalah cara kedua tulisan tangan bersambung dalam angka 2765 dengan pesanan

terbalik:

B. Sejarah Angka Babilonia

Peradaban Babilonia di Mesopotamia menggantikan peradaban Sumeria dan peradaban

Akkadia. Babilonia mengenal (basis 60) untuk mengamati astronomi dan perhitungan dibantu

xlvi

oleh penemuan mereka tentang sempoa. Sistem sexagesimal ini pertama kali muncul sekitar

3100 SM. Angka Babilonia ditulis dalam huruf paku, menggunakan baji-tip buluh stylus.

Hal ini juga diakui sebagai yang pertama dikenal yaitu sistem angka posisional , di mana

nilai digit tertentu tergantung pada angka itu sendiri dan posisinya dalam angka tersebut. Ini

merupakan perkembangan yang sangat penting, karena yang memerlukan simbol-simbol unik

untuk mewakili masing-masing kekuatan basis (sepuluh, seratus, seribu, dan sebagainya).

Simbol untuk menghitung unit dan menghitung puluhan. Simbol-simbol dan nilai-

nilai mereka digabung untuk membentuk sebuah digit dalam nilai notasi tanda, cara yang mirip

dengan angka Romawi, misalnya, kombinasi mewakili digit 23. Sebuah ruang yang

tersisa untuk menunjukkan tempat tanpa nilai. Babilonia kemudian menemukan tanda untuk

mewakili tempat kosong. Mereka tidak memiliki simbol untuk fungsi titik radix, sehingga

tempat unit harus disimpulkan dari konteks: bisa mewakili 23 atau 23 × 60 atau 23 × 60 ×

60 atau

, dll

Sistem dengan jelas digunakan internal desimal untuk mewakili angka, tetapi tidak benar-

benar campuran-radix sistem basis 10 dan 6, digunakan hanya untuk memfasilitasi representasi

dari himpunan besar angka yang dibutuhkan, sementara tempat nilai dalam sebuah digit secara

konsisten basis 60 dan aritmetika yang dibutuhkan untuk bekerja dengan angka itu Sejalan

sexagesimal.

Warisan sexagesimal masih bertahan sampai hari ini, dalam bentuk derajat (360° dalam

lingkaran atau 60° di sudut sebuah segitiga sama sisi), menit dan detik dalam trigonometri serta

pengukuran waktu, walaupun kedua sistem ini radix sebenarnya adalah campuran.

Sebuah teori umum adalah bahwa 60 sebuah angka komposit (yang sebelumnya dan

berikutnya dalam seri menjadi 12 dan 120), dipilih karena perusahaan faktorisasi prima : 2 × 2 ×

3 × 5, yang membuatnya habis dibagi oleh 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 , 12, 15, 20, dan 30. Bahkan, itu

adalah bilangan bulat terkecil yang habis dibagi semua bilangan bulat 1-6. Integer dan fraksi

diwakili identik sebuah titik radix tidak ditulis melainkan dijelaskan oleh konteks.

1. Sistem Bilangan Babilonia

Babilonia tidak memiliki digit, atau konsep, jumlah nol. Meskipun mereka memahami ide

ketiadaan , tidak dilihat sebagai hanya-kurangnya jumlah nomor. Babilonia memiliki justru spasi

xlvii

(dan kemudian simbol placeholder ) Untuk menandai tidak adanya digit dalam nilai tempat

tertentu.

Berikut adalah 59 simbol angka babylonia yang dibangun dari dua symbol :

Gambar 4.5. Simbol Angka Babilonia

Misalnya 12345 desimal merupakan

1 1 10 4 + 2 10

4 + 2 10

3 + 3 10

3 + 3 10

2 + 4 10

2 + 4 10 + 5 10 + 5.

Jika orang berpikir tentang hal ini mungkin tidak logis karena kita membaca dari kiri ke

kanan sehingga ketika kita membaca digit pertama kita tidak tahu nilainya sampai kita telah

membaca nomor lengkap untuk mengetahui berapa banyak kekuatan dari 10 yang berkaitan

dengan tempat pertama. Sistem posisi Babilonia sexagesimal tempat angka dengan konvensi

yang sama, sehingga posisi yang paling kanan adalah untuk unit ke 59, posisi satu ke kiri adalah

selama 60 n di mana 1 ≤ n ≤ 59, dll Sekarang kita mengadopsi notasi yang memisahkan angka

dengan koma begitu, misalnya, 1,57,46,40 merupakan jumlah sexagesimal

1 1 60 3 + 57 60

3 + 57 60

2 + 46 60

2 + 46 60 + 40 60 + 40

yang, dalam notasi desimal adalah 424.000.

Berikut ini adalah 1,57,46,40 dalam angka Babilonia

xlviii

Sekarang ada masalah potensial dengan sistem. Sejak dua diwakili oleh dua karakter

masing-masing mewakili satu unit, dan 61 diwakili oleh karakter satu untuk unit di tempat

pertama dan kedua karakter yang identik untuk unit di tempat kedua maka jumlah sexagesimal

Babel 1,1 dan 2 basisnya representasi yang sama. Namun, ini bukan masalah karena jarak satu

karakter diperbolehkan untuk membedakannya. Dalam simbol selama karakter yang mewakili

unit sentuhan satu sama lain dan menjadi simbol tunggal. Dalam jumlah 1,1 ada ruang antara

mereka.

Masalah yang jauh lebih serius adalah kenyataan bahwa tidak ada nol untuk dimasukkan

ke dalam posisi kosong. Jumlah angka sexagesimal 1 dan 1,0, yaitu 1 dan 60 dalam desimal,

memiliki representasi yang persis sama dan sekarang tidak ada cara yang bisa membantu.

Konteks itu menjelaskan, ini muncul sangat tidak memuaskan, tidak bisa ditemukan

sehingga oleh orang Babilonia. Bagaimana kita tahu ini? Jika mereka benar-benar menemukan

bahwa sistem yang disajikan dengan ambiguitas nyata mereka akan memecahkan masalah ada

sedikit keraguan bahwa mereka memiliki keterampilan untuk solusi system yang sudah tidak bisa

dijalankan. Mungkin kita harus menyebutkan di sini bahwa peradaban Babilonia itu kemudian

menciptakan simbol untuk menunjukkan tempat yang kosong sehingga kurangnya nol tidak bisa

benar-benar memuaskan kepada mereka.

Tempat kosong di tengah angka juga memberi masalah. Meskipun bukan komentar yang

sangat serius, mungkin layak berkomentar bahwa jika berasumsi bahwa semua angka desimal

sama-sama mungkin di kemudian ada satu kesempatan sepuluh tempat yang kosong sedangkan

untuk Babilonia dengan sistem sexagesimal mereka ada enam puluh satu kesempatan. Kembali

ke tempat-tempat kosong di tengah-tengah angka kita bisa melihat pada contoh-contoh nyata di

mana hal ini terjadi.

Berikut adalah contoh dari sebuah tablet yang berbentuk baji (sebenarnya AO 17.264

dalam koleksi Louvre di Paris) di mana perhitungan untuk persegi 147 dilakukan. Di

sexagesimal 147 = 2,27 dan penguadratan angka 21609 = 6,0,9. Dalam sexagesimal 147 = 2,27

dan menegakkan memberikan jumlah 21.609 = 6,0,9.

xlix

Berikut adalah contoh Babel 2,27 kuadrat

Mungkin sedikit ruang kiri lebih dari biasanya antara 6 dan 9 daripada yang dilakukan

telah mewakili 6,9.

Sekarang jika ruang kosong menyebabkan masalah dengan bilangan bulat maka ada

masalah yang lebih besar dengan pecahan sexagesimal Babilonia. Orang-orang Babilonia

menggunakan sistem pecahan sexagesimal mirip dengan pecahan desimal kami. Sebagai contoh

jika kita menulis 0,125 maka ini adalah

. Tentu saja sebagian kecil dari

bentuk

, dalam bentuk terendah, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal terbatas jika

dan hanya jika b tidak mempunyai pembagi prima selain 2 atau 5. Jadi

tidak mempunyai

pecahan desimal terbatas. Demikian pula fraksi sexagesimal Babel 7,30 diwakili

yang

ditulis dalam notasi adalah

. Karena 60 habis dibagi oleh, bilangan prima 2 3 dan 5 kemudian

sejumlah bentuk

, dalam bentuk terendah, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal

terbatas jika dan hanya jika b tidak mempunyai pembagi prima selain 2, 3 atau 5. Beberapa

sejarawan berpikir bahwa penelitian ini memiliki pengaruh langsung terhadap mengapa

Babilonia mengembangkan sistem sexagesimal, daripada sistem desimal. Jika ini adalah kasus

mengapa tidak memiliki 30 sebagai basis.

Notasi yang akan digunakan untuk menunjukkan sejumlah sexagesimal dengan bagian

pecahan. Untuk menggambarkan 10,12,5; 1,52,30 merupakan jumlah 10 10 602 + 12 60

2

+ 12 60 + 5 +

.

Yang dalam notasi adalah 36.725

. Ini bagus tapi telah memperkenalkan notasi dari titik

koma untuk menunjukkan mana bagian bilangan bulat berakhir dan bagian pecahan dimulai. Ini

adalah titik "sexagesimal" dan memainkan peran serupa untuk titik desimal. Namun, Babilonia

tidak memiliki notasi untuk menunjukkan mana bagian bilangan bulat berakhir dan bagian

pecahan dimulai. Oleh karena itu ada banyak ambiguitas diperkenalkan dan "konteks membuat

filsafat". Jika saya menulis 10, 12, 5, 1, 52, 30 tanpa memiliki notasi untuk jalur "sexagesimal"

maka bisa berarti salah satu dari:

0;10,12, 5, 1,52,30 0; 10,12, 5, 1,52,30

l

10;12, 5, 1,52,30 10, 12, 5, 1,52,30

10,12; 5, 1,52,30 10,12; 5, 1,52,30

10,12, 5; 1,52,30 10,12, 5; 1,52,30

10,12, 5, 1;52,30 10,12, 5, 1; 52,30

10,12, 5, 1,52;30 10,12, 5, 1,52; 30

10,12, 5, 1,52,30 10,12, 5, 1,52,30

selain itu, tentu saja, sampai 10, 12, 51, 52, 30, 0 atau 0, 0, 10, 12, 51, 52, 30 dll

Akhirnya kita harus melihat pada pertanyaan mengapa orang Babilonia memiliki sistem

bilangan dengan basis 60. Jawaban mudah adalah bahwa mereka mewarisi basis 60 dari. Hal itu

hanya membawa kita untuk bertanya mengapa digunakan Sumeria 60 dasar. Komentar pertama

adalah yakin bahwa sistem sexagesimal berasal dari Sumeria. Titik kedua adalah bahwa

matematika modern bukan yang pertama mengajukan pertanyaan seperti itu. Theon dari

Alexandria mencoba menjawab pertanyaan ini pada abad keempat Masehi dan banyak sejarawan

matematika telah menawarkan pendapat sejak itu tanpa datang dengan benar-benar meyakinkan

jawaban.

Neugebauer mengusulkan teori berdasarkan bobot dan ukuran yang digunakan Sumeria.

Dasarnya adalah bahwa sistem penghitungan desimal itu diubah ke basis 60 untuk

memungkinkan membagi bobot dan ukuran menjadi tiga. Tentu saja kita tahu bahwa sistem

bobot dan ukuran dari Sumeria memang menggunakan

dan

sebagai pecahan dasar.

Beberapa teori telah berdasarkan peristiwa astronomi. Usulan bahwa 60 adalah produk

dari jumlah bulan dalam tahun (bulan per tahun), dengan jumlah planet (Merkurius, Venus,

Mars, Jupiter, Saturnus) tampaknya jauh diambil sebagai alasan untuk basis 60. Itu tahun itu

diperkirakan memiliki 360 hari disarankan sebagai alasan untuk dasar jumlah 60 dengan

sejarawan matematika Moritz Cantor. Sekali lagi ide yang tidak meyakinkan Sumeria tentu tahu

bahwa tahun lebih panjang dari 360 hari. Kekhawatiran lain hipotesis bahwa matahari bergerak

melalui diameter 720 kali dalam sehari dengan 12 jam orang Sumeria dalam sehari.

Beberapa teori didasarkan pada geometri. Sebagai contoh satu teori adalah bahwa sebuah

segitiga sama sisi dianggap sebagai blok bangunan dasar geometri oleh Sumeria. Sudut segitiga

sama sisi adalah 60° jadi jika ini dibagi menjadi 10, sudut 6° akan menjadi unit sudut dasar.

Sekarang ada enam puluh unit-unit dasar dalam lingkaran sehingga lagi kita memiliki alasan

yang diajukan untuk memilih 60 sebagai dasar.

li

Semua alasan ini benar-benar tidak layak dipertimbangkan serius. Tetapi "memilih 60

sebagai basis" yang baru saja digunakan adalah sangat signifikan. Hanya tidak percaya bahwa

ada orang yang memilih basis angka peradaban apapun. Alasannya harus melibatkan cara

menghitung muncul dalam peradaban Sumeria, seperti 10 menjadi dasar dalam peradaban lain

yang mulai menghitung di jari-jari mereka, dan dua puluh menjadi dasar bagi mereka yang

dihitung pada kedua jari dan jari kaki.

Berikut adalah salah satu cara yang bisa terjadi. Satu dapat menghitung sampai 60 dengan

menggunakan dua tangan. Di tangan kiri terdapat tiga bagian pada masing-masing empat jari

(tidak termasuk jempol). Bagian ini dibagi satu sama lain oleh sendi di jari. Sekarang orang bisa

menghitung sampai 60 dengan menunjuk salah satu dari dua belas bagian jari-jari tangan kiri

dengan salah satu dari lima jari-jari tangan kanan. Hal ini memberikan cara menghitung jari

hingga 60 daripada 10.

Varian ini telah dibuat oleh orang lain. Mungkin teori yang diterima paling banyak

mengusulkan bahwa peradaban Sumeria harus muncul melalui penggabungan dua orang, satu di

antaranya basis 12 untuk menghitung mereka dan memiliki dasar lainnya 5. Meskipun 5 adalah

tidak seperti yang biasa seperti 10 sebagai dasar jumlah antara orang kuno, tidak jarang dan jelas

digunakan oleh orang yang dihitung dengan jari satu tangan dan kemudian mulai lagi. Teori ini

kemudian menduga bahwa sebagai dua masyarakat campuran dan dua sistem penghitungan yang

digunakan oleh anggota berbeda dari perdagangan masyarakat satu sama lain maka basis 60 akan

muncul secara alami sebagai sistem.

Teori yang sama diusulkan tetapi dengan dua orang yang diramu untuk menghasilkan 10

dan 6 sebagai basis jumlah mereka. Versi ini memiliki keuntungan bahwa ada unit alami. 10

dalam sistem Babilonia yang orang bisa berdebat adalah sisa dari sistem desimal. Salah satu hal

terbaik tentang teori-teori ini adalah bahwa hal itu mungkin untuk menemukan bukti tertulis dari

kedua sistem pencampuran dan dengan demikian memberikan dasarnya akan berjumlah bukti

dugaan itu. Jangan berpikir sejarah sebagai subyek mati. Pada pandangan sebaliknya kita terus

berubah sebagai penelitian terbaru membawa bukti baru dan interpretasi.

Dari pembahasan diatas didapat bahwa pada angka Mesir Kuno menggunakan sistem

bilangan berbasis 10 (tahun 300 SM). Pada Tahun 3100 SM telah mengenal sistem bilangan dan

simbol, Mengenai perhitungan volume dari sebuah limas yang ada pada papirus Moscow, Orang

lii

Mesir mempunyai kalender sejak 4.800 SM, tapi pada 4.200 SM matematika dan astronomi

mereka menghasilkan 365 hari kalender (12 bulan + 30 hari + 5 hari-hari raya).

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan sexagesimal (basis 60).

Penomorannya dimulai antara 3000 dan 2000 SM, digunakan hanya dua angka yaitu 1 dan 10.

Untuk angka 1 sampai 59 sistem ini merupakan sistem aditif, dan angka kurang dari 60 dibuat

dengan menggabungkan simbol 1 dan 10.

Selain itu ternyata pada sejarah angka babilonia dan Mesir Mengenal tripel Pythagoras,

yaitu Jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miring. Hubungan ini

telah dikenal sejak zaman Babilonia dan Mesir kuno, meskipun mungkin belum dinyatakan

secara eksplisit seperti sekarang ini.

liii

Angka China adalah salah satu angka yang bersejarah di dunia. Lahirnya angka China tidak

hanya mendorong maju perkembangan kebudayaan China, tetapi juga menimbulkan pengaruh

menjangkau terhadap perkembangan kebudayaan di dunia. Saat ini sebagian besar orang hanya

mengetahui angka China yang sudah ada dan berkembang menjadi bentuk yang kita kenal

sampai sekarang, tanpa berusaha mencari tahu mengenai sejarah angka china tersebut dan tokoh-

tokoh yang mengembangkannya, penting bagi kita untuk mengetahuinya. Berikut akan dibahas

asal mula angka Cina, bentuk dari angka Cina, dan munculnya sempoa Cina yang sangat

terkenal.

liv

A. Asal Mula Angka China

Pada tahun 1899 ribuan tulang dan kulit kura-kura ditemukan di desa Xiao Dun yang

berada di provinsi Henan. Ribuan tulang dan kulit kura-kura ditemukan ada yang telah ditulis

dengan karakter Cina kuno. Pada akhir pemerintahan Raja Shang pada tahun 1045 SM tulang

dan kulit kura-kura digunakan sebagai bagian dari upacara keagamaan. Pertanyaan yang tertulis

pada salah satu sisi cangkang kura-kura, kemudian cangkang tersebut dipanaskan dengan api

sehingga muncul retakan yang ditafsirkan sebagai jawaban dari nenek moyang atas pertanyan-

pertanyaan tersebut.

Pentingnya penemuan tentang sistem bilangan kuno Cina, banyak ditemukannya prasasti

yang berisi informasi numerik tentang orang hilang dalam pertempuran, tawanan yang diambil

dalam pertempuran, jumlah korban, jumlah binatang yang dibunuh pada saat berburu, dan

jumlah hari atau bulan, dll.

Sistem angka china yang paling tua adalah angka Suzhou atau sistem Huama. Ini adalah

salah satu variasi yang masih hidup dari sistem angka batan. Sistem ini populer hanya di pasar

China, seperti di Hong Kong sebelum tahun 1990-an.

Angka Suzhou berasal dari semacam angka batang di China kuno, tetapi berbeda dari

batang perhitungan untuk tujuan matematika dan rekayasa. Angka Suzhou digunakan untuk

tujuan akuntansi dan bisnis. Ini jauh lebih mudah daripada sistem bilangan resmi China. simbol

angka Suzhou terlihat seperti gambar dibawah ini

Gambar 5.1. Simbol Angka Suzhou

lv

B. Bentuk dan Simbol Angka China

Sistem bilangan yang digunakan untuk mengungkapkan info numerik didasarkan pada

sifat aditif dan perkalian. Berikut adalah symbol-simbol yang digunakan :

Gambar 5.2. Simbol-simbol yang digunakan dalam system bilangan Cina

Dengan memiliki sifat-sifat perkalian angka 200 diwakili oleh simbol 2 dan simbol 100, 300

diwakili oleh simbol 3 dan simbol 100, 400 diwakili oleh simbol 4 dan simbol 100, dll.

Demikian pula 2000 diwakili oleh simbol 2 dan simbol 1000, 3000 diwakili oleh simbol 3 dan

simbol 1000, 4000 diwakili oleh simbol 4 dan simbol 1000, dll. Ada juga simbol untuk 10000

yang tidak termasuk dalam ilustrasi di atas tapi mengambil bentuk kalajengking. Namun angka

yang lebih besar belum ditemukan, jumlah terbesar ditemukan pada tulang Shang dan kulit kura-

kura adalah 30000. Sifat aditif dari sistem ini adalah simbol-simbol yang disandingkan untuk

menunjukkan penambahan, sehingga 4.359 diwakili oleh simbol untuk 4000 diikuti dengan

simbol 300, diikuti oleh simbol 50 diikuti dengan simbol 9. Berikut adalah cara untuk menulis

bilangan 4.359 :

lvi

Karena belum banyak bilangan yang diilustrasikan di atas, di sini adalah salah satu contoh lebih

lanjut dari sejumlah dogmatis Cina. Berikut adalah bilangan 8.873:

Ada pertanyaan menarik yang dapat kita pertimbangkan dari sistem bilangan ini. Dari penjelasan

bilangan 1, 2, 3, 4 representasinya masih sedikit, tetapi mengapa simbol-simbol tertentu yang

digunakan untuk digit lain jauh lebih jelas. Kemudian diajukan dua teori utama. Teori pertama,

menyatakan simbol fonetik. Misalnya, bilangan Sembilan tampak seperti kail ikan maka bunyi

kata untuk ”sembilan” dalam bahasa China kuno dekat dengan bunyi kata 'kail ikan'. Sedangkan

simbol untuk bilangan 1000 adalah "manusia" jadi kata ”ribu” dalam bahasa China kuno dekat

dengan bunyi kata untuk ”manusia”.

Teori kedua berisi tentang simbol-simbol nyata bahkan semua tulisan dalam periode Shang

Akhir yang digunakan sebagai bagian dari upacara keagamaan. Teori ini menunjukkan bahwa

simbol angka memiliki signifikansi agama. Kemungkinan simbol-simbol yang dijelaskan oleh

teori pertama juga dijelaskan dalam teori kedua.

Simbol diilustrasikan sedikit berevolusi dari waktu ke waktu tetapi bentuknya masih

stabil. Namun bentuk kedua dari angka China mulai digunakan dari abad ke-4 SM, ketika papan

penghitungan mulai digunakan. Sebuah papan menghitung terdiri dari sebuah papan perhitungan

dengan baris dan kolom. Bilangan diwakili oleh batang kecil yang terbuat dari bambu atau

gading. Sejumlah bilangan dibentuk berturut-turut dengan unit ditempatkan dikolom paling

kanan, puluhan di kolom sebelah kiri, ratusan di kolom sebelah kiri. Satu dikolom paling kanan

diwakili 1, sementara satu di kolom sebelah kiri diwakili 10 dll. \

Angka 1 sampai 9 dibentuk dari batang dengan cara yang alami. Berikut adalah dua

representasinya:

lvii

Gambar 5.3. Representasi angka 1-9 dalam angka Cina

Masalah terbesar dengan notasi ini adalah dapat menyebabkan kebingungan. Misalnya, angka | |

|? Itu bisa 3, atau 21, atau 12, atau bahkan111. Orang Cina memiliki cara cerdas untuk

menghindari masalah ini. Mereka menggunakan kedua bentuk angka-angka yang diberikan

dalam ilustrasi di atas. Dalam kolom unit mereka gunakan formulir dibaris bawah, sementara

dikolom puluhan mereka gunakan formulir di baris atas, terus bergantian. Sebagai contoh 1234

diwakili pada papan penghitungan dengan notasi:

dan 45.698 dinotasikan dengan:

Angka nol tidak perlu diisi pada papan perhitungan sehingga dibiarkan kosong. Bentuk

pergantian dari bilangan untuk menunjukkan bahwa memang ada spasi.

Misalnya 60.390 akan direpresentasikan sebagai:

Teks aritmatika kuno menggambarkan bagaimana melakukan operasi aritmatika pada

papan penghitungan. Misalnya Sun Zi, dalam bab pertama dari suanjing Sun zi (Manual

lviii

matematika Sun Zi), memberikan instruksi menggunakan batang menghitung sampai

mengalikan, membagi, dan menghitung akar kuadrat.

Xiahou Yang 's Xiahou suanjing Yang ( Xiahou Yang's Manual Matematika) ditulis

dalam abad ke 5 Masehi mencatat bahwa untuk memperbanyak bilangan 10, 100, 1000 atau

10.000 semua yang perlu dilakukan adalah batang pada menghitung papan dipindahkan ke kiri

oleh 1, 2, 3, atau 4 kotak. Demikian pula untuk membagi dengan 10, 100,, 1000 atau 10.000

batang digerakkan ke kanan dengan 1, 2, 3, atau 4 kotak. Yang penting di sini adalah Xiahou

Yang tampaknya tidak hanya memahami kekuatan positif dari 10 tetapi juga pecahan desimal

sebagai kekuatan negatif dari 10. Ini menggambarkan pentingnya menggunakan menghitung

angka papan.

Menghitung angka Tionghoa tidak hanya menggunakan papan penghitungan. Angka

Tionghoa digunakan dalam teks-teks tertulis, khususnya teks matematika. Khususnya "Tian

yuan" atau "Metode Array Koefisien" dikembangkan dari representasi menghitung angka. Ini

merupakan notasi untuk persamaan dan Li Zhi memberikan sumber awal dari metode ini.

C. Munculnya Sempoa di Negara China

Sekitar abad keempat belas sempoa mulai dipakai di China. Sempoa seperti papan

menghitung telah menjadi penemuan alat hitung di China. Dalam banyak hal sempoa mirip

dengan papan penghitungan. Sempoa tidak menggunakan batang untuk mewakili angka,

melainkan diwakili oleh manik-manik meluncur pada sebuah kawat. Sempoa digunakan secara

eksklusif oleh pedagang yang menggunakan operasi penambahan dan pengurangan.

Berikut adalah sebuah ilustrasi dari sempoa yang menunjukkan jumlah 46802.

lix

Gambar 5.4. Sempoa yang menunjukkan jumlah 46802

Untuk bilangan sampai 4 slide jumlah yang dibutuhkan manik di bagian bawah sampai

tengah bar. Sebagai contoh pada dua kawat paling kanan diwakili. Lima atau lebih, geser satu

manik diatas bar menengah ke bawah (mewakili 5), dan 1, 2, 3, atau 4 manik ke bar untuk

tengah, bilangan 6 7, 8 atau 9 masing-masing. Sebagai contoh pada kawat tiga dari sisi kanan

bilangan 8 diwakili (5 untuk bar atas, tiga manik-manik bawah).

Dari pembahasan diatas, didapat bahwaAngka china ditemukan pada tahun 1899 berupa

ribuan tulang dan kulit kura-kura, yang ditemukan di desa Xiao Dun yang berada di provinsi

Henan, yang telah ditulis dengan karakter Cina kuno. Pentingnya penemuan tentang sistem

bilangan kuno Cina, banyak ditemukannya prasasti yang berisi informasi numerik tentang orang

hilang dalam pertempuran, tawanan yang diambil dalam pertempuran, jumlah korban , jumlah

binatang yang dibunuh pada berburu, jumlah hari atau bulan, dan lain-lain. Sistem bilangan yang

digunakan untuk mengungkapkan info numerik didasarkan pada sifat aditif dan perkalian.

Sekitar abad keempat belas sempoa mulai dipakai. Sempoa tidak menggunakan batang

untuk mewakili angka, melainkan diwakili oleh manik-manik meluncur pada sebuah kawat.

Sempoa digunakan secara eksklusif oleh pedagang yang menggunakan operasi penambahan dan

pengurangan.

lx

Matematika Arab merupakan sejarah perkembangan matematika yang penting, bahkan

ada pendapat bahwa matematika yang dikembangkan oleh matematikawan dari Eropa pada abad

ke 16, 17 dan 18 sebenarnya terlebih dahulu berhasil dikembangkan oleh matematikawan Arab.

Tetapi ada pendapat yang menyatakan bahwa istilah matematika Arab atau matematika Islam

sebaiknya ditiadakan karena dasar perkembangan matematika Arab adalah teks terjemahan dari

Yunani atau dengan kata lain bahwa dasar perkembangan matematika Arab adalah ilmu

pengetahuan dari Yunani. Tetapi jika dikaji lebih dalam ternyata bentuk matematika yang

dikembangkan matematikawan Arab lebih mendekati bentuk matematika yang umum diajarkan

pada masa sekarang jika dibandingkan dengan matematika yang dikembangkan pada masa

Yunani.

lxi

A. Perkembangan Matematika Arab

Sejarah perkembangan matematika Arab dimulai sekitar tahun 786 di Baghdad (Iran), akan

tetapi belum diketahui secara pasti. Bahkan hampir tidak pernah terdengar Ahli matematika

Arab, kecuali yang paling populer kita dengar sebagai matematikawan Arab Muslim yang

mempunyai kontribusi terhadap perkembangan matematika adalah Al-Khawarizmi, dikenal

sebagai bapak Aljabar, memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani

kuno.

Sejarah mencatat bahwa setelah Yunani runtuh, muncul era baru, yaitu era kejayaan

Islam di tanah Arab. Hal ini berakibat bahwa perkembangan kebudayaan dan ilmu pengetahuan

berpusat dan didominasi oleh umat Islam-Arab. Yang dimaksud dengan Arab di sini meliputi

wilayah Timur Tengah, Turki, Afrika utara, daerah perbatasan Cina, dan sebagian dari Spanyol,

sesuai dengan wilayah kekuasaan kekhalifahan Islam pada saat itu.

Khalifah Harun Al-Rashid, khalifah kelima pada masa dinasti Abassiyah, sangat

memerhatikan perkembangan ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya, yang dimulai

sekitar tahun 786, terjadi proses penerjemahan besar-besaran naskah-naskah matematika (juga

ilmu pengetahuan lainnya) bangsa Yunani kuno ke dalam bahasa Arab. Bahkan khalifah

berikutnya, yaitu khalifah Al-Ma’mun lebih besar lagi perhatiannya terhadap perkembangan

ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya di Baghdad didirikan Dewan Kearifan, yang

menjadi pusat penelitian dan penerjemahan naskah Yunani. Beasiswa disediakan bagi para

penerjemah dan umumnya mereka bukan hanya ahli bahasa, tetapi juga merupakan ilmuwan

yang ahli dalam matematika. Misalnya Al-Hajjaj menerjemahkan naskah Elements (berisi

kumpulan pengetahuan matematika) yang ditulis Euclid. Beberapa penerjemah lainnya misalnya

Al-Kindi, Banu Musa bersaudara, dan Hunayn Ibnu Ishaq.

Adanya perhatian dari kedua khalifah tersebut terhadap perkembangan matematika

menyebabkan banyak tokoh-tokoh matematikawan Arab bermunculan, antara lain :

1. Al-Khawarizmi

Latar Belakang Tokoh

Nama sebenarnya Al-Khwarizmi ialah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi. Selain itu

beliau dikenal sebagai Abu Abdullah Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. Al-Khwarizmi telah

lxii

dikenal di Barat sebagai Al-Khawarizmi, Al-Cowarizmi, Al-Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi,

Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi.

Beliau lahir di Bukhara. Dalam buku-buku sejarah pada umumnya menyebutkan bahwa

ia lahir sebelum tahun 800M dan meninggal setelah tahun 847M. Pada tahun 780-850M adalah

zaman kegemilangan Al-Khawarizmi.

Pendidikan

Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa al-Khawarizmi ialah seorang tokoh Islam yang

berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran beliau bukan saja meliputi bidang syariat tapi

didalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, kesusteraan, sejarah Islam dan

kimia.

Al-Khawarizmi sebagai guru aljabar di Eropa. Beliau telah menciptakan pemakaian

Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau

bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad.

Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat menekuni belajar matematik dan

astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah

memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam.

Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang mula-mula memperkenalkan aljabar. Banyak

lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematik dan menghasilkan konsep-

konsep matematik yang begitu populer sehingga digunakan pada zaman sekarang.

Kontribusi Al-Khwarizmi bagi Ilmu Pengetahuan

Sebagai seorang tokoh besar dalam masanya, Al-Khwarizmi banyak menghasilkan karya-

karya yang monumental antara lain dalam bidang Astronomi dan Matematika. Dalam bidang

matematika beliau banyak memberikan sumbangan yang berharga khususnya bagi

perkembangan ilmu aijabar dan aritmatika. Beliau dikenal sebagai bapak Aijabar karena

karyanya yang sangat monumental melalui kitab "Al Jabr Wa Al Muqabilah".

Dalam bidang astronomi ia dikenal sebagai salah satu pendiri bidang astrolabe dan telah

menyusun kurang lebih seratus tabel tentang bintang. Beberapa karya al-Khwarizmi dalam

bidang astronomi adalah sebagai berikut :

Ziz al-sindhind

lxiii

Sebuah karya yang sangat penting dan berguna hingga saat ini yang antara lain berisi

tentang tabel-tabel astronomi dan tabel trigonometri dilengkapi dengan perhitungan serta

petunjuk penggunaannya. Didalamnya terdapat pula tabel untuk perhitungan periode gerhana

deklinasi tata surya dan rotasi perputaran. Al-Majiriti seorang ahli astronomi Islam asal Spanyol

menulis revisi dari karya al-Khwarizmi pada pertengahan abad kesepuluh. Pada pertengahan

abad kedua belas edisi revisi tersebut diterjemahkan oleh Adelard of Bath ke dalam bahasa Latin

dan telah disesuaikan dengan fungsi sinus dan tangen untuk pertama kalinya di dunia Barat.

Hasil karyanya ini membuat nama Al-Khwarizmi termashur di dunia Islam dan menjadi

rujukan penting bagi para ahli astronomi lainnya.

The Tbiedan labels

Karyanya ini berisi subbagian dari tabel astronomi yang diterjemahkan ke dalam bahasa

Latin oleh Gerald of Cremona di akhir abad kedua belas. Dalam karyanya ini dibahas tentang

pergerakan dan posisi sejajar antara matahari, bulan dan bumi; tabel tentang bintang tabel yang

berkaitan dengan susunan planet dan tabel almanak. Hasil karyanya ini sangat populer di seluruh

daratan Eropa dan digunakan kurang lebih seratus tahun.

Kitab Suratal-Ard (Book of the Earth)

Karyanya ini berisi daftar bujur dan lintang kota-kota dan lokasinya. Menurut beberapa ahli

terdapat hubungan antara hasil karyanya dengan tulisan geografi Ptolemy. Namun menurut

Toomer, terdapat kejanggalan jika al-Khwarizmi hanya sekedar mengadaptasi tulisan Ptolemy,

karena dalam tulisannya, al-Khwarizmi mempersiapkan sebuah peta dunia yang lebih akurat dari

berbagai aspek dibandingkan dengan peta geografi Ptolemy.

Karya-karyanya yang lain antara lain :

a. Book on the Construction of Astrolabe

b. Book on the Operation of Astrolabe

c. On the Sundial

d. Chronical

lxiv

Karya aritmatika Al-Khwarizmi berjudul Kitab Al-Jam Wa’ Al-Tafriq bi-Hisab Al-Hid

(Book of addition and Substraction by the Method of Calculation). Karyanya ini dikenal sebagai

buku pelajaran pertama yang ditulis dengan menggunakan sistem bilangan desimal.

Karyanya tersebut diterjemahkan dalam bahasa latin yang dikenal dengan berbagai

sebutan seperti alchwarizmi, Al-Karismi, algoritmi, algorismi dan sebagainya yang merupakan

penyitiran dari nama Al-Khwarizmi. Penyebutan tersebut hingga sekarang kita kenal dengan

nama algoritma (algorithm) yang didefinisikan sebagai prosedur baku dalam suatu perhitungan.

Angka Arab yang kita gunakan sekarang yakni bilangan 1 sampai 9 dan 0 merupakan

salah satu dari hasil karya Al-Khwarizmi. Di antara angka- angka terebut penemuan angka 0

memberikan pengaruh yang luar biasa. Angka 0 ini oleh orang Hindu dinamakan sunya (kosong

atau tidak ada) dan oleh orang Arab dinamakan dengan sifr (kosong). Penulisan bilangan 5 dan

50 memberikan makna yang berbeda hannya karena adanya 0 di belakangnya.

Sebelum penggunaan angka Arab, orang sangat bergantung kepada sistem angka Romawi

yang kaku. Angka Arab jauh lebih mudah digunakan baik dari segi penulisan yang tidak banyak

memakan tempat maupun dalam penyelesaian masalah matematika meskipun yang paling

sederhana sekalipun. Jika dalam basis 10 bilangan 1843 ditulis dalam empat angka menurut

sistem angka Arab, maka dalam sistem angka Romawi harus digunakan sepulung angka (huruf)

yaitu MDCCCXLIII. Dapat dibayangkan bagaimana rumitnya kalau sistem angka Romawi

digunakan dalam menyelesaikan operasi-operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian.

Sebuah hasil yang mengagumkan juga telah diberikan oleh Al-Khwarizmi dalam

menyelesaikan persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, yakni dengan formula atau rumus yang kita

kenal sekarang rumus ABC. Rumus tersebut adalah :

dengan rumus tersebut, sebuah persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan sangat mudah.

Al-Khwarizmi juga memberikan kontribusi dalam geometri. Beliau memberikan

sebuah teorema yang menyatakan bahwa bahwa suatu segitiga sama sisi juga segitiga sama kaki.

Memberikan cara perhitungan luas segitiga, segiempat dan lingkaran.

lxv

Di antara seluruh seluruh karya-karyanya, tulisan tentang aljabar dan aritmatika adalah

yang paling melambungkan namanya. Keduanya menjadi sumber acuan ilmu matemarika untuk

beberapa abad lamanya di belahan Barat dan Timur.

2. Al-Mahani (lahir tahun 820) dan Abu Kamil (lahir tahun 850)

Mereka berdua memusatkan penelitian pada aplikasi-aplikasi sistematis dari aljabar.

Misalnya aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan

sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-

penelitian ini mendasari penciptaan aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik,

solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan.

3. Thabit Ibnu Qurra (lahir tahun 836)

Beliau mempunyai kontribusi yang banyak bagi matematika. Salah satunya adalah dalam

teori bilangan, yaitu penemuan pasangan bilangan yang mempunyai sifat unik. Sifat unik disini

maksudnya dua bilangan yang masing-masing adalah jumlah dari pembagi sejati bilangan

lainnya dan disebut pasangan bilangan bersahabat (amicable number). Teorema Thabit Ibnu

Qura ini kemudian dikembangkan oleh Al-Baghdadi (lahir tahun 980). Selain itu, Thabit Ibnu

Qurra juga mempunyai kontribusi untuk teori dan observasi dalam astronomi.

4. Al-Batanni (lahir tahun 850)

Sejak berabad-abad lamanya, astronomi dan matematika

begitu lekat dengan umat Islam. Tak heran bila sejumlah

ilmuwan dikedua bidang tersebut bermunculan. Salah seorang

diantaranya adalah Abu Abdallah Muhammad Ibn Jabir Ibn

Sinan Al-Battani. Beliau lebih dikenal dengan panggilan Al-

Battani atau Albatenius.

Al Battani lahir di Battan, Harran, Suriah pada sekitar 858

M. Keluarganya merupakan penganut sekte Sabbian yang

melakukan ritual penyembahan terhadap bintang. Namun ia tak

lxvi

mengikuti jejak langkah nenek moyangnya, ia lebih memilih memeluk Islam. Ketertarikannya

dengan benda-benda yang ada dilangit membuat Al Battani kemudian menekuni astronomi.

Secara informal beliau mendapatkan pendidikan dari ayahnya yang juga seorang ilmuwan, Jabir

Ibn San’an Al-Battani. Keyakinan ini menguat dengan adanya bukti kemampuan Al Battani

membuat dan menggunakan sejumlah perangkat alat astronomi seperti yang dilakukan ayahnya.

Beberapa saat kemudian, beliau meninggalkan Harran menuju Raqqa yang terletak di

tepi Sungai Eufrat, di sana beliau melanjutkan pendidikannya. Di kota inilah beliau melakukan

beragam penelitian hingga beliau menemukan berbagai penemuan cemerlangnya. Pada saat itu,

Raqqa menjadi terkenal dan mencapai kemakmuran.

Ini disebabkan karena kalifah Harun Al Rashid, khalifah kelima dalam dinasti

Abbasiyah, pada 14 September 786 membangun sejumlah istana di kota tersebut. Ini merupakan

penghargaan atas sejumlah penemuan yang dihasilkan oleh penelitian yang dilakukan Al Battani.

Usai pembangunan sejumlah istana di Raqqa, kota ini menjadi pusat kegiatan baik ilmu

pengetahuan maupun perniagaan yang ramai.

Buah pikirnya dalam bidang astronomi yang mendapatkan pengakuan dunia adalah

lamanya bumi mengelilingi bumi. Berdasarkan perhitungannya, ia menyatakan bahwa bumi

mengelilingi pusat tata surya tersebut dalam waktu 365 hari, 5 jam, 46 menit, dan 24 detik.

Perhitungannya mendekati dengan perhitungan terakhir yang dianggap lebih akurat.

Itulah hasil jerih payahnya selama 42 tahun melakukan penelitian yang diawali pada

musa mudanya di Raqqa, Suriah. Beliau menemukan bahwa garis bujur terjauh matahari

mengalami peningkatan sebesar 16,47 derajat sejak perhitungan yang dilakukan oleh Ptolemy.

Ini membuahkan penemuan yang penting mengenai gerak lengkung matahari.

Al Battani juga menentukan secara akurat kemiringin ekliptik, panjangnya musim, dan

orbit matahari. Beliau juga berhasil menemukan orbit bulan dan planet dan menetapkan teori

baru untuk menentukan sebuah kondisi kemungkinan terlihatnya bulan baru. Ini terkait dengan

pergantian dari sebuah bulan ke bulan lainnya.

Penemuannya mengenai garis lengkung bulan dan matahari, pada 1749 kemudian

digunakan oleh Dunthorne untuk menentukan gerak akselerasi bulan. Dalam bidang matematika,

Al Battani juga memberikan kontribusi gemilang terutama dalam trigonometri. Layaknya

ilmuwan Muslim lainnya, beliau juga menuliskan pengetahuannya di kedua bidang itu kedalam

sejumlah buku.

lxvii

Bukunya tentang astronomi yang paling terkenal adalah Kitab Al Zij. Buku ini

diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12 dengan judul De Scienta Stellerum u De

Numeris Stellerum et Motibus oleh Plato dari Tivoli. Terjemahan tertua dari karyanya itu masih

ada di Vatikan. Terjemahan buku tersebut tidak terus menerus dalam bahasa latin tetapi juga

bahasa lainnya.

Terjemahan ini keluar pada 1116 sedangkan edisi cetaknya beredar pada 1537 dan

pada 1645. Sementara terjemahan karya tersebut ke dalam bahasa Spanyol muncul pada abad ke-

13. Pada masa selanjutnya baik terjemahan karya Al Battani dalam bahasa Latin maupun

Spanyol tetap bertahan dan digunakan secara luas.

Tidak heran jika tulisannya, sangat memberikan pengaruh bagi perkembangan ilmu

pengetahuan di Eropa hingga datangnya masa pencerahan. Dalam Fihrist, yang dikompilasi Ibn

An-Nadim pada 988, karya ini merupakan kumpulan Muslim berpengaruh pada abad ke-10,

dinyatakan bahwa Al Battani merupakan ahli astronomi yang memberikan gambaran akurat

mengenai bulan dan matahari.

Al Battani juga menemukan sejumlah persamaan trigonometri,yakni :

Gambar 6.2. salah satu buku karya Al-Battani

lxviii

dan menggunakan gagasan al-Marwazi tentang tangen dalam mengembangkan persamaan-

persamaan untuk menghitung tangen, cotangen dan menyusun tabel perhitungan tangen.

Informasi lain yang tertuang dalam Fihrist menyatakan pula bahwa Al Battani melakukan

penelitian antara tahun 877 dan 918. Tak hanya itu, di dalamnya juga termuat informasi

mengenai akhir hidup sang ilmuwan ini. Fihrist menyatakan bahwa Al Battani meninggal dunia

dalam sebuah perjalanan dari Raqqa ke Baghdad.

Perjalanan ini dilakukan sebagai bentuk protes karena ia dikenai pajak yang berlebih.

Al Battani memang mencapai Baghdad untuk menyampaikan keluhannya kepada pihak

pemerintah. Namun kemudian ia menghembuskan nafas terakhirnya ketika dalam perjalanan

pulang dari Baghdad ke Raqqa.

5. Ibrahim Ibnu Sinan (lahir sekitar tahun 910-an) dan kakeknya Thabit Ibnu Qurra.

Mereka berdua mempelajari kurva-kurva yang diperlukan dalam mengonstruksi jam

matahari

6. Abul-Wafa (lahir tahun 940-an)

lxix

Salah satu jasa terbesar yang diberikan Abul Wafa bagi

studi matematika adalah trigonometri. Trigonometri berasal dari

kata trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur. Ini adalah

sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut

segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan

tangen.

Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri,

meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungan dari keduanya, namun bagi beberapa orang,

trigonometri adalah bagian dari geometri. Dalam trigonometri, Abul Wafa telah

memperkenalkan fungsi tangen dan memperbaiki metode penghitungan tabel trigonometri.

Beliau juga tutur memecahkan sejumlah masalah yang berkaitan dengan spherical triangles.

Secara khusus, Abul Wafa berhasil menyusun rumus yang menjadi identitas trigonometri.

Inilah rumus yang dihasilkannya itu:

Selain itu, Abul Wafa pun berhasil membentuk rumus geometri untuk parabola, yakni:

Rumus-rumus penting itu hanyalah secuil hasil pemikiran Abul Wafa yang hingga kini

masih bertahan. Kemampuannya menciptakan rumus-rumus baru matematika membuktikan

bahwa Abul Wafa adalah matematikus Muslim yang sangat jenius.

7. Abu Nasr Mansur

Abu Nasr Mansur telah memberikan kontribusi yang penting dalam bidang matematika.

Perannya sungguh besar dalam pengembangan trigonometri dari perhitungan Ptolemy dengan

penghubung dua titik fungsi trigonometri yang hingga kini masih tetap digunakan.

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(2a) = 1 - 2sin2(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

dan

lxx

Beliau juga menulis karyanya di dalam tiga buku, yakni buku pertama mempelajari

kandungan/kekayaan bentuk segitiga, buku kedua meneliti kandungan sistem paralel lingkaran

dalam sebuah bola/bentuk mereka memotong lingkaran besar, buku ketiga memberikan bukti

dalil Menelaus. Pada karya trigonometrinya, Abu Nasr Mansur menemukan hukum sinus sebagai

berikut:

8. Al-Kindi

Al-Kindi hidup pada masa penerjemahan besar-besaan karya-

karya Yunani ke dalam bahasa Arab, dan memang sejak didirikannya

Bayt al-Hikmah oleh al-Ma’mun, Al-Kindi sendiri turut aktif dalam

kegiatan penerjemahan ini. Di samping menerjemah, al-Kindi juga

memperbaiki terjemahan-terjemahan sebelumnya, karena keahlian

dan keluasan pandangannya, beliau diangkat sebagai ahli di istana

dan menjadi guru putra Khalifah al-Mu’tasim, Ahmad.

Beliau adalah filosof berbangsa Arab dan dipandang sebagai

filosof Muslim pertama. Memang, secara etnis, Al-Kindi lahir dari

keluarga berdarah Arab yang berasal dari suku Kindah, salah satu suku besar daerah Jazirah

Arab Selatan. Salah satu kelebihan Al-Kindi adalah menghadirkan filsafat Yunani kepada kaum

Muslimin setelah terlebih dahulu mengislamkan pikiran-pikiran asing tersebut.

Al-Kindi telah menulis hampir seluruh ilmu pengetahuan yang berkembang pada saat

itu, tetapi di antara sekian banyak ilmu, beliau sangat menghargai matematika. Hal ini

disebabkan karena matematika bagi al-Kindi, adalah mukaddimah bagi siapa saja yang ingin

mempelajari filsafat. Mukaddimah ini begitu penting sehingga tidak mungkin bagi seseorang

untuk mencapai keahlian dalam filsafat tanpa terlebih dulu menguasai matematika. Matematika

di sini meliputi ilmu tentang bilangan, harmoni, geometri dan astronomi.

lxxi

9. Al-Karaji (lahir tahun 953)

Sejarawan sains modern memandang Al-Karaji sebagai ahli

matematika berkaliber tertinggi. Karyanya yang kekal pada bidang

matematika masih diakui hingga hari ini, yakni mengenai kanonik tabel

koefisien binomium (dalam pembentukan hukum dan perluasan bentuk).

Al-Karaji dianggap sebagai ahli matematika terkemuka dan pandang

sebagai orang pertama yang membebaskan aljabar dari operasi geometris yang merupakan

produk aritmatika Yunani dan menggantinya dengan jenis operasi yang merupakan inti dari

aljabar pada saat ini.

Karyanya pada aljabar dan polynomial memberikan aturan pada operasi aritmatika

untuk memanipulasi polynomial. Dalam karya pertamanya di Prancis, sejarawan matematika

Franz Woepcke (dalam Extrait du Fakhri, traite d’Algèbre par abou Bekr Mohammed Ben

Alhacan Alkarkhi, Paris, 1853), memuji Al-Karaji sebagai ahli matematika pertama di dunia

yang memperkenalkan teori aljabar kalkulus

Al-Karaji menginvestigasikan koefisien binomium segitiga Pascal. Dia juga yang

pertama menggunakan metode pembuktian dengan induksi matematika untuk membuktikan

hasilnya, ia berhasil membuktikan kebenaran rumus jumlah integral kubus, yang sangat penting

hasilnya dalam integral kalkulus.

10. Al-Biruni (lahir tahun 973)

Al-Biruni adalah peletak dasar-dasar trigonometri

modern. Dia seorang filsuf, ahli geografi, astronom, ahli fisika,

dan pakar matematika. Enam ratus tahun sebelum Galgeo, Al-

Biruni telah membahas teori-teori perputaran (rotasi) bumi pada

porosnya.

Al-Biruni juga memperkenalkan pengukuran-

pengujuran geodesi dan menentukan keliling bumi dengan cara

lxxii

yeng lebih akurat. Dengan bantuan matematika, dia dapat menentukan arah kiblat dari berbagai

macam tempat di dunia.

11. Omar Khayyam(1048 - 1123)

Beliau berjasa besar melalui penelitiannya, memberikan klasifikasi lengkap dari

persamaan pangkat tiga melalui penyelesaian geometri dengan menggunakan konsep

pemotongan kerucut. Beliau juga memberikan sebuah konjektur (dugaan) tentang deskripsi

lengkap dari penyelesaian aljabar dari persamaan-persamaan pangkat tiga. Untuk lebih

memudahkan uraian diberikan contoh persamaan: x³ + ax² + b²x + c³ = 0, kemudian, dengan

teknik substitusi, mengganti, x² = 2py akan diperoleh 2pxy + 2apy + b²x + c³ = 0. Hasilnya dari

persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukan substitusi, x² = 2py, adalah

parabola.

12. Sharaf al-Din al-Tusi (lahir tahun 1135)

Beliau mengikuti Omar Khayyam dalam mengaplikasikan aljabar pada geometri, yang

pada akhirnya menjadi permulaan bagi cabang algebraic geometry.

13. Al-Samawal (lahir tahun 1153)

Beliau adalah orang pertama yang membahas topik baru dalam aljabar. Menurutnya

bahwa mengoperasikan sesuatu yang tidak diketahui (variabel) adalah sama saja dengan

mengoperasikan sesuatu yang diketahui.

14. Nadir al-Din al-Tusi (lahir tahun 1201)

Berdasarkan astronomi teoritisnya dalam pekerjaan Ptolemy, beliau membuat

pengembangan yang sangat signifikan dalam model sistem planet.

15. Al-Farisi (lahir tahun 1260)

lxxiii

Beliau memberikan metode pembuktian yang baru untuk teorema Thabit Ibnu Qurra.

Beliau juga memperkenalkan ide baru berkenaan faktorisasi dan metode kombinatorik.

16. Al-Kashi (lahir tahun 1380)

Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah

padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah.

Jamshid al-Kashi merupakan salah seorang

matematikus masyhur di dunia Islam. Ia adalah

seorang saintis yang mengembangkan matematika

dan astronomi pada zaman kejayaan Dinasti Timurid,

di Samarkand abad ke-14 M. Beliau berjasa

mengembangkan ilmu matematika dan astronomi dengan sederet penemuannya.

Kontribusi Al-Kashi dalam bidang Matematika, adalah :

Hukum Cosinus

Di Prancis, Hukum Cosinus dikenal sebagai Theoreme d'Al-Kashi (Teorema Al-Kashi). Sebab

Al-Kashi merupakan orang yang pertama yang menemukan hukum tersebut. Dia juga

memberikan sejumlah alasan mengapa Hukum Cosinus bisa digunakan untuk memecahkan

masalah-masalah yang berhubungan dengan segitiga.

Risalah Kord dan Sinus

Dalam bukunya yang berjudul Risalah Kord dan Sinus, dia menghitung nilai sin 1° dengan

sangat akurat. Dari semua ilmuwan matematika pada masanya, hanya Al Kashi yang bisa menilai

sin 1° dengan akurat hingga muncullah seorang ahli matematika pada abad ke-16 yakni Taqi al-

Din.

Al-Kashi juga mengembangkan berbagai macam metode untuk menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan persamaan kubik yang baru dipelajari di Eropa beberapa abad setelah

penemuannya. Untuk menghitung nilai sin 1° dengan tepat, Al-Kashi menemukan rumus

lxxiv

matematika yang sering disebut sebagai persembahan kepada Francois Viete.

Pecahan decimal

Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada

zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh

al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk

menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang

diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

Segitiga Khayyam

Untuk menandingi kebesaran segitiga Pascal, di Persia dikenal Segitiga Khayyam dari nama

Omar Khayyam. Segitiga Pascal pertama kali diketahui dari sebuah buku karya Yang Hui yang

ditulis pada tahun 1261, salah seorang ahli matematika Dinasti Sung yang termasyhur.

Namun, sebenarnya segitiga tersebut telah dibahas dalam buku karya Al Kashi yang disebut

dengan Segitiga Khayyam. Dan kita semua tahu bahwa ilmu di Cina dan Persia itu sudah tua.

Sedangkan segitiga Pascal yang dibahas oleh Peter Apian, seorang ahli Aritmatika dari Jerman

baru diterbitkan pada 1527. Sehingga bisa disimpulkan bahwa Segitiga Khayyam muncul

terlebih dulu sebelum segitiga Pascal.

Dari pembahasan diatas, didapat bahwa perhatian Khalifah Harun Al-Rasyid terhadap

perkembangan matematika di Arab kemudian dilanjutkan oleh putranya yakni khalifah Al-

Ma’mun. Pada masa kekhalifahannya di Baghdad didirikan Dewan Kearifan, yang menjadi pusat

penelitian dan penerjemahan naskah Yunani. Beasiswa disediakan bagi para penerjemah dan

lxxv

umumnya mereka bukan hanya ahli bahasa, tetapi juga merupakan ilmuwan yang ahli dalam

matematika. Misalnya Al-Hajjaj menerjemahkan naskah Elements (berisi kumpulan pengetahuan

matematika) yang ditulis Euclid. Beberapa penerjemah lainnya misalnya Al-Kindi, Banu Musa

bersaudara, dan Hunayn Ibnu Ishaq.

Perhatian dari kedua khalifah tersebut terhadap perkembangan matematika menyebabkan

banyak tokoh-tokoh matematikawan Arab bermunculan, antara lain: Al-Khawarizmi, Al-Mahani,

Abu Kamil, Thabit Ibnu Qurra, Al-Batanni, Abul-Wafa, Al-Kindi, Abu Nasr Mansur, Al-Karaji,

Al-Biruni, Omar Khayyam, Sharaf al-Din al-Tusi, Al-Samawal, Nadir al-Din al-Tusi, Al-Farisi,

Al-Kashi, Ulugh Beg.

Hasil-hasil penemuan dari tokoh-tokoh tersebut, yakni dalam bidang aljabar, geometri,

trigonometri, analisis kombinatorik, analisis numerik, teori bilangan, teori pecahan desimal,

faktorisasi, metode kombinatorik, algoritma penghitungan akar pangkat n, teorema binomial

untuk pangkat bilangan bulat, persamaan pangkat tiga melalui penyelesaian geometri dengan

menggunakan konsep pemotongan kerucut dan sebagainya.

lxxvi

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh

tertulis dari pengembangan matematika adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar

1900 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum yang dikenal sebagai teorema

Pythagoras. Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh

bangsa Mesopotamia yang kini disebut Irak, sejak permulaan Sumeria hingga permulaan

peradaban helenistik. Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang

dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia yang kini disebut Irak, sejak permulaan Sumeria

hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama

kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik Matematika

Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika

Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, menjadi

pusat penting pengkajian Matematika Islam. Babel mewarisi basis 60 (sexagesimal) dari

Sumeria dan Akadian. Ini merupakan prestasi terbesar bagi Babilonia tentang sistem bilangan

lxxvii

pada matematika. Orang-orang babel tinggal di Mesopotamia, sebuah dataran subur antara

sungai Tigris dan Eufrat. Berikut adalah peta dimana peradaban Babilonia berkembang.

A. ASAL MULA PERADABAN BABILONIA MATEMATIKA

Peradaban Babel di Mesopotamia menggantikan peradaban Sumeria dan peradaban

Akkadian. Wilayah Mesopotamia ini telah menjadi pusat peradaban Sumeria yang berkembang

3500 SM. Sumeria merupakan peradaban yang sudah maju, ditandai dengan dibangunnya sistem

irigasi, sistem hukum administrasi, dan bahkan layanan pos. Pembangunan tersebut ditujukan

untuk membantu orang-orang Sumeria dalam kehidupan sehari-hari. Menulis dan menghitung

dikembangkan dengan menggunakan sistem basis 60 atau sistem sexagesimal.

Sekitar tahun 2300 SM orang Akkadian menyerang wilayah Sumeria. Seteleh penyerangan

tersebut penduduk Akkadian yang memiliki kebudayaan terbelakang bercampur dengan

penduduk Sumeria yang memiliki kebudayaan lebih maju. Akkadian menemukan sempoa

sebagai alat untuk menghitung dengan metode artimatika, seperti penjumlahan, pengurangan,

pembagian dan perkalian dengan Sumeria yang memegang peranan penting. Oleh sebab itu

bangsa Sumeria memberontak kekuasaan Akkadian dan kembali memegang kendali pada tahun

2100 SM.

Babilonia adalah orang-orang Samit yang menginvasi Mesopotamia dan mengalahkan

Sumeria pada tahun 2000 SM. Sekitar tahun 1900 SM Babel membangun modal mereka, seperti

Menara Babel dan lain sebagainya. Bangsa Sumeria telah mengembangkan suatu bentuk abstrak

tulisan berdasarkan paku (yaitu berbentuk baji) atau simbol. Simbol ditulis pada tablet tanah liat

basah yang dipanggang di bawah terik matahari. Ribuan tablet tersebut bertahan sampai hari ini.

Penggunaan stylus pada medium tanah liat ini menyebabkan penggunaan simbol cuneiform yang

disebabkan karena garis melengkung tidak bisa ditarik. Babel kemudian mengadopsi gaya yang

sama dari tulisan kuno berbentuk baji pada tablet tanah liat.

Berikut adalah salah satu tablet dari Babilonia :

lxxviii

Gambar 7.1 Salah satu tablet dari Babilonia

Tablet diatas tidak banyak membahas matematika yang mendalam. Namun ada yang menarik

dari tablet di atas, yaitu sistem irigasi dari peradaban awal di Mesopotamia yang ditulis oleh

Muroi :

Itu adalah tugas penting bagi para penguasa Mesopotamia untuk menggali kanal dan untuk

mempertahankan mereka, karena kanal tidak hanya diperlukan untuk irigasi tetapi juga berguna

untuk pengangkutan barang dan tentara.

Para penguasa atau pejabat tinggi pemerintah harus memiliki matematikawan Babilonia untuk

menghitung jumlah pekerja dan hari yang diperlukan untuk pembangunan kanal, dan untuk

menghitung biaya total upah pekerja.

Ada beberapa teks matematika Babilonia Lama di mana berbagai kuantitas tentang

penggalian kanal sangat penting. Teks itu antara lain YBC 4666, 7164, dan PPN 7528, semua

ditulis di Sumeria dan YBC 9874 dan BM 85196, No 15, yang ditulis dalam bahasa Akkadian.

Tablet Babilonia tidak hanya mencangkup tentang penggalian kanal tapi beragaam, seperti

fraksi, aljabar, metode untuk memecahkan linear, kuadrat dan bahkan beberapa persamaan

kubik, dan perhitungan pasangan timbal balik secara teratur.

Berikut adalah contoh tablet untuk masalah bidang bentuk yang tidak beratur.

lxxix

Gambar 7.2. Tablet Babilonia untuk masalah bidang bentuk

Bangsa Babilonia memiliki sistem nomor lebih maju daripada sistem kita. Bangsa Babilonia

menggunakan sistem basis 60 (sexagesimal). Dengan sistem basis 60 tersebut Babel membagi

sehari dalam 24 jam, setiap jam menjadi 60 menit, setiap menit menjadi 60 detik. Perhitungan ini

telah bertahan selama 400 tahun sampai sekarang.

B. SISTEM PERHITUNGAN MATEMATIKA BABILONIA

Sumeria dan Babilonia matematika didasarkan pada sistem sexagesimal atau sistem basis 60

yang dapat dihitung secara fisik dengan menggunakan dua belas buku-buku jari di satu tangan

dan lima jari di sisi lain. Tidak seperti orang-orang dari Mesir , Yunani dan Romawi, angka

Babilonia menggunakan sistem tempat-nilai dengan benar, di mana angka yang ditulis di kolom

sebelah kiri mewakili nilai-nilai yang lebih besar, sama seperti dalam sistem desimal modern,

meskipun tentu saja menggunakan basis 60 bukan basis 10. Namun, jika kita mendengar sistem

bilangan Babilonia adalah basis 60 reaksi orang pertama kali adalah: Mengapa banyak simbol

nomor khusus yang harus mereka pelajari. Komentar tersebut didasarkan pada pengetahuan

tentang sistem desimal.

Saat ini sistem bilangan yang paling banyak digunakan manusia adalah sistem desimal basis

10. Dengan nol untuk menunjukkan tempat yang kosong dan sembilan untuk menunjukkan

simbol khusus. Namun daripada harus belajar 10 simbol seperti yang kita lakukan, Babel hanya

perlu belajar dua simbol untuk menghasilkan sistem basis 60 mereka. Simbol untuk mewakili

lxxx

angka 1-59 dalam setiap nilai tempat, dua simbol yang digunakan adalah simbol unit ( ) dan

simbol sepuluh ( )

Berikut adalah 59 simbol yang dibangun oleh dua simbol :

Gambar 7.3. 59 simbol angka Babilonia

Babilonia menggunakan sexagesimal untuk memudahkan perhitungan karena angka 60 adalah

merupakan angka terkecil yang dapat dibagi habis oleh 10, 12, 15, 20 dan 30. Dengan dasar

tersebut bangsa babilonia dapat menulis 5 jam 20 menit 30 detik dengan fraksi sexagesimal

sebagai berikut

Babilonia astronom itu sangat tertarik untuk mempelajari bintang-bintang dan langit, dan

sebagaian besar sudah dapat memprediksi gerhana dan solstices. Mesopotamia astronom bekerja

keluar selama 12 bulan kalender berdasarkan siklus bulan. Mereka membagi tahun menjadi dua

musim : musim panas dan musim dingin. Dari situlah asal-usul astronomi maupun astrologi.

C. PENGGUNAAN TEOREMA PHYTGORAS MATEMATIKA

BABILONIA

Pada matematika Babilonia ditemukan 3 tablet yang semuanya memiliki hubungan dengan

teorema Pythagoras. Berikut adalah terjemahan dari tablet Babel yang disimpan di museum

Inggris:

4 adalah panjang dan 5 diagonal. Berapakah lebarnya?

Dimana ukurannya tidak diketahui.

lxxxi

4 kali 4 adalah 16.

5 kali 5 adalah 25.

Anda mengambil 16 dari 25 dan masih memiliki sisa 9.

Berapa kali berapa yang harus saya lakukan untuk mendapatkan 9?

3 kali 3 adalah 9.

3 adalah lebarnya.

Semua tablet didapatkan secara rinci yang berasal dari periode yang sama, yaitu pada masa

Kekaisaran Babilonia lama yang berkembang di Mesopotamia antara tahun 1900 SM dan 1600

SM. Keempat tablet yang ditemukan yaitu:

1) Tablet Plimpton 322

Nomor 322 adalah nomor tablet dalam koleksi GA Plimton yang bertempat di Universitas

Kolombia.

Gambar 7.4. Tablet Plimpton 322

Tanggal penemuan tablet Plimpton belum akurat tetapi ditemukan antara tahun 1800 SM

dan 1650 SM. Tablet tersebut dianggap hanya bagian dari tablet yang lebih besar, sisa yang telah

hancur, karena banyak tablet seperti itu, menjadi catatan transaksi komersial. Tablet ini memiliki

lxxxii

empat kolom dengan 15 baris. Kolom terakhir adalah yang paling sederhana untuk dipahami.

Untuk itu baris diberi nomor yang berisi 1, 2, 3, ... , 15. Ditunjukkan oleh Sachs dan Neugebauer

bahwa dalam setiap baris kuadrat dari jumlah c kolom 3 dikurangi kuadrat dari jumlah b pada

kolom 2 adalah persegi sempurna, dimisalkan dengan h. Dapat ditulis dengan .

Pada kolom pertama sulit untuk dimengerti, karena kerusakan pada tablet dan terdapat

klip besar, yang berarti bahwa bagian tersebut tidak ada. Namun dengan menggunakan notasi

tersebut terlihat bahwa kolom pertama hanya terdapat

. Beberapa sejarahwan menyarankan

bahwa pada kolom 1 berhubungan dengan fungsi garis.

2) Tablet Susa

Tablet ini ditemukan diwilayah Khuzistan Iran sekitar 350 km dari kota kuno Babel. Loftus WK

mengidentifikasikan sebagai situs arkeologi yang penting pada awal tahun 1850.

Gambar 7.5. Tablet Susa

Contoh matematika:

Dalam segitiga A, B, C dengan pusat di O, AD tegak lurus dengan BC. Dimana segitiga ABD

adalah segitiga siku-siku. Dicari dengan teorema phytagoras.

Jika diketahui AC=AB=60 dan CB=60 jadi dengan jari-jari lingkaran adalah

x. dan . Cari dengan menggunakan teorema phytagoras pada

segitiga OBD.

Sehingga diperoleh

lxxxiii

3) Tablet Dhibayi

Tablet Dhibayi merupakan salah satu dari 500 tablet yang ditemukan didekat Baghdat

oleh arkeolog pada tahun 1962. Kebanyakan berhubungan dengan administrasi kota kuno yang

berkembang pada masa Ibalpiel II Eshunna sekitar 1750.

Berikut adalah metode dari tablet Dhibayi. Kita lestarikan notasi modern x dan y sebagai

setiap langkah untuk kejelasan, tetapi kami melakukan perhitungan dalam notasi sexagesimal.

Hitunglah 2 xy = 1; 30.

Kurangi dari x 2 + y

2 = 1; 33,45 untuk mendapatkan x

2 + y

2-2 xy = 0; 3,45.

Ambil akar kuadrat untuk memperoleh x - y = 0; 15.

Bagilah dengan 2 untuk mendapatkan (x - y) : 2 = 0; 7,30.

Divide x 2 + y

2-2 xy = 0; 3,45 dengan 4 untuk mendapatkan x

2 : 4 + y

2 : 4 - xy : 2 = 0; 0,56,15.

Tambahkan xy = 0; 45 untuk mendapatkan x 2 : 4 + y

2 : 4 + xy : 2 = 0; 45,56,15.

Ambil akar kuadrat untuk mendapatkan (x + y) : 2 = 0; 52,30.

Pilih (x + y) : 2 = 0; 52,30 ke (x - y) : 2 = 0; 7,30 untuk mendapatkan x = 1.

Kurangi (x - y) : 2 = 0; 7,30 dari (x + y) : 2 = 0; 52,30 untuk mendapatkan y = 0; 45.

Maka persegi panjang memiliki sisi x = 1 dan y = 0; 45

lxxxiv

Berdasarkan pembahasan diatas dapat diambil bahwa peradaban babilonia menggantikan

peradaban Sumeria dan paradaban Akkadian. Orang Babel adalah orang-orang Samit yang

menginfasi Mesopotamia dan mengalahkan Sumeria pada tahun 2000 SM. Kemudian sekitar

tahun 1900 SM Babelonia membangun modal mereka seperti menara Babel dan lain sebagainya.

Babel mengadopsi gaya yang sama dari tulisan kuno berbentuk Baji pada tablet tanah liat. Selain

itu peradaban Babilonia mewarisi sistem basis 60 (sexagesimal) dari Sumeria dan Akkadian.

Babilonia menggunakan sistem tempat nilai dengan benar, dimana angka yang ditulis di kolom

sebelah kiri mewakili nilai yang lebih besar. Basis 60 diwakili oleh dua simbol yaitu simbol unit

dan simbol 10. Penggunaan teorema pythagoras terdapat pada Tablet Plimton 322, Tablet Susa

dan Tablet Dhibayi.

lxxxv

Mesir memiliki peran penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan yang ada saat ini,

salah satunya adalah matematika. Mesir adalah negara yang pertama kali menemukan rumus

phytagoras, segitiga dan nilai phi (π). Mesir juga memiliki berbagai macam bukti tertulis berupa

lembaran atau teks, seperti: Lembaran Matematika Rhind, Lembaran Matematika Moskow dan

Lembaran Berlin.

lxxxvi

A. Sejarah Awal Matematika Mesir

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak

peradaban Helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi kaum

terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani

dan Babilonia yang membangkitkan Matematika Helenistik. Pengkajian matematika di Mesir

berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab

menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Aristoteles berpendapat bahwa matematika dimulai oleh para pendeta di Mesir, karena disana

golongan seperti pendeta diizinkan untuk memiliki waktu luang (Metaphysros).

Herodatus juga percaya bahwa geometri (ilmu ukur) tercipta karena adanya banjir tahunan

disungai Nil yang mengharuskan pemerintah menetapkan batas–batas baru dari tanah dan

menghitung kembali luas tanah yang harus kena pajak. Oleh karena itu, Demokritus menyebut

ahli matematika dari Mesir sebagai Pembentang tali. Dari pandangan filosofi tersebut, orang-

orang Mesir memegang pendapat matematika adalah sumber kekuatan Tuhan atau Dewa hal itu

telah diberikan pada mereka oleh Tuhan atau Dewa Thoth. Dalam buku Phaedrus Plato, akan

ditemui sebuah pandangan yang disebut Aristotalisme (paham Aristoteles), yang memandang

matematika dari manusia sebagai mahluk hewani, dan pandangan yang lain yang tersebut

Platolisme (paham Plato), yang memandang matematika berasal dari Tuhan atau Dewa.

B. Sistem Bilangan

Orang Mesir memiliki sistem penulisan yang didasarkan pada hieroglif dari sekitar 3000 SM.

Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata. Jika akan menunjukkan kata “burung”

maka ditunjukkan dengan gambar burung kecil tetapi tanpa pengembangan lebih lanjut, sistem

tulisan ini tidak bisa mewakili banyak kata. Masalah ini diadopsi oleh orang Mesir Kuno adalah

dengan berbicara menggunakan kata-kata. Misalnya, untuk menggambarkan dengan kalimat

“Aku mendengar anjing menggonggong” mungkin diwakili oleh : ”Mata”, “telinga”, “kulit

pohon” dan “kepala mahkota”, “anjing”. Simbol yang sama mungkin berarti sesuatu yang

berbeda dalam konteks yang berbeda, jadi “mata” mungkin berarti “melihat” sementara “telinga”

mungkin berarti “suara”.

lxxxvii

Orang Mesir memiliki sistem bilangan basis 10 hieroglif. Dengan ini berarti bahwa orang

Mesir memiliki simbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluh ribuan, ratus

ribuan, dan jutaan.

Berikut ini adalah angka hieroglif

Misalnya untuk membuat bilangan 276, ada lima belas simbol yang diperlukan yaitu dua

simbol “ratusan”, tujuh simbol “puluhan”, dan enam simbol “satuan”. Bilangan tersebut di

perlihatkan sebagai berikut :

Dapat dilihat bahwa menambahkan angka hieroglif itu mudah. Salah satunya adalah

menggantikan sepuluh simbol oleh simbol tunggal yang nilainya lebih tinggi diatasnya.

Pecahan untuk orang Mesir Kuno terbatas pada pecahan tunggal (dengan pengecualian dari

yang sering kali digunakan

dan kurang sering digunakan

). Sebuah pecahan tunggal adalah

bentuk

dimana n adalah bilangan bulat dan dalam angka hieroglif diwakili dengan

menempatkan simbol yang mewakili sebuah “mulut”, yang berarti “bagian”, di atas nomor

tersebut.

Berikut adalah beberapa contoh:

Perhatikan bahwa ketika bilangan yang mengandung terlalu banyak simbol “bagian”,

ditempatkan di atas bilangan bulat, seperti dalam

, maka simbol “bagian” ditempatkan di atas

Contoh tulisan bilangan 276 dalam hieroglif terlihat pada batu

ukiran dari Karnak, berasal dari sekitar 1500 SM, dan sekarang

berada dipamerkan di Louvre, Paris.

lxxxviii

“bagian pertama” bilangan. Simbol diletakkan di atas bagian pertama karena bilangan ini dibaca

dari kanan ke kiri.

Dalam menuliskan bilangan, susunan desimal terbesar ditulis lebih dahulu. Bilangan ditulis

dari kanan ke kiri. Misal 46,206 :

Hieroglif melalui 3 periode peradaban berbeda yaitu :

1. Kerajaan tua sekitar 2700 SM sampai 2200 SM

Bukti dari penggunaan matematika di Kerajaan tua adalah langka, tapi dapat disimpulkan

dari contoh catatan pada satu tembok dekat Mastaba di Meidum yang memberikan petunjuk

untuk kemiringan lereng dari Mastaba. Garis pada diagram diberi jarak satu cubit dan

memperlihatkan penggunaan dari unit dari pengukuran.

2. Kerajaan Tengah sekitar 2100 SM sampai 1700 SM

Dokumen matematis paling awal yang benar tertanggal antara dinasti ke-12. Lembaran

Matematis Rhind yang tertanggal pada Periode Perantara berdasarkan satu teks matematis tua

dari dinasti ke-12. Lembaran Matematis Moscow dan Lembaran Matematis Rhind adalah

teks masalah matematis. Terdiri dari satu koleksi masalah dengan solusi. Teks ini mungkin

telah ditulis oleh seorang guru atau seorang murid yang terlibat dalam pemecahan masalah

matematika.

3. Kerajaan Baru sekitar 1600 SM sampai 1000 SM

Selama Kerajaan Baru masalah matematis disebutkan pada Lembaran Anastasi 1, dan

Wilbour Lembaran dari waktu Ramesses III mencatat pengukuran lahan. Angka hieroglif

agak berbeda dalam periode yang berbeda, namun secara umum mempunyai style serupa.

Sistem bilangan lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan di lembaran,

terdiri dari angka hieratic.

Angka ini memungkinkan bilangan ditulis dalam bentuk yang jauh lebih rapi dari

sebelumnya saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih banyak simbol yang harus

dihafal. Ada symbol terpisah untuk :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,

lxxxix

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900,

1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000

Berikut adalah versi dari angka hieratic

Sistem bilangan ini dapat dibentuk dari beberapa simbol. Angka 9999 hanya memiliki 4 simbol

hieratic sebagai pengganti 36 hieroglif. Salah satu perbedaan utama antara angka keramat dan

sistem bilangan adalah angka keramat tidak membentuk sistem posisi sehingga angka tertentu

dapat ditulis dalam urutan apapun.

Berikut ini adalah salah cara orang Mesir menulis 2765 dalam angka hieratic.

Perbedaanya hanya urutan penulisanya, dari kanan atau kiri.

Seperti hieroglif, simbol hieratic berubah dari waktu ke waktu tetapi mengalami perubahan lagi

dengan enam periode yang berbeda. Awalnya simbol-simbol yang digunakan cukup dekat

hubungannya dengan tulisan hieroglif namun bentuknya menyimpang dari waktu ke waktu.

Versi yang diperlihatkan dari angka hieratic dari sekitar 1800 SM. Kedua sistem berjalan secara

paralel selama sekitar 2000 tahun dengan simbol hieratic yang digunakan dalam menulis di

Lembaran, seperti misalnya dalam Lembaran Rhind dan Lembaran Moskow, sementara hieroglif

terus digunakan ketika dipahat pada batu.

xc

Penjumlahan pada sistem bilangan Mesir

Perkalian pada sistem bilangan Mesir

Perkalian dalam sistem bilangan Mesir dikerjakan dari pengulangan pelipatgandaan bilangan

dengan unsur pengalinya kemudian menjumlahkannya.

Pembagian pada sistem bilangan Mesir

Misalnya untuk

, untuk kasus ini, akan difikirkan 7 kali suatu bilangan akan menghasilkan

98

1

2*

4*

8*

2 + 4 + 8 = 14

7

14*

28*

56*

14 + 28 + 56 = 98

Pasangan bilangan di kolom sebelah kiri

dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi.

Jadi, jawabannya adalah 14.

C. Cara Jitu Perhitungan Orang Mesir Kuno

Jauh sebelum kalkulator ada atau bahkan matematika modern, orang Mesir telah menemukan

cara jitu menentukan jumlah bilangan besar dengan cepat. Inilah metodenya.

Misalnya, Ada soal:

Pada selembar kertas, membuat garis untuk memisahkan dua kolom. Kemudian, isi kolom ke

bawah di sebelah kiri, dimulai dengan bilangan 1. Gandakan dan tulis 2 dibawahnya, lalu

gandakan 2 itu sehingga mendapatkan angka 4, dan seterusnya.

Kemudian isi kolom di bawah kanan, tulis bilangan yang ingin dikalikan (dalam hal ini, adalah

12). Dibawah 12, gandakan dan tulis 24. Gandakan lagi 24 dan tulis 48, dan seterusnya.

Kolom akan terlihat seperti ini:

Sekarang cari angka di kolom kiri yang kalau ditambahkan akan

menghasilkan angka pertama yang ingin dikalikan (dalam soal

ini, 13). Angka 1+4+8=13, lalu garis bawahi bilangan di kolom

kanan diseberang nomor ini. Tambahkan angka ini (12+48+96)

dan mendapatkan 156, yang adalah jawaban tepat dari 13 x 12.

Orang-orang Mesir kuno juga menggunakan kolom seperti ini untuk membagi jumlah besar.

xci

D. Bukti Matematika Mesir

1. Lembaran Rhind

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang

disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun

1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari

Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran Rhind adalah salinan dari

sebuah Kerajaan sebelumnya. Lembaran Rhind disalin dari seorang penulis yang bernama

Ahmose ditahun 1650 SM. Dimana pada waktu itu, Joseph menjadi Gurbenur di Mesir.

Alexander Henry Rhind memperolehnya di Luxor, Mesir ditahun 1858 dan kemudian

membelinya dimuseum Inggris pada tahun 1865.

Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain

memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan,

lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan

komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman

sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran

itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan

geometri.

Juga tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan

paling sederhana mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran π yang

akurat kurang dari satu persen; (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran; dan (3)

ketiga, penggunaan terdini cotangen.

xcii

Gambar 9.1. Lembaran Matematika Rhind

2. Lembaran Moskow

Gambar 9.2. Lembaran Matematika Moskow

Naskah matematika Mesir yang penting lainnya adalah lembaran Moskow, juga dari

zaman Kerajaan Pertengahan, ditemukan sekitar tahun 1890 SM. Namun, lembaran

matematika Moskow tercatat tahun 1850 SM sewaktu Abraham V. S Golenishchev

memperolehnya di tahun 1893 dan membawanya ke Moskow. Naskah ini berisikan soal kata

atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang memiliki

xciii

kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh volume limas

terpenggal: "Jika dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang, yakni 4 satuan

panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Kemudian, menguadratkan 4, sama dengan

16. Lalu menduakalilipatkan 4, sama dengan 8. Selanjutnya, menguadratkan 2, sama dengan

4. Dan menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama dengan 28. Kemudian ambil sepertiga dari 6, sama

dengan 2. Serta ambil dua kali lipat dari 28, sama dengan 56. Maka hasilnya sama dengan

56."

Permasalahan yang paling menarik dari lembaran Moskow dalam masalah 14. Hal

tersebut mengenai perhitungan volume dari sebuah limas, dengan menggunakan rumus yang

benar, limas adalah sebuah piramida dengan potongan yang sama pada puncaknya. Jika limas

tersebut adalah limas dengan alas persegi dan sisi alasnya adalah dan garis yang

menghubungkan alas dengan puncak limas adalah sisi dan jika tingginya adalah , orang-

orang Mesir Kuno menyatakan volume dari limas adalah : .

Catatan, Jika , maka dinyatakan rumus volume piramida dengan alas persegi yaitu

.

3. Lembaran Berlin

Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno

dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.

E. Temuan Matematika Mesir

1. Pythagoras

Phytagoras sudah tahu tentang luas sisi miring sejak 2500 tahun yang lalu. Perjalanan

Phytagoras memperoleh pengetahuan dari orang Mesir Kuno. Saat masih muda, Pythagoras

berguru kepada Thales (salah satu orang paling bijaksana di Athena), dan sang guru

menyarankan Phytagoras muda pergi ke Mesir untuk belajar matematika.

Dari pengamatan Pythagoras melihat orang-orang Mesir menggunakan mistar dan tali

pembanding untuk menghitung tinggi bangunan, maka ia terinspirasi untuk membuat hukum

matematika untuk menghitung tinggi dan sisi miring segitiga siku-siku. Dari kunjungan ke

Mesir itulah Pythagoras lalu memperkenalkan prinsip yang dikenal dengan hukum

Pythagoras, yang tentu saja berguna bukan hanya untuk mengukur tinggi piramid atau

obelisk, tetapi juga untuk mengukur tinggi dan jarak hampir segala sesuatu di bumi, termasuk

xciv

ketika modifikasi dari hukum Pythagoras ini digunakan oleh Eratosthenes untuk mengukur

lingkar bumi. Sehingga tanpa adanya Mesir Kuno, tidak ada segitiga Pythagoras.

2. Segitiga

Tahun 2450 SM (orang-orang Mesir Kuno telah memulai perhitungan tentang unsur-

unsur segitiga dan menemukan segitiga keramat dengan sisi-sisi 3, 4 dan 5).

Dalam perancangan Piramida Cherpen orang-orang Mesir Kuno menggunakan konsep

Segitiga Suci Mesir (Sacred Triangle) dengan perbandingan sisi-sisinya 3:4:5 yang dengan

nama lain disebut sebagai segitiga Phytagorean dan pada Piramida Khufu disebut Segitiga

Emas (The Golden Triangle). Dengan mengukur batang menurut garis dari jaringan geometri

di heptagonal. Proyek Piramida Cherpen dan Khufu menggunakan metode pengukuran dan

sudut pandang yang berbeda. Penyelidikan-penyelidikan yang baru agaknya menunjukkan

bahwa orang Mesir Kuno mengetahui bahwa luas setiap segitiga ditentukan oleh hasil kali

alas dan tinggi. Beberapa soal nampaknya membahas cotangent dari sudut dihedral antara

alas dari sebuah permukaan piramida, dan beberapa lagi menunjukkan perbandingan. Dalam

sumber-sumber Mesir,

telah dipakai untuk menemukan luas dari segiempat

panjang dengan sisi-sisi berturut-turut a, b, c, dan d.

3. Nilai Phi

Tahun 1650 SM (orang Mesir Kuno menemukan nilai phi (π) yaitu 3,16). Sumber

informasi matematika Mesir Kuno adalah Lembaran Moskow dan Lembaran Rhind.

Lembaran Moskow berukuran tinggi 8 cm dan lebar 540 cm sedangkan Lembaran Rhind

memiliki tinggi 33 cm dan lebar 565 cm. Dari 100 soal-soal dalam Lembaran Moskow dan

Rhind terdapat 26 soal bersifat geometris. Sebagian besar dari soal-soal tersebut berasal dari

rumus-rumus pengukuran yang diperlukan untuk menghitung luas tanah dan isi lumbug padi-

padian. Luas sebuah lingkaran dipandang sama dengan kuadrat

kali garis tengahnya. Jadi

jika diuraikan kira-kira seperti ini:

Luas lingkaran =

Diketahui bahwa ,

xcv

sehingga diperoleh: luas lingkaran =

=

=

=

Sehingga orang Mesir Kuno telah menemukan nilai phi (π) yaitu 3,16.

Orang Mesir memiliki sistem penulisan yang didasarkan pada hieroglif , hieroglif adalah

gambar kecil yang mewakili kata-kata. Orang Mesir memiliki sistem bilangan basis 10 hieroglif.

Berarti bahwa orang Mesir memiliki simbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan,

puluh ribuan, ratus ribuan, dan jutaan. Angka hieretic memungkinkan bilangan ditulis dalam

bentuk yang jauh lebih rapi dari sebelumnya saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih

banyak simbol yang harus dihafal. Perhitungan orang Mesir yaitu dengan memisahkan 2 bilangan ke

dalam dua kolom, akan menghasilkan nilai yang tepat.

Bukti-bukti Mesir Kuno antara lain Lembaran Rhind, Lembaran Moskow, dan Lembaran

Berlin. Lembaran Rhind berasal memiliki tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran

Rhind menyiratkan bahasan paling sederhana mengenai geometri analitik: cara memperoleh

hampiran π yang akurat kurang dari satu persen; upaya kuno penguadratan lingkaran; dan

penggunaan terdini cotangen. Naskah matematika Mesir yang penting lainnya adalah lembaran

Moskow, berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

xcvi

Mengenai perhitungan volume dari sebuah limas. Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300

SM) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.

Hasil temuan matematika Mesir Kuno adalah Pythagoras, segitiga, dan nilai phi (π).

Pythagoras terinspirasi untuk membuat hukum matematika untuk menghitung tinggi dan sisi miring

segitiga siku-siku. Lalu memperkenalkan prinsip yang dikenal dengan hukum Pythagoras, sehingga tanpa

adanya Mesir Kuno, tidak ada segitiga Pythagoras. Selain itu segitiga, penyelidikan-penyelidikan yang

baru menunjukkan bahwa orang Mesir Kuno mengetahui bahwa luas setiap segitiga ditentukan

oleh hasil kali alas dan tinggi, serta nilai phi

xcvii

SEJARAH

MATEMATIKA

MAYA DAN INCA

Peradaban Maya, di dalam dan sekitar Guatemala, menemukan dan menggunakan konsep

Zero (angka nol) sebelum budaya lain menemukannya. Sistem tersebut hanya menggunakan jari

tangan, Zero diwakili dengan shell. Sistem desimal matematika banyak digunakan saat ini

contohnya adalah 1, 10, 100, 1000, 10000, dan sebagainya, sedangkan sistem vigesimal Maya

sebagai berikut 1, 20, 400, 8000, 160.000, dll. Sementara dalam sistem desimal terdapat sepuluh

angka yang mungkin untuk setiap placeholder 0 - 9, dalam sistem vigesimal placeholder Maya,

masing-masing memiliki kemungkinan angka dua puluh 0-19. Sebagai contoh dalam sistem

desimal 33 = 10 x 3 + 3, sementara dalam sistem vigesimal 33 = 20 + 13. Ini hanya

menggunakan tiga simbol, sendirian atau dikombinasikan, untuk menulis banyaknya angka. Ini

adalah dot - senilai 1 unit, bar - senilai 5 unit dan nol dilambangkan oleh shell.

Suku Inca telah mengembangkan metode pencatatan informasi numerik yang tidak

memerlukan penulisan. Sebagai gantinya suku Maya menggunakan simpul dalam string yang

disebut quipu. Quipu adalah sebuah perangkat penyimpanan. Ingat bahwa Inca tidak memiliki

catatan tertulis dan sebagainya, namun quipu memainkan peran utama dalam administrasi

kerajaan Inca karena digunakan untuk memperoleh informasi numerik untuk disimpan

xcviii

A. Sistem Matematika Maya

Suku Maya mendiami daerah Meksiko Selatan dan bagian-bagian Amerika Tengah lainnya.

Pusat kebudayaannya terdapat di Semenanjung Yukatan. Kota paling awal berdirinya

diperkirakan pada abad ke-3 di hutan Guatemala yang lebat dan yang terakhir diperkirakan

dibangun pada abad ke-10 dan abad ke-11 pada sebuah dataran di Yukatan bagian Utara. Kota-

kota ini merupakan peninggalan orang-orang Maya yang memiliki tingkat kebudayaan yang

tinggi dengan catatan arsitektur paling beraneka ragam dan paling maju. Kebudayaan suku Maya

ini berkembang dari abad ke-1 S M sampai mulainya penggalan Masehi.

Kebudayaan Maya berpusat pada kehidupan agraris. Mereka menanam jagung, merica dan

buah-buahan. Mereka memelihara kalkun dan anjing serta menangkap ikan di sepanjang pantai.

Mereka juga memintal kapas dan menjualnya ke tempat lain. Dengan demikian, dapat

disimpulkan bahwa orang-orang Maya melakukan kegiatan perdagangan selain bertani. Mereka

membawa barang dagangannya langsung pada pembeli yang jaraknya sangat jauh di Amerika

Tengah.

Perkembangan ilmu pengetahuan

Bangsa Maya telah memiliki sistem tulisan yang mirip dengan

Hierogliyph. Tulisan ini digunakan untuk mencatat peristiwa

penting. Tulisan yang mereka kembangkan berfungsi pula

sebagai sejarah pencatat kelahiran, perkawinan, dan kematian raja-raja Maya. Bangsa Maya

telah menemukan dan menggunakan nol sebelum bangsa lain menggunakannya. Tulisan –

tulisan tersebut banyak ditemukan dalam prasasti tertua Maya yang dikenal dengan Zero are the

Stelas.

Dengan berkembangnya tulisan, ilmu pengetahuan pun berkembang, bangsa ini telah mengenal

kalender dengan tahunnya berjumlah 18 bulan yang tiap bulannya berjumlah 20 hari, dan ada

yang satu bulan berjumlah 5 hari. Sehingga pertahun ada 365 hari. Mereka juga telah

mengembangkan matematika. Selain itu, astronomi ialah salah satu ilmu yang mereka

kembangkan.

Bangunan dan Arsitektur Bangsa Maya kuno adalah sebuah monumen dan mendirikan kota batu

megah untuk para dewa. Sedikitnya ada 80 situs penting peninggalan orang-orang Maya

bertebaran di Amerika Tengah. Beberapa situs kuil bertinggi lebih dari 60 meter. Uaxactun

adalah peninggalan di daerah Maya bagian tengah yang umurnya lebih muda. Salah satu

xcix

bangunan yang berupa pelataran bekas kaki kuil berbentuk piramid bertangga terpancang

dengan tampak muka berhias. Bangunan ini didirikan sekitar tahun 250 Masehi. Peninggalan

semacam ini ditemukan di daerah Maya bagian utara.

Bangsa Maya sangat memperhatikan ilmu perbintangan, baik di dalam maupun di luar bangunan

semuanya adalah angka yang berhubungan dengan hukum peredaran benda langit. Selain

jumlah undakan tangga, pada 4 bagian piramida masing-masing terdapat 52 buah relief,

menandakan satu abad bangsa Maya adalah 52 tahun. Observatorium astronomi bangsa Maya

juga memiliki bentuk bangunan yang sangat spesifik. Dilihat dari sudut pandang masa kini,

secara fungsional maupun bentuk luar observatorium bangsa Maya sangat mirip dengan

observatorium masa kini, sebagai contoh misalnya menara pengamat observatorium Kainuoka,

di atas teras yang indah dan sangat besar pada menara tersebut, terdapat undakan kecil

bertingkat-tingkat yang menuju ke teras. Ada beberapa kemiripan dengan observatorium

sekarang, juga merupakan sebuah bangunan tingkat rendah yang berbentuk tabung bundar,

pada bagian atas terdapat sebuah

kubah yang berbentuk setengah bola,

kubah ini dalam rancangan

observatorium sekarang adalah tempat

untuk menjulurkan teropong

astronomi. Empat buah pintu di lantai

yang rendah tepat mengarah pada 4

posisi. Jendela di tempat itu

membentuk 6 jalur hubungan dengan

serambi muka, paling sedikit tiga di antaranya berhubungan dengan astronomi. Salah satunya

berhubungan dengan musim semi (musim gugur), sedangkan dua lainnya berhubungan dengan

aktivitas bulan.

Menara pengamat observatorium Kainuoka ini adalah peninggalan terbesar dalam sejarah,

peninggalan sejarah yang lain juga memiliki bangunan yang serupa. Semuanya dalam posisi yang

saling merapat dengan matahari dan bulan. Belakangan ini arkeolog beranggapan bahwa

astronom bangsa Maya pada zaman purbakala telah membangun jaringan pengamat astronomi

pada setiap wilayahnya.

c

1. Tokoh Yang Berperan Tentang Bangsa Maya

Hernán Cortés, dia antusias dengan cerita-cerita dari tanah yang baru saja ditemukan Columbus,

berlayar dari Spanyol pada tahun 1505 mendarat di Hispaniola yang sekarang Santo Domingo.

Setelah pertanian di sana selama beberapa tahun ia berlayar dengan Velázquez untuk

menaklukkan Kuba pada tahun 1511. Pada tanggal 18 Februari 1519, ia berlayar ke pantai dari

Yucatán dengan kekuatan 11 kapal, 508 tentara, 100 pelaut, dan 16 kuda. Ia mendarat di

Tabasco di pantai utara Semenanjung Yucatán

Diego de Landa. Saat umurnya 17 tahun, ia bergabung dengan Ordo Fransiskan pada

tahun 1541 dan meminta agar dia dikirim ke Dunia Baru sebagai misionaris. Landa

membantu bangsa Maya di Semenanjung Yucatán untuk melindungi penduduk Maya dari

para penjajah Spanyol.

Sejumlah kecil dokumen Maya yang dapat

diselamatkan. Yang paling penting adalah Dresden

Codex sekarang disimpan di Sächsische

Landesbibliothek Dresden, Codex Madrid sekarang

disimpan di Museum Amerika di Madrid, dan Paris

Codex sekarang di Bibliothèque national di Paris.

Codex Dresden adalah catatan tentang astronomi, yang

berasal dari abad delapan Masehi.

2. Ilmu Pengetahuan Bangsa Maya dalam Matematika

Bangsa Maya merancang sebuah sistem penghitungan yang dapat mewakili jumlah yang sangat

besar dengan hanya menggunakan 3 simbol yaitu sebuah titik, bar, dan sebuah simbol untuk nol,

biasanya shell. Seperti system penomoran kita, mereka menggunakan nilai tempat untuk

mengembangkan sistem ini. Sistem mereka memiliki dua perbedaan yang signifikan dari sistem yang

kami gunakan adalah:

1. Nilai tempat yang disusun secara vertikal, dan

2. Maya menggunakan basis 20, atau vigesimal

sistem. Yang berarti, bukan angka di posisi kedua

memiliki nilai 10 kali dari angka (seperti pada 11-1

× 10 + 1 × 1), dalam sistem Maya, jumlah di tempat

ci

kedua memiliki nilai 20 kali nilai angka

tersebut. Jumlah di tempat ketiga

memiliki nilai (20)2

atau 400. Prinsip ini

digambarkan dalam bagan di bawah ini.

Kadang-kadang jumlah ini akan diungkapkan dalam singkatan 3.10.6.13.17 dalam

tulisan-tulisan tentang sistem penghitungan Maya, terutama ketika membahas tanggal yang

dicatat dalam stele atau monumen. Dengan menggunakan sistem ini untuk menyatakan angka

memiliki 2 keuntungan:

1). Jumlah besar dapat dengan mudah dinyatakan, waktu lama sehingga dapat direkam; dan

2). Aritmatika sederhana dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan tanpa perlu untuk keaksaraan

masyarakat. Di pasar, tongkat dan kerikil, tulang kecil dan biji kakao, atau item lainnya siap di

tangan dapat digunakan untuk menyatakan angka dalam cara yang sama bahwa mereka disajikan

pada monumen-monumen atau dalam buku-buku kelas atas. Penambahan Wikipedia dapat

dilakukan hanya dengan menggabungkan 2 atau lebih set simbol (dalam himpunan yang sama

itu). Hal ini ditunjukkan di bawah ini.

Untuk aritmatika lebih rumit (687 + 874 = 1.561), Anda harus ingat bahwa Anda hanya

membawa meminjam atau bila Anda mencapai 20, bukan 10, seperti yang ditunjukkan

di bawah ini.

cii

Penting untuk dicatat bahwa, sistem ini berbeda dengan yang digunakan di Mesoamerika.

Sementara masyarakat Eropa masih berkutat dengan sistem angka Romawi. Sistem tersebut tidak

dapat diterima oleh masyarakat Eropa karena tidak ada nol (0) dan yang bertentangan dengan

sistem Maya, jumlahnya sepenuhnya simbolik, tanpa hubungan langsung dengan jumlah barang

yang diwakili. Tidak diketahui apakah suatu sistem dikembangkan untuk perkalian dan

pembagian.

3. Kalender Bangsa Maya

Mari kita mengatakan sedikit tentang kalender Maya sebelum kembali ke sistem jumlah

mereka, untuk kalender berada di balik struktur sistem bilangan. Dasar dari sistem berbasis 20

memainkan peran utama dalam struktur kalender.

Maya memiliki dua kalender. Salah satunya adalah kalender ritual, yang dikenal sebagai

Tzolkin, terdiri dari 260 hari. Isinya 13 "bulan" masing-masing 20 hari. Kalender kedua adalah

kalender sipil, terdiri dari 365 hari yang disebut Haab. Kalender ini terdiri dari 18 bulan masing-

masing 20 hari dan "bulan" singkat hanya 5 hari yang disebut Wayeb. The Wayeb dianggap

sebagai periode sial dan Diego de Landa menulis dalam teks klasik bahwa Maya tidak mencuci,

menyisir rambut mereka atau melakukan kerja keras selama lima hari. Setiap orang lahir pada

hari ini akan memiliki nasib buruk, tetap miskin dan tidak bahagia sepanjang hidup mereka.

Mengapa kemudian kalender ritual yang didasari pada 260 hari? Salah satu saran adalah

bahwa sejak Maya tinggal di daerah tropis matahari tepat di atas kepala dua kali setiap tahun.

Mungkin mereka mengukur 260 hari dan 105 hari sebagai periode berturut-turut antara matahari

secara langsung overhead (fakta bahwa hal ini benar untuk Semenanjung Yucatán, namun tidak

dapat diambil untuk membuktikan teori ini). Sebuah teori yang kedua adalah bahwa Maya

memiliki 13 dewa dari "dunia atas", dan 20 hari adalah ritual seorang manusia untuk menyembah

dewa, sehingga memberikan setiap dewa 13 bulan dan 20 hari sebagai kalender ritual 260 hari.

ciii

Setiap tingkat memiliki dua kalender, satu dengan 260 hari dan yang lainnya dengan 365

hari, berarti bahwa kedua kalender akan kembali ke siklus yang sama setelah LCM (260, 365) =

18.980 hari. Sekarang ini setelah 52 tahun sipil (atau 73 tahun ritual) dan memang Maya

memiliki siklus suci yang terdiri dari 52 tahun.

4. Astronomi Bangsa Maya

Akhirnya kita harus mengatakan sedikit tentang

kemajuan Maya dalam astronomi. Perhatian Maya untuk

memahami siklus benda langit, terutama Matahari, Bulan dan

Venus, membawa mereka untuk mengumpulkan satu set besar

pengamatan yang sangat akurat. Sebuah aspek penting dari kosmologi mereka adalah mencari

siklus utama, di mana posisi beberapa objek diulang.

Maya melakukan pengukuran astronomi dengan akurasi yang luar biasa namun mereka

tidak memiliki instrumen lain selain tongkat. Mereka menggunakan dua tongkat dalam bentuk

salib, melihat obyek astronomi melalui sudut yang tepat yang dibentuk oleh tongkat. Bangunan

Caracol di Chichen Itza dianggap oleh penduduk sekitar sebagai observatorium Maya. Banyak

jendela bangunan diposisikan berbaris ke arah matahari terbenam pada ekuinoks musim semi 21

Maret dan juga baris tertentu dari pandangan yang berkaitan dengan bulan.

Dengan instrumen mentah seperti Maya mampu menghitung panjang tahun yang akan

365,242 hari (nilai modern adalah 365,242198 hari). Dua perhitungan yang luar biasa lebih lanjut

dari panjang bulan lunar. Pada Copan (sekarang di perbatasan antara Honduras dan Guatemala)

para astronom Maya menemukan bahwa 149 bulan lunar berlangsung 4400 hari. Hal ini

memberikan 29,5302 hari panjang bulan lunar. Pada Palenque di Tabasco mereka menghitung

bahwa 81 bulan lunar berlangsung 2392 hari. Hal ini memberikan 29,5308 hari panjang bulan

lunar. Nilai modern 29,53059 hari. Apakah ini bukan prestasi yang luar biasa?

Namun sangat sedikit prestasi matematika lain dari Maya. Groemer menjelaskan tujuh

jenis hiasan dekorasi yang terjadi pada bangunan Maya dari periode 600 masehi sampai 900

masehi di wilayah Puuc dari Yucatán. Kawasan tersebut meliputi reruntuhan di Ka'bah dan

Labna. Groemer memberikan 25 ilustrasi friezes yang menunjukkan cipta Maya dan intuisi

dekorasi geometris dalam arsitektur tersebut.

B. Matematika Inca

civ

Kerajaan Inca yang ada pada tahun 1532, sebelum menaklukan Spanyol. Kerajaan Inca

tersebar di wilayah yang membentang dari apa yang sekarang menjadi perbatasan utara Ekuador

ke Mendoza di Argentina barat-tengah dan Sungai Maule di Chili tengah. Orang-orang Inca

berjumlah sekitar 12 juta, namun mereka berasal dari banyak kelompok etnis yang berbeda dan

berbicara sekitar 20 bahasa yang berbeda. Peradaban telah mencapai tingkat kecanggihan yang

tinggi dengan sistem yang luar biasa seperti : jalan, pertanian, desain tekstil, dan administrasi.

Suku Inca telah mengembangkan metode pencatatan informasi numerik yang tidak memerlukan

penulisan. Hal tersebut adalah simpul dalam string yang disebut Quipu.

Quipu adalah sebuah perangkat penyimpanan yang digunakkan dalam administrasi

kerajaan Inca untuk menyimpan informasi numerik. Mari kita menggambarkan quipu dasar,

dengan sistem angka posisi, dan kemudian melihat cara yang digunakan dalam masyarakat Inca.

Quipu ini terdiri dari senar yang kusut untuk mewakili angka. Sejumlah angka diwakili

oleh simpul dalam string, menggunakan basis representasi 10 posisi.

Contohnya : 586 pada sebuah quipu.

Untuk angka yang lebih besar kelompok simpul lebih banyak digunakan, satu untuk

setiap pangkat 10, dengan cara yang sama dengan digit angka sistem yang kita gunakan di sini

adalah terjadi pada posisi yang berbeda untuk menunjukkan jumlah kekuatan yang sesuai dari 10

dalam posisi itu.

Ada banyak gambar dan deskripsi quipus yang dibuat oleh para penjajah Spanyol seperti

Garcilaso de la Vega. Garcilaso de la Vega mempunyai ibu yang berasal dari bangsa Inca dan

yang ayahnya dari bangsa Spanyol.

Sesuai dengan posisi mereka, knot ditandakan unit, puluhan, ratusan, ribuan, dst dan

angka tersebut digambarkan di atas tali yang berbeda. Pada zaman sekarang tentu saja rekaman

angka pada tali itu tidak berguna. Untuk membedakan penghitungan jumlah benda yang berbeda

cv

adalah dengan menggunakan warna. Bilangan direkam pada string dari suatu warna tertentu

untuk mengidentifikasi nomor apa yang sedang digunakan. Misalnya jumlah sapi dapat terekam

pada string hijau sedangkan jumlah domba dapat terekam pada string putih. Warna masing-

masing memiliki beberapa arti, beberapa ide-ide yang abstrak, beberapa beton seperti dalam

contoh sapi dan domba. String Putih memiliki arti abstrak "damai" sementara string merah

memiliki arti abstrak "perang".

Seperti halnya warna pengkodean, cara lain untuk membedakan string adalah string yang

membuat beberapa anak tali yang terikat ke tengah string utama.

Quipu dengan anak tali.

1. Pendidikan Inca

Inca menggunakan quipu (simpul tali/string), untuk tujuan akuntansi dan sensus. Banyak

informasi di quipus telah terbukti menjadi data numeric, beberapa angka tampaknya telah

digunakan sebagai label nemonik, dan warna, jarak, dan struktur informasi quipu. Dalam

menginterpretasikan kode atau data non-numerik masih belum diketahui. Meskipun bergantung

pada transmisi lisan untuk menjaga dan melestarikan budaya mereka. Pendidikan Inca dibagi

menjadi dua kategori yang berbeda: pendidikan kejuruan untuk Inca umum, dan pelatihan formal

bagi kaum bangsawan.

2. Seni dan Teknologi Inca

cvi

Arsitektur Inca adalah yang paling penting dari seni Inca, tembikar dan tekstil dengan

motif yang mencerminkan pada ketinggian mereka dalam arsitektur. Batu candi yang dibangun

tanpa menggunakan mortar. Batuan yang digunakan dalam konstruksi adalah sculpted. Di daerah

ini mempunyai sumber daya batu yang lebih sedikit, bangunan dibangun dengan menggunakan

bahan seperti adobe bata lumpur, yang kemudian akan diaduk dalam semen dan dicat untuk daya

tahan tambahan. Pada akhir penyelesaian Inca dari Tambo Colorado , misalnya, warna sering

digunakan dalam bentuk strip horisontal warna merah, hitam, putih, dan kuning oker atas

plesteran, dan variasi warna akan menonjolkan fitur arsitektur seperti ceruk.

Inca memiliki luas sistem jalan yang terdiri dari dua jalan utama seperti yang dijelaskan

dalam kutipan berikut dengan Cieza de Léon: “Inca membangun dua jalan panjang negara. Yang

pertama melalui dataran tinggi untuk jarak 3.250 mil, dan mengikuti Jalan Pesisir pantai untuk

2.520 mil”.

3. Pertanian Inca

Penduduk Inca tinggal di daerah pegunungan, yang berbatu dan tidak baik untuk

pertanian. Untuk mengatasi masalah ini, teras dipotong menjadi lereng curam, yang dikenal

sebagai Andenes, dalam rangka untuk menanam tanaman. Mereka juga menggunakan irigasi.

Mereka menanam jagung, quinoa, labu, tomat, kacang tanah, cabai, melon, kapas, dan kentang.

Sumber makanan utama mereka adalah kentang, tidak seperti Maya, sumber makanan utamanya

adalah jagung. Inca adalah peradaban pertama dalam menanam dan panen kentang. Quinoa juga

merupakan tanaman utama. Penduduk Inca akan menggunakan bibit mereka untuk membuat

makanan yang berbeda.

Inca adalah peradaban pertama yang menggunakan metode batu-kering (lumbung pada

terbuat dari batu) untuk menyimpanan.

Dari pembahasan diatas didapat bahwa peradaban Maya, di dalam dan sekitar Guatemala,

menemukan dan menggunakan konsep Zero (angka nol) sebelum budaya lain menemukannya.

Sistem tersebut hanya menggunakan jari tangan, Zero diwakili dengan shell. Sistem desimal

matematika banyak digunakan saat ini contohnya adalah 1, 10, 100, 1000, 10000, dan

sebagainya, sedangkan sistem vigesimal Maya sebagai berikut 1, 20, 400, 8000, 160.000, dll.

Sementara dalam sistem desimal terdapat sepuluh angka yang mungkin untuk setiap placeholder

cvii

0 - 9, dalam sistem vigesimal placeholder Maya masing-masing memiliki kemungkinan angka

dua puluh 0-19. Sebagai contoh, dalam sistem desimal 33 = 10 x 3 + 3 sementara dalam sistem

vigesimal 33 = 20 + 13. Ini hanya menggunakan tiga simbol, sendirian atau dikombinasikan,

untuk menulis banyaknya angka. Ini adalah dot - senilai 1 unit, bar - senilai 5 unit dan nol

dilambangkan oleh shell.

Kemudian suku Inca berkembang telah mengembangkan metode pencatatan informasi

numerik yang tidak memerlukan penulisan. Sebagai gantinya suku Maya menggunakan simpul

dalam string yang disebut quipu. Quipu itu tidak seperti kalkulator, melainkan adalah sebuah

perangkat penyimpanan. Ingat bahwa Inca tidak memiliki catatan tertulis dan sebagainya, namun

quipu memainkan peran utama dalam administrasi kerajaan Inca karena digunakan untuk

memperoleh informasi numerik untuk disimpan.

cviii

SEJARAH

KALKULUS

Kalkulus bagian dari matematika, memiliki sisi yang tidak terpisahkan yaitu sejarah.

Sejarah Kalkulus terpusat pada limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Mata kuliah

Kalkulus yang menurut sejarah dikenal sebagai perhitungan diferensial dan integral merupakan

sebuah bagian utama dari pendidikan matematika modern. Mata pelajaran kalkulus adalah pintu

gerbang menuju rangkaian pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus

mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan Analisis Matematika. Kalkulus

lebih dari suatu alat teknik, bahkan ia merupakan suatu sumber gagasan-gagasan yang memikat

dan mengagumkan yang telah menarik perhatian dari berbagai ahli pikir selama berabad-abad.

Para ahli pikir harus bekerja dengan gagasan-gagasan mengenai kecepatan, luas, isi kecepatan

tumbuh kekontinuan, garis singgung serta konsep konsep yang lain dari berbagai bidang.

Gagasan - gagasan para ahli dalam suatu bentuk perumusan yang khusus yang disertai dengan

cix

pemecahan masalahnya. Aspek yang menarik perhatian dari Kalkulus adalah kekuatan

mempersatukannya.

A. Sejarah Kalkulus

Kalkulus berasal dari kata dalam bahasa Latin calculus, yang mempunyai arti "batu

kecil" untuk menghitung. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan

kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus diferensial

mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya sedangkan

Kalkulus Integral mempelajari persoalan rumus luas dan volume.

1. Perkembangan Kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus dapat dilihat dari beberapa periode zaman yaitu:

a. Zaman Kuno

b. Zaman Pertengahan

c. Zaman Modern

a. Zaman Kuno

Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi

tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan

fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (1800

SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung.

Gambar 12.1. Kalkulus pada Papirus Moskwa

Bangsa Yunani telah mencoba menentukan luas dengan suatu proses yang mereka sebut

dengan “The Method of Exhaustion” yang digagas oleh Eudoxus pada 370 SM. Metode tersebut

dinamakan demikian dikarenakan satu pikiran tentang ukuran tanah/lahan yang berkembang

sehingga mereka menghitung lagi dan lagi dari luas yang dikehendaki. Gagasan yang penting

dari metode ini sangat sederhana dan dapat dilukiskan dengan singkat sebagai berikut:

cx

“Diberikan suatu daerah yang luasnya akan ditentukan, kemudian kita buat di dalamnya

suatu daerah poligonal yang mendekati daerah yang diberikan dan kita dapat

menghitung luasnya dengan mudah. Kemudian dipilih daerah yang poligonial yang lain

yang memberikan suatu pendekatan yang lebih baik dan kita lanjutkan proses tersebut

dengan mengambil poligon-poligon dengan sisi yang semakin banyak, yang diistilahkan

mencoba untuk mengeringkan daerah yang diberikan.”

Archimedes seorang ilmuan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM)

mengembangkan “The Method of Exhaustion” lebih jauh dan menciptakan Heuristik yang

menyerupai kalkulus integral untuk mendapatkan rumus-rumus eksak luas-luas lingkaran dan

bangun-bangun khusus yang lain seperti piramida dan untuk menghitung luas daerah yang

dibatasi oleh parabola dan tali busur dan dengan penjumlahan barisan tak hingga. Kemajuan

pengetahuan pertama Archimedes yang pertama adalah menunjukan bahwa luas sebuah bagian

dari sebuah parabola adalah

luas sebuah segitiga dengan alas dan puncak yang sama dan

dari

daerah yang dibatasi jajaran genjang.

Archimedes telah mengkonsep sebuah deret tak hingga dari segitiga-segitiga dimulai

dengan satu bidang ∆ dan secara terus-menerus menambahkan segitiga selanjutnya diantara

yang sudah ada untuk mendapatkan luas

Terdapat ∆1, ∆2, ∆3, ∆4,…

Diketahui bahwa ∆2 + ∆3 =

∆1

∆1, ∆1 +

, ∆1 +

+

, ∆1 +

+

+

, ...

Oleh karena itu luas sebuah bagian dari sebuah parabola adalah

∆1 (1 +

+

+

+ ....) =

. ∆1

Ini adalah contoh yang pertama kali ditemukan dalam penyajian terakhir dari sebuah deret tak

hingga.

cxi

Gambar 12.2. Diagram Archimedes

Perkembagan dari metode ini, di luar apa yang telah ditemukan oleh Archimedes tidak dikenal

pada zaman Archimedes, maka harus ditunggu sampai 18 abad baru digunakan simbol-simbol

dan notasi aljabar sehingga menjadi salah satu bagian dari ilmu matematika. Secara bertahap

Metode Kelelahan lebih dikenal sebagai Kalkulus Integral, suatu disiplin ilmu yang mempunyai

kekuatan yang besar dengan penggunaan yang tidak hanya di bidang ilmu ukur saja, melainkan

juga untuk bidang lain yang lebih luas.

Pada kajian Kalkulus Diferensial, Archimedes juga adalah seorang matematikawan Yunani

yang pertama telah menemukan garis singgung ke dalam bentuk suatu kurva sambil mempelajari

sebuah spiral. Dia memisahkan titik pergerakan spiral kedalam dua komponen, satu komponen

gerakan radial dan satu komponen gerakan circular, dan kemudian melanjutkannya dengan

menggabungkan dua komponen gerakan secara bersamaan dengan demikian menemukan garis

singgung kedalam kurva.

b. Zaman Pertengahan

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil

takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan

diferensial dasar. Aryabhata juga sekitar tahun 500 menemukan volume kubus yang mana

meupakan sebuah langkah penting dalam perkembangan Kalkulus Integral. Langkah pokok

selanjutnya pada Kalkulus Integral pada abad ke-11, ketika Ibn al-Haytham (dikenal sebagai

Alchen in Eropa) seorang matematikawan Irak yang bekerja di Mesir, merancang sesuatu yang

pada saat sekarang diketahui sebagai “Alhazen’s problem”, yang sudah mengarah pada

persamaan pangkat empat yang terdapat dalam “Book of Optics”. Dia adalah matematikawan

pertama yang memperoleh penjumlahan pangkat menggunakan metode penyamarataan yang

cxii

sudah ada untuk menetapkan rumus umum penjumlahan sebarang pangkat bulat. Dia semakin

dekat untuk menemukan Integral Polinomial, tetapi dia tidak menyangkut pautkan dengan

Polinomial yang lebih tinggi dari pangkat empat.

Manjula, pada abad ke-10 menguraikan tafsiran persamaan diferensial. Persamaan inilah

yang nantinya mengarahkan Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal

turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal

dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen)

menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan

dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan

rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus

integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi

kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava,

bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala

menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

c. Zaman Modern

Berikut ini adalah para ahli Kalkulus dalam bidang kalkulus Integral dan Kalkulus Diferensial:

-Perkembangan dalam bidang kalkulus Integral:

1. J. kepler ( 1571-1630)

Johannes Kepler lahir pada tahun 1571 di Weil der Stadt, sebuah

kota kecil di pinggiran Hutan Hitam Jerman. Pada tahun 1609, Kepler

menerbitkan buku New Astronomy (Astronmi Baru), yang diakui sebagai

buku astronomi modern yang pertama dan salah satu buku terpenting

yang pernah ditulis tentang subjek itu. Tiga hukum yang terdapat dalam

buku tersebut mendefinisikan dasar-dasar gerakan planet: bentuk orbit planet yang mengitari

matahari, kecepatan gerakan planet, dan hubungan antara jarak sebuah planet dari matahari dan

waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran. Kepler juga telah menemukan luas

dari tembereng sebuah elips. Kepler hanya memerlukan sedikit waktu untuk mendapat

pengakuan dari Yunani dan cukup beruntung untuk mendapatkan jawaban yang benar setelah

membuat pencabutan dua kekeliruan dalam kerjanya.

cxiii

2. René Descartes (1596 - 1650)

René Descartes, juga dikenal sebagai Renetus Cartesius adalah

seorang filsup dan matematikawan Perancis. Ia memperkenalkan Geometri

Analitis, yang juga disebut Geometri Koordinat dan dahulu disebut

Geometri Kartesius. Sistem Koordinat Kaertesius diterapkan untuk

menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi yang

sering dalam 2 atau terkadang dalam 3 dimensi pengukuran. Geometri

Analitik dapat dijelaskan dengan secara sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun

dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan dimukinkan

jiga sebagai sebuah vektor atau bangun. Ada beberapa para ahli berpendapat bahwa pengantar

Geometri Analitk adalah tahap awal matematika modern.

-Perkembangan Ilmu Kalkulus Diferensial

3. Isaac Newton (1642-1716)

Isaac Newton seorang ilmuwan berkebangsaan Inggris dilahirkan

pada hari natal tahun 1642 oleh seorang janda miskin. Isaac Newton

terlihat sangat menjanjikan sebagai seorang siswa, dan kemudian paman-

nya setuju untuk mendukung nya di universitas. Pada tahun 1665, selama

pecahnya bencana, dia dikirim kembali ke rumah, dan saat itulah dia

mengembangkan ide-ide terbaiknya. 30 tahun kemudian dia menjadi

Professor di Cambrigde. Pada Oktober 1666 Newton menulis buku “a tract on fluxions”. Hasil

kerjanya itu tidak pernah dipublikasikan pada saat itu tetapi diperlihatkan ke banyak

matematikawan dan menjadi pengaruh utama dalam kalkulus. Dalam buku “a tract on fluxions”

Newton tidak hanya membahas persamaan turunan, tetapi dia juga menjawab hubungan antara x

dan

untuk menemukan y. Oleh karena itu penurunan garis singgung pada setiap x dan ketika

= y kemudian pada akhirnya Newton menyelesaikannya dengan anti turunan. Hal itulah yang

kemudian menjadi prinsip dasar Kalkulus.

2. Prinsip dasar Kalkulus

a. Limit

cxiv

Definisi Limit: kita katakan bahwa limit f (x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila

untuk setiap bilangan ɛ > 0 apapun,terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupa untuk setiap x :

0<|x−p|< δ | f(x)─L| < ɛ

Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input

terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit

tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu

sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya

sedemikian rupanya untuk setiap x:

0<|x−p|< δ | f(x)─L| < ɛ

b. Turunan

Gambar 12.3. Grafik fungsi Turunan

cxv

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut

terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai

pendiferensialan ataupun diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x

adalah:

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ

terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita

sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi

turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Gambar 12.4. Grafik garis singgung kurva

Garis singgung sebagai limit dari garis potong. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah

kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini

ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis potong.

Pada tahun 1693, Newton menderita gangguan saraf yang disebabkan menderita stres

selama perselisihannya dengan Leibiniz yang sebenarnya bukan seorang matematikawan tetapi

adalah seorang diplomat yang melakukan perjalanan ke mana-mana untuk mendiskusikan

matematika dengan matematikawan dan ilmuwan terbaik pada saat itu. Sayangnya dia

berhubungan surat menyurat beberapa tahun setelah mereka bertemu. Lama kemudian, desas-

cxvi

desus perselisihan terjadi. Newton mengklaim bahwa Leibniz mencuri pemikirannya dari

catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang mana Newton sering meminjamkannya kepada

beberapa anggota dari Royal Society. Sejarah menjadi hakim bahwa Newton yang pertama

mempunyai pemikiran utama (1665-1666), tetapi Leibniz menemukannya selama tahun (1673-

1676). Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, namun Leibniz yang pertama kali

mempublikasikannya dimulai dari Integral yang diberi nama sebagai Kalkulus.

Mungkin Leibniz pencipta lambang-lambang matematis terbesar. Kepadanya kita

berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti lambang-

lambang baku

untuk turunan dan simbol ∫ untuk Integral. Istilah fungsi dan penggunaan

simbol ‘=’ untuk kesamaan merupakan sumbangan-sumbangan lainnya. Sedangkan Newton

menciptakan Notasi Newton yang juga disebut notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi

untuk menandakan turunan. Apabila y = f (t) maka y mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini

hampir secara eklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering

terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

4. L’hopital (1661-1704)

L’hopital menggunakan turunan membantu untuk menaksir limit yang

melibatkan bentuk tak tentu dengan mengubah sebuah bentuk tak tentu

menjadi bentuk yang tentu. Aturan ini pada abad ke-17

dinamakan” French mathematician Guillaume de l'Hôpital” dalam buku

Kalkulus Diferensial pertama yang diterbitkan oleh L’ Hopital Analyse des

Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes yang artinya “Analisis kecil tak hingga

untuk mengerti garis kurva.

Dalam bentuk sederhana, aturan L’Hopital jika terdapat fungsi f dan g:

Jika terdapat atau dan

Maka

Diferensiasi penyebut dan pembilang selalu mempermudah persamaan.

5. L. Euler (1707-1783)

cxvii

Leonard Euler, seorang matematikawan dan fisikawan Swiss. Euler

menyumbangkan berbagai penemuan penting yang beragam seperti

kalkulus dan Teori Graf. Dia memperkenalkan bilangan e adalah basis

dari logaritma natural yang disebut juga bilangan Euler. Bilangan ini

adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama

pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi

yang ekivalen. Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa

dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

6. J. Lagrange (1736-1813)

Joseph-Louis de lagrange (lahir dengan nama Giuseppe luigi Lagrangia

adalah seorang matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang

membuat sumbangan penting pada mekanika klasik, dan teori bilangan.

Dilahirkan di Turin, ia adalah campuran Italia dan

Perancis. Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan kekayaannya. . Pada

usia 19, ia memulai karyanya-mungkin yang terbesar, Mécanique analitique, meski tak

diterbitkan sampai ia berusia 52

7. C. Gauss(1777-1855)

Johann Carl Friedrich Gauss (lahir di Braunschweig, 30

April 1777 matematikawan, astronom,dan fisikawan Jerman. Saat umurnya

belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan

daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun,

ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk

menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski

cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis

dan geometri banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus

(termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik pikirannya.

cxviii

8. A.Cauchy(1789-1857)

Cauchy membahas konsep limit yang lebih akurat dalam

karyanya Cours d'analyse (1821)

Bila f : R R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L R maka

kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis

sebagai:

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa

|f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit

tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Gambar 12.5. Grafik Limit saarah

Limit saat x → x0+ ≠ x → x0

-. Maka, limit x → x0 tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam

hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai:

atau

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p .

Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila,

untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada

saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0,

terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

cxix

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan

riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini

bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan

sebagai:

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L|

< ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan

oleh

jika dan hanya jika bila untuk semua R >0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x

> S.

9. Riemann (1826-1866)

Georg friedrich Bernard Riemann ialah matematikawan Jerman yang

membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial,

beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut

pada relativitas umum

Misalkan f adalah fungsi riil pada selang [a, b], dan misalkan S = { (x, y|

0 < y < f(x)} merupakan daerah di bawah grafik fungsi f dan di antara

selang [a, b]. Kita ingin mengukur luas daerah S. Bila kita telah mengukurnya, kita akan

melambangkan daerah tersebut sebagai:

cxx

Gagasan dasar integral Riemann adalah menggunakan hampiran yang sangat sederhana untuk

daerah S. Dengan mengambil hampiran yang semakin baik, kita dapat mengatakan "dalam

limitnya" kita mendapatkan luas daerah S di bawah kurva.

10. Charles Hermite (1822-1901)

Charles Hermite seorang matematikawan Perancis menemukan Bilangan e

Transendental. Bilangan e secara tak langsung telah dipaparkan dalam paper

Napier di awal abad 17. Bernoulli memaparkannya lagi di akhir abad xvii

waktu sedang asyik menghitung bunga yaitu e adalah (1+1/n)n dengan n

mendekati tak terhingga. Leibniz juga mendapatinya, waktu sedang menemukan kalkulus. Tapi

Euler lah yang mengenalkan e sebagai sebuah bilangan, memberinya definisi, dan

memaparkannya sampai 18 desimal yaitu 2,718281828… selebihnya tak teratur. Di abad 19

Hermite menyatakan bahwa bilangan e bersifat transendental, yaitu tak dapat disederhanakan

dalam bentuk bilangan bulat.

11. Henri Léon Lebesgue (1875-1941)

Pada 1902, tokoh Prancis ini menyelesaikan tesis doktornya yang

berjudul Integral, Panjang, dan Luas. Ia membuka pintu ke teori modern

tentang pengintegralan dalam dimensi-satu dan dimensi-n. Integral

Lebesgue merupakan perluasan dari integral Riemann, sesuai dengan yang

belakangan saat integral Riemann ada, namun membuat lebih banyak fungsi

yang bisa diintegralkan.

Integral Lebesgue menyebutkan bahwa suatu himpunan pada garis riil mempunyai

ukuran nol jika ia dapat dikurung dalam suatu gabungan terhingga atau terhitung dari selang

yang total panjangnya kurang dari sebarang ε > 0 yang diberikan. Setiap himpunan terhingga

mempunyai ukuran 0, tetapi secara mengejutkan, demikian juga himpunan bilangan rasional dan

banyak himpunan tak terhingga lain. Lebesgue memperlihatkan bahwa suatu fungsi terbatas akan

terintegralkan secara Riemann jika dan hanya jika himpunan kekontinuannya berukuran nol.

2.2 Penerapan Kalkulus dalam kehidupan sehari-hari

Kemajuan Ilmu pengetahuan dan teknologi (iptek) yang dicapai pada saat ini terutama

pada abad-abad terakhir, pada dasarnya tidak terlepas dari akibat kemajuan Matematika sebagai

cxxi

alat bantu yang sangat penting. Berbagai cabang matematika seperti Kalkulus Diferensial,

ataupun Integral merupakan senjata yang tepat dan sangat ampuh untuk menggarap berbagai

problema yang timbul dalam fisika, kimia, biologi dan berbagai cabang ilmu yang lain baik

eksak maupun yang non-eksak.

Turunan mula-mula memang hanya ditunjukkan untuk mencari garis singgug suatu

kurva, tetapi ternyata kemudian sangat berguna untuk menyelesaikan masalah yang ada

hubungannya dengan kecepatan, atau secara lebih umum kecepatan perubahan sutu fungsi.

Banyak persoalan fisika maupun bidang lain yang akhirnya menggunakan konsep turunan untuk

menyelesaikan masalah di sekeliling kita seperti :

a. Perubahan jumlah penduduk

b. Banyaknya kelahiran per tahun

c. Masalah mekanika klasik seperti perpindahan, kecepatan, dll.

d. Mencari total fluks sari sebuah medan elektromagneti

Contoh kegunaan turunan dalam kehidupan sehari-hari untuk menerangkan kecepatatan

perubahan.

Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Misalkan benda tersebut bergerak dari kiri ke kanan.

Misalkan s merupakan jarak dari titik tersebut dari titik semula pada saat t dapat dituliskan

sebagai, s = f(t) menyatakan jarak titik 0 (titik asal mula partikel bergerak) ke titik setelah

bergerak salama t. Persamaan s = f(t) dikatakan persamaan dari benda. Sebagai contoh

persamaan: s = t2

+ 2t – 3

Hal ini berarti,

t=0 s= -3, partikel berada di 3 satuan panjang sebelah kiri dari titik 0.

t=1 s= 0, partikel di titik 0.

t=2 s= 5, partikel berada di 5 satuan panjang sebelah kanan dari titik 0.

t=o t=1 t=2 t=3

- 3 0 5 12

Kecepatan rata-ratanya adalah

= 5 satuan panjang/ satuan waktu. sedangkan kecepatan rata-

rata dalam interval t=0 sampai t=2 sebesar:

= 4 satuan panjang / satuan waktu.

cxxii

Ternyata kecepatan rata-rata akan selalu berubah untuk waktu yang berlainan. Kecepatan benda

yang bergerak dengan persamaan gerak s = f(t) dalam interval waktu t1,t2 dibeikan

rumus: v (t1, t2)

Dalam kenyataannya, keceptan rata-rata tidak pernah tetap besarnya, sebagai contoh

seseorang mengendarai sepeda motor sepanjang 70 km dalam waktu 2 jam, kecepatan rata-rata

dalam interval ini adalah

= 35 km/jam. dalam kenyataanya, orang tersebut akan

mengendarainya dalam berbagai kecepatan yang berbeda setiap saat. Artinya setiap saat

kecepatan berubah, dan kita dapat menerangkan gerak benda apabila dapat mencari kecepatan

yang berubah setiap saat itu. Untuk itu, diperkenalkan konsep kecepatan sesaat, yakni kecepatan

benda pada waktu tertentu. Ini didapat dengan mengamati kecepatan rata-rata pada suatu interval

waktu tertentu dibuat sekecil mungkin atau untuk t2 t1 atau (t2 - t1) 0. Maka

didapat persamaan matematika berikut,

v (t1)=

Misalkan (t2 - t1) = ∆t, maka untuk t2 t1 didapat ∆t 0, sehingga kecepatan sesaat

dapat ditulis sebagai,

v (t1)=

Bentuk persamaan diatas, secara matematis merupakan persamaan fungsi turunan.

Dari pembahasan diatas, ternyata didapat bahwa Kalkulus telah lahir lebih dari 2000

tahun yang lalu dan telah banya mengalami perkembangan. Kalkulus adalah ilmu mengenai

perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu

cxxiii

mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki dua

cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui

teorema dasar kalkulus. Kalkulus diferensial mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah

menurut perubahan input nilainya sedangkan Kalkulus Integral mempelajari persoalan rumus

luas dan volume

Sejarah perkembangan kalkulus dapat dilihat dari beberapa periode zaman yaitu: Zaman

Kuno, Zaman Pertengahan, Zaman Modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran

tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis

dan menjadi dasar pemikiran para pengembang kalkulus di zaman- zaman selanjutnya.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisika, sains komputer, statistik,ekonomi,

bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika

klasik saling berhubungan melalui kalkulus seprti perubahan percepatan yang mencakup

keceptan sesaat dll.

cxxiv

Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku

fraktal. Kata fraktal pertama kali dicetuskan oleh Mandelbrot pada tahun 1975, ketika

makalahnya yang berjudul “ A Theory of Fractal Set “ dipublikasikan. Bahasa Inggris dari

fraktal adalah fractal. Sedangkan akar kata fraktal berasal dari kata latin frangere yang berarti

terbelah menjadi fragmen-fragmen yang tidak teratur. Fraktal dapat dikatakan sebagai salah

satu aplikasi grafika komputer yang merupakan suatu teknik pembangkitan citra atau gambar

dengan cara melakukan iterasi pada suatu fungsi tertentu. Melalui iterasi itu akan didapatkan

suatu gambar yang mempunyai kemiripan terhadap diri,pengulangan bentuk, dan penskalaan.

Melalui fraktal, dengan melakukan visualisasi dari suatu fungsi matematis dapat dipahami

mengapa di dunia ini banyak hal yang mempunyai kemiripan dan keacakan. Bagaimanakah

perjalanan sejarah geometri fraktal. Oleh karena itu, dalam makalah ini akan membahas

tentang sejarah geometri fraktal.

A. Sejarah Geometri Fraktal

cxxv

Geometri fraktal telah dikembangkan oleh para

matematikawan klasik seperti George Cantor (1872) yang

dikenal dengan teori himpunan Cantor (Cantor set),

Giueseppe Peano (1890) dengan kurva Peano, David

Hilbert (1891) dengan kurva Hilbertnya, Helge Von Koch

(1904) dengan kurva Koch, Waclaw Sierpinski (1916)

dengan kurva Sierpinski, Gaston Julia (1918) dengan

himpunan Julia (Julia Set), Felix Hausdorff (1919). Akan

tetapi pada masa itu mereka belum mampu untuk memberikan gambaran yang jelas tentang

bentuk fraktal yang mereka kembangkan.

Istilah fractal dibuat oleh Bernoit Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang

artinya “patah”, “rusak”, atau “tidak teratur”. Sebelum

Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum

untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju Koch)

adalah kurva monster. Mandelbrot disebut–sebut sebagai

bapak geometri fraktal, akan tetapi sebagian orang

menganggap bahwa Mandelbrot telah berhasil

mengembangkan teori yang telah dicetuskan oleh para

matematikawan klasik tersebut dan dia telah mampu

memberi gambaran yang jelas mengenai bentuk fraktal.

Beliau memperkenalkan himpuna Mandelbrot, seperti gambar di bawah ini.

Gambar 13.1. Himpunan Mandelbrot

Gambar 13.1. Bernoit Mandelbrot

Gambar 13.1. Himpunan Cantor

cxxvi

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum

kata fraktal muncul. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda

matematis. Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal, nama umum untuk struktur

semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kurva monster. Selanjutnya ide-ide konseptual

fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan

berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.

Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, seorang jenius jerman menemukan

contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak

terdiferensiasi di manapun grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang.

Perdebatan dimulai ketika pada tahun 1875 ketika Karl Weirstrass, menjelaskan bahwa kurva

kontinyu tidak dapat dideferensiasi, dengan demikian jelas tidak ada garis-garis tangen.

Berikut akan dejelaskan secara terperinci mengenai perkembangan penemuan geometri

fraktal.

1. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( Weierstraß , lahir 31 Oktober 1815 - meninggal

19 Februari 1897 pada umur 81 tahun)

Weierstraass seorang matematikawan Prusia yang mengembangkan teori lengkap tentang

deret fungsi dan menyusun legitimasi operasi-operasi yang demikian sebagai pengintegralan dan

pendiferensialan suku demi suku.

Pada tahun 1872 Weierstrass, seorang jenius Jerman ini menemukan contoh fungsi dengan

sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun grafik

dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang.

cxxvii

2. Waclaw Sierpinski

Merupakan seorang matematikawan Polandia yang

membuat sebuah segitiga sama sisi yang kemudian dibaginya menjadi empat belahan berukuran

sama. Dengan cara yang sama Sierpinski meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga

lain yang lebih kecil. Bentuk yang sangat terkenal ini dinamakan orang segitiga Sierspinski.

Segitiga Sierpinski adalah suatu bentuk detil tak berhingga yang dibangun dengan membagi-bagi

suatu segitiga.

Memasuki abad berikutnya sejumlah kurva-kurva aneh tiba-tiba muncul ke permukaan.

Waclaw Sierpinski, matematikawan polandia membuat sebuah segitiga sama sisi yang kemudian

dibaginya menjadi empat belahan berukuran sama dengan cara yang sama Sierpinski

meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga lain yang lebih kecil. Bentuk yang sangat

terkenal ini dinamakan orang segitiga Sierspinski. Jika pembagian dilanjutkan hingga jumlah

yang tak hingga, maka sulit untuk membayangkan bentuk detilnya walau tidak ada satupun

hukum-hukum matematika yang dilanggar. Jelas jika salah satu bagian yang gelap diambil dan

kemudian diperbesar mendekati tak berhingga, maka akan didapatkan bentuk segitiga seperti

bentuk keseluruhannya. Segitiga Sierspinski mungkin adalah bentuk dari ”pra-fraktal” pertama

yang paling terkenal.

Cara lain untuk membuat segitiga Sierspinski adalah dengan mula-mula membuat segitiga

yang berisi, kemudian segitiga ini dilubangi di tengah-tengahnya dan di ketiga bagian sudut-

sudutnya dengan segitiga yang berukuran lebih kecil. Selanjutnya proses pelubangan yang sama

untuk setiap sisa segitiga yang masih berisi diulangi terus hingga jumlah yang tak berhingga.

Sehingga akan diperoleh segitiga yang sama yang dikenal dengan nama Gasket Sierspinski.

cxxviii

Sierspinski mempertanyakan apakah luas yang ditutupi oleh bentuk tersebut nol atau tidak.

Inilah teka-teki yang membingungkan yang mirip dengan ketidakpastian Leibnitz akan

gagasannya sendiri tentang kurva yang menjadi garis lurus pada perbesaran mendekati tak

berhingga.

Dalam setiap langkah hanya

dari luas daerah berisi saja yang diambil, dan

bagian sisanya

atau sebagian besar masih tetap berisi. Berapapun banyaknya proses pelubangan yang dilakukan

akan tetap didapatkan luas daerah berisi yang lebih besar dari luas yang diambil setiap kalinya.

Jadi luas bentuk ini tidak akan pernah mencapai nol.

3. George Cantor

Matematikawan Jerman, George Cantor, memberikan suatu bentuk yang dibangun Cantor

pada tahun 1877 terlihat seperti “melompati” dimensi, bentuk tersebut dibangun dengan

memotong suatu segmen garis satu dimensi, dan berhenti jika hanya tinggal titik-titik nol

dimensi saja, tanpa panjang ataupun lebar.

4. Giuseppe Peano

cxxix

Matematikawan Italia, Giuseppe Peano menemukan bentuk ini pada tahun 1890, ketika

bekerja sebagai “professor luar biasa pada kalkulus infinitesimal” di Universitas Turin. Dengan

bentuk ini, ia menunjukkan bahwa suatu kurva kontinyu tanpa lebar dan luas dapat mengisi suatu

ruang. Tiap level berikutnya meninggalkan ruang yang lebih kecil pada sampai level tak

berhingga.

Penemuan dari Giuseppe Peano, prinsip mirip dengan Sierpinski

5. Helge von Koch

cxxx

Tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak

dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip. Ia menemukan

bentuk yang terkenal dengan Garis Pantai Koch. Koch memulai pembentukan garis pantai

matematisnya dengan sebuah garis kemudian di atas garis tersebut dibangun sebuah segitiga

sama sisi dengan panjang sisi

dari garis yang pertama. Kemudian pada setiap segmen garis

dibangun lagi segitiga sama sisi dengan panjang sisi

dari segment garis. Proses ini dilakukan

terus hingga kepengulangan yang tidak berhingga.

Masih terdapat lagi bentuk-bentuk geometri aneh misalnya Debu Cantor, Fourniers’s

Multinuiverse, dan Devil Staircase, dan lain-lain. Semua bentuk-bentuk tersebut pada dasarnya

mempertanyakan gagasan Euclid dan Descartes. Bentuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang

sekarang dikenal dengan nama geometri fraktal.

Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang

mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938

berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

George Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan

sifat yang tidak wajar, himpunan Cantor sekarang juga dikenal sebagai fraktal. Fungsi

teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri

Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Tanpa bantuan grafika komputer

modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.

Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan

seperti Constantin Carathéodorydan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif

cxxxi

dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di

pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif,

yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik

pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris,

walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini

digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan

investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif

masa tahun 1920-an dan tahun 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri

selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis. Pada tahun

1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai

tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity

and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari

penelitian Lewis Fry Richardson. Melalui pendekatan yang sangat visual,

Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang

sebelumnya tidak berkaitan. Pada tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata

fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki

dimensi yang jelas.

Definisi fraktal

Fraktal adalah suatu bentuk kurva tak reguler atau suatu pola dimana satu

bagian kecil dari keseluruhan kurva itu sama dengan bentuk dari sebagian kecil

yang lain atau bentuk yang lebih besar atau bahkan bentuk keseluruhan kurva

yang diperkecil hingga seukuran dengan satu bagian tertentu tersebut. Pada

banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu

pola, biasanya dalam pros rekursif at iteratif.

cxxxii

Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai “himpunan yang dimensi

Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya”. Fraktal yang

serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi

Bouligandnya.

Bransley, seorang pakar fraktal ternama saat ini, enggan mendefinisikan

apa itu fraktal. Dia hanya mengatakan bahwa fraktal adalah subset (sub

himpunan) dari sebuah set (himpunan). Set biasanya dari geometri euclidean

yang sederhana seperti bentuk segi banyak, lingkaran, kubus, bola, sedangkan subset

berbentuk sangat ”rumit”.

Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku

fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan

menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi,

dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi

tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-

benda monster tersebut.

B. Dimensi fraktal

Definisi dimensi atau dalam bahasa latinnya adalah dimensio merupakan ukuran. Dimensi

suatu besaran merupakan hubungan antara besaran itu dengan besaran-besaran pokok. Dengan

kata lain, dimensi adalah cara suatu besaran itu tersusun atas besaran-besaran pokoknya. Abad

ke-20 telah membawa pemikiran manusia kepada kebutuhan yang sangat mendesak terhadap

suatu cara baru dalam mengukur ruang dan dimensi. Dua orang matematikawan yaitu Felix

Hausdroff dan Abram S. Besicovith telah menjawab persoalan pelik ini. Mereka bukan saja

secara harfiah menguak dimensi yang baru tetapi juga telah mendefinisikan ulang dimensi itu

sendiri. Setiap bentuk, dikarenakan tradisi yang dilandasi oleh gagasan Descartes, memiliki

dimensi misalnya 0 (titik), 1 (garis lurus dan kurva), 2 (bidang), atau 3 (ruang).

Secara teoritis, dimensi ini telah diperluas termasuk dimensi keempat dan dimensi-

dimensi yang lebih tinggi yang sulit untuk dibayangkan. Memperluas karya dari Hausdroff,

Besicovitch memajukan gagasan bahwa sebuah bentuk sebenarnya dapat memiliki ”dimensi

cxxxiii

pecahan”, seperti misalnya 1,5 atau

. Dimensi kurva-kurva seperti segitiga Sierspinski dan

garis pantai Koch harus dinyatakan dengan dimensi pecahan. Dengan demikian, tingkah laku

yang ganjil dari kurva-kurva tersebut dapat dijelaskan. Dimensi pecahan ini dapat dihitung

dengan tepat berdasarkan pengukuran dari sebuah kurva.

Dimensi Hausdroffa atau Besicovith didefinisikan sebagai nisbah dari logaritma

jumlah salinan ukuran dari bentuk benih relatif terhadap setiap salinan. Karena ada 4

salinan (4 segmen garis ) dan setiap salinan memiliki ukuran

ukuran benih, maka menurut

definisi ini dimensi garis pantai Koch adalah

=

= 1.262

Jika ada dua bentuk yang memilki dimensi pecahan yang berbeda misalnya 1.26

dan 1.46, maka tidak dapat dikatakan bahwa bentuk yang pertama ”memiliki panjang yang

tak berhingga lebih panjang” atau ”mengisi luasan yang kecil tak berhingga lebih banyak”

dari yang kedua. Untuk lebih mudah dipahami, hal itu hanya dapat dinyatakan bahwa

dimensi bentuk itu ”lebih dekat dengan dua dimensi”. Lebih lanjut lagi dapat dikatakan

sampai seberapa jauh bentuk itu ”mengisi bidang”.

Dalam kenyataannya, penggunaan gagasan dimensi pecahan telah melangkah

lebih jauh dari apa yang dibayangkan oleh pencetusnya. Alam berlimpah dengan bentuk-

bentuk swa-reflektif (self-reflecif) seperti garis pantai maka kebanyakan dari alam sekitar

dapat dicirikan dengan indeks yang baru ini. Pegunungan, awan, pohon-pohon, dan bunga-

bunga semuanya memiliki dimensi antara dua dan tiga, dan ciri dari suatu bentuk dapat

dibaca dari dimensinya. Garis pantai pulau Sulawesi yang kasar memiliki dimensi pecahan

yang lebih besar dari pada garis pantai Bali yang halus. Gumpalan awan ”mengisi ruang”

lebih banyak dari kabut tipis, dan bangunan indah seperti Borobudur memiliki dimensi

pecahan yang lebih besar dari pencakar langit di Jakarta.

cxxxiv

Salah satu bangunan monumental yang telah menerapkan konsep geometri fraktal,

menurut mereka adalah Candi Borobudur, yang ditetapkan sebagai salah satu World

Heritage Site (situs peninggalan sejarah dunia) oleh UNESCO. "Pengukuran yang kami

lakukan pada setiap bagian Candi Borobudur, mengkonfirmasi hal ini secara matematis,"

ujar Hokky Situngkir, peneliti dan President Bandung Fe Institute, dalam sebuah rekaman

Videocast yang ia unggah disitus video YouTube. Menurut Hokky, Borobudur adalah bangun

ruang yang memiliki keserupaan dengan elemen-elemen dirinya sendiri. Borobudur di

dalamnya terdapat banyak bentuk geometri stupa. "Candi Borobudur sendiri adalah stupa

raksasa yang di dalamnya terdiri dari stupa-stupa lain yang lebih kecil. Terus hingga

ketidakberhinggaan," ia menjelaskan.

Selain itu, Hokky menjelaskan, hal ini juga diverifikasi oleh pengukuran Parmono Atmadi dari

UGM, yang menemukan keteraturan bangunan Borobudur yang memenuhi unsur

perbandingan 9:6:4. Rasio itu, misalnya hadir pada perbandingan ukuran tinggi tiga bagian

candi, yakni bagian Arupadhatu (dunia tanpa bentuk) - bagian stupa utama dan stupa-stupa

yang membentuk lingkaran, bagian Rupadhatu (dunia bentuk) - bagian yang mencakup

stupa-stupa yang berada di landasan berbentuk persegi, serta bagian Kamadhatu (dunia

nafsu) - bagian kaki.

cxxxv

Hokky juga mengatakan, bahwa sebenarnya stupa sendiri merupakan bentuk ellipsoid 3

dimensi yang memenuhi rasio 9:6:4. "Keteraturan ini kita jumpai di seluruh bagian Borobudur,

baik secara horizontal maupun vertikal," katanya. Tak hanya itu, Hokky juga mengatakan , hasil

observasinya terhadap Borobudur menyimpulkam bahwa dimensionalitas Borobudur memenuhi

dimensi fraktal antara 2 dan 3. "Kalkulasi kita menemukan bahwa dimensionalitas bangunan

candi Borobudur ada di antara 2 dan 3," kata Parmono Atmabdi. Melalui pemodelan

komputasional cellular automata, ditemukan bahwa candi ini memenuhi aturan 816 celullar

automata 2 dimensi pada sistem ruang 3 dimensi. Ini digunakan pada saat mereka nenek moyang

kita saat membuat Borobudur menumpuk blok batuan dengan pola penumpukan batuan 6,7, 9,

10. Secara konvensional kita mengenal konsep dimensi, yang merupakan 'bilangan bulat'.

Dimensi 1 direpresentasikan dengan garis, dimensi 2 dengan bidang, dimensi 3 dengan ruang,

dimensi 4 dengan ruang dan waktu, dan seterusnya. Fraktal adalah konsep geometri yang

mengenal dimensi 'bilangan pecahan'. "Jadi Candi Borobudur bukanlah bangun ruang 3 dimensi

biasa dan tak tepat pula dilihat sebagai bentuk-bentuk 2 dimensi. Candi Borobudur ada di antara

dimensi 2 dan 3!," ujar Hokky yang juga peneliti pada Surya Research International.

Sebelumnya, hipotesis tentang adanya sifat fraktal pada beberapa bangunan candi sudah

mengemukakan sejak beberapa tahun lalu. Hal yang sedikit membingungkan adalah nenek

moyang kita tidak mengenal ukuran metrik standar, namun mereka mampu membuat

bangunan-bangunan yang demikian kompleks seperti Borobudur. "Bagaimana mungkin

sebuah peradaban yang tak punya sistem metrik standar, pemahaman mekanika dan statika

modern, mampu mendirikan bangunan yang sedemikian kompleks seperti Borobudur?

Jawabannya adalah cara ber-geometri nenek moyang kita mungkin adalah fraktal

geometri!" kata Hokky. Borobudur sendiri adalah candi yang diperkirakan mulai dibangun

sekitar 824 M oleh Raja Mataram bernama Samaratungga dari wangsa Syailendra, yang

menganut agama Budha Mahayana. Candi yang memiliki 2.672 panel relief, serta 504 patung

Buddha, itu sempat terkubur oleh lapisan vulkanik selama beberapa abad dan dikelilingi oleh

rerimbunan hutan, sebelum akhirnya ditemukan kembali pada masa pemerintahan Gubernur

Jenderal Sir Thomas Stamford Raffles.

Istilah dimensi pecahan kemudian oleh Benoit Mandelbrot diganti menjadi”dimensi

fraktal”. Dimensi ini jauh lebih penting artinya bagi matematikawan karena mereka

cxxxvi

mendadak saja mampu mengukur keseluruhan bentuk-bentuk dalam jagad raya yang

sebelumnya tidak bisa diukur. Untuk pertama kalinya sejak Descartes, sebuah meter

pengukur ruang yang baru telah tercipta, meskipun apa yang telah diukur tetap belum

diketahui secara pasti. Yang pasti Sierspinski, Koch, dan Hausdroff, tidak mengira bahwa

perjalanan mereka ke tempat tak berhingga dari bentuk-bentuk abstrak dan ”tidak alamiah”

akan kembali kepada ”geometri alam” sejati yang pertama.

C. Contoh-contoh fraktal

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandlebrot, fraktal Lyapunov,

himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva

Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal

chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan frakta.

Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-

benda tersebut menunjukkan struktur fraktal yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya

adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah. Pohon dan pakis, juga

merupakan contoh fraktal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan

algoritmarekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah-ambil satu cabang dari suatu

pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara

keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).

( contoh fraktal pohon dan pakis) ( pohon)

cxxxvii

( Gunung ) ( awan )

D. Aplikasi fraktal

Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-

argumen visual yang ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan

banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya

diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika

nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton

sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah

fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan

untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti

pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai. Fraktal juga diaplikasikan pada bidang:

klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran, pembuatan musik jenis baru, pembuatan

berbagai bentuk karya seni baru, kompresi data dan sinyal, seismologi, serta kosmologi.

Contoh-contoh

(Suatu himpunan Julia, fraktal yang berhubungan dengan himpunan Mandelbrot).

cxxxviii

(Fraktal alami yang dibuat dengan cara memisahkan lembaran akrilik yang telah di kasih

lem).

Keretakan karena voltase tingga pada akrilik setebal 4 inci menghasilkan gambar

Lichtenberg.

Percabangan fraktal pada DVD yang terkena radiasi gelombang mikro.

Brokoli yang merupakan fraktal alami.

cxxxix

KESIMPULAN

Berdasarkan penjelasan-penjelasan dari makalah ini dapat diambil kesimpulan yaitu sebelum

Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya

bunga salju koch) adalah kurva monster. Definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan

kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut. Selama ini

telah tertanam pengertian geometri dari suatu bentuk berdasarkan gagasan yang dicetuskan oleh

Euclid dari Alexandria (300 SM) dan Descartes dari Perancis (permulaan abad 16). Memasuki

abad berikutnya sejumlah kurva-kurva aneh tiba-tiba muncul ke permukaan. Mandelbrot dengan

pendekatan yang sangat visual mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang

sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk

mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas.

Fraktal banyak diaplikasikan pada bidang: Klasifikasi slide di ilmu kedokteran,Pembuatan

musik jenis baru, Pembuatan berbagai bentuk karya seni baru, Kompresi data dan sinyal,

Seismologi, dan Kosmologi. Dimensi fraktal dimulai oleh dua orang matematikawan yaitu Felix

Hausdroff dan Abram S. Besicovith yang mempunyai gagasan bahwa sebuah bentuk sebenarnya

dapat memiliki ”dimensi pecahan”. Kemudian, untuk pertama kalinya Descartes menemukan

gagasan bahwa ada sebuah pengukur ruang yang baru telah tercipta, meskipun apa yang telah

diukur tetap belum diketahui secara pasti.

cxl

Sejarah Teori

Grup

Ada suatu permasalahan yang menjadi awal permulaan mengapa teori grup diciptakan,

yaitu, “Bagaimana menyelesaikan persamaan aljabar polinomial yang mempunyai derajat lebih

dari empat?”. Banyak yang menganggap hal itu tidak dapat diselesaikan, namun sejumlah

matematikawan membantahnya. Dalam sejarahnya, terdapat beberapa hal yang

melatarbelakangi adanya teori grup. Matematikawan yang memulai memunculkan ide tentang

teori grup ialah Lagrange, Cauchy, dan Galois. Studi awal grup sama seperti jika kita kembali

kepada karya Lagrange pada abad ke-18, tetapi karya ini terisolasi dan tidak mendapatkan

perhatian. Pada awal abad ke-19 Cauchy dan Galois mempublikasikan karya mereka, publikasi

inilah yang disebut-sebut sebagai awal permulaan teori grup. Publikasi Galois dan Cauchy ini

yang melatar-belakangi adanya teori grup. Publikasinya berupa teori grup yang muncul dari

persamaan aljabar, grup dalam geometri dan grup dalam teori bilangan. Selama ini orang-

cxli

orang menyangka bahwa penemu awal dari teori grup adalah Galois. Pada bagian ini akan

dibahas awal mula adanya teori grup dan tokoh-tokoh yang berperan dalam pengembangannya.

Bidang matematika mempelajari grup dalam berbagai pola, dan telah dikembangkan dalam

berbagai jaringan. Ada 3 akar sejarah dalam pengembangan teori grup yaitu teori persamaan

aljabar, teori bilangan, dan geometri. Tokoh yang berperan penting dalam perkembangan teori

grup adalah Lagrange, Galois dan Cauchy, mereka adalah orang-orang yang pertama kali

menjadi peneliti dalam bidang teori grup.

A. Perkembangan Teori Grup Pada Awal Abad 19

Karya Lagrange di akhir abad 18 merupakan pembelajaran awal dari grup. Meskipun

begitu, karya Lagrange ini tidak mendapat perhatian dan akhirnya diisolasi. Beberapa waktu

kemudian tepatnya pada tahun 1846, seorang matematikawan bernama Galois bersama dengan

Cauchy mempublikasikan hasil karya mereka. Publikasi yang mereka lakukan ini diyakini oleh

masyarakat sebagai awal permulaan dari teori grup. Publikasi Galois dan Cauchy diantaranya

tentang :

a. Pengembangan Grup Permutasi

Satu hal yang mendasar dari sebuah teori grup adalah pencarian solusi dari persamaan

polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari empat. Sumber awal terjadi dalam masalah pada

pembentukan persamaan yang berderajat m dan beranggapan bahwa akar m sama seperti akar

dari persamaan yang berderajat n>m. Banyak yang berpendapat bahwa persamaan polinomial

yang berderajat lebih dari empat tidak dapat ditemukan akar penyelesaiannya. Namun, dengan

beberapa penemuan beserta pembuktiannya beberapa matematikawan mengungkapkan karyanya,

seperti:

1) Lagrange (1770-1771)

Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam

makalahnya tahun 1770 pada teori persamaan aljabar. Objek

utamanya adalah untuk mengetahui mengapa kubik dan persamaan

quartic dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik,

misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik

cxlii

adalah , dan . Kemudian, mengambil sebagai kesatuan akar kubus, ia

memeriksa dari dan catatan bahwa hanya membutuhkan dua nilai

yang berbeda kurang dari enam permutasi dari akar , dan . Hal ini dapat dilihat pada

buku yang dia terbitkan berjudul Calcul des Combinations. Meskipun awal teori grup permutasi

dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah mengubah permutasinya sehingga dalam

beberapa hal tidak pernah membahas grup sama sekali.

2) Ruffini (1799)

Ruffini menyangkal bukti dari ketidakmungkinan penyelesaian

persamaan kuadrat berderajat empat dan persamaan yang derajatnya

lebih besar dari itu. Ruffini menerbitkan karya yang tujuannya adalah

untuk menunjukkan hal yang tidak dapat dipecahkan dari persamaan

umum berpangkat lima. Karya Ruffini didasari dari karya Lagrange,

Ruffini memperkenalkan grup permutasi (permutazione). Secara

eksplisit, grup permutasi menggunakan sifat tertutup (hukum asosiatif

selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke

dalam jenis, permutazione semplice yaitu merupakan grup siklik, dan permutazione composta

yang grup non-siklik. Permutazione composta oleh Ruffini dibedakan menjadi (yang sekarang

disebut) grup transitif-intransitif, grup primitif-imprimitif dan menggunakan persamaan di bawah

nama I’assiemedelle permutazione. Dia juga menampilkan surat dari Abbati untuk dirinya, di

mana ide teori grup dikemukakan.

3) Galois (1829)

Galois menemukan bahwa jika r1,r2,...,rn adalah akar-akar n

dari sebuah persamaan, selalu ada grup permutasi dari r jika:

Tiap fungsi dari akar-akar yang tetap oleh subtitusi-subtitusi

grup yang sudah diketahui secara rasional,

Sebaliknya, akar-akar fungsi yang determinannya rasional

adalah invarian di bawah subtitusi dari grup.

Dalam ketentuan modern, kemungkinan pemecahan grup Galois

berhubungan dengan persamaan yang menentukan kemungkinan pemecahan dari sebuah

persamaan dengan akar-akar. Galois juga berkontribusi pada teori persamaan modular dan pada

cxliii

fungsi elip. Publikasi pertamanya pada teori grup dibuat pada saat ia berusia 18 tahun (1829),

tapi kontribusinya hanya mendapatkan sedikit perhatian sampai pada publikasi karya-karyanya

yang dikumpulkan pada 1846 (Liouville, Vol XI). Galois dihormati sebagai matematikawan

pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan yang menghasilkan suatu teorema

yang disebut teori Galois. Grup hampir sama dengan teori Galois yang saat ini disebut teori

permutasi, sebuah konsep yang diteliti secara khusus oleh Cauchy.

4) Cauchy (1844)

Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori

permutasi. Makalah pertamanya diterbitkan pada tahun 1815. Pada

tahap ini, Cauchy termotivasi adanya permutasi dari akar persamaan.

Dia menyatakan kasus khusus, jika derajat sebuah fungsi merupakan

bilangan prima yang lebih besar dari dua maka nilai bilangannya tidak

bisa lebih kecil dari derajat tersebut. Misalnya, jika derajatnya lima

maka nilai nyata dari bilangan tersebut tidak bisa lebih kecil dari lima.

Cauchy membuat referensi khusus untuk beberapa fungsi diantaranya,

grup intransitif dengan derajat 6 dan orde 36, fungsi:

grup transitif-imprimitif dengan derajat 6 dan orde 72, fungsi:

grup intransitif dengan derajat 6 dan orde 48, fungsi:

grup simetris berderajat 5 yang dianggap sebagai grup intransitif dengan derajat 6, fungsi:

Pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karyanya dengan menetapkan persoalan teori

permutasi di dalam karyanya. Dia melakukan beberapa pembuktian dan menemukan banyak

konsep yang berhubungan dengan teori grup. Temuan Cauchy antara lain :

1. Grup Intransitif

Jika, A adalah derajat dari unsur pokok transitif pertama

B adalah bilangan subtitusi yang berbeda dengan unsur pertama

C adalah bilangan subtitusi yang berbeda dengan unsur pertama dan kedua, dan seterusnya,

maka derajat grup intransitif adalah

cxliv

2. Grup Imprimitif

Jika dalam suatu grup transitif sederhana terdapat subgrup yang mempunyai notasi tetap

adalah grup intransitif yang diperoleh dari perkalian transitif, grup ini dinamakan grup

imprimitif. Dia menyatakan kasus khusus seperti,

,

,

, dimana adalah

bilangan dalam unsur transitif terbesar dan adalah derajat dari sebuah grup.

3. Grup Simetri

Jika sebuah grup transtif yang berderajat mempunyai subgrup simetri yang berderajat ,

dimana

maka grup tersebut simetri pada .

Untuk , sebuah grup transitif yang berderajat dikatakan simetri jika memiliki

subgrup simetri yang berderajat ,

Untuk , sebuah grup transitif yang berderajat dikatakan simetri jika memiliki

subgrup simetri yang berderajat ,

Untuk , sebuah grup transitif yang berderajat dikatakan simetri jika memiliki

subgrup simetri yang berderajat , dan seterusnya.

Cauchy memperkenalkan notasi pangkat positif dan negatif, permutasi (dengan pangkat 0

dinamakan permutasi identitas), definisi urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan

notasi siklus dan menggunakan istilah Systéme des substitutions conjuguées pada grup.

Cauchy menyebut dua permutasi yang sama jika mereka memiliki struktur siklus yang

sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugasi.

Cauchy adalah matematikawan yang paling banyak berkontribusi dalam menciptakan

konsep teori grup. Dia banyak menemukan teorema-teorema dan penemuan-penemuan

pentinglainnya dalam sejarah perkembangan teori grup. Oleh karena itu, Cauchy disebut

sebagai penemu teori grup.

5) Cayley (1849)

Pada awal 1849 Cayley menerbitkan karyanya yang

menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854

Cayley menulis dua makalah yang luar biasa tentang grup abstrak. Pada

cxlv

waktu itu hanya dikenal grup permutasi, bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun

Cayley mendefinisikan sebuah grup abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian

grup. Cayley memberikan tabel pada grup permutasi tetapi jauh lebih signifikan untuk

pengenalan konsep grup abstrak. Cayley juga mengungkapkan bahwa himpunan tiap grup hingga

dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi

6) Betti (1851)

Seorang matematikawan bernama Betti pada tahun 1851 mulai menerbitkan karya yang

berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama

membuktikan bahwa grup Galois yang terkait dengan persamaan sebenarnya grup permutasi

dalam pengertian modern.

b. Grup Berhubungan Dengan Geometri

Geometri telah dipelajari dalam jangka waktu yang lama, sehingga wajar untuk bertanya apa

yang terjadi di geometri di awal abad 19. Geometri memberikan kontribusi pada perkembangan

konsep grup. Geometri mulai kehilangan karakter metriknya dengan geometri proyektif dan

geometri non-euclid yang masih dipelajari. Pergerakan untuk mempelajari geometri dalam

dimensi n mengarah ke abstraksi pada geometri itu sendiri. Perbedaan antara metrik dan

pengaruh geometri berasal dari karya Monge, dia salah satu murid Carnot. Geometri non-euclid

dipelajari oleh Lambert, Gauss, Lobachevsky dan János Bolyai dan lain-lain.

1) Möbius (1827)

Möbius pada tahun 1827 benar-benar menyadari akan konsep grup. Maka dia mulai

mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri yang bersifat invarian pada

grup.

2) Steiner (1832)

Steiner pada tahun 1832 mempelajari dugaan geometri sintetis yang pada akhirnya menjadi

bagian dari penelitian grup transformasi.

3) Felix Klein (1872)

Penggunaan sistematis dari grup dalam geometri, pada intinya dalam geometri simetris samaran

diprakarsai oleh program Erlangen pada tahun 1872 milik Klein.

4) Shopus Lie (1884)

cxlvi

Pembelajaran tentang apa yang sekarang disebut dengan grup Lie dimulai secara sistematis pada

1884 dengan Sophus Lie, diikuti oleh karya dari Killing Study, Schur, Maurer, dan Cartan.

Shopus Lie juga menciptakan Teori tak kontinu (grup yang berlainan) bersama dengan Felix

Klein, Poincare dan Charles Emile Picard dalam hubungan khusus dengan bentuk modular dan

monodrom.

c. Kemunculan Grup Dalam Teori Bilangan

Akar ketiga dari teori grup adalah teori bilangan. Tokoh-tokoh penemu grup yang

berhubungan dengan teori bilangan adalah Euler dan Gauss.

1) Euler (1761)

Tahun 1761 Euler mempelajari penghitungan modular. Secara khusus ia memeriksa sisa dari

modulo n. Karya Euler tentu saja tidak dinyatakan dalam hubungan grup teoritis, dia

memberikan contoh dari penguraian grup Abelian kedalam himpunan dari sebuah sub-grup. Dia

juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan sub-grup menjadi urutan pembagi dari grup.

2) Gauss (1801)

Gauss pada tahun 1801 mengambil karya Euler untuk ditelitinya lebih jauh dan memberikan

cukup banyak pengaruh dari karya penghitungan modular pada teori grup Abelian. Dia

memeriksa urutan dari elemen dan membuktikan (meskipun tidak pada notasi) bahwa ada sub-

grup untuk setiap angka membagi urutan grup siklik. Gauss juga memeriksa grup Abelian

lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner dimana a, b, c adalah

bilangan bulat.

Gauss memeriksa pada bentuk transformasi dan substitusi. Dia membagi bentuk ke dalam kelas

dan kemudian menentukan komposisi pada kelasnya. Gauss membuktikan bahwa urutan dari

komposisi ada tiga bentuk materi. Hukum asosiatif berlaku kemudian Gauss menemukan adanya

grup Abelian terbatas. Kemudian pada tahun 1869 muncul Schering yang memperbaiki karya

Gauss dan menemukan basis untuk grup Abelian.

cxlvii

Gambar 14.1. Gauss, Euler dan Ernst Kummer

Struktur grup Abelian tertentu telah secara mutlak digunakan dalam karya teoritis bilangan oleh

Gauss dan secara tegas oleh Kronecker. Penyangkalan awal untuk membuktikan teorema Fermat

yang terakhir telah dibawa menuju sebuah klimaks oleh Kummer dengan memperkenalkan

penjabaran faktorisasi grup ke bilangan prima.

d. Konvergensi Jordan-Dyck

Teori grup sebagai subjek yang bebas berkembang dipopulerkan oleh Serret, yang

mempersembahkan bagian keempat dari aljabarnya kepada teori grup. Selanjutnya ada Eugen

Netto yang membuat buku tentang teori grup berjudul Theory of Subtitutions and its Applications

to Algebra yang diterjemahkan oleh Cole (1892). Ahli teori yang lain dari abad 19 diantaranya

Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker, dan Emile Mathieu, dan juga

Burnside, Dickson, Holder, Moore, Sylow, dan Weber.

Penyatuan tiga sumber di atas ke dalam teori seragam dimulai dengan Jordan dan von Dyck yang

pertama kali merumuskan grup dalam pengertian modern yang menyeluruh. Catatan dari Weber

dan Burnside membantu pembentukkan teori grup sebagai aturan. Formulasi grup abstrak tidak

diberlakukan ke sebagian besar dari teori grup abad ke 19, dan perumusan alternatif diberikan

dalam suku aljabar Lie.

cxlviii

Gambar 14.2. Camille Jordan dan Von Dyck

B. Perkembangan Teori Grup Pada Akhir abad 19

Grup pada periode 1870-1900 telah mengalami banyak perubahan dan perkembangan. Pada

periode ini terdapat beberapa penemuan dan hal penting lainnya seperti:

1. Penemuan grup kontinu Lie, grup tak kontinu, grup hingga dari subtitusi akar (permutasi)

dan grup hingga dari subtitusi linear oleh Shopus Lie. Grup hingga pada periode ini

memutuskan beberapa pokok penting sebagai teorema Sylow;

2. Adanya klasifikasi grup dengan orde kuadrat bebas oleh Holder;

3. Felix Klein yang menciptakan Program Erlangen, berisi tentang teori grup dari geometri;

4. permulaan awal dari sebuah teori sifat oleh Frobenius;

5. Grup tentang proyeksi hampa dengan dimensi tinggi dipelajari oleh Jordan dalam bukunya

yang berjudul Traites dan termasuk ke dalam serial khusus pada sebagian besar dari grup

klasik, meskipun dia mengabaikan bagian non-prima dan menghilangkan grup kesatuan.

Pembelajaran ini dilanjutkan oleh Moore dan Burnside, dan dibawa ke dalam bentuk catatan

yang lengkap oleh Leonard Dickson pada 1901;

6. Penemuan grup sederhana oleh Jordan. Peran dari grup sederhana ditekankan oleh Jordan

dan kriteria untuk kesederhanaannya dikembangkan oleh Holder sampai ia mampu untuk

mengelompokkan grup sederhana yang ordenya kurang dari 200. Setelah itu pembelajaran

tersebut dilanjutkan oleh F.N Cole (sampai 660) dan Burnside (sampai 1902), dan akhirnya

pada periode “millenium project” mampu dikembangkan sampai 2001 oleh Miller dan Ling

pada tahun 1900.

cxlix

Selama periode 1880-1920, grup diuraikan oleh presentasi dalam kehidupan mereka sendiri

melalui karya dari Arthur Cayley, Walther von Dyck, Dehn , Nielsen , Schreier dan berlanjut

pada periode 1920-1940 dengan karya dari Coxeter , Magnus , dan lain-lain untuk membentuk

bidang teori grup gabungan. Kelanjutan grup pada periode 1870-1900 berkembang dengan

cepatnya.

C. Perkembangan Teori Grup Pada Awal abad 20

Pada periode 1900-1940 ini banyak hal yang terjadi dalam pengembangan teori grup.

Dapat dilihat adanya perkembangan teori grup yang mulai dikelompok-kelompokkan.

Pengelompokam teori grup antara lain grup diskrit, grup lanjutan dan grup hingga. Ketiganya ini

dalam pengembangannya cukup cepat daripada teori-teori lainnya. Pada periode ini, grup diskrit

mendapatkan tempat untuk pengembangannya. Karya-karya dari matematikawan yang

mengembangkan grup diskrit pada periode ini antara lain Burnside, J.A Todd, Coxeter, dan

Naunmann. Permasalahan yang terkenal pada grup diskrit yaitu dari karya Burnside. Dalam

karya Burnside membahas tentang grup linear berdimensi terbatas dari subgrup sebarang di atas

medan sebarang dan grup sebarang.selain dari karya dari Burnside, perkembangan dari grup

dasar dan grup pencerminan mendukung perkembangan dari karya J.A Todd dan Coxeter, sama

seperti algoritma Todd-Coxeter dalam teori grup gabungan. Menetapkan Grup aljabar sebagai

solusi dari persamaan polinomial, dari adanya grup aljabar juga menguntungkan untuk

pengembangan teori lanjutan milik Lie. Neunmann menciptakan pembelajaran tentang macam-

macam grup dan menetapkan grup sebagai persamaan grup teoritis daripada yang polinomial.

Pada grup lanjutan juga mengalami pertumbuhan yang pesat dalam pengembangannya,

pada periode 1900-1940. Ada banyak pencapaian pada grup lanjutan antara lain pengelompokan

Aljabar semi-sederhana Lie oleh Cartan dan teori penyajian grup lengkap oleh Weyl.

Pada Grup hingga pada periode 1900-1940 tumbuh secara luas. Periode ini menjadi saksi

mata adanya teori sifat oleh Frobenius, Burnside, dan Schur. Teori ini dapat membantu

menjawab pertanyaan-pertanyaan pada abad 19 tentang grup permutasi dan membuka jalan

untuk seluruh teknik baru dalam grup hingga yang abstrak. Mengamati karya Hall dalam

penyamarataan teorema Sylow ke himpunan prima sebarang. Periode ini juga mengamati

teorema Schur-Zassenhauss.

D. Perkembangan Teori Grup Pada Pertengahan abad 20

cl

Periode tahun 1930-1980, beberapa bidang mulai bermunculan seperti grup aljabar,

perpanjangan grup, dan teori representasi. Pada periode ini banyak ahli grup berhasil untuk

mengelompokkan grup kedalam grup yang lebih sederhana. Pada periode ini pula

matematikawan berusaha untuk melengkapai dan menyederhanakan atas pembuktian-

pembuktian dari pengelompokan teori grup.

Pada periode ini matematikawan yang banyak memberikan kontribusi penting untuk teori grup

adalah Anatoly Maltsey. Karya awalnya pada tahun 1930-an hanya sebuah logika, tetapi pada

tahun 1940 ia dapat membuktikan bahwa semigrup dapat diubah menjadi grup, dan ia juga

mepelajari tentang permasalahan isomorfis dari lingkaran grup. Namun pada tahun 1960 Alferd

Tarsky meragukan akan bukti dari Anatoly Maltsey. Alferd melihat bahwa jika logika mulik

Anatoly ini dimasukan kedalam konsep grup maka teori ini dapat menimbulkan kebingungan.

Sehingga Alferd kurang setuju tentang bukti dari teori grup dasar milik Anatoly.

Periode 1960-1980 merupakan salah satu kegemparan dalam banyak bidang teori grup terutama

pada grup hingga, ada banyak kejadian penting yaitu :

Tentang penemuan 22 grup baru yang langka dan penyempurnaan generasi pertama dari

klasifikasi grup hingga sederhana,

Tentang ide yang berpengaruh dari subgrup Cartan, dan penciptaan berikutnya dari teori

formasi dan teori penggolongan grup,

Tentang perluasan yang luar biasa dari teori Clifford oleh Green ke modul yang tidak

dapat diuraikan dari sebuah grup aljabar.

Penemuan adanya grup polisiklis.

Selama periode ini, bidang penghitungan teori grup menjadi pengenalan bidang pembelajaran

dan bagian kesuksesan yang sangat hebat selama generasi pengelompokkan pertama.

Dalam grup diskrit, metode geometri Tits dan adanya peta Lang yang memperbolehkan

perubahan pada sebuah grup aljabar. Selain itu permasalahan dari karya Burnside mempunyai

kemajuan yang luar biasa, dengan contoh pembandingan disusun pada tahun 1960an dan awal

1980an, tapi sentuhan akhirnya/kesimpulan dari karyanya (keseluruhan tapi banyak secara

terbatas) tidak dilengkapi sampai tahun 1990an. Permasalahan pada karya Burnside dalam

pembahasannya lebih mendalam dan dapat masuk ke dalam aljabar Lie dengan pangkat p, dan

cli

metode-metode Lazard mulai melihat dampak yang lebih luas, terutama pada pembelajaran grup

p. Banyak dugaan dibuat semasa ini, termasuk dugaan tentang grup berpangkat orde prima.

E. Perkembangan Teori Grup Pada Abad 20 akhir

Duapuluh tahun terakhir dari abad 20 merupakan tahun dari hasil kesuksesan lebih dari seratus

tahun pembelajaran tentang teori grup. Dari ketiga pengembangan teori grup (grup diskrit, grup

hingga, dan grup lanjutan) yang dari awal abad 20, banyak mendapatkan hasilnya.

Dalam grup hingga, adanya pengelompokkan grup hingga meliputi teorema O’Nan-Scott,

pengelompokan Aschbacher, pengelompokan dari perkalian grup hingga transitif, penjelasan

tentang subgrup maksimal dari grup sederhana dan pengelompokan grup primitif. Dalam

geometri hingga dan kombinasi, banyak masalah yang saat ini dapat diselesaikan dengan

pengembangan teori grup. Dalam grup geometri hingga juga mengelompokkan tiap teorinya

antara lain teori penyajian modul sebagai teknik pengelompokan ditetapkan sebagai aksioma

(sudah jelas kebenarannya), termasuk sistem penyatuan, teori pemasangan Puig dan blok

nilpotent. Pengelompokkan teori grup hingga ini kemudian diubahnya menjadi seubah menjadi

sebuah buku oleh Doerk-Hawks.

Dalam grup diskrit, hasil yang diperoleh dari grup ini bersamaan dengan adanya beberapa

bagian geometri yang menciptakan bidang baru yang menarik. Bagian geometri yang tercipta

bersamaan dengan grup diskrit adalah karya pada teori knot, bermacam-macam jenis hiperbola,

dan masih banyak tentang pembelajaran grup hiperbola. Pada grup diskrit datang karena adanya

dugaan tentang geometri oleh Thurston pada tahun 1982 dapat menginspirasi adanya teknik baru

dalam teori grup geometri dan topologi berdimensi rendah secara menyeluruh. Gabungan dari

keduanya tersebut dapat menyelesaikan salah satu Millenium Prize Problem, dugaan Poincare.

Pada tahun 1992, grup lanjutan berkembang dan mengamati penyelesaian dari permasalahan dari

bentuk sebuah drum menggunakan grup simetri dari operasi Laplacian. Teknik lanjutan

diterapkan pada banyak aspek dari teori grup menggunakan jarak fungsi dan grup kuantum.

Banyak permasalahan pada abad 18 dan 19 yang sekarang diperbaiki lagi dengan pengaturan

umum, dan banyak pertanyaan-pertanyaan dalam teori grup yang sudah terjawab.

F. Perkembangan Teori Grup Pada Saat Ini

Teori grup berlanjut menjadi permasalahan yang dipelajari secara sungguh-sungguh.

Kepentingannya untuk matematika jaman sekarang sebagai suatu kesatuan. Terlihat dari adanya

clii

Abel Prize pada tahun 2008 yang diberikan kepada John Griggs Thompson dan Jacques Tits

untuk kontribusi mereka dalam teori grup.

Banyak gagasan yang muncul selama teori grup dikembangkan. Para matematikawan

saling melengkapi untuk menciptakan teori grup sehingga teori ini dapat diaplikasikan ke dalam

permasalahan lain. Lagrange adalah matematikawan yang mempunyai ide awal tentang teori

grup namun ide tersebut tidak mendapatkan cukup perhatian, hingga suatu saat Galois dan

Cauchy bersama-sama mempublikasikan karyanya. Karya inilah yang disebut-sebut sebagai

awal permulaan teori grup. Dalam penemuannya, teori grup dapat dilihat dari berbagai bidang

diantaranya persamaan aljabar, geometri dan pada teori bilangan.

Dalam perkembangan teori grup, teori grup membawa dampak yang sangat besar untuk teori-

teori terutama dalam grup diskrit, grup lanjutan dan grup hingga. Teori grup juga membawa

dampak dari perkembangan teori-teori lainnya. Dapat dilihat dari awal abad ke-20 sampai saat

ini bahwa teori grup banyak mempengaruhi karya-karya yang selama 20 tahun terakhir dari abad

ke-20 para ahli matematika berusaha untuk mengelompokkan teori grup menjadi sebuah

kesatuan. Saat ini kita dapat menikmati hasil kesuksesan lebih dari seratus tahun pembelajaran

tentang teori grup. Teori grup masih berlanjut menjadi permasalah yang masih dipelajari lebih

mendalam. Dapat dilihat adanya Abel Prize pada tahun 2008.

cliii

SEJARAH

MEKANIKA

KUANTUM

Sebelum ditemukannya mekanika kuantum, orang-orang hanya mengetahui dan

mempelajari pergerakan benda-benda makroskopik, seperti kecepatan benda bergerak,

kecepatan gerak benda jatuh yang dipengaruhi gravitasi dan sebagainya. Orang belum

mengetahui bahwa dalam suatu benda makroskopik masih terdapat unsur terkecil yang juga

memiliki pergerakan.

Mekanika kuantum adalah cabang dasar fisika yang menyempurnakan mekanika klasik

dengan mekanika modernnya. Mekanika klasik menjelaskan materi pada skala makroskopik

(skala besar) dan tidak bisa menjelaskan dalam skala mikroskopik. Bertolak dari masalah ini,

munculah gagasan tentang mekanika kuantum yang secara terperinci membahas atom dan

subatom.

Makanika kuantum dibagi menjadi teori kuantum lama dan teori kuantum modern

dimana didalamnya juga terdapat teori perkembangan atom. Teori kuantum lama

memperkenalkan sifat-sifat dari suatu partikel yaitu partikel sebagai gelombang dan

gelombang sebagai pertikel (dalam hal ini disebut konsep dualisme partikel), sedangkan

teori mekanika kuantum modern membahas tentang energi dari suatu partikel. Secara

sistematis penggolongan mekanika kuantum dapat dilihat dalam bagan berikut:

Gambar 15.1. Diagram Perkembangan Teori Kuantum

A. Teori Kuantum Lama

Teori kuantum lama memperkenalkan besaran-besaran fisika seperti energi

yang merupakan besaran distrik bukan basaran kontinu yang dibahas dalam

mekanika klasik.

Adapun perkembangan mekanika kuantum lama adalah sebagai berikut:

1. Blackbody oleh Max Planck (1858-1934)

Mekanika Kuantum

Teori Kuantum

Lama

Blackbody Planck Efek

Fotolistrik Einstein

Hipotesa

de Broglie

Ketidak-pastian

Heisenberg

Teori Perkembangan

Atom

Atom

John Dalton

Atom

J. J. Thomson

Atom

Rutherford

Atom

Niels Bohr

Teori Kuantum Modern

Persamaan Schrodinger Prinsip

Ekslusi Pauli

Biasanya fisikawan ternama seperti Newton, Einstein, Bohr, Heisenberg,

Dirac, de Broglie dan Pauli memulai pengembangan ide-ide tentang fisika pada

usia 25 tahun yang merupakan usia ideal untuk bereksperimen dan

mengembangkan ilmu yang dimilikinya. Akan tetapi Max Planck, seorang

fisikawan dari Jerman, mampu melakukannya pada usia 42 tahun.

Gambar 15.2. Max Planck

Max Planck menjelaskan teka-teki radiasi benda hitam (blackbody). Radiasi

benda hitam menjelaskan bahwa jika suatu benda dipanaskan benda itu akan

meradiasi. Sifat distribusi energi atau spektrum energi dari radiasi benda hitam

bergantung pada frekuensi cahaya dan temperatur. Benda hitam didefinisikan

sebagai sesuatu yang menyerap sumua radiasi yang diterimanya. Pada tahun

1900 Max Planck merumuskan besaran energi yang bersifat distrik yang

dipancarkan oleh benda hitam yaitu:

E=nhf

Keterangan:

E = Energi

n = bilangan bulat

h = konstanta Planck

f = frekuensi

Gambar 15.3. Grafik distribusi energi benda hitam

Grafik di atas memperlihatkan bahwa benda hitam memancarkan energi

lebih besar. Planck menemukan rumus tersebut secara matematis, sebab

sebelum menekuni dunia fisika, ia pernah belajar matematika di Universitas

Munchen.

Dengan menggunakan rumus energi, Planck kemudian menurunkannya

menjadi rumus yang dikenal sebagai “Hukum Radiasi Planck”, yaitu sebagai

berikut:

En = nhv .......................(1)

Untuk frekuensi tertentu berlakulah selisih energi antara tingkat energi dua

osilator berurutan, yaitu:

En+1 – En = (n+1)hv – nhv = hv .......................(2)

Frekuensi setiap osilator dengan temperatur T adalah

Maka energi rata-ratanya:

Untuk mempermudah penghitungan, dilakukan permisalan:

dan

maka penyebutnya dari persamaan (3) menjadi:

Sekarang kita misalkan jika:

maka pembilangnya dari persamaan (3) menjadi:

Subtitusikan penyebut dan pembilangnya ke dalam persamaan (3), maka

diperoleh:

Sedangkan jumlah gelombang dengan frekuensi F dalam kubus L3 adalah:

Kerapatan foton adalah jumlah gelombang [g(v)] dikalikan energi [E], yaitu:

Inilah yang dikenal sebagai “Hukum Radiasi Planck”.

2. Efek Fotolistrik oleh Albert Einstein (1879-1955)

Hasil-hasil eksperimen menunjukkan bahwa suatu jenis logam tertentu bila

disinari (dikenai radiasi) dengan frekuensi yang lebih besar dari harga tertentu

akan melepaskan elektron, walaupun intensitas radiasinya sangat kecil.

Sebaliknya, berapapun besar intensitas radiasi yang dikenakan pada suatu jenis

logam, jika frekuensinya lebih kecil dari harga tertentu maka tidak akan dapat

melepaskan elektron dari logam tersebut. Peristiwa pelepasan elektron dari

logam oleh radiasi tersebut disebut efek fotolistrik. Pada tahun 1905 Einstein

menggunakan gagasan Planck tentang kuantitasi energi untuk menjelaskan efek

fotolistrik tersebut.

Gambar 15.4. Albert Einstein

Einstein menyadari gagasan Planck mengenai cahaya muncul sebagai

kuanta adalah kunci untuk memahami misteri fotolistrik. Jika panjang

gelombang cukup pendek, elektron tidak dapat terlepas. Jadi, yang terpenting

adalah energinya, bukan jumlah kecerahan. Efek fotolistrik diakui sebagai karya

ilmiah pertama memanfaatkan mekanika kuantum.

Adapun rumus menentukan energi kinetik maksimum dari elektron yang

ditemukan Einstein adalah:

Keterangan:

Ek = energi kinetik

f = frekuensi cahaya dan frekuensi ambang

h = konstanta Planck

3. Hipotesis de Broglie (1892-1987)

Diilhami oleh sifat dualisme radiasi, pada tahun 1924 Louis de Broglie

mengusulkan hipotesisnya, bahwa partikel yang bergerak juga memperlihatkan

sifatnya sebagai gelombang. De Broglie berasumsi bahwa sebuah elektron

memiliki keterkaitan dengan sistem "gelombang materi." Gelombang ini

memiliki puncak yang hilang pada satu titik dan muncul sekejap kemudian di

titik lain. Jarak antara dua puncak adalah panjang gelombang de Broglie dan

dihitung dari

, di mana h adalah konstanta Planck dan mv merupakan

momentum.

Gambar 15.5. Louis de Broglie

4. Ketidakpastian oleh Heisenberg (1901-1976)

Telah disebutkan bahwa ada sifat dual dari radiasi maupun partikel materi.

Tetapi tidak mungkin memberlakukan kedua deskripsi tersebut baik pada

radiasi maupun pada partikel materi secara bersamaan (simultan). Diberikan

contoh pada radiasi, bila radiasi dipandang sebagai partikel, dan secara ekstrim

dapat menemukan posisi pada suatu saat secara , maka

ketidakpastian atribut gelombang radiasi menjadi tak berhingga .

Memanfaatkan aljabar matriks, Heisenberg, seorang fisikawan sekaligus

ahli matematika asal Jerman, pada tahun 1927 mengembangkan sebuah sistem

yang disebut mekanika matriks. Mekanika matriks terdiri dari sebuah array

dalam jumlah yang jika tepat dimanipulasi maka akan memberikan frekuensi

dan intensitas garis spektral. Hasil Heisenberg disebut prinsip ketidakpastian.

Gambar 15.6. Werner Heisenberg

Ketidakpastian posisi (q) dari sebuah elektron dalam sebuah atom dikalikan

dengan ketidakpastian momentum (x) harus lebih besar dari konstanta Planck

(h). Prinsip ketidakpastian (uncertainly principle) pada obyek-obyek kuantum

sebagai hubungan:

dan

Prinsip ketidakpastian mengatakan bahwa kuantitas bergantung pada

perubahan yang ditentukan oleh konstanta Planck dan kita tidak dapat

mengetahui posisi dan momentum secara simultan.

Secara kuantitatif, ketidakpastian Heisenberg telah ditunjukkan pada

berbagai peristiwa, seperti pada difraksi dan mikroskop. Adanya prinsip

ketidakpastian ini juga mengkontribusi diberlakukannya konsep probabilitas

pada sistem kuantum yang digambarkan dengan suatu fungsi gelombang.

B. Teori Perkembangan Atom

1. Teori Atom John Dalton

Gambar 15.7. John Dalton

Pada tahun 1803, John Dalton mengemukakan pendapatnaya tentang atom.

Atom merupakan bagian terkecil dari materi yang sudah tidak dapat dibagi lagi.

Atom digambarkan sebagai bola pejal yang sangat kecil.

Gambar 7. Model Atom Dalton

Kelemahan:

Teori dalton tidak menerangkan hubungan antara larutan senyawa dan daya

hantar arus listrik.

2. Teori Atom J. J. Thomson

Gambar 15.9. J.J. Thomson

J.J. Thomson memanfaatkan penemuan tabung katoda William Crookers

untuk meneliti sinar katoda. Sinar katoda dapat dipastikan adalah sebuah

partikel karena dapat memutar baling-baling yang diletakkan di antara katoda

dan anoda. Dari hasil percobaanya Thomson menyatakan bahwa sinar katoda

merupakan partikel penyusun atom yang bermuatan negatif yang disebut

elektron.

Atom merupakan partikel yang bersifat netral, elektron bersifat negatif

maka harus ada partikel lain yang bermuatan positif untuk menetralkan atom.

Dari penemuannya tersebut, Thomson memperbaiki kelemahan dari teori atom

Dalton dan menyatakan teorinya “Atom merupakan bola pejal yang bermuatan

positif dan di dalamya tersebar muatan negatif elektron.”

Gambar 15.10. Model Atom Thomson

Kelemahan:

Kelemahan model atom Thomson ini tidak dapat menjelaskan susunan muatan

positif dan negatif dalam bola atom tersebut.

3. Teori Atom Rutherford

Gambar 15.11. Rutherford

Rutherford melakukan percobaan yang dikenal dengan hamburan sinar alfa

(λ) terhadap lempeng tipis emas. Percobaan ini bertujan untuk menguji apakah

atom itu betul-betul merupakan bola pejal yang bermuatan positif.

Dari hasil pengamatan, didapatkan fakta bahwa apabila partikel alfa

ditembakkan pada lempeng emas yang sangat tipis, maka sebagian besar

partikel alfa diteruskan. Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa atom

bukan merupakan bola pejal. Rutherford mengusulkan model atom yang dikenal

dengan “Model Atom Rutherford” yaitu menyatakan bahwa Atom terdiri dari

inti atom yang sangat kecil dan bermuatan positif, dikelilingi oleh elektron yang

bermuatan negatif.

Gambar 15.12. Model atom Rutherford

Kelemahan:

Tidak dapat menjelaskan mengapa elektron tidak jatuh ke dalam inti atom.

4. Teori Atom Niels Bohr

Gambar 15.13. Niels Bohr

Pada tahun 1913, pakar fisika Denmark bernama Neils Bohr memperbaiki

kegagalan atom Rutherford melalui percobaannya tentang spektrum atom

hidrogen. Percobaannya ini berhasil memberikan gambaran keadaan elektron

dalam menempati daerah disekitar inti atom. Penjelasan Bohr tentang atom

hidrogen melibatkan gabungan antara teori klasik dari Rutherford dan teori

kuantum dari Planck.

Menurut model atom bohr, elektron-elektron mengelilingi inti pada lintasan-

lintasan tertentu yang disebut kulit elektron atau tingkat energi. Tingkat energi

paling rendah adalah kulit elektron yang terletak paling dalam, semakin keluar

semakin besar nomor kulitnya dan semakin tinggi tingkat energinya.

Gambar 15.14. Model Atom Niels Bohr

Kelemahan:

Model atom ini tidak bisa menjelaskan spektrum warna dari atom berelektron

banyak. Kemudian teori otom ini disempurnakan oleh Louis de Broigle

mengemukakan bahwa elektron bergerak dengan melakukan gerak gelombang.

C. Teori Kuantum Modern

Teori kuantum modern dikembangkan dari teori kuantum lama yang dilandasi

oleh konsep energi partikel atau elektron yang menggunakan persamaan

gelombang. Tokoh-tokoh yang berperan dalam teori kuantum modern adalah

sebagai berikut:

1. Erwin Schrodinger (1887-1961) dengan Persamaan Gelombang

Erwin Schrodinger mengadopsi ide de Broglie yang menyatakan bahwa

partikel atau materi mempunyai sifat seperti gelombang. Bertolak dari teori ini

Schrodinger mengembangkan persamaan dasar mekanika kuantum dengan

memperlakukan partikel sebagai gelombang.

Gambar 15.15. Erwin Schrodinger

Pada kasus-kasus sederhana dan tinjauan yang kurang mendalam, postulat

de Broglie telah dapat menjelaskan sifat gelombang partikel mikroskopik yang

sesuai dengan eksperimen, seperti difraksi elektron dan atom hidrogen Bohr.

Namun hipotesa tersebut belum dapat menerangkan secara detail, seperti

mengenai bagaimana sifat perambatan gelombang tersebut dan bagaimana

proses perubahan observabel gelombang apabila partikel mengenai perubahan

keadaan. Untuk persoalan ini, Schrodinger telah berhasil mengembangkan teori

mekanika kuantum yang disebut mekanika gelombang. Penurunan

matematisnya:

Partikel adalah suatu gelombang maka persamaanya adalah sebagai berikut:

xAx

2sin)( dengan A adalah tetapan.

Turunan pertama:

xCosA

dx

d 22

Turunan kedua:

xSinA

dx

d 2222

dengan

xAx

2sin)(

Sehingga diperoleh )(2

22

xdx

d

.

Mari kita ganti panjang gelombang dengan momentum p dari persamaan de

Broglie. =p

h

)(2

22

xphdx

d

Kemudian persamaan ini ditata ulang menjadi bentuk yang diinginkan dengan

mengalikan kedua ruas m

h2

2

8

)(8

2

8 2

222

2

2

xm

hp

hdx

d

m

h

)(28

22

2

2

xm

p

dx

d

m

h

dengan

m

p

2

2

adalah energi kinetik pertikel.

Sehingga diperoleh:

)(8

2

2

2

xEkdx

d

m

h

Hal ini menunjukkan adanya suatu hubungan antara turunan kedua fungsi

gelombang dan energi kinetik Ek.

Jika ada gaya luar maka energi total menjadi E = Ek + V (x) dan disubtitusikan

ke persamaan semula dihasilkan

)()(8

2

2

2

xxVEdx

d

m

h

)()()(8

2

2

2

xExxVdx

d

m

h

...............(1)

Persamaan di atas adalah persamaan Schrödinger untuk suatu partikel yang

bergerak dalam satu dimensi.

2. Wolfgang Pauli (1900-1958) dengan Prinsip Pengecualian

Gambar 15.16. Wolfgang Pauli

Pada tahun 1925 Pauli mengajukan properti kuantum yang disebut "dua-

valuedness". Dalam teorinya Pauli menyebutkan “Tidak ada dua elektron dalam

satu orbital yang memiliki keempat bilangan kuantum sama”. Hal ini berarti

bilangan kuantum spinnya harus berbeda. Akibatnya satu orbital dapat

ditempati maksimum oleh dua elektron. Jadi, elektron maksimum tiap subkulit

sama dengan dua kali jumlah orbitalnya.

Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel

subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-hukum

fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem dimana elektron

(yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang bermuatan listrik

positif).

Mekanika kuantum terbagi menjadi 2 bagian yaitu kuantum lama dan kuantum

modern yang di dalamnya tidah hanya membahas gerak benda kecil saja, tetapi juga

membahas struktur atau model dari benda itu sendiri. Tokoh-tokoh yang termasuk

dalam kuantum lama adalah Max Planck, Einstein, de Broglie, dan Heisenberg.

Sedangkan tokoh-tokoh dalam kuantum modern adalah Schrödinger dan Pauli. Adapun

tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan model atom adalah John Dalton, J.J.

Thomson, Niels Bohr, dan Rutherford.

Dari sejarah mekanika kuantum kita dapat mengetahui bahwa rumus mekanika

kuantum diturunkan secara matematis. Sebagai contoh saat menurunkan hukum radiasi,

Planck menggunakan permisalan matematis dan turunan matematika. Selain itu,

Schrödinger juga menciptakan rumus persamaan gelombang dengan menggunakan

integral matematika. Hal ini membuktikan secara jelas bahwa terdapat keterkaitan

antara matematika dengan mekanika kuantum dan juga membuktikan bahwa

matematika merupakan salah satu ilmu induk dari mekanika kuantum itu sendiri.

Mekanika kuantum bukanlah ilmu yang meniadakan mekanika klasik, akan tetapi

ilmu yang dibangun berdasarkan mekanika klasik yang hanya mampu menjelaskan

perilaku benda makroskopik.

SEJARAH

TEORI

HIMPUNAN

Pada bagian ini dibahas tentang sejarah teori himpunan. Georg Cantor dianggap sebagai

bapak teori himpunan. Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika.

Himpunan juga merupakan sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek

yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.

Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan

jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan

mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.

Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined himpunan)

A. SEJARAH TEORI HIMPUNAN

1. Georg Philipp Ludwig Ferdinand Cantor (1845-1918)

Georg Cantor ialah seorang matematikawan asal

Jerman keturunan Yahudi. Ia adalah orang pertama yang

menemukan teori himpunan. Ketika teori himpunan

diperkenalkan pertama kalinya oleh Georg Cantor, tidak

banyak matematikawan yang melihat seberapa penting

teori itu. Akan tetapi, sekarang teori himpunan digunakan

sebagai dasar untuk mempelajari matematika modern yang

baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang

merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan

matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat

sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori

himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika

dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan 1871,

Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat

penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu

Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan diantara mereka. Sekitar tahun 1873-

1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika yang

dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor.

Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. Karya ini berisi ide-ide Cantor

tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874, Cantor

menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan. Karya

selanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi.

Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak suka dengan karya Cantor, yang mana

membuat Cantor ingin menariknya kembali namun Dedekind membujuknya untuk tidak menarik

karya tersebut dan Weierstrass mendukung publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, namun

karya yang selanjutnya tidak diserahkan ke Jurnal Crelle. Orang pertama yang secara eksplisit

mencatat bahwa ia menggunakan aksioma seperti itu tampaknya adalah Peano pada tahun 1890

dalam urusan dengan bukti adanya solusi untuk sistem persamaan diferensial. Pada tahun 1902

itu disebutkan oleh Beppo Levi tapi yang pertama untuk secara resmi memperkenalkan aksioma

Zermelo ketika dia terbukti, pada tahun 1904, yang menetapkan himpunan dapat tertata dengan

baik. Émile Borel menunjukkan bahwa Aksioma pilihan ini sebenarnya himpunan dengan teorema

Zermelo.

2. Bertrand Arthur William Russell (1872 – 1970)

Tahun 1901, Russell mengungkapkan apa yang

kemudian dikenal sebagai paradoks Russell (Russell

paradox), yang muncul pada karyanya Principles of

Mathematics (1903). Paradoks ini timbul dalam kaitannya

antara suatu himpunan yang menjadi bagian dari berbagai

himpunan namun bukan anggota itu sendiri. Signifikansi

paradoks ini mengikuti, menurut pandangan logika klasik,

semua pernyataan akan selalu diikuti oleh kontradiksi.

Menurut pandangan matematikawan lain (termasuk

Hilbert dan Brouwer) tidak ada pembuktian yang layak

untuk menjawab logika semua pernyataan matematika

yang kontradiktif. Pada awal abad ini karya-karya yang menyangkut logika, teori himpunan, filsafat

dan dasar-dasar matematika tumbuh dengan suburnya.

Paradoks ini rupanya hasil sampingan dari pernyataan aksioma tak difinisi (unrestricted) atau

abstraksi yang menjadi bagian dari teori himpunan. Aksioma yang dimunculkan oleh Cantor dalam

bentuk pernyataan P(x), dimana x adalah peubah bebas, dimana akan menentukan himpunan

yang anggota-anggotanya memenuhi kriteria P(x). Mengawali paradoksnya, Russell membedakan

himpunan menjadi dua, yaitu: himpunan normal dan himpunan tak-normal.

a) Himpunan normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagai anggota

himpunan. Contoh: himpunan semua kucing, himpunan siswa disebut sebagai himpunan

normal, karena himpunan itu sendiri bukanlah kucing atau siswa.

b) Himpunan tak-normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota.

Contoh: himpunan semua yang bukan kucing, himpunan semua yang bukan siswa.

3. Kurt Godel (1906 – 1978)

Godel dikenal lewat pembuktian “Theorema-theorema

Ketidaklengkapan Godel” (Godel Incompleteness Theorems) yang

dicetuskan pada tahun 1931. Godel melakukan pembuktian

terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik,

yaitu sistem aksiomatik matematikal yang digunakan untuk

membuktikan salah atau benar proposisi-proposisi yang

terkandung dalam sistem aksioma. Kiprah Godel ini merupakan

lanjutan dari upaya para matematikawan abad sebelumnya yang

itu membakukan aksioma dalam matematika yang mendasarkan

diri pada aksiomatika. Upaya paling muktahir tentang aksiomatik telah dilakukan oleh Russell

dalam buku Principia Mathematica (1910-1913) yang dikarang bersama Whitehead.

Matematikawan lain yang berkecimpung dalam aksiomatik adalah Hilbert yang dirombak oleh

Godel. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di

sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan

oleh Hilbert. Prestasi Godel ini menjadi tonggak matematika pada awal abad 20, menunjukkan

bahwa matematika bukan suatu obyek yang matang, seperti yang diyakini selama ini. Implikasi

lain adalah komputer tidak dapat diprogram untuk menjawab semua problem-problem

matematikal. Pakar logika lain yang menekuni bidang ini adalah Zermelo yang memperoleh hasil

sama dengan Godel. Mereka berdua bertemu dalam suasana damai di Bad Elster pada tahun

1931. Godel menyampaian makalah “Ketidaklengkapan” di universitas Wina pada akhir tahun

1932, sebelum diangkat menjadi dosen universitas Wina pada tahun 1933. Godel terus melakukan

riset sampai akhirnya ditemukan Axiom of Choice dengan aksioma-aksioma lain untuk teori

himpunan (set theory) pada tahun 1935. Di Amerika Godel mengeluarkan karya besarnya

Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms

of set theory pada tahun 1940. Lewat karya ini, Godel membuktikan bahwa sistem aksiomatik

teori himpunan yang dicetuskan oleh Russell dan Whitehead dalam Principia Mathematica adalah

konsisten, dan akan tetap konsisten meski ditambah dengan aksioma pilihan dan hipotesis-

kontinum yang digeneralisasi.

B. PENJELASAN HIMPUNAN

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk

menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan

anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu

diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja. Jadi tidak

boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1, a, b, 8, b}. Demikian pula kita tidak boleh

menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk

menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (anggota) sedangkan untuk

menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (bukan anggota).

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya

Contoh:

- A = {a,e,i,o,u}

- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:

Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan

pendefinisian di bawah ini

- A = Himpunan vokal dalam abjad latin

- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:

- P = {0,2,4,8,10,…,48}

- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:

- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}

(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})

- Q = { t | t biangan asli}

(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

- R = { s | s2-1=0, s bilangan real}

(Maksudnya R = {-1,1})

C. PERKEMBANGAN TEORI HIMPUNAN

Teori himpunan adalah salah satu prestasi terbesar matematika modern. Pada dasarnya

semua hasil, konsep-konsep matematika dan metode memungkinkan representasi dalam

menetapkan teori aksiomatis. Dengan demikian, teori himpunan mempunyai peran yang unik

dalam sistematisasi matematika modern, dan mendekati bentuk yang terintegrasi dari semua

pertanyaan dasar tentang argumen matematika, termasuk pertanyaan dari prinsip-prinsip

keberadaan. Sekitar tahun 1850-1930 teori ini menguraikan proses yang berbelit-belit sehingga

memunculkan teori himpunan.

Pada tahun 1910, Hilbert menulis bahwa teori himpunan matematika adalah disiplin yang saat

ini menempati peran yang luar biasa dalam ilmu matematika, dan memancarkan pengaruh yang

kuat di semua cabang matematika. Ini sudah menunjukkan bahwa, dalam rangka untuk

membahas sejarah, perlu untuk membedakan dua aspek teori himpunan; yang pertama perannya

sebagai bahasa dasar dari prinsip-prinsip dasar matematika modern; dan yang kedua perannya

sebagai cabang independen dari matematika, diklasifikasikan sebagai cabang dari logika

matematika.

Bagian pertama membahas asal-usul dan munculnya teori matematika yang ditetapkan pada

tahun 1870, bagian kedua diikuti dengan diskusi tentang periode ekspansi dan konsolidasi teori

sampai 1900. Bagian ketiga memberikan gambaran dari periode kritis pada dekade 1897-1908 dan

bagian keempat membahas waktu Zermelo untuk Gödel (dari teori ke metateori), dengan

perhatian khusus teori deskriptif ditetapkan tetapi sering diabaikan, namun pada hakekatnya teori

ini penting.

Dari pembahasan diatas didapat bahwa teori himpunan mempunyai peran yang unik dalam

sistematisasi matematika modern. Dimana teori himpunan matematika adalah disiplin ilmu yang

saat ini menempati peran yang luar biasa dalam ilmu matematika, dan memancarkan pengaruh

yang kuat di semua cabang matematika.

SEJARAH

BURNSIDE

PROBLEM

Masalah Burnside (Burnside Problem) diajukan oleh William Burnside pada tahun

1902 dan merupakan satu dari masalah yang tertua dan paling berpengaruh dalam teori

grup. Burnside Problem menanyakan apakah sebuah grup yang dibangun secara

berhingga di mana setiap elemen memiliki order berhingga harus benar-benar sebuah

grup berhingga. Pada bagian ini akan dibahas sejarah dan perkembangan Masalah

Burnside.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

176 | page

Burnside mengikuti St. John’s dan Pembroke Colleges di Universitas Cambridge, di mana

dia mendapat gelar Second Wrangler pada tahun 1875. Burnside kuliah di Cambridge selama 10

tahun, sebelum diangkat menjadi profesor matematika di Royal Naval College di Greenwich.

Meskipun Greenwich adalah bagian luar yang kecil dari pusat utama penelitian matematika

Inggris, Burnside tetap menjadi seorang peneliti yang sangat aktif, mempublikasikan lebih dari

150 makalah dalam karirnya.

Gambar 17.1 William Burnside

Karya awal Burnside adalah pada aplikasi matematika. Karya ini cukup untuk jasa

pemilihannya sebagai anggota dari Royal Society pada tahun 1893, meskipun hal itu sedikit

diingat saat ini. Kira-kira bersamaan dengan waktu pemilihannya, minatnya beralih ke studi grup

berhingga. Grup berhingga bukan subjek studi yang luas di abad 19 Inggris Raya (Great Britain)

dan hal itu memerlukan beberapa tahun untuk pekerjaannya dalam area ini untuk memperoleh

pengakuan yang luas.

Bagian pusat dari karya teori grup Burnside adalah pada area representasi grup, di mana dia

membantu untuk mengembangkan beberapa teori mendasar, melengkapi dan terkadang bersaing

dengan karya Frobenius, yang memulai subjek itu pada tahun 1890. Satu dari kontribusi

terkenalnya yang terbaik pada teori grup adalah teorema miliknya (yang menunjukkan

bahwa setiap grup berhingga yang ordernya dapat dibagi oleh kurang dari tiga bilangan prima

berbeda dapat diselesaikan).

A. Asal-usul Masalah Burnside (Burnside Problem)

Sejarah Matematika Sejarah Phi

177 | page

Dalam teori grup, terdapat definisi bahwa grup periodik atau grup torsion adalah sebuah grup

di mana setiap elemennya memiliki orde berhingga. Hal ini berarti bahwa untuk semua

terdapat sedemikian hingga , di mana 1 merupakan elemen identitas. Berdasarkan

definisi tersebut, jelas bahwa setiap grup berhingga adalah periodik. Definisi grup periodik

memang hampir sama dengan definisi grup siklik. Suatu grup dikatakan sebagai grup siklik jika

terdapat elemen sedemikian hingga . Elemen disebut generator dari

grup siklik tersebut. Yang membedakan antara grup periodik dengan grup siklik adalah pada .

Untuk grup periodik, sedangkan pada grup siklik . Kemudian Burnside melakukan

penelitian pada grup periodik dan akhirnya dia mendapati bahwa masih ada satu hal yang belum

ditentukan dalam teori grup yaitu tentang keberhinggaan dari suatu grup periodik yang dibangun

secara berhingga. Dalam makalahnya pada tahun 1902, Burnside mempublikasikan masalah

tersebut dan sejak saat itu banyak ahli yag mencoba untuk menjawab atau memecahkan masalah

tersebut. Masalah itulah yang sekarang kita kenal sebagai masalah Burnside (Burnside Problem).

B. Pengertian dari Masalah Burnside (Burnside Problem) dan Jenis-

jenis Masalah Burnside (Burnside Problem)

Masalah Burnside (Burnside Problem) adalah masalah yang menanyakan apakah sebuah

grup yang dibangun secara berhingga di mana setiap elemennya memiliki orde berhingga harus

benar-benar sebuah grup berhingga. Terdapat tiga jenis masalah Burnside (Burnside Problem),

yaitu masalah Burnside secara umum (General Burnside Problem), masalah Burnside berhingga

(Bounded Burnside Problem), dan pembatasan masalah Burnside (Restricted Burnside Problem).

Berikut definisi dari ketiga jenis masalah tersebut :

1. Masalah Burnside Secara Umum (General Burnside Problem)

Sebuah grup disebut periodik jika setiap elemen memiliki orde berhingga, dengan kata

lain, untuk setiap terdapat bilangan bulat positif sehingga Jadi jelas bahwa

setiap grup berhingga adalah periodik. Kemudian jika terdapat grup periodik yang tidak

berhingga maka grup tersebut tidak dapat dibangun secara berhingga. General Burnside Problem

yang diajukan pada tahun 1902 mempertanyakan hal tersebut sebagai berikut.

Jika adalah sebuah grup periodik, dan dibangun secara berhingga, kemudian apakah

harus benar-benar sebuah grup berhingga?

Sejarah Matematika Sejarah Phi

178 | page

2. Masalah Burnside Berhingga (Bounded Burnside Problem)

Setelah General Burnside Problem diajukan, ternyata para ahli mengalami kesulitan untuk

memecahkan masalah tersebut. Hal ini dikarenakan pada General Burnside Problem, syarat grup

untuk dibangun secara berhingga dan periodik memberi informasi yang sangat sedikit tentang

struktur dari sebuah grup. Dengan mempertimbangkan grup periodik dengan ciri tambahan

bahwa terdapat sebuah bilangan sehingga untuk semua di , Sebuah grup dengan

ciri ini dikatakan periodik terhadap eksponen , atau hanya sebuah grup dengan eksponen .

Untuk mengatasi kesulitan tersebut, Burnside mengajukan Masalah Burnside Berhingga

(Bounded Burnside Problem). Masalah ini juga diajukan pada tahun 1902. Masalah Burnside

untuk grup dengan eksponen berhingga (Bounded Burnside Problem) menanyakan:

Jika adalah grup yang dibangun secara berhingga dengan eksponen , apakah benar-

benar grup berhingga?

3. Pembatasan Masalah Burnside (Restricted Burnside Problem)

Restricted Burnside Problem dirumuskan pada tahun 1930 sebagai berikut.

Jika diketahui bahwa grup dengan pembangun dan eksponen adalah berhingga,

apakah dapat disimpulkan bahwa orde adalah berhingga dengan beberapa konstanta yang

hanya bergantung pada dan ? Secara ekuivalen, apakah hanya ada banyak grup

berhingga dengan pembangun dari eksponen ?

Jenis masalah Burnside (Burnside Problem) ini dapat dinyatakan secara pasti dalam grup secara

keseluruhan dengan pembangun dan eksponen . Dengan hasil dasar pada teori grup, irisan

dua subgroup dari indeks berhingga pada sebarang grup adalah subgroup dari indeks berhingga.

Biarkan menjadi irisan semua subgroup dari grup Burnside bebas yang memiliki

indeks terbatas, kemudian adalah sebuah subgroup normal dari (sebaliknya terdapat

subgroup dengan indeks berhingga berisi elemen bukan pada ) sehingga didefinisikan

sebuah grup menjadi grup faktor

Setiap grup berhingga dari eksponen

dengan pembangun adalah gambaran homomorfis dari . Restricted Burnside Problem

kemudian menanyakan apakah sebuah grup berhingga.

C. Definisi dan Teorema yang Muncul untuk Menjawab Masalah

Burnside (Burnside Problem)

Sejarah Matematika Sejarah Phi

179 | page

Dalam pemecahan masalah Burnside (Burnside Problem), terdapat beberapa definisi dan

teorema yang dikemukakan.

1. Definisi Grup Burnside (1902)

Setelah Burnside mengajukan General Burnside Problem dan Bounded Burnside Problem

pada tahun 1902, dia mengkonstruksikan sebuah grup sesuai dengan namanya yaitu Grup

Burnside. Definisinya adalah sebagai berikut.

Biarkan menunjukkan grup bebas dari derajat m. Untuk nilai n tetap biarkan

menunjukkan subgrup dari yang dibangun oleh untuk .

Kemudian adalah sebuah subgrup normal dari (itu bahkan sebuah subgrup invarian),

dan didefinisikan Grup Burnside menjadi grup faktor

.

2. Teorema Burnside (1905)

Sebuah grup linear yang dibangun secara berhingga yang berdimensi berhingga dan

mempunyai eksponen berhingga dan setiap subgrup dari dengan pangkat berhingga

adalah berhingga.

3. Teorema Schur (1911)

Setiap subgrup periodik yang dibangun secara berhingga dari adalah berhingga.

4. Teorema Hall-Higman (1956)

Menduga bahwa

dengan bilangan prima yang berbeda.

Asumsikan

i. RBP berlaku pada grup dari eksponen ,

ii. Terdapat banyak grup sederhana berhingga dari eksponen yang berhingga,

iii. Grup automorfis luar (outer)

memiliki solusi untuk setiap grup

sederhana berhingga dari eksponen . adalah grup automorfis , sedangkan

adalah subgroup yang terdiri dari automorfis dalam (inner).

Kemudian RBP berlaku pada grup dari eksponen .

(Catatan bahwa iii. di atas juga disebut Dugaan Schreier )

Sekarang (bergerak maju), klasifikasi dari grup sederhana berhingga pada tahun 1980

menunjukkan bahwa ii. dan iii. berlaku. Bahkan lebih awal hal itu diketahui untuk ganjil oleh

Feit-Thompson (“makalah order-ganjil” pada tahun 1962), dan pada waktu publikasi harus

memiliki sebuah dugaan yang beralasan.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

180 | page

D. Pendapat Para Ahli dalam Menjawab Masalah Burnside (Burnside

Problem)

1902 Burnside menunjukkan beberapa hasil pembuktian dalam makalahnya :

1.

Untuk dan sebarang bilangan bulat positif maka merupakan grup siklik

berorde .

2. adalah sebuah grup abelian dasar dari orde (sebuah produk langsung dari

salinan )

3. berhingga pada orde

4. berhingga pada orde . (pada kenyataannya Burnside mengklaim sebagai

persamaan)

1933 Levi, Van der Waerden (secara terpisah) menunjukkan bahwa memiliki orde ,

32 CCmc mm dan merupakan sebuah grup metabelian dari nilpotency kelas 3.

1940 Sanov membuktikan bahwa berhingga.

1954 Tobin menunjukkan bahwa memiliki order , dan memberikan sebuah

petunjuk.

1955 Kostrikin menetapkan bahwa ada.

1956 Higman membuktikan bahwa ada.

P. Hall dan G. Higman menunjukkan bahwa ada dan memiliki orde di

mana , 32 CCmc mm dan oleh karena itu

memiliki solusi dan memperoleh panjang 3.

1958 Marshall Hall Jr. membuktikan bahwa berhingga, sebuah kontribusi yang

digambarkan sebagai sebuah “potongan penghitungan yang luar biasa” oleh seorang

peninjau.

Kostrikin menunjukkan bahwa ada untuk semua prima.

1959 Kembali ke masalah Burnside yang asli, Novikov mengumumkan bahwa adalah

tidak berhingga untuk ganjil, . Novikov mempublikasikan sebuah kumpulan ide

Sejarah Matematika Sejarah Phi

181 | page

dan teorema, tetapi tidak ada bukti yang terdefinisi untuk masa yang akan datang. John

Britton menduga bukti Novikov salah dan dia mulai bekerja pada masalah tersebut.

1964 Golod dan Shafarevich memberikan sebuah contoh-sanggahan pada masalah Burnside

secara umum (General Burnside Problem) yaitu sebuah grup periodik, yang dibangun

secara berhingga, tidak berhingga.

1968 S I Adian, P S Novikov membuktikan bahwa tidak berhingga untuk ganjil,

dengan sebuah bukti kombinasi epik berdasarkan upaya Novikov sebelumnya.

Hal ini membuat sedih Britton karena dia telah tertutup untuk mempublikasikan

karyanya, tetapi dia berlanjut dan selesai pada tahun 1970. Makalahnya dipublikasikan

pada tahun 1973, tetapi Adian menemukan bahwa makalah itu salah. Britton tidak pernah

benar-benar tertutup lagi, dan ini menjadi makalah penelitian besar terakhir yang dia

publikasikan.

1975 S I Adian membuktikan bahwa tidak berhingga jika ganjil, ,

mengembangkan hasil dari Adian-Novikov pada tahun 1968.

1982 Ol’shanskii menunjukkan bahwa yang diberikan sebuah bilangan prima, ,

kemudian terdapat sebuah grup tidak berhingga, setiap subgrup tepat adalah siklik

terhadap orde . (Ini disebut Tarski Monster)

1992 S V Ivanov membuktikan bahwa tidak berhingga untuk dan .

1994 Zelmanov dianugerahi sebuah medali Fields untuk solusi positifnya terhadap Pembatasan

Masalah Burnside (Restricted Burnside Problem).

1996 I G Lysenok membuktikan bahwa tidak berhingga untuk dan genap

.

Setelah hampir 110 tahun masalah Burnside dilontarkan, ternyata masih menyisakan satu

misteri kecil, yaitu B(2,5) yang sampai detik ini belum diketahui apakah berhingga atau tidak.

Sampai saat ini pertanyaan ini masih belum terpecahkan dan para matematikawan sedang

berusaha menjawab masalah tersebut.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

182 | page

SEJARAH

TOPOLOGI

Awal mula lahirnya topologi adalah hasil penelitian yang dilakukan oleh orang di foto di

atas, yaitu Euler pada tahun 1736. Beliau menerbitkan sebuah buku yang berjudul “Solutio

Problematis ad Geometriam Situs Partinentis”. Buku ini berhubungan dengan geometri, di

dalam buku ini membahas tentang bagaimana melewati 7 jembatan dalam 1 kali perjalanan,

yaitu jembatan Königsberg seperti gambar diatas . Euler sadar bahwa ia berurusan dengan

berbagai jenis geometri yang jaraknya tidak relevan. Euler berpendapat bahwa tidak mungkin

untuk melewati kota Königsberg yang akan melintasi tujuh jembatan masing-masing tepat satu

kali. Hasil ini tidak tergantung pada panjang jembatan, tidak juga pada jarak dari masing-

masing jembatan, tetapi hanya pada properti konektivitas yaitu jembatan yang terhubung ke

pulau-pulau atau pinggir sungai. Masalah Tujuh Jembatan Königsberg, saat ini masalah

tersebut terkenal dalam pengantar matematika, dan sekarang menjadi cabang matematika yang

dikenal sebagai Teori Grafik.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

183 | page

A. Sejarah Topologi

Kata topologi berasal dari bahasa Yunani yaitu topos yang artinya “tempat” dan logos

yang artinya “ilmu” merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang. Kata

topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk anggota himpunan dengan

beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi.

Istilah topologi ini juga digunakan untuk mengacu ke struktur yang dikenakan pada satu

himpunan x, sebuah struktur yang pada dasarnya ciri himpunan x sebagai ruang topologi dengan

mengambil perawatan yang tepat properti seperti konvergensi, keterhubungan dan

kesinambungan pada transformasi.

Istilah “Topologie” diperkenalkan dalam bahasa Jerman pada tahun 1847 oleh Johan

Benedict Listing. Listing menulis sebuah buku yang berjudul “Vorstuties Zur Topologie”.

Topologi pertama kali digunakan pada tahun 1883 dalam obituari properti di jurnal Nature, untuk

membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana hubungan kuantitatif diutamakan".

Listing menyelidiki konektifitas dalam tiga dimensi

.

Gambar 18.1 Johan Benedict Listing

Jordan telah memperkenalkan metode lain untuk meneliti konektifitas sebuah

permukaan. Jordan menyebut kurva tertutup sederhana, pada sebuah permukaan yang tidak

terpotong sendiri dengan sebutan sirkuit yang tidak dapat dimusnahkan jika tidak dapat

ditransformasikan secara terus-menerus pada sebuah titik. Jordan telah membuktikan dalam

teoremanya bahwa jumlah sirkuit dalam rangkaian bebas yang lengkap merupakan invarian

Sejarah Matematika Sejarah Phi

184 | page

topologi permukaan. Kemudian topologi dikembangkan melalui generalisasi melalui pemikiran

konvergensi.

Gambar 18.2 Jordan

Pada tahun 1817 Balzano mengeluarkan asosiasi konvergensi dengan rangkaian angka

dan mengasosiasikan konvergensi dengan subset tidak menentu yang terikat dari angka riil.

Kemudian topologi memasuki matematika, yaitu melalui analisis fungsional. Ini merupakan

topik yang muncul dari fisika dan astronomi matematika, digunakan karena metode analisis

klasik kurang cukup dalam mengatasi masalah jenis tertentu.

Bonach melakukan langkah berikutnya pada tahun 1932 ketika dia beralih dari ruang

hasil ke ruang normed. Bonach menggunakan fungsional linear dan menunjukkan aturan alami

dalam ruang normed.

Gambar 18.3 Poincare

Poincare mengembangkan banyak metode topologi ketika mempelajari equosi perbedaan

biasanya muncul dari studi tentang masalah astronomi tertentu. Poincare lebih melibatkan

totalitas mencari seluruh solusi daripada tujuan tertentu. Kumpulan metode topologi yang

dikembangkan oleh Poincare dibuat menjadi teori topologi komplit oleh Brouwer pada tahun

1912.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

185 | page

Berikut adalah fisik topologi:

Gambar 18.4 Fisik topologi

B. Definisi Topologi

Topologi dapat didefinisikan sebagai abstraksi geometri dimana konsep jarak absolut

dibuang, dan kita melihat sub himpunan geometri, bentuk atau lokasi. Dapat juga didefinisikan

sebagai studi dasar-dasar teoritik himpunan untuk konsep fungsi kontinu. Topologi juga dapat

didefinisikan sebagai studi himpunan yang memiliki beberapa ide "kedekatan" titik yang

ditetapkan.

Definisi lain tentang topologi

Topologi adalah studi objek geometri fleksibel yang dapat ditekuk, dilipat, disusut,

direntangkan, dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek atau ditusuk.

Topologi adalah abstraksi geometri dimana konsep jarak absolut dibuang, dan kita melihat

sub himpunan geometri tak gayut ukuran, bentuk atau lokasi.

Topologi adalah penyelidikan dasar-dasar teoritik himpunan untuk konsep fungsi kontinu.

Topologi adalah studi himpunan yang memiliki beberapa ide "kedekatan" titik yang

ditetapkan.

C. Sifat-Sifat Topologi

Sejarah Matematika Sejarah Phi

186 | page

Sifat topologi atau invarian topologi dalam topologi dan bidang matematika terkait

adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorphisme. Jika diberikan dua ruang

topologi X dan Y dan homeomorphisme f antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan A

dari X berlaku jika dan hanya jika ia berlaku untuk f(A).

Soal umum dalam topologi adalah memutuskan apakah dua ruang topologi

homeomorphis atau tidak homeomorphis. Untuk membuktikan bahwa dua ruang adalah

homeomorphis, cukup untuk menemukan sifat topologi yang tidak terbagi oleh mereka.

D. Macam-Macam Topologi

Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional

dalam topologi adalah:

Topologi titik-himpunan, yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep

yang hakiki pada ruang topologi. Contoh dasar adalah kekompakan dan kesinambungan.

Topologi Aljabar, di sini dalam kajiannya menggunakan struktur dalam aljabar abstrak

(khususnya grup) yang di dalamnya dikaji ruang topologi dan pemetaan antar ruang, di

dalamnya diobservasi konsep homotopi dan homologi.

Topologi geometris yang terutamanya mengkaji manifold dan pembenamannya

(penempatannya) di manifold lainnya.

E. Ruang Topologi

Ruang topologi muncul secara alami di hampir setiap cabang matematika. Hal ini telah

menjadikan topologi sebagai salah satu ide pemersatu yang besar dalam matematika.

Salah satu himpunan terstruktur yang ada pada matematika disebut dengan ruang

topologi. Sama seperti himpunan terstruktur lainnya yang ada pada matematika seperti grup

ataupun ruang vektor, ruang topologi adalah suatu himpunan yang dilengkapi struktur, yang

dilengkapi aturan-aturan.

Aturan pada ruang topologi:

1. Definisi 1:

Sejarah Matematika Sejarah Phi

187 | page

Diberikan himpunan tak kosong , suatu koleksi yang berisikan himpunan-himpunan bagian

dari dikatakan topologi pada , jika memenuhi:

a. dan himpunan kosong termuat dalam

b. Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di termuat di pula

c. Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di berada di pula.

Pasangan ( ) dikatakan ruang topologi.

Contoh:

Diberikan dan maka merupakan topologi pada , karena memenuhi

semua kondisi dari definisi 1.

Diberikan dan maka bukanlah topologi pada karena gabungan

dua himpunan di tidak termuat di . Artinya tidak memenuhi

kondisi (ii) pada definisi 1.

Diberikan dan maka bukanlah topologi pada irisan

dua himpunan di tidak termuat di . Artinya tidak memenuhi

kondisi (iii) pada definisi 1.

Diberikan himpunan bilangan asli dan memuat , dan himpunan bagian berhingga dari

maka bukanlah topologi pada . Karena gabungan tak hingga

dari himpunan-himpunan di tidak termuat di . Artinya tidak memenuhi

kondisi pada (ii) pada definisi 1.

Diskrit dan Indiskrit

2. Definisi 2:

Diberikan himpunan tak kosong dan adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari maka

disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi disebut ruang diskrit.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

188 | page

Dengan mudah kita cek bahwa definisi 2 memenuhi semua kondisi dari definisi 1, jadi definisi 2

juga merupakan ruang topologi.

Definisi 3: Diberikan himpunan tak kosong dan maka disebut topologi indiskrit,

sedangkan ruang topologi disebut ruang indiskrit.

Sekali lagi kita harus cek bahwa definisi 3 memenuhi semua kondisi dari definisi 1. Jadi, semua

himpunan tak kosongdapat kita bentuk menjadi topologi, baik topologi diskrit maupun topologi

indiskrit.

F. Homeomorphisme

Homeomorphism atau topologi isomorphism atau fungsi bikontinu (dari Yunani kata

ὅμοιος (homoios) = serupa, identik dan μορφή (morphe) = bentuk) adalah isomorphisme khusus

atau fungsi kontinu antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi dan memiliki

kontinu fungsi invers.

Homeomorphisme adalah isomorphisme dalam kategori ruang topologi yaitu,

homeomorphisme adalah pemetaan yang mempertahankan semua sifat-sifat topologi dari suatu

ruang. Dua ruang dalam homeomorphisme disebut homeomorphis, dan dari sudut

pandang/tinjauan topologi mereka adalah sama.

Secara kasar dapat dikatakan, sebuah ruang topologi adalah geometri objek dan

homeomorphisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek

bentuk baru. Dengan demikian, sebuah persegi dan lingkaran adalah homeomorphis satu sama

lain, tetapi sebuah bola dan sebuah donat tidak. Dalam tinjauan topologi, cangkir bergagang satu

dan kue donat adalah sama.

.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

189 | page

Gambar 18. 5. Ilustrasi cangkir-donat

Keterangan:

Donat yang cukup lentur bisa dibentuk kembali ke bentuk cangkir kopi dengan

menciptakan lesung pipi yang semakin membesar, sementara itu lubang menyusut menjadi

pegangan.

Dari pembahasan diatas didapat banyak informasi tentang Topologi, antara lain, kata

topologi itu berasal dari bahasa Yunani yaitu topos yang artinya “tempat” dan logos yang artinya

“ilmu” merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang. Kata topologi

digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk anggota himpunan dengan beberapa sifat

yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Tokoh-tokoh yang

terlibat dalam topologi antara lain Euler, Johan Benedict Listing, Jordan, Balzano, Bonach,

Poincare, dan Brouwer. Topologi dapat didefinisikan sebagai abstraksi geometri dimana konsep

jarak absolut dibuang, dan kita melihat sub himpunan geometri tak gayut ukuran, bentuk atau

lokasi. Dalam topologi dan bidang matematika terkait, sifat topologi atau invarian topologi

adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorphisme. Topologi mencakup banyak

subbidang, yaitu topologi titik himpunan, topologi aljabar, topologi geometris. Ruang topologi

adalah suatu himpunan yang dilengkapi stuktur dan aturan-aturan. Homeomorphisme adalah

isomorphisms dalam ruang topologi kategori yaitu, homeomorphisme adalah pemetaan yang

mempertahankan semua sifat-sifat topologi dari suatu ruang.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

190 | page

Sejarah Waktu :

“Classical Time”

Sejarah Matematika Sejarah Phi

191 | page

Sepanjang pengalaman manusia, di setiap relung bumi serta alam semesta yang didiaminya

berlangsung suatu kenyataan rumit yang disebut waktu. Jam yang mewakili matahari dan

bintang, mengatur waktu bangun, waktu pergi ke sekolah atau bekerja, waktu memasak nasi dan

menyantapnya, ataupun waktu beristirahat. Waktu tidak hanya mengatur kegiatan manusia,

tetapi juga diri atau kehidupan manusia itu sendiri. Waktu memberikan kelangsungan dan pola

pada kehidupan, tetapi juga membawa kehancuran dan kematian. Dari semua abstraksi besar

dalam ilmu, kata waktu yang paling sering kita ucapkan dan bukan ruang, gaya atau materi.

Tetapi hal yang paling mengherankan adalah kita tidak dapat mendefinisikan apakah waktu itu,

kapan waktu itu dimulai dan lain sebagainya. Teka-teki dan paradoks waktu yang tidak terdefinisikan ini telah dirangkum 1.500 tahun yang

lalu oleh Aurelius Augustinus, Uskup Hippo di Afrika Utara, seorang ahli filsafat yang kemudian

dinyatakan sebagai orang suci. “Jadi, waktu itu apa?” demikian tanyanya. Lima belas abad

tidak cukup untuk memecahkan soal St. Augustinus ini.

Pada bagian ini akan dibahas perkembangan penentuan waktu ditiap peradaban. Mulai dari

penentuan waktu bangsa Sumeria sampai bangsa Yunani, beserta penemuan-penemuan lain

dalam menentukan waktu.

A. Sejarah Penentuan Waktu di Tiap Peradaban

1. Sumeria

Bangsa Sumeria pada tahun ± 500 tahun yang lampau di tepi sungai Tigris dan Efrat, adalah

bangsa yang paling menonjol bakatnya dan yang pertama kali mengembangkan kebudayaan kota

dan tulisan. Setelah tumbuhnya peradaban yang sangat kompleks, kebutuhan untuk mengetahui

waktu kapan harus menanami ladang atau bersiap-siap menghadapi banjir, hal ini yang

mendesak munculnya kalender sejati yang pertama karena perhitungan musim secara kasar tidak

akan memadai. Bangsa Sumeria mendasarkan kalender pada peredaran bulan di langit, dengan

membagi tahun menjadi 12 bulan kamariah yang masing-masing terdiri dari 30 hari, demikian

juga hari mereka terbagi menjadi 12 danna yang masing-masing terdiri dari 30 ges. Pengaturan

ini menghadapkan bangsa Sumeria pada masalah astronomi yang membingungkan para pembuat

kalender selama beribu-ribu tahun.

Masalah pokok yang timbul dari kenyataan bahwa daur astronomi yang menjadi dasar

penentuan panjangnya hari, tahun dan bulan tidak tepat cocok satu sama lain. Tahun yang

Sejarah Matematika Sejarah Phi

192 | page

berdasarkan peredaran bumi disekeliling matahari lamanya kurang lebih 365

hari. Panjangnya

bulan tentu saja diukur menurut tahap-tahap bulan, yang peredaran penuhnya sedikit lebih dari

29

hari. Akibatnya, satu tahun tidak terdiri dari 12 bulan yang sama panjangnya, melainkan

kurang lebih terdiri dari 2

bulan. Bila tidak ada pembetulan yang tepat, maka kalender bangsa

Sumeria setiap bulannya terdiri dari 30 hari dengan cepat akan menyimpang dari peredaran tahun

dan bulan serta matahari. Para ahli bangsa Sumeria pasti sudah membetulkan kalender itu, tetapi

bagaimana tepatnya itu terjadi sudah tidak diketahui.

Pengetahuan mengenai kalender bangsa Sumeria sangat terbatas, karena pengetahuan yang

didapat hanya berasal dari dokumen peninggalan bangsa Babilonia yang menggantikan bangsa

Sumeria sebagai penduduk Mesopotamia.

2. Babilonia

Bangsa Babilonia adalah bangsa yang menggantikan bangsa Sumeria sebagai penduduk

Mesopotamia. Dalam perkembangannya mengenai pembagian waktu, mereka telah dapat

menyesuaikan panjang bulan dengan peredaran bulan. Mereka menyelang-nyeling bulan yang

terdiri dari 30 hari dengan bulan yang terdiri dari 29 hari, kadang-kadang mereka menambahkan

satu bulan 30 hari istimewa untuk mengganti hari-hari yang hilang. Dengan cara serupa, mereka

menyelaraskan kaitan antara tahun dan matahari dengan menambahkan satu bulan istimewa kira-

kira tiap tiga tahun sekali.

Selama berabad-abad pembetulan kalender ini masih merupakan sebuah percobaan. Sistem

pembetulan yang dilakukan bangsa Babilonia oleh para ahli bangsa Babilonia menemukan

bahwa dalam gerak matahari dan bulan yang kelihatannya tidak menentu itu terdapat suatu

keteraturan. Setiap 19 tahun daur matahari dan daur bulan menjadi sebuah “hubungan fase” yang

sama. Hubungan fase 19 tahun antara matahari dan bulan inilah yang ditemukan ahli astronomi

Babilonia. Mereka menemukan bahwa 19 tahun syamsiah hampir tepat sama dengan 235 bulan

kamariah. Dengan keterangan ini, mereka dapat menciptakan system pembetulan kalender secara

rasional untuk pertama kali. Caranya adalah dengan memasukkan bulan-bulan tambahan pada

tujuh tahun tertentu diantara 19 tahun itu sehingga keseluruhannya menghasilkan 235 bulan.

3. Mesir

Sejarah Matematika Sejarah Phi

193 | page

Di lembah sungai Nil, akhir musim semi merupakan waktu bagi orang Mesir untuk

memandang ke langit dan menantikan banjir yang amat penting bagi mereka. Banjir itu datang

setelah munculnya bintang Sirius (bintang paling cemerlang dilangit). Bintang Sirius setahun

sekali naik dari cakrawala sebelah timur sesaat sebelum fajar menyingsing yang terjadi pada

bulan Juli, dengan kejadian ini orang Mesir memulai tahun baru mereka. Bangsa Mesir

mempunyai tahun tersendiri yang terdiri dari 12 bulan, masing-masing panjangnya 30 hari.

Penentuan waktu orang Mesir ini dimaksudkan agar kalender mereka mendekati daur bulan di

langit. Di kemudian hari, agar membuat tahun kamariahnya cocok hampir tepat dengan terbitnya

bintang Sirius, mereka menambahkan lima hari ekstra pada setiap tahun, sehingga jumlah hari

dalam setahun adalah 365 hari. Kalender ini disebut kalender Syamsiah atau kalender yang

berdasarkan matahari.

Selain itu, orang Mesir juga membagi siang dan malam yang masing-masing menjadi 12

bagian. Setiap bagian merupakan

waktu antara matahari terbit dan matahari terbenam atau

matahari terbenam serta matahari terbit. Maka panjang satu jam berbeda-beda menurut musim.

Kata yang digunakan oleh bangsa Mesir untuk jam, yakni wnwt, juga berarti “tugas – tugas

Imam” dan bila ditambah satu huruf hieroglif, kata itu menjadi wnwty yang artinya “pengamat

jam” ataupun “pengamat bintang”. Para pengamat bintang menunaikan tugas imamnya dengan

memperhatikan munculnya dekan, yakni sejumlah bintang atau gugus bintang tertentu di

cakrawala sebelah timur. Mereka membagi malam menjadi 12 jam, dan tiap jam ditandai oleh

munculnya sebuah dekan yang sesuai.

Tentu saja jam – jam siang hari ditandai oleh gerakan dewa matahari Re dilangit. Untuk

mengikuti gerakan matahari, para imam menggunakan jam bayangan. Salah satu macam

berbentuk huruf T, tetapi palangnya dibengkokkan dengan sudut 90°. Bila alat ini diarahkan ke

Timur (pada waktu pagi) atau kebarat (pada sore hari), bayangan palang akan jatuh pada

pegangannya dan secara agak kurang tepat menunjukkan jam – jam yang telah berlalu. Untuk

menghitung jam siang hari, para imam hanya menggunakan angka 1 sampai 10. Mereka

menghitung “jam taram – temaram” secara terpisah, satu jam untuk fajar dan satu jam untuk

senja. Jam taram – temaram ditambah 10 jam siang hari dan 12 jam malam hari seluruhnya

menjadi 24 jam.

Mengingat cara penyusunan sistem ini, hari orang Mesir yang terdiri dari 24 jam tadi jelas

berbeda dengan hari kita, sebab panjang jam mereka tentulah tidak sama. Jam – jam siang hari

Sejarah Matematika Sejarah Phi

194 | page

yang masing – masing merupakan sepersepuluh dari selang waktu antara matahari terbit dan

terbenam pastilah lebih panjang pada musim panas dari pada musim dingin. Panjang jam – jam

malam dan jam taram – temaram berubah – ubah dengan cara yang berlainan dan lebih rumit

lagi, karena terbitnya dekan berubah – ubah dari satu musim yang lain dan dari satu tahun ke

tahun yang lain.

Bahkan bagi orang Mesir yang tidak begitu peduli akan konsistensi pun sistem ini dirasakan

terlalu rumit. Maka akhirnya, mereka memutuskan bahwa baik siang maupun malam hari harus

dihitung 12 jam lamanya. Caranya ialah dengan menghapuskan jam – jam khusus untuk fajar dan

senja. Meskipun panjang jamnya masih berubah –ubah dari musim ke musim, namum paling

tidak variasinya konsisten.

Orang Mesir mengukur lajunya jam dengan alat dari mangkuk batu yang berlubang di

dasarnya, lewat lubang ini air keluar dengan laju tertentu. Mangkuk tersebut diberi tanda

berbeda-beda untuk menunjukkan jam pada berbagai musim. Jam air Mesir, ataupun variasinya,

tetap menggunakan alat pengukur waktu yang paling efisien sampai masa ditentukannya jam

baku. Ukuran waktu ini menjadi terkenal berkat penemuan jam bermesin pada Abad Pertengahan

Eropa. Selain menggunakan jam air, orang Mesir juga menngunakan jam matahari (obelisk dan

jam berbentuk T ). Obelisk dibuat sebagai penanda waktu orang-orang Mesir. Bayangannya

ketika diterpa sinar matahari dijadikan patokan seperti jarum jam sebagai penanda waktu.

Dengan Obelisk, orang Mesir juga bisa tahu kapan tahun terpanjang dan terpendek. Sedangkan

jam matahari berbentuk seperti huruf T yang diletakkan di atas tanah dan membagi waktu antara

matahari terbit dan tenggelam ke dalam 12 bagian. Para ahli sejarah berpendapat, orang-orang

Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis 12 didasarkan akan jumlah siklus bulan

dalam setahun atau bisa juga didasarkan akan banyaknya jumlah sendi jari manusia (3 di tiap

jari, tidak termasuk jempol) yang memungkinkan mereka berhitung hingga 12 menggunakan

jempol.

4. Maya

Pencatatan waktu oleh suku bangsa Maya di Amerika Tengah yang luar biasa ketepatannya

merupakan dunia tersendiri yang benar-benar lepas dari tradisi Eropa. Kalau peradaban lain

menaruh minat terhadap waktu, maka bangsa Maya lebih dari sebuah minat saja. Kalender

merupakan salah satu bagian dari agama mereka dan tugas untuk menyelaraskannya dengan alam

Sejarah Matematika Sejarah Phi

195 | page

menjadi tugas para ahli astronomi. Mereka menggunakan ketiga daur astronomis besar yaitu,

perputaran harian bumi, bulan kamariah dan tahun syamsiah (matahari). Mereka tidak

mencocokkan semua daur ini, tetapi mencatat ketiga-tiganya secara terpisah, demikian pula daur

astronomis lainnya.

Hingga saat ini setidaknya ada 20 sistem penanggalan Suku Maya dan 15 sistem telah

disebarkan ke berbagai tempat untuk dipelajari, sementara 5 sistem lagi masih dirahasiakan oleh

para pemangku adat Suku Maya. Ke-15 macam sistem kalender tersebut mencatat

pergerakan matahari, bulan, planet-planet yang terlihat, masa panen, dan bahkan siklus

kehidupan serangga.

Penanggalan bangsa Maya yang cukup terkenal adalah kalender Tzolkin (Tzolk'in) yang

berumur 260 hari dan kalender Haab (Ha’ab) yang berumur 365 hari. Gabungan dari 2

penanggalan ini akan berakhir setelah 52 Haab atau sekitar 52 tahun kalender Gregorian.

Selain itu ada kalender Hitung Panjang (Long Count) yang berumur 13 Baktun (siklus) atau jika

dihitung menurut kalender Gregorian lebih dari 5.126 tahun, yaitu dimulai pada tanggal 11

Agustus 3114 SM (kalender Gregorian) atau 6 September 3113 SM (kalender Julian) hingga

berakhir pada tanggal 21 Desember 2012 masehi (kalender Gregorian).

Sistem Perhitungan Panjang ini menggunakan basis perhitungan 20, sedangkan kalender

modern saat ini menggunakan basis perhitungan 10. Adapun lama waktu 1 Baktun adalah

144.000 hari.

Tabel Perhitungan Panjang

Lama Hari Periode Masa

1 = 1 Kin -

20 = 20 Kin = 1 Uinal

360 = 18 Uinal = 1 Tun

7.200 = 20 Tun = 11 Katun

144.000 = 20 Katun = 1 Baktun

Sejarah Matematika Sejarah Phi

196 | page

Sebagai contoh, untuk hari pertama berdasarkan sistem Perhitungan Panjang akan ditulis

0.0.0.0.1 dan pada hari ke-19 akan menjadi 0.0.0.0.19. Karena basis perhitungannya didasarkan

pada angka 20, maka penulisan hari yang ke-20 menjadi 0.0.0.1.0. Untuk setahun perhitungan

akan ditulis 0.0.1.0.0 dan 20 tahun menjadi 0.1.0.0.0, sedangkan untuk kisaran waktu 400 tahun

akan ditulis menjadi 1.0.0.0.0 dan inilah lama 1 Baktun (siklus). Jika pada sistem kalender ini

tertulis 2.10.12.7.1 maka hal ini melambangkan penanggalan untuk hari ke-1, bulan ke-7 dan

tahun ke-1012.

5. Yunani

Bangsa Yunani membagi satu tahun menjadi 12 bagian yang disebut bulan. Mereka kemudian

membagi setiap bulan menjadi 30 bagian yang disebut hari. Dalam satu tahun, mereka

mempunyai 360 hari atau 12 x 30 = 360. Karena bumi berputar mengelilingi matahari

membentuk jalur lingkaran, maka bangsa Yunani membagi lingkaran menjadi 360 derajat.

Konsep ini dikemukakan oleh Hipparchus, seorang astronom Yunani , yang hidup pada tahun

190-120 SM dan pada sekitar 130 SM beliau menyarankan agar banyaknya jam dalam satu hari

dibuat tetap saja yaitu sebanyak 24 jam, disebut dengan sistem waktu equinoctial. Claudius

Ptolemy, seorang astronom Yunani yang tinggal di Alexandria-Mesir. Ia menyempurnkan teori

Hipparchus mengenai geosentris (bumi sebagai pusat tata surya) dan sistem tata surya yang

membagi tiap derajat menjadi 60 bagian. Bagian pertama disebut dengan partes minutae primae

yang artinya menit pertama, bagian yang kedua disebut partes minutae secundae atau menit

kedua, dan seterusnya. Walaupun ada 60 bagian, yang digunakan hanyalah 2 bagian yang

pertama saja dimana bagian yang pertama menjadi menit, dan bagian yang kedua menjadi detik.

Sedangkan sisa 58 bagian yang lainnya membentuk satuan waktu yang lebih kecil daripada detik.

Sistem waktu ini membutuhkan waktu berabad-abad untuk tersebar luas penggunaannya.

Bahkan jam penunjuk waktu pertama yang menampilkan menit dibuat pertama kali pada abad

ke-16. Sistem waktu ini digunakan hingga sekarang oleh kita manusia modern.

B. Penemuan Tentang Waktu

1. Asal Mula Tahun Masehi

Sejarah Matematika Sejarah Phi

197 | page

Sejak 1900, seluruh dunia menggunakan sistem tahun Masehi. Meskipun pada tahun 1422,

Portugal menjadi negara Eropa terakhir yang menerapkan sistem penanggalan ini, banyak

Kerajaan di Asia dan Afrika belum menggunakan sistem tahun Masehi.

Awal tahun Masehi (berasal dari bahasa Arab) merujuk kepada tahun yang dianggap sebagai

tahun kelahiran Nabi Isa Al-Masih karena itu kalender ini dinamakan Masihiyah atau Yesus dari

Nazaret. Kebalikannya, istilah Sebelum Masehi (SM) merujuk pada masa sebelum tahun

tersebut. Sebagian besar orang non-Kristen biasanya mempergunakan singkatan M dan SM ini

tanpa merujuk kepada konotasi Kristen tersebut. Sistem penanggalan yang merujuk pada awal

tahun Masehi ini mulai diadopsi di Eropa Barat selama abad ke-8.

Meskipun tahun 1 dianggap sebagai tahun kelahiran Yesus, namun bukti-bukti historis terlalu

sedikit untuk mendukung hal tersebut. Para ahli menanggali kelahiran Yesus secara bermacam-

macam, dari 18 SM hingga 7 SM.

Sejarawan tidak mengetahui bahwa tahun 0 – 1 M adalah tahun pertama sistem Masehi dan

tepat setahun sebelumnya adalah tahun 1 SM. Dalam perhitungan sains, khususnya dalam

penanggalan tahun astronomis, hal ini menimbulkan masalah karena tahun Sebelum Masehi

dihitung dengan menggunakan angka 0, maka dari itu terdapat selisih 1 tahun di antara kedua

sistem.

Di Indonesia selain tahun Masehi yang digunakan secara resmi, secara tidak resmi masyarakat

juga mengenal tahun Hijriyah, tahun Jawa, tahun Imlek/tahun Tionghoa dan tahun Saka/tahun

Hindu.

Dalam bahasa Inggris dan dipergunakan secara internasional, istilah Masehi disebut

menggunakan bahasa Latin Anno Domini / AD (Tahun Tuhan kita) dan Sebelum Masehi disebut

sebagai Before Christ / BC (Sebelum Kristus). Sistem ini mulai dirancang tahun 525 M, namun

tidak begitu luas digunakan dari abad ke-11 sampai abad ke-14. Pada tahun 1422, Portugal

menjadi negara Eropa terakhir yang menerapkan sistem penanggalan ini. Penanggalan Masehi ini

sendiri sempat mengalami perubahan pada September 1752 atas prakarsa Paus Gregorius XIII

dengan mempercepat 11 hari sebagai koreksi atas kesalahan perhitungan jumlah hari dalam

sistem sebelumnya yang disebut sistem Julian. Kemudian penanggalan Masehi mengikuti sistem

perhitungan yang disebut Gregorian itu. Setelah banyak negara merdeka pada tahun 1900-an,

seluruh negara di dunia mengakui dan menggunakan konvensi ini untuk mempermudah

komunikasi.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

198 | page

Selain itu dalam bahasa Inggris juga dikenal sebutan Common Era / CE (Era Umum) dan

Before Common Era / BCE (Sebelum Era Umum) ketika ada penulis yang tidak ingin

menggunakan nama tahun Kristen meskipun perhitungan waktu tetap pada perhitungan Kristen

itu.

2. Kalender

a) Kalender China (Tahun Imlek)

Sistem kalender China mulai dikembangkan pada millenium ketiga sebelum masehi, konon

ditemukan oleh penguasa legendaris pertama, Huáng Dì, yang memerintah antara tahun 2698 SM

– 2599 SM. Dan dikembangkan lagi oleh penguasa legendaris keempat, Kaisar Yáo. Siklus 60

tahun (gānzhī atau liùshí jiǎzǐ) mulai digunakan pada millennium kedua sebelum masehi.

Kalender yang lebih lengkap ditetapkan pada tahun 841 SM pada zaman Dinasti Zhōu dengan

menambahkan penerapan bulan ganda dan bulan pertama satu tahun dimulai dekat dengan titik

balik matahari pada musim dingin.

i. Dinasti Qin

Kalender Sìfēn (empat triwulan), yang mulai diterapkan sekitar tahun 484 SM, adalah

kalender China pertama yang memakai perhitungan lebih akurat, menggunakan penanggalan

matahari 365¼ hari, dengan siklus 19 tahun (235 bulan), yang dalam ilmu pengetahuan Barat

dikenal sebagai Peredaran Metonic. Titik balik matahari musim dingin adalah bulan pertamanya

dan bulan gandanya disisipi mengikuti bulan ke 12. Pada tahun 256 SM, kalender ini mulai

digunakan oleh negara Qín, kemudian diterapkan di seluruh negeri Cina setelah Qín mengambil

alih keseluruhan negeri Cina dan menjadi Dinasti Qín. Kalender ini tetap digunakan sepanjang

separuh pertama Dinasti Han Barat.

ii. Dinasti Han

Kaisar Wǔ dari Dinasti Han Barat memperkenalkan reformasi kalender baru. Kalender Tàichū

(Permulaan Agung) pada tahun 104 SM mempunyai tahun dengan titik balik matahari musim

dingin pada bulan ke 12 dan menentukan jumlah hari untuk penanggalan bulan (satu bulan 29

hari atau 30 hari) dan bukan sesuai dengan prinsip terminologi matahari (yang secara

keseluruhan sama dengan tanda zodiak). Sebab gerakan matahari digunakan untuk

mengkalkulasi Jiéqì (ciri-ciri musim).

Sejarah Matematika Sejarah Phi

199 | page

b) Kalender Saka

Kalender Saka adalah sebuah kalender yang berasal dari India. Kalender ini merupakan

sebuah penanggalan syamsiah-kamariah (candra-surya) atau kalender luni-solar.

Kalender Saka berawal pada tahun 78 Masehi dan juga disebut sebagai

penanggalan Saliwahana (Sâlivâhana).Kala itu Saliwahana yang adalah seorang raja ternama dari

India bagian selatan, mengalahkan kaum Saka. Tetapi sumber lain menyebutkan bahwa mereka

dikalahkan oleh Wikramaditya (Vikramâditya). Wikramaditya adalah seorang musuh atau

saingan Saliwahana, beliau berasal dari India bagian utara.

Mengenai kaum Saka ada yang menyebut bahwa mereka termasuk sukubangsa Turki atau

Tatar. Namun ada pula yang menyebut bahwa mereka termasuk kaum Arya dari suku Scythia.

Sumber lain lagi menyebut bahwa mereka sebenarnya orang Yunani (dalam bahasa

Sansekerta disebut Yavana yang berkuasa di Baktria (sekarang Afganistan).

c) Kalender Hijriyah

Penentuan dimulainya sebuah hari/tanggal pada kalender Hijriyah berbeda dengan pada

kalender Masehi. Pada sistem kalender Masehi, sebuah hari/tanggal dimulai pada pukul 00.00

waktu setempat. Namun pada sistem kalender Hijriah, sebuah hari/tanggal dimulai ketika

terbenamnya matahari di tempat tersebut.

Kalender Hijriyah dibangun berdasarkan rata-rata silkus sinodik bulan kalender

lunar (kamariyah), memiliki 12 bulan dalam setahun. Dengan menggunakan siklus sinodik bulan,

bilangan hari dalam satu tahunnya adalah (12 x 29,53059 hari = 354,36708 hari).Hal inilah yang

menjelaskan 1 tahun kalender Hijriyah lebih pendek sekitar 11 hari dibanding dengan 1 tahun

kalender Masehi.

Faktanya, siklus sinodik bulan bervariasi. Jumlah hari dalam satu bulan dalam kalender

Hijriah bergantung pada posisi bulan, bumi dan matahari. Usia bulan yang mencapai 30 hari

bersesuaian dengan terjadinya bulan baru (new moon) di titik apooge, yaitu jarak terjauh antara

bulan dan bumi, dan pada saat yang bersamaan, bumi berada pada jarak terdekatnya dengan

matahari (perihelion). Sementara itu, satu bulan yang berlangsung 29 hari bertepatan dengan saat

terjadinya bulan baru di perige (jarak terdekat bulan dengan bumi) dengan bumi berada di titik

terjauhnya dari matahari (aphelion). dari sini terlihat bahwa usia bulan tidak tetap melainkan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

200 | page

berubah-ubah (29 - 30 hari) sesuai dengan kedudukan ketiga benda langit tersebut

(Bulan, Bumi danMatahari)

Penentuan awal bulan (new moon) ditandai dengan munculnya penampakan (visibilitas) bulan

sabit pertama kali (hilal) setelah bulan baru (konjungsi atau ijtimak). Pada fase ini, bulan

terbenam sesaat setelah terbenamnya matahari, sehingga posisi hilal berada di ufuk barat. Jika

hilal tidak dapat terlihat pada hari ke-29, maka jumlah hari pada bulan tersebut dibulatkan

menjadi 30 hari. Tidak ada aturan khusus bulan-bulan mana saja yang memiliki 29 hari, dan

mana yang memiliki 30 hari. Semuanya tergantung pada penampakan hilal.

d) Kalender Jawa

Sistem kalender Jawa berbeda dengan kalender Hijriyah, meski keduanya memiliki

kemiripan. Pada abad ke-1 di Jawa diperkenalkan sistem penanggalan kalender Saka (berbasis

matahari) yang berasal dari India. Sistem penanggalan ini digunakan hingga pada

tahun 1625 Masehi (bertepatan dengan tahun 1547 Saka), Sultan Agung mengubah sistem

kalender Jawa dengan mengadopsi sistem kalender Hijriah, seperti nama-nama hari, bulan, serta

berbasis lunar (kamariyah). Namun demi kesinambungan, angka tahun Saka diteruskan, dari

tahun 1547 Saka kemudian kalender Jawa meneruskan bilangan tahun 1547 Saka ke 1547 Jawa.

Berbeda dengan Kalender Hijriah yang murni menggunakan visibilitas Bulan (moon

visibility) pada penentuan awal bulan (first month), Penanggalan Jawa telah menetapkan jumlah

hari dalam setiap bulannya.

e) Kalender Julius

Selama seribu tahun sejak masa awal masa Kristen sampai Abad Pertengahan kalender Julius

digunakan di dunia Barat. Kalender ini mengambil nama Julius Caesar, orang Romawi yang

meresmikannya, dan merupakan perbaikan besar atas kalender sebelumnya. Kalender sebelum

itu berupa penghitungan waktu serampangan, yaitu sering kali dipermainkan demi tujuan politik.

Pada masa awal Zaman Romawi, kalendernya didasarkan pada periode bulan di langit dan

mempunyai 10 bulan. Karena jumlah seluruhnya kurang lebih hanya 300 hari, maka

ditambahkan hari – hari ekstra seperlunya untuk menjaga agar waktunya tetap sesuai dengan

tahap – tahap musim. Meskipun pada abad ke-8 SM tahun dibagi menjadi 12 bulan, tapi nama 4

bulan terakhir pada kalender yang lama tetap dipertahankan, yakni September, Oktober,

November dan Desember. Inilah penunjuk angka dalam bahasa Latin untuk bulan kedelapan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

201 | page

sampai kedua belas. Ketika Julius Caesar kembali dari Mesir pada tahun 47 SM, dia menetapkan

tahun yang panjangnya 365 hari dan dilengkapi dengan tahun kabisat, sebagaimana telah

disarankan oleh para pembaru di Mesir dua abad sebelumnya. Kini kalender mulai mendekati

ketepatan dengan bentuk kalender modern. Meskipun tidak persis cocok dengan kalender

modern, bulan-bulannya mempunyai 30 atau 31 hari pada waktu itu seperti juga sekarang.

Februari merupakan pengecualian, dalam tahun biasa terdiri dari 29 hari dan dalam tahun kabisat

terdiri 30 hari. Meskipun pengganti Caesar, yaitu Augustus, membuat beberapa pembetulan

misalnya memotong satu hari dari bulan Februari, baru pada tahun 527 M diadakan perubahan

besar. Dionisius Exiguus, seorang Abas di Roma, menggeser Tahun Baru dari tanggal 1 Januari

ke tanggal 25 Maret, ini mungkin dimaksudkan untuk mencerminkan kelahiran kembali alam

pada musim semi tiap tahun. Dionisius Exiguus juga menetapkan Hari Natal pada tanggal 25

Desember dan mulai mempraktekkan pencatatan tahun kejadian dengan patokan saat kelahiran

Al Masih (Masehi atau sebelum Masehi).

Baru pada Abad Pertengahan kaum awam tertarik dengan kalender. Kaum bangsawan

memesan buku tentang waktu yang diberi hiasan meriah. Dan kalender yang paling indah

diantara kalender berhias adalah kalender yang dipesan oleh Duc de Berry pada tahun 1409.

f) Kalender Gregorius

Bentuk sederhana kalender Julius memungkinkan lapisan masyarakat yang cukup luas

mengikuti waktu dan mengatur urusan mereka. Tetapi dengan tahun kabisat sekalipun, kalender

itu tetap kurang sesuai dengan daur astronomis. Tahun kalender rata-rata 12 menit lebih lama

daripada daur matahari. Kekeliruan yang tampaknya kecil ini terus menumpuk, sehingga

misalnya pada tahun 1093 musim semi jatuh pada tanggal 15 Maret, bukannya tanggal 21 Maret,

dan hari-hari raya yang dapat bergeser seperti Paskah sedikit demi sedikit ketinggalan oleh

musim.

Dalam tahun 1582, Paus Gregorius XIII mengumumkan perubahan baru. Tahun pada abad

pergantian yang tidak habis dibagi 400, yakni 1700, 1800 dan sebagainya, tidak lagi merupakan

tahun kabisat. Dengan demikian kekeliruannya berkurang hingga 26 detik setiap tahun, yang

menjadi satu hari setiap 3.323 tahun. Untuk membuat kalender sejalan lagi dengan musim,

Gregorius mengurangi tahun 1582 dengan 11 hari, tanggal 4 Oktober langsung diikuti oleh

tanggal 15 Oktober. Sebagai pembaruan terakhir, ia mengembalikan tanggal 1 Januari sebagai

Sejarah Matematika Sejarah Phi

202 | page

hari Tahun Baru. Negara – negara Katolik Eropa menggunakan kalender baru Gregorius, tetapi

negara – negara Protestan tetap pada yang lama. Baru pada tahun 1752, Inggris dan koloni –

koloninya menyesuaikan diri dengan memotong 11 hari dari tahun. Kejadian ini menimbulkan

kerusuhan di London. Banyak orang yang marah karena merasa kehilangan uang sewa 11 hari.

Mereka mengamuk dengan berteriak “Berikan kembali 11 hari kami.” Tetapi di Amerika, Ben

Franklin memberikan nasihat yang lebih bernada filosofis. Kepada para pembaca dia

memberikan nasihat agar tidak menyesali hilangnya waktu yang sedemikian banyak akan tetapi

sebaliknya justru harus bergembira karena orang dapat tidur dalam kedamaian pada tanggal 4

bulan Oktober dan ketika bangun hari sudah menunjukkan tanggal 15 Oktober pagi.

3. Jam

1. Jam Matahari

Setelah bangsa Sumeria menghilang tanpa meninggalkan pengetahuannya, Mesir sudah

membagi hari seperti sekarang ini. Sebut saja Obelisk (batu panjang lonjong seperti monumen)

yang dibangun pada awal 3500 SM, dibuat sebagai penanda waktu orang-orang Mesir.

Bayangannya ketika diterpa sinar matahari dijadikan patokan seperti jarum jam sebagai penanda

waktu. Dengan Obelisk, orang Mesir juga bisa tahu kapan tahun terpanjang dan terpendek.

Gambar 19.1. Ilustrasi jam matahari

2. Jam Air

Jam air adalah salah satu penanda waktu yang tidak bergantung pada pengamatan benda di

langit. Satu jam air tertua ditemukan di makam Amenhotep I yang dimakamkan sekitar tahun

1500 SM.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

203 | page

Orang Yunani mulai menggunakan jam air atau yang disebut oleh mereka sebagai Clepsydras

(Water Thief) pada tahun 325 SM. Berbagai bentuk jam air dibuat. Ada seperti mangkok yang

perlahan-lahan terisi air dengan volume yang bertambah secara konstan. Dengan tanda tertentu

di permukaan, orang Yunani dapat mengetahui waktu pada saat itu.

Versi lain ada yang terbuat dari mangkok logam yang dicelupkan dalam wadah berisi air.

Perlahan-lahan mangkok logam yang dibawahnya diberi lobang kecil, akan tenggelam dalam

waktu tertentu. Alat ini masih digunakan di Afrika utara pada abad ini.

Gambar 19.2. Ilustrasi jam matahari

Kemudian pada tahun 100 SM dan 500 SM, horologis dan astronom Yunani dan Romawi

mulai membuat jam air mekanik yang dikenal dengan Su Sung. Jam ini lebih kompleks dari

sebelumnya dengan ditambahkan pengatur tekanan agar aliran air berjalan dengan konstan dan

bentuk yang lebih menarik. Ada pula yang ditambahkan bel atau gong sebagai penanda waktu.

Di tahun-tahun berikutnya, jam air terus dikembangkan seperti yang dilakukan astronom

Yunani, Andronikos pada abad 1 SM. Dia membuat menara angin di Athena. Strukturnya yang

oktagonal menunjukkan bahwa jam ini adalah jam matahari dengan indikator mekanik. Jam ini

juga dilengkapi dengan jam air mekanis 24 jam, penunjuk 8 arah mata angin, jam, tanggal, tahun,

dan astrologi.

Salah satu jam menara paling rumit dibangun oleh Su Sung pada tahun 1088 dengan tinggi 30

meter. Memiliki bola daya perunggu dan lima panel depan dengan pintu yang bisa merubah

boneka manekin. Boneka ini dapat membunyikan bel atau gong dalam menandakan waktu.

Sayangnya, aliran air sangat sulit untuk dikontrol sehingga jam model ini tidak bisa mencapai

akurasi yang tepat.

3. Jam Pasir

Sejarah Matematika Sejarah Phi

204 | page

Jam ini juga merupakan salah satu penanda waktu yang digunakan pada zaman dulu. Alat ini

terdiri atas dua tabung gelas yang dihubungkan oleh sebuah saluran sempit.

Cara kerja alat ini adalah pasir yang ada di salah satu tabung (di atas) akan mengalir ke tabung

di bawahnya melalui saluran penghubung yang sempit tersebut. Jika semua pasir telah mengalir

ke tabung yang ada di bawahnya, maka satuan waktu tertentu (misalnya satu jam) telah terlewati.

Kemudian, jam pasir itu pun dibalik lagi untuk mengukur waktu kembali. Di sebut jam pasir

karena material yang dipakai adalah pasir, yang memang memiliki kecepatan yang stabil saat

mengalir.

Jam pasir pertama diperkirakan muncul pada tahun 1338 berdasarkan lukisan Allegory of

Good Government dari Ambrogio Lorenzetti.

Gambar 19.3. Ilustrasi jam pasir

4. Jam Mekanik

Jam mekanik ditemukan pada akhir tahun 100 Masehi di Cina, namun tidak dikembangkan

lebih lanjut. Kemudian, pada tahun 1200-an, jam mekanik mulai dikembangkan di Eropa.

Jam tersebut umumnya menggunakan pemberat sebagai penggeraknya, tetapi tidak memiliki

bandul atau jarum. Sebagai penanda satuan waktu (misalnya satu jam) adalah bunyi lonceng atau

bel.

Salah satu jam mekanik generasi pertama, saat ini masih tersimpan di Katedral Salisbury,

Inggris. Jam ini dibuat tahun 1386.

5. Jam Pendulum Mekanis

Pada abad pertengahan (500 – 1500 masehi), perkembangan teknologi tidak banyak berubah

di Eropa. Begitu juga dengan perkembangan jam, masih berkutat pada jam matahari dan tidak

bergerak jauh dari prinsip-prinsip teknologi Mesir kuno

Sejarah Matematika Sejarah Phi

205 | page

Pada masa itu, ada jam matahari yang ditempatkan di atas pintu-pintu untuk menandakan

tengah hari. Sekitar abad ke-10, jam matahari saku mulai digunakan. Bahkan di Inggris, jam saku

tersebut ada yang dapat mengetahui kapan pasang surut air laut dan perubahan musim dari

ketinggian matahari.

Kemudian di awal dan pertengahan abad ke-14, mulai bermunculan jam mekanik besar di

menara-menara di Italia. Tidak ada catatan yang pasti dari mekanisme model jam ini. Sampai

pada tahun antara 1500 – 1510 masehi, seorang tukang kunci Jerman dari Nuremberg, Peter

Henlein, yang mengganti pendulum jam menjadi lebih kecil sehingga merubah ukuran jam

menjadi lebih kecil.

Jam model ini terkenal di kalangan orang-orang kaya karena ukuran mereka dan fakta bahwa

jam dapat diletakkan di rak atau meja, bukan di dinding ruangan. Tapi, jam ini hanya dapat

menunjukkan tanda jam, tanpa penunjuk menit sampai dengan tahun 1670. Tidak dilengkapi juga

dengan pelindung kaca sampai abad ke-17. Meski begitu, ternyata dari jam ini lahir perhitungan

waktu atau jam yang lebih akurat.

Jam berpendulum seterusnya dikembangkan sampai masa Shortt W.H. yang membuat jam

paling terkenal dan didemonstrasikan tahun 1921. Jam Shortt segera diganti jam Riefler sebagai

pencatat waktu tertinggi di banyak observatorium dan menggunakan 2 pendulum.

Gambar 19.4. Ilustrasi pendulum mekanik

Kebutuhan untuk mengetahui waktu semakin berkembang seiring dengan tumbuhnya

peradaban yang semakin kompleks. Dimulai dari bangsa Sumeria yang mendasari perhitungan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

206 | page

waktu mereka pada peredaran bulan, yang kemudian peradaban bangsa ini dilanjutkan oleh

bangsa Babilonia. Bangsa Babilonia dalam perkembangannya mengenai pembagian waktu, telah

dapat menyesuaikan panjang bulan dengan peredaran bulan. Kemudian bangsa Mesir yang

memulai tahun baru mereka pada awal bulan Juli yang ditandai dengan munculnya bintang Sirius

(bintang paling cemerlang dilangit). Pembagian waktu bangsa Mesir dalam satu tahun terdiri

dari 12 bulan, masing-masing bulan terdiri dari 30 hari. Agar kalender bangsa Mesir mendekati

daur bulan di langit, ditambahkan 5 hari ekstra di tiap tahun, sehingga 1 tahun terdiri dari 365

hari. Dan inilah salah satu warisan bangsa Mesir yang kita gunakan sampai saat ini, yaitu 1 tahun

terdiri dari 365 hari.

Pencatatan waktu oleh suku bangsa Maya menggunakan ketiga daur astronomis besar yaitu,

perputaran harian bumi, bulan kamariah dan tahun syamsiah (matahari). Mereka tidak

mencocokkan semua daur ini, tetapi mencatat ketiga-tiganya secara terpisah, demikian pula daur

astronomis lainnya. Ada 20 sistem penanggalan Suku Maya dan 15 sistem telah disebarkan ke

berbagai tempat untuk dipelajari, sementara 5 sistem lagi masih dirahasiakan oleh para

pemangku adat Suku Maya. Bangsa Yunani membagi satu tahun menjadi 12 bagian yang disebut

bulan dan setiap bulan ada 30 bagian yang disebut hari. Dalam satu tahun, mereka mempunyai

360 hari atau 12 x 30 = 360.

Ada berbagai jenis kalender di dunia ini, kalender China dan kalender Saka yang merupakan

sebuah penanggalan syamsiah-kamariah (candra-surya) atau kalender luni-solar. Kemudian di

dunia Barat ada kalender Julius dan kalender Greogorius (penyempurnaan kalender Julius) yang

dipakai hamper di seluruh dunia sampai saat ini. Alat perhitungan waktu sendiri mengalami

perubahan dari waktu ke waktu, mulai dari jam matahari, jam air, jam pasir sampai jam mekanik

yang berdasarkan teknologi.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

207 | page

SEJARAH MATEMATIKA

DAN MATEMATIKAWAN

BESAR ABAD KE-20

Abad ke-20 adalah awal dari abad modern dimana perkembangan zaman berkembang dengan

pesatnya.Abad ke-20 ini dimulai pada tanggal 1 Januari 1901 sampai 31 Desember 2000.

Perubahan-perubahan banyak terjadi dari berbagai bidang kehidupan seperti di bidang

ekonomi, sosial budaya, politik, dan ilmu pengetahuan menjadi berubah, bertambah, dan

berkembang lebih lagi dibandingkan abad sebelumnya menuju peradaban manusia yang lebih

modern. Selain terjadi perkembangan, selama abad ke-20 juga terjadi peperangan-peperangan

besar sepanjang sejarah terjadi pada abad ini, Perang Dunia pertama (1914-1918) yang

melibatkan berbagai negara dan memakan banyak korban, yang masih disusul dengan Perang

Dunia kedua (1939-1945), Perang Dingin, dan bencana-bencana dahsyat lainnya pun terjadi

pada abad ini. Selama abad ini terjadi banyak terjadi peristiwa monumental.

Dibalik peristiwa-peristiwa besar di abad ke-20, banyak matematikawan bermunculan. Mereka

menghasilkan teorema-teorema fundamental baru dalam matematika yang berdampak luar

biasa bagi perkembangan matematika. Ilmuwan-ilmuwan matematika yang berdampak luar

biasa inilah yang penulis ingin angkat sebagai permasalahan dalam makalah ini. Sebagai

pengetahuan bagi kita yang terkadang hanya tahu Rumus atau Teorema dalam matematika,

tanpa mengetahui bagaimana matematikawan khususnya pada abad ke-20 menemukan dan

membuktikan teorema-teorema tersebut. Suatu pengetahuan yang dapat memotivasi para pecinta

matematika untuk berkembang dan menjadi matematikawan-matematikawan abad ini.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

208 | page

A. Perkembangan Matematika dan Matematikawan pada Abad Ke-20

Abad ke-20 melanjutkan perkembangan abad ke-19 yang mengarah pada peningkatan

generalisasi dan abstraksi dalam matematika, dimana gagasan aksioma sebagai “kebenaran yang

tak perlu dibuktikan” untuk mendukung penekanan pada konsep-konsep logika yang konsisten

dan lengkap. Hal ini membuat matematika menjadi profesi utama yang melibatkan ribuan

ilmuan-ilmuan baru bermunculan setiap tahun dan pekerjaan lainnya di bidang pengajaran dan

industri, serta perkembangan di bidang-bidang studi matematika seperti Teori Grup, Topologi,

Teori Graf, Analisis Fungsional, Teori Singularitas, Teori Chaos, Teori Model, Teori Kategori,

Teori Permainan, Teori Kompleksitas, dan masih banyak lagi lainnya.

Matematikawan terkenal Inggris yang bernama G.H. Hardy dan Srinivasa Ramanujan, mereka

adalah dua dari matematikawan besar pada awal abad ke-20 yang melibatkan diri dengan

sungguh-sungguh untuk memecahkan masalah abad sebelumnya, misalnya hipotesis Riemann.

Meskipun mereka hampir menyelesaikan masalah tersebut, tetapi mereka masih saja dikalahkan

oleh masalah yang sulit itu, tetapi Hardy tetap dihormati sebagai reformator matematika Inggris,

dan Ramanujan membuktikan dirinya sebagai salah satu yang paling brilian dalam pemikirannya

pada abad itu.

Pada abad ke-20 matematikawan lain mulai mengikuti teknik-teknik yang sudah ada

sebelumnya, tetapi iarahkan ke tingkat yang lebih kompleks. Pada tahun 1904, Johann Gustav

Hermes menyelesaikan pembangunan segi banyak beraturan dengan 65.537 sisi (216 + 1), hanya

dengan menggunakan kompas dan tepi lurus. Metode ini seperti yang dilakukan Euclid beberapa

abad sebelumnya.

Kemunculan bidang matematika baru mejadi tanda awal abad ke 20, yaitu bidang logika

matematika, yang dibangun sebelumnya oleh Gottlob Frege. Bidang ini kemudian diteruskan

oleh Giuseppe Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert dan lain-lain. Matematikawan yang paling

berpengaruh di bidang ini adalah Bertrand Russell dan A.N Whitehead. Karya mereka yang

berjudul “Principia Mathematica” sangat berpengaruh dalam logika dan filosofis matematika.

Abad ke 20 juga dimulai dengan sebuah konvensi bersejarah di Sorbonne di Paris pada musim

panas tahun 1900. Pada saat itu ahli matematika Jerman benama David Hilbert menyampaikan

masalah yang ia sebut sebagai 23 masalah terbesar yang belum terpecahkan dalam matematika.

Dari 23 masalah asli, 10 kini telah terpecahkan, 7 sebagian belum sempurna, dan 2 (Hipotesis

Riemann dan Teorema Kronecker-Weber pada keberadaan abelian) masih belum terpecahkan, 4

sisanya masih diragukan apakah dapat dipecahkan atau tidak. Hilbert adalah seorang ahli

matematika brilian, ia bertanggung jawab untuk beberapa teorema dan beberapa konsep

matematika baru. Beliau juga menjadi pelopor dari gaya baru berpikir matematika abstrak.

Pendekatan Hilbert menandai pergeseran ke metode aksiomatik modern, dimana aksioma tidak

iambil begitu saja sebagai kebenaran yang tak perlu dibuktikan. Hilbert optimis terhadap masa

depan dari perkembangan matematika, hal ini terlihat dari ungkapannya dalam sebuah

wawancara di radio tahun 1930 yang berkata, “Kita harus tahu. Kita akan tahu!”.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

209 | page

Seorang dari Austria bernama Kurt Godel memberikan beberapa kendala pada apa yang bisa dan

tidak bisa dipecahkan serta teorema yang dikenal dengan nama Teorema Ketidaklengkapan yang

terbukti tak terpikirkan. Teorema tersebut mengatakan bahwa mungkin ada solusi untuk masalah

matematika yang benar, tetapi yang tidak pernah dapat dibuktikan.

Matematikawan lain di abad ke-20 adalah Alan Turing. Ia mungkin adalah tokoh matematika

yang paling dikenal dalam memecahkan kode teka-teki di Jerman pada masa perang. Alan

Turing menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk menjelaskan dan menyederhanakan bukti dari

masalah Godel yang terkenal absrtak. Metode Alan Turing menghasilkan kesimpulan yang lebih

bagus daripada metode Godel. Metode Alan Turung memberikan kesimpulan yang lebih baik

untuk gagasan yang berkembang pada waktu itu yaitu gagasan bahwa tidak mungkin ada cara

untuk memilah terlebih dahulu masalah yang dapat dibuktikan dan mana masalah yang tidak

dapat dibuktikan. Secara kebetulan usaha yang dilakukan Alan Turing ini menuntun kepada

perkembangan komputer dan awal pemikiran konsep-konsep di waktu selanjutnya.

John von Neumann dipandang sebagai salah satu ahli matematika terkemuka dalam sejarah

modern. Ia dijuluki “anak ajaib matematika” yang membuat kontribusi besar untuk berbagai

macam bidang. Ia dikenang juga sebagai pelopor Teori Permainan, khususnya untuk model

desain yang disimpan sebagai program digital komputer yang menggunakan unit pengolahan dan

struktur penyimpanan terpisah. Pada bidang fisika, terutama dalam teori kuantum, John von

Neumann berperan dalam pengembangan fisika nuklir serta bom hidrogen. Ia adalah salah satu

ilmuan yang terlibat dalam “Proyek Manhattan”.

Andre Weil adalah seorang pengungsi akibat perang di Eropa. yang nyaris mati akibat perang

tersebut. Andre Weil merumuskan teorema yang menunjukkan hubungan antara teori bilangan,

aljabar, geometri dan topologi. Hal ini dianggap sebagai salah satu prestasi terbesar dalam

matematika modern. Ilmuan lain yang merupakan pewaris warisan terbesar Weil adalah

Alexander Grothendieck. Grothendieck adalah seorang strukturis, yang tertarik pada struktur

yang tersembunyi di balik bidang matematika. Pada tahun 1950 ia menciptakan sebuah bahasa

baru yang kuat yang memungkinkan untuk melihat struktur matematika dengan cara yang baru.

Cara ini memungkinkan munculnya solusi baru di teori bilangan, geometri, bahkan di dalam

fisika dasar. Grothendieck membuat Teori Skema untuk memecahkan masalah di teori bilangan

yang dikemukakan Weil. Ia juga merumuskan Teori Topoi yang sangat relevan dengan logika

matematika. Selain itu, Grothendieck memberikan bukti aljabar dari Teorema Riemann-Roch

dan memberikan definisi aljabar dari kurva kelompok dasar. Setelah tahun 1960-an,

Grothendieck meningggalkan matematika dan berpindah politik radikal. Hal ini tidak menutupi

prestasinya di geometri aljabar yang telah mengubah dasar matematika. Grothendieck ddianggap

menjadi salah satu tokoh matematika yang dominan dari abad ke-20.

Pada awal abad ke-20, matematikawan dari Prancis yang bernama Pierre Fatou dan Gaston Julia

mengembangkan bidang dinamika kompleks. Bidang ini didefinisikan oleh fungsi pada ruang

bilangan kompleks. Bidang ini mendapat perhatian matematikawan hanya pada tahun 1970-an

dan 1980-an. Pada saat itu muncul penggambaran indah dari Himpunan Julia dan dari Himpunan

Mandelbrot. Himpunan Mandelbrot adalah himpunan milik matematikawan Perancis, Benot

Sejarah Matematika Sejarah Phi

210 | page

Mandelbrot. Himpunan Mandelbrot tersebut melibatkan perulangan persamaan polinomial

kuadrat kompleks dari bentuk zn+1= zn2+c, (dimana z adalah bilangan pada bidang kompleks dari

bentuk x+iy). Perulangan itu memunculkan suatu bentuk timbal balik berdasarkan bentuk

perulangan itu, dimana bagian yang lebih kecil memperlihatkan perkiraan penyusutan dari

bentuk utuhnya, dan yang tak terhingga kompleknya. Mandelbrot adalah orang yang

menciptakan istilah fraktal, yang kemudian dikenal sebagai Bapak Geometri Fraktal.

Paul Cohen adalah seorang imigran Yahudi yang memperoleh penghargaan Amerika karena

ketenaran dan kesuksesannya. Karyanya mengguncang dunia matematika pada 1960-an, yaitu

ketika ia membuktikan bahwa Hipotesis Kontinum Cantor yang berisi tentang ukuran

kemungkinan pada Himpunan Terbatas (salah satu dari 23 masalah Hilbert), keduanya bisa benar

dan tidak benar. Kedua kemungkinan ini bersifat efektif dan benar-benar terpisah tetapi tetap

berlaku secara matematis, Karena hasil ini, semua bukti matematika modern harus memasukkan

pernyataan yang menyatakan bahwa apakah ada atau tidak ada hasil dari bukti tersebut adalah

tergantung pada Hipotesis Kontinum.

Selain masalah Hipotesis kontimum, masalah Hilbert lainnya akhirnya diselesaikan pada tahun

1970. Ketika itu seorang pemuda Rusia bernama Yuri Matiyasevich membuktikan masalah

kesepuluh, yaitu bahwa tidak ada metode umum untuk menentukan kapan persamaan polinomial

memiliki solusi dalam bilangan bulat. Pada proses pembuktiannya, Matiyasevich dibantu oleh

ahli matematika Amerika Julia Robinson.

Pada tahun 1995 matematikawan dari Inggris, Andrew Wile membuktikan Teorema Fermat yang

terakhir (the Last Fermat’s Theorem) untuk semua bilangan. Bukti ini baru muncul setelah

sekitar 350 tahun Fermat memunculkan teorema itu. Pada kenyataannya, bukti ini merupakan

upaya bersama dari yang melibatkan banyak matematikawan selama beberapa tahun, termasuk

Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre dan Ken ribet. Sebelumnya

matematikawan tersebut memberikan langkah-langkah mateamatis dalam pembutian teorema ini.

Kemudian Wile memberikan bukti akhir dari Konjektur Taniyama-Shimura untuk kurva eliptik

dengan bukti sebanyak 100 halaman. Pembuktian ini menyelesaikan pembuktian Teorema

Fermat yang terakhir.

Peristiwa besar yang terbaru adalah penyelesaian dugaan Poincar, yaitu masalah yang berkaitan

dengan geometri. Masalah ini diselesaikan pada tahun 2002 , yaitu lebih dari 100 tahun setelah

masalah ini pertama kali dimunculkan. Matematikawan hebat yang mnyekesaikan dugaan

Poincar adalah dua orang dari Rusia, yaitu Grigori dan Perelman. Perelman yang tinggal dengan

ibunya di pinggiran kota St Petersburg, menolak hadiah penyelesaian masalah ini yatu uang

sebesar $ 1 juta. Ia mengklaim bahwa “jika bukti sudah benar maka tidak ada pengakuan lain

yang diperlukan”. Teorema sekarang, menyatakan bahwa jika terhubung dalam loop, ruang

terbatas 3-dimensi dapat terus diperketat, yaitu dengan cara yang sama seperti loop yang

digambar pada bola 2-dimensi. Perelman memberikan solusi memuaskan tetapi sangat kompleks.

Solusinya melibatkan cara-cara di mana bentuk 3-dimensi dapat dibentuk dalam dimensi lebih

tinggi. Perelman juga telah membuat kontribusi penting untuk Geometri Riemann dan Topologi

Geometris.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

211 | page

B. Matematikawan Besar pada Abad ke-20

1. Godfrey Harold Hardy-Srinivasa Ramanujan

G. H Hardy dan Ramanujan adalah kolaborasi matematikawan yang memiliki latar belakang

yang saling berbeda jauh. Hardy adalah seorang matematikawan asal asal Inggris dengan prestasi

yang luar biasa dalam Teori Bilangan, sedangkan Srinivasa Ramanujan adalah seorang otodidak

jenius dari Inia, bangsa Jajahan Inggris dan tidak pernah mengikuti pendidikan formal sama

sekali. Kebersamaan mereka berdua berawal dari usaha mereka membuktikan Hipotesis

Reimann.

Gambar 20.1 .G.H. Hardy dan Srinivasa Ramanujan

Hipotesis Riemann berisi tentang distribusi bilangan prima. Riemann menemukan permukaan

geometris yang konturnya mampu menjelaskan distribusi bilangan prima. Riemann

memperkenalkan Fungsi Zeta yang didefinisikan :

Fungsi Zeta menyajikan jembatan antara bilangan prima dengan dunia geometri. Fungsi tersebut

digunakan Riemann untuk menyusun suatu permukaan di mana puncak dan lembah yang disebut

nilai kritis dalam grafik tiga dimensi berkorespondensi dengan range Fungsi Zeta tersebut.

Dalam eksplorasinya, Riemann menemukan fungsi Zeta dengan keluaran nol (ianalogikan

memiliki ketinggian yang sama dengan permukaan laut) yang memegang peranan penting

tentang perilaku natural bilangan prima. Sepuluh keluaran nol yang pertama memunculkan pola

berupa garis lurus. Selanjutnya Riemann mengajukan hipotesis yang menyatakan:

"Keluaran nol berikutnya, juga berada dalam pita atau garis kritis."

Hipotesis Riemann pada bilangan prima membawa dampak langsung pada penemuan distribusi

bilangan prima, karena dianggap sebagai kunci untuk membuka tabir misteri bilangan prima.

Jika ada yang mampu membuktikan Hipotesis Riemann, maka ia akan mampu melihat pola dari

bilangan prima, lalu menunjukkan rumusan untuk menentukan bilangan prima. Manfaat dari

melihat pola bilangan prima adalah untuk melihat kemudian memprediksi pola acak dari

peristiwa alam seperti gempa, gunung meletus, tsunami. Banyak orang yang percaya bahwa

Sejarah Matematika Sejarah Phi

212 | page

dengan terbukanya tabir misteri bilangan prima, misteri alam semesta lain pun juga akan

tersingkap.

Tepat sebelum Perang Dunia Pertama, Hardy menjadi berita matematika utama ketika ia

mengklaim telah membuktikan Hipotesis Riemann. Akan tetapi, faktanya adalah ia hanya

mampu membuktikan bahwa ada tak terhingga banyaknya angka nol pada garis atau pita kritis,

tetapi ia tidak dapat membuktikan bahwa ada nol lain yang tidak terdapat pada garis atau pita

kritis.

Sementara itu, pada tahun 1913 Srinivasa Ramanujandari Madras, Inia, menuliskan surat kepada

Hardy dan akademisi lainnya di Cambridge. Dalam suratnya berisi bahwa ia mengklaim telah

menemukan formula untuk menghitung jumlah bilangan prima sampai dengan seratus juta dan

umumnya tanpa kesalahan. Ramanujan juga telah berhasil membuktikan semua hasil Riemann

dan masih banyak lagi, padahal ia sendiri tidak memiliki pengetahuan tentang perkembangan

matematika di dunia Barat dan tidak pernah mengikuti pendidikan formal. Ia mengklaim bahwa

sebagian besar dari ide-idenya datang kepadanya melalui mimpi. Pada saat itu Ramanujan

berusia 23 tahun dan bekerja sebagai karyawan jasa pengiriman barang.

Hardy adalah satu-satunya orang yang mengenali kejeniusan Ramanujan. Ia membawa

Ramanujan ke Universitas Cambridge, tempat Hardy mengembangkan karir akademisnya.

Selama bertahun-tahun Hardy menjadi teman dan mentor bagi Ramanujan. Kedua berkolaborasi

pada banyak masalah matematika. Meskipun kedunya adala orang jenius dalam usaha mereka

berdua, mereka masih belum bisa membuktikan Hipotesis Riemann.

Terdapat sebuah anekdot umum tentang Ramanujan, yaitu tentang bagaimana ketika Hardy

sampai di rumah Ramanujan dengan menumpangi sebuah taksi dengan nomor 1729. Pada saat

itu Ramanujan mengatakan bahwa bilangan 1729 adalah benar-benar bilangan yang tidak

menarik, akan tetapi mereka mendapati bahwa sebenarnya jumlah 1729 sangat menarik secara

matematis. Jumlah itu adalah bilangan terkecil yang dapat direpresentasikan dalam dua cara

yang berbeda sebagai jumlah dari dua bilangan berpangkat 3, yaitu :

Kemudian bilangan ini juga merupakan perkalian dari 3 bilangan prima yaitu

. Jika 1729 adalah bilangan terkecil, maka bilangan terbesar yang sejenis adalah :

Angka tersebut sekarang kadang-kadang disebut sebagai “taxicab numbers” atau “Angka Taksi”.

Ramanujan mungkin telah menduga atau membuktikan lebih dari 3.000 teorema, identitas dan

persamaan, sifat angka yang sangat komposit, fungsi partisi dan asymptotics dan fungsi Mock

Theta. Ia juga melakukan penyelidikan dalam bidang fungsi gamma, bentuk modular, deret

divergen, seri hypergeometrik, dan teori bilangan prima. Di antara prestasi yang lain, Ramanujan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

213 | page

mengidentifikasi beberapa seri konvergensi terbatas yang efisien dan cepat untuk menghitung

nilai π, beberapa di antaranya dapat menghitung 8 tempat desimal tambahan. Seri ini dan

variasinya telah menjadi dasar untuk algoritma tercepat yang digunakan oleh komputer modern

untuk menghitung π ke tingkat akurasi yang semakin meningkat. Sebagai gambaran saat ini nilai

π menjadi sekitar 5 triliun tempat desimal.

Beberapa dari karya asli Ramanujan tetapi tidak konvensional, seperti Bilangan Prima

Ramanujan dan Fungsi Theta Ramanujan, telah mengilhami sejumlah besar penelitian lebih

lanjut dan telah diaplikasikan dalam berbagai bidang seperti Kristalografi dan Teori String.

Akhir hidup Ramanujan cukup tragis. Ia meninggal pada usia muda yaitu pada usia 32 karena

frustasi dan kemudian dilingkupi depresi dan penyakit. Bahkan ia pernah mencoba untuk bunuh

diri. Sedangkan,Hardy masih hidup selama sekitar 27 tahun setelah kematian Ramanujan, yaitu

sampai usia 70. Ketika ditanya dalam sebuah wawancara apa kontribusi terbesarnya dalam

bidang matematika, Hardy tanpa ragu menjawab bahwa itu adalah penemuan Ramanujan, dan

bahkan kolaborasi mereka disebutnya “insiden yang romantis dalam hidup saya”. Pada akhirnya

Hardy juga menjadi tertekan di kemudian hari dan mencoba bunuh diri dengan membuat dirinya

overdosis. Beberapa orang menyalahkan Hipotesis Riemann sebagai penyebab ketidakstabilan

Ramanujan dan Hardy. Saat itu Hipotesis Riemann dianggap memiliki kutukan.

2. Betrand Russel dan Alfred North Whitehead

Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead berasal dari Inggris, merek adalah

matematikawan, ahli logika dan juga filsuf. Mereka juga merupakan orang yang berada di garda

depan dalam pemberontakan Inggris terhadap idealisme Kontinental di awal abad ke-20. Dalam

bidang matematika mereka membuat kontribusi penting di bidang Logika Matematika dan Teori

Himpunan.

Gambar 20.2. Bertrand Russell danA.N. Whitehead

Whitehead dari latar belakang matematika yang lebih murni. Ia menjadi pengajar Russells

diTrinity College, Cambridge pada 1890-an. Kemudian mereka berkolaborasi di dekade

pertamaabad ke-20 pada karya monumental mereka, yaitu “Principia Mathematica”. Kolaborasi

ini berhenti setelah Perang Dunia Pertama karena banyak waktu yang dihabiskan Russell

dipenjara sebagai akibat pemberontakannya. Karir akademik Whitehead selalu terbayang di

Sejarah Matematika Sejarah Phi

214 | page

kepala Russell dan selalu memotivasinya untuk berkembang. Kemudian Rusell beremigrasi ke

Amerika Serikat pada tahun 1920, dan menghabiskan sisa hidupnya di sana.

Russell dilahirkan dalam sebuah keluarga kaya dari aristokrasi Inggris. Orangtuanya meninggal

saat Russell masih sangat muda dan ia dibesarkan oleh neneknya, Victoria. Pada masa remaja

Russell sangat kesepian dan ia menderita depresi. Kemudian Russell mengatakan bahwa hanya

cintanya pada matematika yang membuat ia tidak bunuh diri. Ia belajar matematika dan filsafat

di Cambridge University di bawah binaan G.E Moore dan A.N. Whitehead. Russell berkembang

menjadi seorang filsuf yang inovatif, seorang penulis yang produktif pada banyak subyek,

seorang ateis yang berkomitmen dan seorang matematikawan yang menginspirasi serta seorang

ahli logika. Saat ini ia dianggap sebagai salah satu pendiri filsafat analitik, akan tetapi

sebenarnya ia menulis pada hampir semua ranah utama filsafat, khususnya metafisika, etika,

epistemologi, filsafat matematika, dan filsafat bahasa. Selain sebagai ilmuan, Russell juga

merupakan seorang aktivis politik yang punya komitmen tinggi. Ia adalah seorang aktivis anti-

perang, orang memperjuangkan perdagangan bebas dan anti-imperialisme. Ia menjadi penentang

senjata nuklir dan sosialisme. Ia juga menentang Adolf Hitler, totalitarianisme Uni Soviet dan

keterlibatan USA dalam Perang Vietnam.

Matematika Russell sangat dipengaruhi oleh Teori Himpunan dan Logika Gottlob Frege.

Karyanya berkembang mengikuti karya rintisan Cantor mengenai himpunan. Pada tahun 1903,

Russell menerbitkan karya yang berjudul “Principals of Mathematics”. Karya ini kemudian

dikenal sebagi paradox Russell, yaitu berisi bahwa “sebuah himpunan yang berisi himpunan

yang bukan anggota himpunan tersebut”. Paradoks Russell sering digambarkan dengan cerita

tentang tukang cukur, ceritanya adalah sebagai berikut :

Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman, hidup seorang tukang cukur, ialah satu-satunya

tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau

dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak mencukur

rabutnya sendiri.

Pertanyaannya adalah apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?

Jika dijawab ya, si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri, tetapi cerita di atas mengatakan si

tukang cukur hanya mencukur orang yang tidak mencukur rabutnya sendiri, tetapi jika ia tidak

mencukur rambutnya sendiri itu berarti menurut cerita ia harus pergi ke tukang cukur, padahal

tukang cukur satu-satunya adalah diri sendiri. Hal ini berarti ia mencukur dirinya sendiri, padahal

ia tidak boleh mencukur dirinya sendiri. Pernyatan-peryataan ini tentu memunculkan

kebingungan. Pertanyaan diatas adalah pertanyaan tertutup yang hanya memiliki dua jawaban

“ya” atau “tidak”, tetapi apapun jawaban yang kita ambil akan menimbulkan kontradiksi. Dalam

ilmu logika hal ini dikatakan Inkonsisten.

Penjelasan matematis dari masalah ini adalah tentang logika. Dalam matematika, himpunan

didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek, yang umumnya ditulis didalam tanda kurung

kurawal { }. Contoh himpunan {a,b,c} artinya himpunan tersebut mengandung elemen a,b,dan c

dan {b,c} merupakan himpunan bagian dari {a,b,c}. Himpunan juga bisa mengandung himpunan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

215 | page

contoh {{a,b},{x,y}} mengandung 2 himpunan {a,b} dan {x,y} dan juga mengandung himpunan

kosong. Semua himpunan mengandung himpunan kosong. Kemudian sebuah himpunan bisa

memuat dirinya sendiri contoh S={S,{a,b}}, yaitu S element dari S. Terdapat definisi bahwa :

R adalah himpunan yang berisikan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai

anggota. Himpunnan ini dinotasikan sebagai berikut:

Itu artinya, A elemen R jika hanya jika A bukan elemen dari A. Pertanyaan sekarang apakah

R elemen dari R? pertanyaan ini hampir serupa dengan pertanyaan sebelumnya “Apakah si

tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?”. Selalu ada kontradiksi pada setiap jawabannya,

jika R adalah suatu elemen dari R maka berdasarkan definisi R bukanlah elemen dari R. Dan

sebaliknya, jika R bukan elemen dari R maka R harus menjadi elemen dari R. Pernyataan “R

adalah suatu elemen dari R” dan “R bukan suatu elemen dari R” saling kontradiktif. Hal ini

menunjukkan bahwa Himpunan R inkonsisten. Himpunan R tersebut dikenal sebagai paradoks

Russell. Secara matematika sama sekali tidak ada yang salah dengan himpunan R. Paradoks

Russell hanya ingin mengatakan bahwa terdapat ketidakpastian (inkonsistensi) di dalam teori

himpunan, artinya tidak selamanya matematika itu pasti. Kemudian seorang Matematikawan

bernama Kurt Godel, mengkonversi Paradoks Russell yang awalnya merupakan pernyataan di

Teori Himpunan menjadi pernyataan pada teori bilangan, dan menunjukan bahwa terdapat

Inkonsistensi di Teori bilangan, yang dikenal dengan Teorema Ketidaklengkapan Godel atau

“Godel’s Incompleteness Theorem”.

Karya lengkap Russell adalah monolitik “Principia Mathematica”, yang diterbitkan dalam tiga

volume pada tahun 1910, 1912 dan 1913. Volume pertama ditulis bersama Whitehead, dan yang

kedua dan ketiga hampir semua pekerjaan Russell. Russell mengerjakan pekerjaan ini untuk

mendapatkan semua sifat matematis dari aksioma-aksioma logis dan murni, sambil menghindari

jenis paradoks dan kontradiksi yang ditemukan dalam karya Freges padaTeori Himpunan.

Russell mencapai hal ini dengan menggunakan sebuah teori atau sistem “jenis atau types”,

dimana setiap entitas matematika ditugaskan untuk membangun hirarki dari jenis. Entitas

matematika menciptakan objek dari obyek tipe tertentu secara eksklusif dari jenis sebelumnya

yang lebih rendah dalam hirarki. Hal ini untuk menghindari loop. Kemudian setiap elemen

himpunan adalah tipe yang berbeda dari elemennya, sehingga orang tidak dapat mengatakan

“himpunan semua himpunan” dan konstruksi yang serupa.

Karya Russell,“Principia” tetap diperlukan di samping aksioma dasar dari teori tipe, dan tiga

aksioma lanjut. Tiga aksioma lanjut tersebut adalah yang pertama “aksioma tak terhingga” yang

menjamin keberadaan satu himpunanyang tak terbatas, yaitu himpunan semua bilangan asli.

Yang kedua adalah “aksioma pilihan” yang menjamin bahwa, diberikan koleksi “sampah” atau

“bins”, masing-masing berisi himpunan minimal satu objek, adalah mungkin untuk membuat

pilihan tepat satu objek dari masing-masing “bin”, bahkan jika ada “sampah” yang jauh lebih

banyak, dan bahwa tidak ada aturan yang memilih dari masing-masing objek. Yang ketiga adalah

aksioma Russells sendiri yaitu “axiom of reducibility” yang menyatakan bahwa ada fungsi

Sejarah Matematika Sejarah Phi

216 | page

kebenaran yang proposisional atau “propositional truth function” yang dapat dinyatakan dengan

fungsi kebenaran predikatif yang ekuivalen secara formal.

Selama sepuluh tahun Russell dan Whitehead bergulat dalam pemikiran tentang “Principia”.

Rancangan demi rancangan yang dibuat kemudian ditinggalkan karena Russell terus memikirkan

ulang premis dasar nya. Russell dan istrinya Alys bahkan pindah dengan Whitehead dalam

rangka untuk mempercepat pekerjaannya. Dalam keadaan ini pernikahan Russell juga digoncang

karena Russell menjadi tergila-gila dengan istri muda Whitehead, Evelyn. Dalam keadaan ini

pula Whitehead tetap bersikeras untuk berusaha mempublikasikan pekerjaannya, meskipun

pekerjaanya itu tidak dan mungkin tidak akan pernah selesai, atau bahkan mungkin mereka harus

mempublikasikannya dengan biaya sendiri karena tidak ada penerbit komersial yang mau

mempublikasikannya.

Beberapa gagasan tentang ruang lingkup dan kelengkapan “Principia” bisa dilihat dari fakta

bahwa dibutuhkan lebih dari 360 halaman untuk membuktikan secara definitif bahwa 1 + 1 = 2.

Pada saat itu secara luas karya tersebut dianggap sebagai salah satu karya yang paling penting

dan berpengaruh dalam logika sejak Aristoteles mengemukakan “Organon”. Ketangguhan dan

ambisiusitas Russell dan Whitehead menjadikan mereka begitu tenar di dunia.Pada akhirnya

pada 1931 Teorema Ketidaklengkapan Godel menunjukkan bahwa “Principia” tidak konsisten

dan tidak lengkap.

Russell dianugerahi “Order of Merit” pada tahun 1949 dan Penghargaan Nobel dalam Sastra

pada tahun berikutnya. Ketenarannya terus tumbuh, bahkan di luar dunia akademik.

Ketenarannya sebagian besar dari kontribusi filosofis dan aktivisme politik serta sosial yang ia

berikan. Ia meninggal pada usia yang tua yaitu 97 tahun.

3. David Hilbert

David Hilbert adalah seorang pemimpin besar dan seorang juru bicara untuk disiplin ilmu

matematika di awal abad ke 20. Lebih dari itu sebenarnya Hilbert adalah seorang matematikawan

yang sangat penting dan dihormati.Sama seperti banyak matematikawan besar Jerman

sebelumnya, Hilbert adalah lulusan dari University of Gottingen. Pada waktu universitas ini di

universitas ini. Disisi lain, tahun-tahun formal Hilbert dihabiskan di University of Konigsberg, di

mana ia banyak melakukan pertukaran ilmiah dengan sesama matematikawan seperti Hermann

Minkowski dan Adolf Hurwitz. Hal ini ia lakukan dengan intensif dan menghasilkan banyak

karya.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

217 | page

Gambar 20.3 . David Hilbert

Hilbert secara bertahap menjadi matematikawan yang paling terkenal pada masanya. Dari

penelitiannya muncul banyak istilah matematika yang menggunakan namanya antara lain Ruang

Hilbert (ruang Euclidean dimensi terbatas), Kurva Hilbert, Klasifikasi Hilbert, dan

Ketidaksetaraan Hilbert, disamping beberapa teorema. Hilbert dikenal sebagai pribadi yang

mudah bergaul, demokratis.Beliau sangat disayangi mahasiswanya serta sesama pengajar.

Pada tahun 1930 yaitu saat Konferensi Paris dari Kongres Matematikawan Internasional di

Sorbone, Hilbert mempublikasikan 23 pertanyaan matematika terbuka yang paling penting (23

most important open mathematical questions) dan kemudian menjadi tren utama dunia

matematika selama abad ke-20. Dari pertanyaan-pertanyaan Hilbert ini beberapa diantaranya

merupakan masalah yang sangat teknis, sementara beberapa yang berkaitan dengan interpretasi.

Ada beberapa topiknya yang berhubungan dengan pemikiran matematika yang agak sulit

dipahami, kemudian yang lain berkaitan dengan isu-isu terkenal seperti Hipotesis Riemann,

Hipotesis Kontinum, Teori Grup, Teori Bentuk Kuadrat, Kurva Aljabar nyata, dan lain-lain.

Dari 23 masalah asli, 10 kini telah terpecahkan, 7 sebagian belum sempurna, dan 2 (Hipotesis

Riemann dan Teorema Kronecker-Weber pada keberadaan abelian) masih belum terpecahkan, 4

sisanya masih diragukan apakah dapat dipecahkan atau tidak. Daftar pertanyaan Hilbert

dilampirkan dimakalah ini.

Ketika masih muda Hilbert memulai ketertarikannya pada teori bilangan dan aljabar abstrak,

tetapi kemudian ia mengubah bidangnya ke Persamaan Integral. Pada awal 1890-an, ia

mengembangkan karya Giuseppe Peano dan menciptakan fraktal kontinum untuk kurva

pengisian ruang (space-filling curves) dalam beberapa dimensi. Algoritma yang Hilbert ciptakan

secara komplit mengisi dimensi yang lebih tinggi seperti kuadrat dan pangkat tiga. Algoritmar

ekursif dapat digunakan berulang kali untuk membuat kurva kontinu dan non-interseksi atau

tanpa perpotongan. Pada setiap piksel dalam kotak dilalui sekali dan hanya sekali. Ilustrasinya

berikut menunjukkan 6 interaksi pertama dalam prosesnya.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

218 | page

Gambar 20.4 Algoritma Hilbert untuk space-filling curves

Pada awal 1899, ia mengusulkan satu himpunan formal baru untuk seluruh aksioma geometri,

yang dikenal sebagai aksioma Hilbert. Aksioma ini untuk menggantikan aksioma tradisional

yaitu aksioma Euclid.

Warisan terbesar Hilbert adalah karyanya pada persamaan yang sering disebut sebagai “Teorema

Keterbatasan (finiteness theorem)”. Ia menunjukkan bahwa meskipun ada tak hingga banyaknya

persamaan yang mungkin dibentuk, masih tetap mungkin untuk membaginya dalam jenis-jenis

persamaan yang jumlah terbatas yang kemudian dapat digunakan. Hal yang menarik adalah

Hilbert hanya membuktikan bahwa itu harus ada atau kadang-kadang disebut sebagai bukti

eksistensi, bukan bukti yang konstruktif. Hilbert tidak benar-benar membuat himpunan

persamaaanya. Penggunaan bukti eksistensi ini juga tersirat dalam perkembangannya, yaitu

dengan munculnya konsep matematis Ruang Hilbert (Hilbert’s Space). Ruang Hilbert adalah

generalisasi dari konsep ruang Euclidean yang memperluas metode Aljabar Vektor dan Kalkulus

untuk ruang dengan terbatas dimensi sejumlah (atau bahkan jumlah dimensi yang tak terbatas).

Ruang Hilbert memberikan dasar dalam perkembangan penting di bidang matematika fisika

selama beberapa dekade berikut, dan mungkin masih merupakan salah satu formulasi

matematika terbaik dari mekanika kuantum.

Hilbert optimis bahwa matematika di masa mendatang, dapat menyelesaikan 23 masalah atau

pertanyaan yang ia munculkan. Keoptimisannya ditunjukkan dengan ia pergi kemana-mana

untuk menyatakan bahwa sama sekali tidak ada masalah yang tak terpecahkan. Sebuah kutipan

terkenal dari Hilbert adalah, “Kita harus tahu! Kita akan tahu”(“We Must Know! We Will

Know”). Ia yakin bahwa seluruh hal dalam matematika bisa, dan akhirnya akan diletakkan pada

dasar logis tak tergoyahkan. Perkataan lain Hilbert adalah“dalam matematika tidak ada

ignorabimus”, yaitu kata Latin yang bermakna tidak tahu, artinya keyakinan Hilbert adalah

bahwa segala hal akan diketahui dalam matematika. Formalisme Hilberts didasarkan pada

gagasan bahwa basis dasar matematika terletak, bukan dalam logika seperti yang dikemukakan

Russell, tetapi dalam sistem sederhana simbol pra-logis yang dapat dikumpulkan bersama dalam

string atau aksioma dan dimanipulasikan agar sesuai untuk menetapkan aturan inferensi.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

219 | page

Terdapat satu program ambisius dari Hilbert yang dikenal sebagai Hilbert’s Program yaitu

program untuk menemukan satu himpunan lengkap dan konsisten bagi semua aksioma

matematika. Program ini digagalkan oleh Teorema Ketidaklengkapan Kurt Godel di awal 1930-

an. Pekerjaan Hilbert yang dimulai dengan logika pada suatu program klarifikasi, dan kebutuhan

untuk memahami karya Godel kemudian menyebabkan perkembangan teori rekursi (recursion

theory). Hal ini memunculkan logika matematika sebagai disiplin otonom pada tahun 1930, dan

kemudian memberikan dasar untuk ilmu komputer teoritis.

Selama beberapa waktu, Hilbert berani berbicara menentang penindasan Nazi terhadap teman

matematikawan Yahudi-nya di Jerman dan Austria pada pertengahan 1930-an, akan tetapi

setelah adanya penggusuran massal, dan banyak kematian di tenda-tenda konsentrasi, dan

bahkan pembunuhan langsung, ia juga akhirnya teriam, dan hanya bisa menyaksikan salah satu

pusat matematika terbesar sepanjang masa secara sistematis dihancurkan. Pada saat kematiannya

pada tahun 1943, sedikit yang tersisa dari komunitas matematikabesar di Gottingen, dan Hilbert

dikuburkan dalam ketidakjelasan, pemakamannya hanya dihadiri oleh kurang dari selusin orang

dan hampir tidak dilaporkan dalam pers.

4. Kurt Godel

Kurt Godel adalah seorang yang agak aneh dan sakit-sakitan di Wina, Austria. Dari kecil orang

tuanya menyebutnya sebagai “Herr Varum”, atau Mr. Why dalam bahasa Inggris (Tuan Kenapa),

karena rasa ingin tahu Kurt Godel tak pernah terpuaskan. Pertama kalinya, Godel mempelajari

Teori Bilangan, tetapi segera mengalihkan perhatiannya pada Logika Matematika. Sebagian

besar hidupnya dihabiskan di Universitas Wina (University if Vienna) untuk mendalami Logika

Matematika. Sebagai seorang pemuda, dia seperti Hilbert, optimis dan yakin bahwa matematika

dapat dibuat utuh lagi, dan akan pulih dari ketidakpastian yang pernah dikemukanan Cantor dan

Riemann.

Gambar 20.5. Kurt Godel

Prestasi Kurt Godel adalah Teorema Kelengkapan (completeness theorem). Teorema ini

menunjukkan bahwa semua pernyataan valid dalam “logika urutan pertama (first order logic)”

karya Freges bisa dibuktikan dari satu himpunan aksioma sederhana.

Teorema ini dapat dikatakan sebagai usaha pengembangan Program Hilbert (Hilbert’s Program).

Ia kemudian mengalihkan perhatiannya pada “logika urutan kedua (second order logic)”, yaitu

Sejarah Matematika Sejarah Phi

220 | page

logika yang cukup kuat untuk mendukung teori-teori aritmatika dan matematika yang lebih

kompleks. Karya lain dari Kurt Godel adalah Teorema Ketidaklengkapan (incompleteness

theorem) tahun 1931.

Secara teknis “Teorema Ketidaklengkapan” adalah jamak karena sebenarnya ada dua teorema

yang terpisah, akan tetapi biasanya dua teorema tersebut dibicarakan bersama-sama.

Teorema ini menunjukkan bahwa,

“dalam setiap sistem logika matematika akan ada beberapa pernyataan yang benar tentang

bilangan, yang tidak pernah dapat dibuktikan”

Teorema ini juga menyangkut sistem apapun yang kuat dan cukup kompleks untuk dapat

menggambarkan aritmatika dari bilangan asli. Hal inilah yang menjadikan Godel matematikawan

yang hebat. Pendekatan teorema ini diawali dari 3 hal yaitu bahasa sederhana seperti “pernyataan

ini tidakdapat dibuktikan (this statement cannot be proved)”, versi kuno dari “paradoks

pembohong (liar paradox)”, dan sebuah pernyataan yang harus bernilai benar atau salah. Jika

pernyataan bernilai salah, maka hal itu berarti bahwa pernyataan tersebut harus dapat

ditunjukkan bahwa sebenarnya bernilai benar, sehingga menghasilkan kontradiksi. Agar hal ini

memiliki implikasi dalam matematika Godel harus mengubah pernyataan tersebut menjadi

“bahasa formal atau bahasa matematika (pure mathematical statement)”. Dia menggunakan kode

cerdas yang didasarkan pada bilangan prima, operator, aturan tata bahasa dan semua persyaratan

lainnya dari “bahasa matematika”. Pernyataan dalam bahasa matematika yang digunakan Godel

untuk menerjemahkan “This statement cannot be proved” adalah

Pernyataan matematika ini kemudian digunakan untuk menunjukkan beberapa pernyataan

matematika yang bernilai benar tapi tidak pernah bisa dibuktikan.Teorema Ketidaklengkapan ini

menjadi mimpi buruk terburuk dalam matematika, pernyataan-pernyataan matematika yang telah

bernilai benardan tidak dipermasalahkan selama 2 milenium dapat berubah menjadi “masih

belum dapatdibuktikan (still unprovable)”, sehingga menimbulkan krisis di dalamkomunitas

matematika.

Teorema Ketidaklengkapan Godel ternyata juga menyebabkan krisis pribadi untuk Godel. Pada

pertengahan tahun 1930-an, ia menderita serangkaian gangguan mental dan menghabiskan

banyak waktu di sanatorium. Krisis yang dia alami tidak membuat dia jera pada dunia

matematika, bahkan dia malah terjun ke dalam masalah “Hipotesis Kontinum”, yaitu masalah

yang pernah menghancurkan kesejahteraan mental Georg Cantor di abad sebelumnya. Dalam hal

ini Godel membuat langkah penting dalam penyelesaian masalah yang terkenal sangat sulit

tersebut. Dia membuktikan bahwa aksioma pilihan (the axiom of choice) terlepas atau

independen terhadap teori tipe terbatas (finite type theory).

Sama seperti Cantor, Godel juga mengalami penurunan dalam kesehatan mental dan fisik. Dia

dapat terus bertahan hanya karena cinta dari istrinya Adele Numbursky. Mereka bersama-sama

menyaksikan kehancuran virtual dari komunitas matematika Jerman dan Austria oleh rezim

Nazi. Pada akhirnya, bersama dengan banyak matematikawan terkemuka Eropa lainnya, Godel

Sejarah Matematika Sejarah Phi

221 | page

melarikan diri dari Nazi ke Princeton di Amerika Serikat, di mana ia menjadi teman dekat

sesama pengasingan, yaitu Albert Einstein.

Pada 1949, Godel menyumbangkan solusi paradoks untuk persamaan di lapangan relativitas

umum milik Einstein (Einstein's field equations in general relativity). Solusi ini disebut matrik

Godel. Representasi yang dibuat Godel adalah seperti gambar dibawah ini.

Gambar. Representasi Godel

Godel sama seperti Bertrand Russell dan David Hilbert yang sangat ambisius berusaha untuk

menemukan satu himpunan lengkap dan konsisten untuk semua aksioma matematika. Ambisinya

adalah untuk membuktikan bahwa semua sistem logika atau sistem bilangan yang pernah

dimunculkan matematikawan akan berakhir (tidak terbukti), paling tidak pada beberapa

asumsinya tidak terbukti. Kesimpulan Godel juga menyiratkan bahwa tidak semua pertanyaan

matematika dapat dihitung, dan bahwa tidak mungkin untuk menciptakan sebuah mesin atau

komputer yang akan dapat melakukan semua hal pikiran manusia dapat lakukan. Warisan Kurt

Godel adalah ambivalen. Ambivalen diartikan sebagai fluktuasi terus menerus, seperti antara

satu hal dan lawannya. Meskipun ia diakui sebagai salah satu ahli logika besar sepanjang masa,

banyak orang yang tidak siap menerima konsekuensi yang hampir nihil dari kesimpulan Godel.

Akan tetapi para matematikawan seperti Alan Turing di masa berikutnya berjuang untuk

menjelaskan temuan Godel.

Masa tua Godel di Amerika Serikat tidak jauh berbeda dengan ketika di Austria, dia tetap

dirundung depresi dan paranoid, yaitu gangguan pikiran berupa kecemasan atau ketakutan

berlebihan. Akhirnya, ia hanya akan makan makanan yang telah dicoba oleh istrinya Adele, dan

ketika Adele dirawat di rumah sakit pada tahun 1977, Godel menolak untuk makan dan akhirnya

kelaparan sampai mati.

5. Alan Turing

Ahli matematika Inggris, Alan Turing terkenal ketika terjadi perang di Bletchley Park di Inggris

yang mana karyanya dapat memecahkan kode teka-teki Jerman (mempersingkat Perang Dunia

Sejarah Matematika Sejarah Phi

222 | page

Kedua, dan berpotensi menyelamatkan ribuan nyawa). Tetapi ia juga bertanggung jawab untuk

membuktikan Teorema Ketidaklengkapan Godel. Pada tahun setelah publikasi dari Teorema

Ketidaklengkapan Godel, Turing sangat ingin memperjelas dan menyederhanakan Teorema

Godel yang agak abstrak dan sulit dimengerti, dan untuk membuatnya lebih konkret.

Gamba 20.6.. Alan Turing

Setelah perang, Turing melanjutkan pekerjaan pada pengembangan komputer awal seperti Mesin

Komputasi Otomatis dan Manchester Mark. Turing jelas melihat potensi, dan berharap bahwa

suatu hari nanti komputer akan menjadi lebih dari mesin, mampu belajar, berpikir dan

berkomunikasi. Dia adalah orang yang pertama yang mengembangkan ide-ide untuk program

komputer dalam permainan catur, dan melihat penguasaan dalam permainan sebagai salah satu

tujuan mendesain sebuah “mesin cerdas”.

Alan Turing adalah yang pertama mengatasi masalah kecerdasan buatan, dan mengusulkan

eksperimen yang sekarang dikenal sebagai mesin Turing Test yang digunakan untuk

mendefinisikan standar untuk sebuah mesin disebut “cerdas”. Dengan tes ini, komputer bisa

dikatakan “berpikir” jika dapat masuk kedalam pemikiran manusia. Hal ini menunjukkan

kejelian yang luar biasa pada waktu yang lama sebelum internet ada, ketika komputer hanya

tersedia dalam ukuran ruangan dan kurang baik dari kalkulator saku modern.

Gambar 20.7. Mesin turing

Sejarah Matematika Sejarah Phi

223 | page

Pada tahun 1952 ia ditangkap, didakwa dan dinyatakan bersalah terlibat dalam tindakan

homoseksual. Akibatnya, ia diberi suntikan hormon estrogen pada wanita, yang menyebabkan

tumbuh payudara dan juga mempengaruhi pikirannya. Pada tahun 1954, Turing ditemukan tewas

setelah bunuh diri dengan sianida.

6. Andre Weil

Gambar 20.8. Andre Weil

Andre Weil adalah seorang ahli matematika Prancis yang sangat berpengaruh sekitar

pertengahan abad ke-20. Lahir dalam keluarga Yahudi di Paris, dia adalah saudara dari filsuf dan

penulis terkenal Simone Weil, dan keduanya dipandang sebagai “anak ajaib”. Dia bersemangat

mempelajari matematika pada usia sepuluh tahun, tetapi ia juga suka bepergian dan mempelajari

bahasa (dengan usia enam belas tahun ia telah membaca “Bhagavad Gita” dalam bahasa

Sansekerta asli). Ia belajar (dan kemudian mengajar ) di Paris, Roma, Gottingen dan di tempat

lain, serta di Aligarh Muslim University di Uttar Pradesh, India.

Weil membuat kontribusi besar dalam banyak bidang matematika ketika masih muda, terutama

animasi tentang gagasan hubungan mendalam antara aljabar geometri dan teori bilangan. Pada

tahun 1930, dia memperkenalkan “Cincin Adele”, Topologi cincin dalam bidang Aljabar, teori

bilangan, dan topologi aljabar, yang dipelajari pada bidang bilangan rasional. Saat itu Weil

menjadi pendiri dan pemimpin awal de facto, kelompok Bourbaki biasa disebut kelompok

matematikawan Perancis. Kelompok ini menerbitkan banyak buku teks yang berpengaruh pada

kemajuan matematika abad ke-20 di bantu oleh Nicolas Bourbaki, dalam upaya untuk

memberikan gambaran terpadu dari semua matematika didasarkan pada teori himpunan.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

224 | page

Gambar20.9. Buku-buku ciptaan kelompok Bounarki

Pada saat Perang Dunia II terjadi, Weil melarikan diri ke Finlandia. Di Finlandia dianggap

sebagai mata-mata, kemudian kembali lagi ke Perancis. Setelah pulang kembali ke Perancis, ia

ditangkap dan dipenjarakan karena menolak perintah untuk menjadi pelapor dalam layanan

militer. Weil mengutip “Bhagavad Gita” untuk membenarkan sikapnya tersebut. Penolakan yang

dilakukan Weil adalah hanya untuk mempelajari matematika.

Weil mengambil ide menggunakan geometri untuk menganalisis persamaan, dan dikembangkan

Geometri Aljabar, bahasa baru untuk memahami solusi untuk persamaan. Weil membuktikan

Hipotesis Riemann untuk kurva atas bidang terbatas, dengan menghitung jumlah titik pada jenis-

jenis aljabardi atas bidang terbatas. Dalam prosesnya, dia memperkenalkan pertama kalinya

gagasan tentang berbagai aljabar abstrak dan dengan demikian meletakkan dasar untuk geometri

aljabar yang abstrak dan teori abelian varietas modern, serta teori bentuk modular, fungsi

automorfik dan representasi automorfik. Karyanya pada belokan aljabar telah dipengaruhi

berbagai daerah, termasuk beberapa di luar matematika, seperti fisika partikel elementer dan

teori string.

Selama hidupnya, Weil menerima kehormatan keanggotaan, termasuk dalam London

matematika Society, Royal Society of London, Perancis Academy of Sciences dan American

National Academy of Sciences. Dia tetap aktif sebagai profesor di Institute for Advanced Studi

di Princeton sampai beberapa tahun sebelum kematiannya.

7. Paul Cohen

Paul Cohen adalah salah satu dari generasi baru dari ahli matematika Amerika yang merupakan

buangan Eropa selama Perangyang terjadi bertahun-tahun. Dia sendiri adalah seorang imigran

generasi kedua Yahudi, tetapi ia cerdas dan sangat ambisius. Dengan kecerdasan dan kekuatan

berhendak, ia melanjutkan untuk mempelajari matematika.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

225 | page

Gambar 20.10. Paul Cohen

Cohen belajar di New York, Brooklyn dan University of Chicago, sebelum menjabat sebagai

profesor di Stanford University. Ia pergi untuk mendapatkan penghargaan “Field Medal”

bergengsi di bidang matematika, serta “National Medal of Science dan Bcher Memorial Prize”

dalam analisis matematika. Pengetahuan matematikanya sangat luas, mulai dari Analisis

Matematis dan Persamaan Diferensial untuk logika matematika dan Teori Bilangan .

Pada awal 1960-an, Cohen yang pertama menerapkan 23 daftar masalah terbuka Hilbert,

Hipotesis Kontinum Cantor, apakah ada atau tidak ada satu himpunan berjumlah angka lebih

besar dari himpunan semua alami (atau seluruh) angka tetapi lebih kecil dari himpunan nyata

(atau desimal). Cantor yakin bahwa jawabannya adalah tidak, tetapi tidak dapat memberi bukti

yang memuaskan. Ada beberapa kemajuan yang telah dibuat oleh Zermelo-Fraenkel tentang

Teori Himpunan, sebagaimana telah diubah dengan Aksioma Pilihan (biasa disingkat bersama

sebagai ZFC). Teorema ini dikembangkan antara sekitar 1908 dan 1922 dan telah diterima

sebagai bentuk standar dari teori aksiomatis yang ditetapkan. Teorema ini merupakan dasar yang

paling umum dari matematika.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

226 | page

Gambar 20.11. ZFC

Sebelumnya Kurt Godel telah menunjukkan pada tahun 1940 bahwa Hipotesis Kontinum

konsisten dengan ZFC. Lebih spesifik, Godel mengatakan bahwa Hipotesis Kontinum tidak

dapat dipisah dari teori Zermelo-Fraenkel. Kemudian tugas Cohen adalah untuk menunjukkan

bahwa hipotesis kontinum adalah independen dari ZFC atau tidak. Secara khusus Cohen bertugas

membuktikan independensi dari aksioma pilihan.

Cohen mengubah paradigma pembuktian yang membawanya dalam ketenaran, kekayaan dan

berlimpah hadiah dari penghargaan matematika. Ia juga menjadi profesor di Stanford dan

Princeton. Setelah sukses, ia memutuskan untuk menyelesaikan masalah kedelapan Hilbert, yaitu

tentang Hipotesis Riemann. Ia akhirnya menghabiskan 40 tahun terakhir hidupnya dengan

berfokus masalah itu. Sampai kepada kematiaanya di tahun 2007 Cohen masih belum

menyelesaikan masalah tersebut.

8. Robinson dan Matiyasevich

Sejarah Matematika Sejarah Phi

227 | page

Gamba 20.12. Robinson dan Matiyasevich

Matematika merupakan bidang yang hampir sepenuhnya didominasi oleh laki-laki. Julia

Robinson adalah salah satu dari sedikit perempuan telah membuat dampak yang besar pada

matematika. Perempuan lain yang pantas disebutkan antara lain Sophie Germain dan Sofia

Kovaleskaya di abad 19, dan Alicia Noether Stout dan Emmy di 20. Robinson menjadi

perempuan pertama yang terpilih sebagai presiden dari American Society matematika.

Robinson adalah seorang anak pemalu dan sakit-sakitan yang dibesarkan di padang pasir

Arizona. Dia harus mengatasi banyak rintangan dan berjuang melanjutkan belajar matematika.

Dia tetap bertahan dalam segala rintangan sehingga dia memperoleh gelar Ph.D di Berkeley dan

menikah dengan seorang matematikawan, seorang professor dari Berkeley bernama Raphael

Robinson.

Robinson menghabiskan sebagian besar karirnya untuk mengejar masalah komputabilitas dan

keputusan, pertanyaan dalam sistem formal dengan jawaban ya atau tidak, tergantung pada nilai

dari beberapa parameter input. Dia tertarik pada masalah kesepuluh Hilbert. Masalah tersebut

adalah untuk memastikan apakah ada cara untuk mengatakan apakah ada atau tidak ada

Persamaan Diophantine tertentu (persamaan polinomial yang variabel hanya dapat bilangan

bulat) memiliki solusi bilangan bulat. Kepercayaan yang berkembang adalah bahwa tidak ada

metode universal seperti itu mungkin dilakukan, tetapi sepertinya sangat sulit untuk benar-benar

membuktikan bahwa mungkin akan pernah ada yang datang dengan metode seperti ini.

Sepanjang tahun 1950-an dan 1960-an, Robinson bersama dengan rekan-rekannya Martin Davis

dan Hilary Putnam, mereka sabar memecahkan masalah, dan akhirnya mengembangkan apa

yang dikenal sebagai hipotesis Robinson yang menunjukkan bahwa tidak ada metode tersebut,

semua yang diperlukan adalah untuk membangun satu persamaan yang solusinya adalah

seperangkat spesifik angka.

Robinson tertarik pada masalah itu selama lebih dari dua puluh tahun dan ia tidak akan putus asa

untuk menemukan solusi sebelum dia meninggal. Dalam rangka untuk kemajuan lebih lanjut, ia

membutuhkan masukan dari matematikawan muda Rusia, Yuri Matiyasevich. Matiyasevich

adalah matematikawan yang jenius dan memenangkan banyak penghargaan dalam matematika.

Dia menggunakan masalah Hilberts kesepuluh sebagai subyek tesis doktoralnya di Leningrad

State University. Dia mulai berhubungan dengan Robinson dan mendiskusiakan tentang

kemajuan dan untuk mencari jalan ke depan dari masalah kesepuluh Hilbert. Matiyasevich

Sejarah Matematika Sejarah Phi

228 | page

menemukan bagian akhir yang hilang dari teka-teki ini pada tahun 1970. Ketika itu dia berusia

22 tahun. Ia melihat bagaimana ia bisa membuktikan deret Fibonacci yang terkenal dengan

bilangan yang menggunakan persamaan yang berada di pusat masalah Hilberts kesepuluh, dan

akhirnya terbukti bahwa sebenarnya tidak mungkin untuk menyusun suatu proses yang dapat

ditentukan dalam operasi dalam jumlah terbatas apakah Persamaan Diophantine dapat

dipecahkan dalam bilangan bulat rasional.

Matiyasevich dan rekannya Boris Stechkin juga mengembangkan saringan visual yang menarik

untuk bilangan asli, yang secara efektif melintasi semua bilangan komposit, dan hanya

menyisakan bilangan prima tersebut. Dia memiliki Teorema pada himpunan rekursif, serta

polinomial yang terkait dengan pewarnaan dari triangulasi bola.

Gambar20.13. Bilangan Prima Matiyasevich-Stechkin

Dari pembahasan diatas, didapat bahwa perkembangan di abad ke 20 begitu pesat,

perkembangan ini ditandai oleh perubahan-perubahan yang terjadi di berbagi bidang kehidupan.

Selain itu, banyak terjadi peristiwa-peristiwa yang momental yang terjadi, artinya peristiwa-

peristiwa bersejarah yang berpengaruh pada dunia. juga dengan peperangan besar sepanjang

sejarah. Abad ke-20 melanjutkan perkembangan abad ke-19 yang mengarah pada peningkatan

generalisasi dan abstraksi dalam matematika, dimana gagasan aksioma sebagai “kebenaran yang

tak perlu dibuktikan” untuk mendukung penekanan pada konsep-konsep logika yang konsisten

dan lengkap.

Matematika menjadi profesi utama yang memunculkan professor-profesor, ahli-ahli, dan ribuan

ilmuwan. Matematika juga terbagi menjadi berbagai bidang-bidang studi, diantaranya Teori

knot, Teori Sheaf, Topologi, Teori Graf, Analisis Fungsi, Teori Permainan, dan masih banyak

lagi lainnya.

Matematikawan besar bermunculan, terutama akibat dari 23 masalah yang dimunculkan oleh

Hilbert. Mereka berjuang untuk memecahkan masalah-masalah yang dianggap fundamental bagi

matematika. Alan Turing memelopori kerja komputer dan Artificial Intelegence. Kurt Godel

terkenal dengan pembatasannya yang keras tentang apa yang dapat dan tidak dapat dipecahkan

dalam matematika yang membuat suatu pernyataan bahwa ada suatu teorema yang benar tetapi

tak dapat dibuktikan. Matematikawan besar lainnya seperti Hardy dan Ramanujan yang

memberikan kontribusi pada teori bilangan serta berusaha membuktikan hipotesis Riemenn.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

229 | page

Kemudian Russel dan Whitehead, dua orang matematikawan sekaligus filfus yang berkontribusi

pada bidang logika matematika. Kemudian Andre Weil berkontribusi besar pada bidang aljabar

dan teori bilangan dengan menerbitkan banyak buku tentang dua bidang ini. Seorang

matematikawan Amerika bernama Cohen berhasil memecahkan hipotesis kontinum dari Cantor.

Selanjutnya Robinson dan Matiyaevich yang menjadi terkenal setelah menyelesaikan masalah

kesepuluh dari 23 masalah Hilbert yaitu tentang persamaan Diophantine. Selain itu masih banyak

matematikawan besar lainnya yang sangat berjasa dalam pekembangan matematika di abad ke-

20.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

230 | page

SEJARAH

BILANGAN e

Bilangan e muncul dalam tulisan karya Napier yang didalamnya terdapat sebuah tabel

logaritma alami, namun pada saat itu bilangan e belum diakui. Gottfried Leibniz mendefinisikan

e sebagai suatu konstanta, namun pada saat itu, Leibniz menggunakan notasi b untuk

melambangkan bilangan yang sekarang kita sebut e. Leonhard Euler menemukan banyak hal

yang luar biasa dari bilangan e. Bilangan e mempunyai daya tarik tersendiri dan berperan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

231 | page

banyak dalam sejarah perkembangan matematika modern. Ini adalah sejarah yang menarik dan

mengahasilkan sesuatu yang luar biasa dalam matematika.

A.Sejarah Bilangan e

1. John Napier (1618)

Bilangan e pertama kali muncul dalam matematika melalui cara yang sangat kecil. Bilangan

e muncul pada tahun 1618, dalam sebuah tulisan karya Napier tentang logaritma. Dalam tulisan

Napier tersebut di dalamnya terdapat sebuah tabel yang menunjukkan logaritma dari berbagai

bilangan. Tabel dalam tulisan itu, diyakini ditulis oleh William Oughtred.

Gambar 21.1. John Napier

2. Briggs (1624)

Beberapa tahun kemudian, yaitu pada tahun 1624, bilangan e hampir masuk dalam daftar

literature matematika. Tahun 1624, Briggs memberikan pendekatan logaritma basis 10 untuk e,

namun ia tidak menyebutkan e dalam karyanya.

Gambar 21.2. Briggs

3. Saint Vincent (1647)

Sejarah Matematika Sejarah Phi

232 | page

Tahun 1647, Saint-Vincent menghitung luas daerah persegi panjang di bawah hiperbola. Dia

mengakui ada hubungan luas daerah tersebut dengan logaritma, namun masih diperdebatkan,

bahkan jika dia punya sedikit alasan untuk mengatakan bahwa e adalah bilangan eksplisit.

Gambar 21.3. Saint Vincent

4. Huygens (1661)

Tepatnya pada tahun 1661, Huygens memahami adanya hubungan antara hiperbola dengan

logaritma. Dia memeriksa hubungan antara luas daerah persegi panjang di bawah hiperbola yx=1

dan logaritma. Bilangan e merupakan luas daerah persegi panjang di bawah hiperbola dari 1

sampai e adalah sama dengan 1. Ini adalah dasar e menjadi basis dari logaritma alami, namun hal

ini masih belum bisa dimengerti oleh matematikawan pada saat itu.

Huygens membuat perkembangan baru pada tahun 1661. Dia mendefinisikan sebuah kurva

yang dia sebut “logaritma” (tetapi dalam terminologi kita, kurva tersebut adalah kurva

eksponensial) yang mempunyai bentuk . Setelah itu, muncul logaritma berbasis 10

untuk e, dimana Huygens menghitung sampai 17 tempat desimal. Dalam karyanya, hal itu

muncul sebagai perhitungan konstanta dan tidak diakui sebagai logaritma dari suatu bilangan.

Saint Vincent

5. Nicolaus Mercantor (1668)

Huygens

Sejarah Matematika Sejarah Phi

233 | page

Tahun 1668 Nicolaus Mercantor menerbitkan Logarithmotechnia yang berisi tentang

perluasan dari . Dalam karyanya, Mercantor menggunakan istilah logaritma alami

untuk pertama kalinya pada logaritma berbasis e. Bilangan e sendiri masih merupakan bilangan

yang sukar dimengerti.

Gambar 21.4. Mercantor

6. Jacob Bernoulli (1683)

Secara mengejutkan, sejak munculnya logaritma, pengenalan bilangan e menjadi semakin

dekat. Ketika e pertama kali ditemukan, kemunculannya tidak melalui pengertian logaritma,

namun lebih melalui studi bunga majemuk. Tahun 1683, Jacob Bernoulli melihat permasalahan

bunga majemuk dan bunga majemuk kontinyu. Dia mencoba untuk menemukan batas dari

dimana n tak hingga. Dia menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan batas

harus terletak antara 2 dan 3, sehingga dapat dipertimbangkan hal ini menjadi pendekatan

pertama untuk menemukan bilangan e. Jika hal ini diakui sebagai definisi e, untuk pertama kali

bilangan yang didefinisikan dengan proses limit. Jacob Bernoulli tidak memahami adanya

hubungan antara pandangannya tersebut dengan logaritma.

Gambar 21.5. Jacob Bernouli

Sejarah Matematika Sejarah Phi

234 | page

Pada tahun-tahun awal perkembangannya, logaritma tidak memiliki hubungan dengan

eksponen. Dari persamaan , kemudian disimpulkan dimana log untuk basis a.

Jacob Bernoulli mungkin orang yang pertama kali mengerti bahwa fungsi logaritma adalah

balikan dari fungsi eksponensial. Di sisi lain, orang pertama yang membuat hubungan logaritma

dengan eksponen adalah James Gregory. Tahun 1684, dia mengakui adanya hubungan antara

logaritma dan eksponen.

Masalah muncul dari sebuah fakta bahwa log bukanlah sebuah fungsi. Johann Bernoulli

mulai mempelajari kalkulus tentang fungsi eksponensial pada tahun 1697, yang kemudian dia

menerbitkan Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Di dalam tulisan tersebut,

berisi tentang perhitungan beberapa jenis eksponensial dan banyak hasil yang diperoleh dengan

menggunakan integrasi.

7. Leonhard Euler (1731)

Notasi e pertama kali muncul dalam surat Euler yang ditulis untuk Goldbach pada tahun

1731. Tahun 1736, Euler menerbitkan Euler Mechanica, dan untuk pertama kalinya notasi e

untuk bilangan ini digunakan. Terjadi permasalahan ketika bilangan ini muncul dengan notasi e,

diduga Euler menggunakan huruf e karena itu e adalah huruf pertama dari namanya. Bahkan ada

juga yang menduga bahwa e berasal dari “eksponensial”, atau mungkin karena huruf vokal

setelah a, sedangkan Euler sudah menggunakan notasi a dalam karyanya.

Gambar 21.6. Leonhard Euler

Euler membuat berbagai penemuan menggunakan e pada tahun-tahun berikutnya. Sejak saat

itu, penggunaan notasi e menjadi lebih umum dan menjadi notasi untuk bilangan ini. Tahun

1748, ketika Euler menerbitkan Introductio in Analysin infinitorium, dia menemukan gagasan

tentang e. dia menunjukkan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

235 | page

dan

Euler memberi pendekatan untuk e sampai 18 tempat desimal, yaitu

, tanpa memberitahukan darimana asalnya. Dia menghitungnya

sendiri, tetapi tidak ada indikasi bagaimana ini dilakukan. Faktanya, jika dihitung

, hasilnya akan sama dengan nilai yang dihitung Euler. Hal menarik lain dari

karyanya adalah hubungan antara fungsi sinus dan cosines, dan fungsi eksponensial yang

disimpulkan Euler menggunakan rumus De Moivre.

Menariknya lagi, Euler menemukan perluasan ekspansi kontinyu dari e. secara khusus, ia

menuliskan

dan

Euler tidak memberikan bukti bahwa pola diatas kontinyu, tapi dia tahu jika bukti tersebut

diberikan, maka e akan menjadi bilangan irrasional, karena jika dilanjutkan untuk

akan

mengikuti pola 6, 10, 14, 18, 22, 26, … (n + 4), sehingga nilainya jadi tak hingga. Jadi

(dan

e) tidak mungkin rasional. Hal itu menunjukkan untuk pertama kalinya dibuktikan bahwa e

bukan bilangan rasional. Tahun 1854, Shanks menghitung e sampai 205 tempat desimal. Untuk

Sejarah Matematika Sejarah Phi

236 | page

mendapatkan nilai e tepat 200 tempat desimal, dibutuhkan perhitungan hingga 120, yaitu

.

Kebanyakan orang menganggap bahwa Euler adalah orang pertama yang membuktikan

bahwa e adalah bilangan irrrasional. Tahun 1873, Hermite membuktikan bahwa e bukan sebuah

aljabar. Tahun 1884, Boorman menghitung e sampai 346 tempat desimal dan menemukan bahwa

perhitungannya sama dengan Shanks sejauh 187 tempat desimal, walaupun untuk tempat desimal

selanjutnya berbeda.

Berikut adalah perhitungan nilai e sampai 1.000.000.000.000

Tanggal Tempat

Desimal

Dihitung oleh

1748 23 Leonhard Euler

1853 137 William Shanks

1871 205 William Shanks

1884 346 J. Marcus Boorman

1946 808 Tidak diketahui

1949 2.010 John von Neumann

1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench

1978 116.000 Stephen Gary Wozniak

1 April 1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry

Bonnell

Mei 1997 18.199.978 Patrick Demichel

Agustus 1997 20.000.000 Birger Seifert

September

1997

50.000.817 Patrick Demichel

Februari 1997 200.000.579 Sebastian Wedeniwski

Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski

21 November 1.250.000.000 Xavier Gourdon

Sejarah Matematika Sejarah Phi

237 | page

1999

10 Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier

Gourdon

16 Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon

2 Agustus

2000

6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier

Gourdon

16 Agustus

2000

12.884.901.00

0

Shigeru Kondo & Xavier

Gourdon

21 Agustus

2003

25.100.000.00

0

Shigeru Kondo & Xavier

Gourdon

18 September

2003

50.100.000.00

0

Shigeru Kondo & Xavier

Gourdon

27 April 2007 100.000.000.0

00

Shigeru Kondo & Steve

Pagliarulo

6 Mei 2009 200.000.000.0

00

Shigeru Kondo & Steve

Pagliarulo

21 Februari

2010

500.000.000.0

00

Alexander J. Yee

5 Juli 2010 1.000.000.000.

000

Shigeru Kondo & Alexander J.

Yee

B. Relevansi e dengan matematika

1. Masalah Bunga Majemuk

Jacob Bernoulli menemukan konstanta e ini dengan mempelajari pertanyaan tentang bunga

majemuk. Salah satu contohnya adalah harga yang dimulai dengan $1,00 dan membayar 100%

per tahun. Jika bunga tersebut dikreditkan sekali, pada akhir tahun nilainya $2,00, tetapi jika

bunga dihitung dan ditambahkan dua kali di tahun ini, $1 dikalikan dengan $1,5 kuadrat,

menghasilkan $1,00 x = $2,25. Perhitungan hasil kuartalan $1,00 x = $2,4414... dan

pemajemukan hasil bulanan $1,00 x = $2,613035.

Bernoulli melihat bahwa urutan ini mendekati batas (dengan kekuatan bunga) untuk

perhitungan interval yang lebih besar maupun lebih kecil. Perhitungan hasil secara mingguan

Sejarah Matematika Sejarah Phi

238 | page

$2,692597, sedangkan hasil gabungan harian $2,714567…, hanya lebih besar 2 sen dari hasil

perhitungan secara mingguan. Menggunakan n sebagai jumlah interval perhitungan, dengan

bunga

di setiap interval, batas untuk n yang bernilai besar adalah angka yang kemudian

dikenal sebagai e. Dengan perhitungan terus menerus, nilai harga akan mencapai $2,7182818…

Secara umum, harga yang dimulai dari $1 dan menghasilkan (1 + R) dolar dibunga sederhana,

akan menghasilkan dolar dengan perhitungan kontinyu.

2. Percobaan Bernoulli

Bilangan e juga digunakan dalam aplikasi teori peluang. Dimana ia muncul dalam cara yang

tidak jelas dan berhubungan dengan pertumbuhan eksponensial, misalkan, penjudi memainkan

mesin slot dengan menggunakan peluang satu di n dan memainkannya sebanyak n kali.

Kemudian untuk n yang bernilai besar (seperti satu juta), peluang penjudi itu akan kalah sekitar

.

Ini adalah contoh dari kasus percobaan Bernoulli. Setiap kali penjudi itu memainkan slot,

ada satu dalam satu juta kesempatan untuk menang. Bermain satu juta kali dimodelkan dengan

distribusi binomial, yang kaitannya erat dengan teorema binomial. Peluang menang k dari satu

kali percobaan adalah :

Secara khusus peluang menang nol kali (k = 0) adalah

Hal ini sangat dekat dengan batas berikut untuk

:

3. Derangements

Aplikasi lain bilangan e juga ditemukan Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raimond de

Montmort dalam masalah derangements yang juga dikenal sebagai masalah cek topi. Sebagai

contoh, terdapat tamu sebanyak n diundang ke pesta, dan di depan pintu, setiap tamu

memberikan topinya kepada kepala pelayan, kemudian kepala pelayan menempatkan topi-topi

Sejarah Matematika Sejarah Phi

239 | page

tersebut kedalam kotak dengan label nama tamu di setiap kotak. Tetapi kepala pelayan tidak tahu

nama para tamu, sehingga ia menempatkan topi-topi teersebut kedalam kotak yang telah dipilih

secara acak. Masalah de Montmort adalah untuk menemukan peluang bahwa tidak ada topi yang

dimasukkan ke dalam kotak yang benar. Dan jawabannya adalah :

n sebagai jumlah tamu yang hadir tidak terbatas, mendekati

. Selain itu, tidak ada topi

yang ditempatkan di kotak yang benar adalah

di bulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk

setiap n positif.

4. Asymtot

Bilangan e terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang berkaitan dengan

asymtot. Sebuah contoh yang menonjol adalah Stirling’s formula untuk asymtot dari fungsi

faktorial, dimana kedua bilangan e dan masuk di dalamnya :

n!

konsekuensi dari hal ini adalah :

5. e dalam Kalkulus

Logaritma alami di e, ln (e) = 1

Alasan utama memperkenalkan bilangan e di kalkulus adalah untuk melakukan diferensial

dan kalkulus integral dengan fungsi eksponensial dan logaritma. Sebuah fungsi ekponensial

umum memiliki derivatif diberikan sebagai limit :

Sejarah Matematika Sejarah Phi

240 | page

Batas di sisi kanan adalah independen dari variabel x, itu tergantung hanya pada basis .

Ketika basisnya adalah e, batasnya adalah sama dengan satu, dan e adalah simbolis yang

didefinisikan oleh persamaan :

Akibatnya fungsi eksponensial dengan basis e sangat cocok untuk kalkulus. Memilih e,

dibandingkan dengan beberapa bilangan lain sebagai dasar dari fungsi eksponensial membuat

perhitungan yang melibatkan derivatif lebih sederhana.

Alasan yang lain muncul karena adanya logaritma basis a. Definisi turunan dari log x

sebagai limit :

Dimana substitusi u =

digunakan pada langkah terakhir. Batas terakhir yang muncul dalam

perhitungan adalah batas yang belum ditentukan yang tergantung hanya pada basis a, dan jika

basisnya adalah e, batasnya 1. Jadi secara simbolis,

Logaritma dalam dasar khusus disebut logaritma alami (sering direpresentasikan sebagai

“ln” atau hanya “log”). Terdapat dua cara untuk memilih bilangan a = e. Salah satunya adalah

dengan mengatur derivatif dari fungsi eksponensial ke . Cara lainnya adalah mengatur

turunan dari dasar logaritma berbasis a untuk

. Bahkan dua basis tersebut sebenarnya sama

yaitu bilangan e.

6. Limit Fungsi

Sejarah Matematika Sejarah Phi

241 | page

Daerah antara sumbu x dan grafik

, antara x = 1 dan x = e adalah 1.

Karakterisasi lain dari bilangan e adalah satu adalah sebagai limit fungsi turunan dan yang

lain adalah sebagai jumlah dari deret tak terbatas, dan masih bergantung pada integral dan

kalkulus. Sejauh ini terdapat dua sifat (ekuivalen) yang telah diperkenalkan, yaitu :

1. Bilangan e adalah bilangan real positif, sehinga :

2. Bilangan e adalah angka real positif, sehinga :

Berikut ini, tiga karakteristik bisa dibuktikan setara:

1. Bilangan e adalah limit.

Demikian pula :

2. Bilangan e adalah jumlah dari deret tak hingga.

Dimana n! adalah faktorial dari n.

3. Bilangan e adalah bilangan riil positif, sehinga :

Sejarah Matematika Sejarah Phi

242 | page

7. Fungsi Eksponensial

Nilai maksimum dari grafik

terjadi pada x = e

Nilai maksimum untuk fungsi

terjadi pada x = e. Demikian pula

adalah

dimana nilai minimum terjadi untuk fungsi didefinisikan untuk x positif. Secara

umum,

adalah nilai minimum fungsi untuk setiap n > 0, konvergen jika dan

hanya jika

(atau sekitar antara 0,660 dan 1,4447), menurut teorema Leonhard

Euler.

8. Teori Bilangan

Bilangan e adalah bilangan irrasional. Euler membuktikan hal ini dengan menunjukkan

bahwa e merupakan perluasan dari fraksi kontinyu tak terbatas. Selanjutnya, e adalah

transendental (teorema Lindemann-Weierstrass). Ini adalah bilangan pertama yang dibuktikan

transedental tanpa dibuat secara khusus untuk tujuan ini, bukti ini diberikan oleh Charles

Hermite pada tahun 1873.

9. Bilangan Kompleks

Fungsi eksponensial dapat ditulis sebagai deret Taylor.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

243 | page

Karena persamaan ini membuat banyak sifat penting untuk bahkan ketika x adalah

kompleks, maka hal ini biasanya digunakan untuk memperluas definisi ke bilangan kompleks.

Persamaan dengan deret Taylor untuk sin dan cos x memungkinkan seseorang untuk memperoleh

rumus Euler :

Yang berlaku untuk semua x. Kasus khusus dengan adalah merupakan identitas Euler.

Dan yang berarti bahwa dalam cabang utama dari logaritma,

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan untuk eksponensial, maka :

,

Persamaan tersebut merupakan rumus de Moivre. Kasus ini :

cos(x) + i sin (x)

10. Persamaan Diferensial

Fungsi umum :

Adalah solusi untuk persamaan diferensial:

y’ = y

Kesimpulan

Bilangan e pertama kali muncul dalam sebuah karya Napier pada tahun 1618. Bilangan e

pada saat itu masih belum mendapat pengakuan dari matematikawan lain. Tahun 1683, Jacob

Bernoulli menemukan nilai e dari permasalahan bunga majemuk dan bunga majemuk kontinyu,

dia menghitung bunga majemuk dan bunga majemuk kontinyu dengan teori binomial.

Leonhard Euler (1731) menggunakan notasi e untuk melambangkan bilangan ini dalam

suratnya yang ia tulis untuk Godlbach. Tahun 1736, Euler menerbitkan sebuah karya yang

berjudul Euler Mechanica, dan untuk pertama kalinya notasi e digunakan untuk publikasi. Sejak

Sejarah Matematika Sejarah Phi

244 | page

saat itu, penggunaan notasi e menjadi lebih umum dan menjadi notasi untuk bilangan ini. Tahun

1748, ketika Euler menerbitkan Introductio in Analysin infinitorium.

Euler membuktikan bahwa e adalah bilangan irrasional. Euler menghitung nilai e hingga 18

tempat desimal. Tahun 1854, Shanks menghitung e sampai 205 tempat desimal. Tahun 1873

Hermite membuktikan bahwa e bukan sebuah aljabar. Tahun 1884, Boorman menghitung e

sampai 346 tempat desimal dan menemukan bahwa perhitungannya sama dengan Shanks sejauh

187 tempat desimal, walaupun untuk tempat desimal selanjutnya berbeda. Tahun 1887, Addams

menghitung logaritma untuk e dengan basis 10 sampai 272 tempat desimal.

Relevansi bilangan e dalam matematika diantaranya adalah dalam perhitungan bunga

majemuk, limit tak hingga, teori peluang, e sebagai basis logaritma alami, teori bilangan, fungsi

eksponensial, bilangan kompleks, persamaan diferensial.

Sejarah Matematika Sejarah Phi

245 | page

SEJARAH PHI

( )

Pada saat ini, masih banyak siswa bahkan mahasiswa yang hanya menerima matematika

dengan begitu saja tanpa memahami tentang matematika itu sendiri. Mereka hanya sebatas

mengetahui suatu rumus tanpa mengetahui asal usul dari mana ditemukan suatu rumus yang

digunakan dan yang sudah berkembang sampai pada saat ini. Seperti halnya dalam menentukan

nilai . Kebanyakan siswa hanya mengetahui bahwa nilai adalah 3,14 atau

, mereka tidak

mengetahui apa pengertian dan bagaimana sejarah bisa mendapatkan nilai = 3,14 tersebut

serta bagaimana penerapannya dalam matematika. Sehingga terkadang bagaimana menemukan

nilai menjadi pertanyaan oleh sejumlah siswa. Tetaphi sesungguhnya banyak fakta menarik

mengenai .

Sejarah Matematika Sejarah Phi

246 | page

A. PENGERTIAN PHI ( )

Phi diketahui sebagai sebuah konstanta (tunggal) yang merupakan perbandingan antara

keliling (perimeter) lingkaran dan diameter lingkaran. Sebenarnya, π merupakan bilangan

irrasional yang berarti tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan antara 2 bilangan bulat.

Bilangan yang dilambangkan dengan huruf Yunani tersebut selalu memiliki nilai konstan pada

setiap lingkaran yaitu 3,14159…

B. SEJARAH NILAI (phi)

Phi ditemukan pada 7 zaman yang berbeda yaitu :

1. Zaman Mesopotamia dan Mesir Kuno

Perhitungan nilai phi mulai dikenal oleh masyarakat Mesopotamia dan Mesir Kuno sekitar

4000 tahun yang lalu. Pada masa itu, masyarakat Mesopotamia dan Mesir Kuno telah mampu

memecahkan masalah yang berhubungan dengan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit

sampai pada perhitungan dalam bentuk-bentuk ilmu ukur atau yang disebut dengan geometri.

Tetaphi, sampai saat ini belum diketahui secara spesifik siapa saja para penemu-penemu pada

masa itu. Bukti-bukti tertulis yang pernah ditemukan mengenai masa itu yaitu seperti Bata

Bertulis Strassburg (1800 SM ) dari masa Mesopotamia atau Papyrus Rhind (1650 SM) dari

masa Mesir Kuno yang mencantumkan soal-soal tentang hitungan.

Gambar 22.1 Papyrus Rhind

Sejarah Matematika

1

Selain mampu memecahkan masalah dalam perhitungan, masyarakat Mesopotamia dan

Mesir Kuno sudah bisa menuliskan bilangan-bilangan (numbers) dengan lambang-lambang yang

berupa angka-angka (numeral). Suatu keputusan yang diambil tentang bagaimana cara menulis

bilangan pada masa itu turut menentukan perkembangan pengetahuan tentang berhitung pada

masa yang akan datang. Teknik berhitung sangat dipengaruhi oleh sistem penulisan bilangan

sehingga sistem penulisan yang kurang baik akan mempersulit teknik berhitung. Sehingga, soal

hitungan yang sederhana sekalipun akan menjadi lebih sulit dan rumit. Oleh sebab itu, sistem

penulisan dari zaman Mesopotamia dan Mesir Kuno dianggap sebagai suatu penemuan terbesar.

Tulisan yang berkaitan dengan phi pertama kali ditemukan pada gulungan daun lontar

(papyrus) oleh A. Henry Rhind sekitar abad ke-18 M, sehingga papyrus tersebut dikenal dengan

nama Papyrus Rhind. Namun, orang-orang Mesir lebih mengenalnya dengan nama Papyrus

Ahmes, karena Ahmes adalah orang yang telah menyalin papyrus itu sekitar tahun 1650 SM.

Papyrus tersebut bertuliskan tentang berbagai macam soal-soal matematika dan bagaimana cara

penyelesaiannya. Berdasarkan tulisan pada Papyrus Rhind dan papyrus-papyrus lain yang

ditemukan, dapat diketahui bahwa perkembangan pengetahuan orang Mesir kuno pada masa itu

sudah sangat maju dalam penghitungan terutama dalam bidang astronomi dan geometri.

Dalam menghitung ukuran suatu bentuk, orang Mesir Kuno telah menggunakan berbagai

macam rumus untuk dapat menentukan panjang, luas, dan volum dari berbagai bentuk bidang

dan bangun ruang. Khusus mengenai irisan kerucut, pada ujung gulungan papyrus tersebut

terdapat cara untuk mencari luas lingkaran dengan membujur sangkarkan lingkaran tersebut.

Mereka juga telah mengetahui bahwa luas lingkaran sama dengan luas bujur sangkar dengan sisi

sepanjang

garis tengah lingkaran itu atau luas lingkaran sama dengan kuadrat dari

diameter

lingkaran. Jika ketentuan ini digunakan dalam menghitung luas lingkaran seperti masa sekarang

ini (L=πr2), maka orang-orang Mesir Kuno sebenarnya telah menemukan nilai phi sebesar

atau sama dengan 3,16049. Nilai tersebut ternyata lebih akurat dari nilai yang

ditemukan oleh orang-orang Mesopotamia yakni hanya sebesar 3. Dalam Papyrus Rhind yang

ditemukan oleh Henry Rhind, Ahmes telah menuliskan tentang temuan-temuan orang-orang

Mesir Kuno yaitu seperti "potong

bagian dari diameter dan bentuklah sebuah persegi dengan

menggunakan sisa diameter yang telah dipotong tadi. Persegi ini akan memiliki luas yang sama

seperti luas lingkaran." Dengan kata lain, dia ingin menunjukkan bahwa phi = 4 (

) 2 = 3,16049,

yang juga merupakan nilai yang cukup akurat. Hal ini sesuai dengan temuan orang Mesir Kuno.

Sejarah Matematika

2

2. Zaman Yunani Kuno

Gambar 22.2. Archimides

Seorang ilmuwan dari Yunani yang pertama kali menemukan nilai phi dengan cara

membandingkannya dalam geometri adalah Archimedes ( 287 – 212 SM ), sekitar tahun 240

SM. Ia berasal dari kota Syracuse, Yunani kuno. Archimedes memperkirakan besarnya luas

lingkaran dengan menggunakan “Teorema Pythagoras” untuk menemukan bidang 2 poligon

regular, yaitu: poligon tertulis di dalam lingkaran dan poligon di mana lingkaran itu dibatasi.

Karena daerah yang sebenarnya lingkaran terletak di antara area ditulis dan dibatasi poligon, luas

dari poligon memberikan batas atas dan batas bawah untuk daerah lingkaran. Archimedes

mengetahui bahwa ia tidak menemukan nilai phi tetaphi hanya sebuah pendekatan dalam batas-

batas tersebut. Dengan cara ini, Archimedes menunjukkan bahwa phi berada diantara nilai 3

dan 3

.

Archimedes menghitung keliling segi 6, segi 12, segi 24, segi 48, dan segi 96 beraturan

yang dinyatakan dengan diameter lingkaran. Keliling lingkaran terletak diantara keliling poligon

luar dengan poligon dalam regular dari lingkaran tersebut. Makin besar jumlah sisi poligon

regular itu makin semphit pula selisih nilai diantara keduanya sehingga makin teliti pula nilai phi

yang diperoleh.

Sejarah Matematika

3

Gambar 22.2.beda lingkaran dengan poligon dalam dan poligon luarnya.

Dengan menggunakan setara hingga segi 96 beraturan dengan memiliki 96 sisi poligon, ia

membuktikan bahwa

. Rata- rata dari nilai-nilai ini adalah sekitar 3,14185.

3. Zaman Cina Kuno (429 M – 500 M)

Gambar 22.3. Zu Chongzhi

Zu Chongzhi adalah seorang matematikawan dan ilmuwan terkenal yang berasal dari

zaman Tiongkok Kuno atau Cina Kuno. Ketika masih muda, Zu Chongzhi mempunyai minat

yang besar dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti ilmu alam dan filsafat. Selain itu,

dia juga sangat tertarik pada matematika, astronomi, dan mesin. Penemuan Zu Chongzhi yang

telah diakui secara internasional yaitu dalam hal perhitungan nilai phi (π).

Sebelumnya, Liu Hui, seorang ahli matematika di zaman Tiga Kerajaan mengemukakan

cara untuk menghitung nilai phi dengan menggunakan “Metode Memotong Lingkaran”.

Berdasarkan penelitian Liu Hui tersebut, kemudian Zu Chongzi meneliti kembali “Metode

Memotong Lingkaran” tersebut. Setelah melakukan lebih dari 1000 kali perhitungan, Zu

Chongzi menyimpulkan bahwa nilai phi berada di antara angka 3,1415926 dan angka 3,1415927.

Zu Chongzi juga berpendapat bahwa nilai phi kira-kira sebesar

atau 3,1415929, yang

disebut "Milu" dan kemudian mendorong perhitungan phi menuju ke fase yang baru. Bilangan

irrasional ini diperoleh dengn menggunakan metode klasik. Namun, pada masa itu di Cina lebih

sering digunakan bilangan

sebagai pengganti phi. Perhitungan nilai phi oleh Zu Chongzhi

Sejarah Matematika

4

pada masa China Kuno dilakukan 1000 tahun lebih awal dibandingkan dengan para

matematikawan barat yang mulai tertarik dengan phi pada 1000 tahun kemudian. Dengan

demikian nilai phi juga disebut "Zu Lu" sebagai penghargaan atas jasanya.

Selain berprestasi dalam bidang matematika, Zu Chongzhi juga mampu memecahkan

masalah perhitungan untuk mencari volum bola. Di negara barat, metode yang diadopsi dari

temuan Zu Chongzi disebut dengan “Prinsip Cavalieri”, yang diciptakan oleh seorang

matematikawan Italia bernama Cavalieri pada 1000 tahun kemudian. “Prinsip Cavalieri” ini juga

disebut dengan "Prinsip Zu".

4. Zaman India Kuno

Gambar 22.4.Aryabhata

Pada tahun 530 M, seorang matematikawan yang berasal dari India yaitu Aryabata

mencoba untuk menghitung nilai phi sebagai konstanta lingkaran.

Nilai phi diperoleh setelah melakukan kalkulasi geometris bahwa konstanta lingkaran yang

berada pada kisaran

atau sepadan dengan 3,1416. Sekalipun demikian, dalam perhitungan

matematika India Kuno masih saja menggunakan angka 3 atau sebagai pengganti dari

konstanta Aryabhata 3,14159265.

Secara umum, masyarakat India Kuno telah mengenal pula pembujur sangkaran lingkaran,

seperti yang telah dilakukan oleh masyarakat Mesir Kuno. Dalam hal ini, mereka menuliskan

bahwa jika d merupakan diameter suatu lingkaran maka luas lingkaran adalah dengan

atau juga

. Pecahan irrasional untuk dinyatakan dengan pecahan

pembilang satuan :

dan jika diuji dengan pecahan

desimal adalah 1,414215686… yang memiliki ketelitian hingga lima angka decimal. Jadi,

Sejarah Matematika

5

berdasarkan cara pembujursangkaran lingkaran tersebut, masyarakat India Kuno mengenal juga

pendekatan konstanta lingkaran yang lain yaitu 3,088 dan 3,004 yang disederhanakan menjadi

3,1 dan 3.

5. Zaman Arab (1000 M – 1500 M)

Setelah penemun Archimedes, tidak ada lagi pengembangan ataupun penemuan lanjutan

yang mempunyai arti penting dalam kaitannnya dengan bilangan phi, sampai kemudian 2 orang

ahli Arab kembali membahasnya dengan lebih cermat sekitar abad ke 10-15 M. Mereka adalah

Abu al-Raihan Muhammad Ibn Ahmad ( 973 M – 1050 M ) dan al- Kasyi (839H/1435M)

a. Abu al-Raihan Muhammad Ibn Ahmad ( 973 M – 1050 M)

Gambar 22.5.Muhammad Ibn Ahmad

Abu al-Raihan Muhammad Ibn Ahmad ( 973 M – 1050 M ) lebih dikenal dengan sebutan

al-Biruni. Dalam kitab ketiganya yang berjudul “Qanum al Mas’udi”, beliau membuat suatu

perkiraan yang akurat mengenai phi. Pertama, ia menentukan perbandingan diameter terhadap

keliling poligon regular 180 sisi, yang digambarkan dan dibatasi dalam lingkaran satuan (ruji 1

satuan panjang). Dari perhitungannya tersebut, ia memperoleh 2 nilai yaitu

dan

. Jika dihitung dengan menggunakan perhitungan saat ini, secara berturut-turut maka

akan diperoleh nilai

dan

. Ia kemudian mengambil kesimpulan bahwa

bilangan phi adalah lanjutan dari antara dua bilangan sistem sexagesimal

yaitu dan Dari pengambilan nilai tersebut, ia mendapatkan

hasil yang tepat untuk keenam urutannnya seperti . Kemudian, ia

melanjutkan perhitungannya lebih jauh lagi dengan mengganti seluruh bilangan tersebut ke

Sejarah Matematika

6

dalam bilangan irrasional yang mendekati

yang nilainya sepadan dengan 3,141598. Hal

ini merupakan salah satu kejadian yang menunjukkan bahwa al-Biruni mengetahui bagaimana

cara mengganti skala sexagesimal kedalam sebuah bilangan rasional skala desimal dan

sebaliknya.

b. Al- Kasyi (1435 M)

Gambar 22.6. Al- Kasyi

Setelah al-Biruni, ilmuan muslim kedua yang membahas tentang konstanta phi adalah al-

Kasyi (839 H/1435 M). Dalam risalahnya yang berjudul “Ar Risalah al Muhithah”, ia

menuliskan tentang hubungan rasio antara lingkaran bola dengan setengah dari garis tengahnya

yang ia notasikan , dengan menggunakan pendekatan pecahan desimal. Ia kemudian

menemukan nilai phi sebesar 3,1415925358979325 yang merupakan suatu hasil yang sangat

akurat karena nilai phi yang diperolehnya mencapai 16 digit angka desimal. Hasil ini lebih akurat

daripada hasil-hasil yang dicapai oleh matematikawan sebelumnya, bahkan sampai beberapa

abad sesudahnya. Di sini terlihat simbol bilangan phi versi al-kasyi adalah .

6. Zaman Renaissance (16 M)

Zaman Renaissance berlangsung sekitar abad pertengahan abad ke-16 M. Renaissance

sering diartikan dengan kebangkitan, peralihan, atau lahir kembali (rebirth), yaitu dilahirkannya

kembali sebagai manusia yang bebas untuk berphikir. Zaman Renaissance disebut sebagai

zaman kebangkitan ilmu pengetahuan. Dikatakan zaman kebangkitan karena sebelum abad

tersebut Eropa dilanda keterpurukan dan kegelapan yang berkepanjangan dalam ilmu

pengetahuan akibat kungkungan dan hegemoni gereja dengan aturan yang ketat dan keras.

Zaman ini juga disebut dengan peralihan ketika kebudayaan abad tengah mulai berubah menjadi

kebudayaan yang modern dan pemikiran yang terbebas dari dogma-dogma agama. Hal ini

ditandai dengan lahirnya penemuan-penemuan baru.

Sejarah Matematika

7

Pada masa kebangkitan itu, mulai bermunculan ilmuwan-ilmuwan baru. Mereka telah

menemukan teori atau konsep baru yang menjadi sejarah dalam perkembangan ilmu

pengetahuan. Sekitar abad ke-11 setelah penguasa Dinasti Umayyah di Spanyol membuka kota-

kota tempat perdagangan, maka interaksi perdagangan antara orang Eropa dan orang Arab

terjalin sehingga terjalinlah suatu hubungan antara kota-kota di Eropa dengan kebudayaan Arab.

Melalui perdagangan itu, pengetahuan-pengetahuan dari Arab dan pengetahuan dari dunia bagian

timur berangsur-angsur masuk ke Eropa. Apalagi dalam perdagangan diperlukan pengetahuan

mengenai cara berhitung yang lebih praktis sehingga pengetahuan mengenai cara berhitung

mauk ke kota-kota itu. Memang tak bisa dipungkiri tentang serbuan Arab ke dunia bagian barat

(Spanyol dan sekitarnya) yang yang membuat kekacauan di Eropa pada awalnya memencilkan

sebagian wilayah-wilayah di Eropa dari dunia bagian timur yang sudah berkebudayaan dan

berpengetahuan tinggi. Namun, hal ini tidak berlangsung lama, apalagi dengan mundurnya Arab

dari Spanyol ternyata telah membawa berkah bagi oang-orang Eropa, sebab mereka telah

menemukan banyak ilmu pengetahuan di Spanyol yang merupakan warisan dari Arab yang tak

ternilai harganya. Pada saat itu, perpustakaan Arab yang ada di Cordoba, Spanyol menyimpan

kurang lebih 600 ribu buku. Sehingga, pengetahuan Arab di pusat-pusat pengetahuan di Spanyol

terbuka bagi para ahli-ahli / matematikawan di Eropa. Karena sebelum itu, pada abad ke-10

orang-orang Eropa telah mempelajari ilmu dagang dan ilmu hitung dari pedangang-pedagang

Arab lewat kota Toledo dan kota-kota lain di sekitar Itali. Warisan dari Arab untuk Eropa yang

sangat berharga adalah kesederhanaan perumusan berhitung melalui lambang bilangan Arab

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,0). Dengan menggunakan lambang berhitung yang lebih sederhana dan jelas

akan memberikan peluang lebih besar bagi pengembangan pengetahuan ke tingkat yang lebih

tinggi.

Melalui perdagangan itulah bilangan-bilangan mulai dikenal luas, terutama oleh orang-orang

Eropa. Mereka memerlukan hitungan-hitungan untuk menentukan harga, laba, kerugian, alat

ukur, timbangan, dan takaran lain. Dalam kaitannya dengan bilangan phi, dapat dijumpai pada

masalah tentang bagaimana mengkonversikan takaran berbentuk balok atau kubus ke bentuk

silinder dalam satuan isi yang sama. Adapun kegunaan bilangan phi dalam kehidupan sehari-hari

yaitu misalnya dalam urusan perdagangan (menghitung volum takaran model silinder, setengah

bola, cincin dan lain-lain), besarnya roda-roda kereta atau alat-alat pengangkut, ataupun untuk

kepentingan matematika itu sendiri, mendorong para matematikawan saat itu untuk

membicarakan dan membahas lebih lanjut mengenai bilangan tersebut. Meskipun demikian,

Sejarah Matematika

8

menurut bukti-bukti sejarah yang ada, baru pada abad ke-16 konstanta unik phi mulai dibahas

dalam kitab matematika oleh matematikawan Eropa.

a. Francois Viete

Pertama kali, pada tahun 1579 Francois Viete dari prancis menghitung nilai phi dengan nilai

pendekatan sampai 9 digit angka desimal melalui poligon dengan sisi beraturan, seperti yang

dilakukan oleh Archimedes, dan ia menyatakannya juga ke dalam bentuk deret tak hingga.

Gambar 22.7. Francois Viete

b. Lodolph Van Ceulen

Seorang lagi dengan ketramphilan berhitung yang luar biasa menggunakan sebagian waktu

dari sisa hidupnya untuk menentukan pendekatan nilai phi hingga 35 digit angka desimal yakni

3,1415926535897932384626433827950288 melalui poligon reguler (segi banyak beraturan).

Orang yang luar biasa ini bernama Lodolph Van Ceulen (1540 M – 1610 M). Beliau adalah ahli

matematika yang berasal dari Jerman. Karena hal itu, di inggris dan di Eropa daratan, bilangan

phi disebut juga dengan bilangan Ludolphian yang merujuk pada namanya yaitu Lodolph Van

Ceulen.

Gambar 22.8. Lodolph Van Ceulen

c. John Wallis

Sejarah Matematika

9

Matematikawan Eropa lainnya yang namanya pantas dicatat untuk hal yang berkaitan

dengan bilangan phi adalah John Wallis. Pada tahun 1650, ia berusaha keras menentukan nilai

phi bukan dengan deret tetaphi dengan hasil kali tak hingga dalam menghitung

luas lingkaran.

Melalui interpolasi dan hitungan yang rumit diperoleh

. Ia menentukan pula

hasil kali Wallis :

Gambar 22.9. John Wallis

d. James Gregory

Selanjutnya pada tahun 1667 yaitu James Gregory (1638 – 1675) dari Skotlandia. Ia telah

menyusun deret tak berhingga untuk arc tan x, tan x, dan arc sin x. Dari deret tak hingga arc tan

x ia menemukan pendekatan nilai phi dan jika ditulis dalam penulisan sekarang adalah

Gambar 22.10. James Gregory

e. Father Adam Kochansky

Adalagi pendekatan secara geometri yang lebih rumit mengenai nilai phi yaitu yang

dilakukan oleh Father Adam Kochansky pada tahun 1685. Ia melakukan perhitungan untuk

pendekatan phi melalui penjabaran keliling lingkaran menjadi garis lurus. Ia menyimpulkan

bahwa panjang keliling setengah lingkaran adalah

atau jari-jari dikalikan

3,14153…

Sejarah Matematika

10

f. Mascheroni

Sedangkan pendekatan nilai phi dikemukakan oleh matematikawan yang berasal Italia yaitu

Mascheroni. Ia menghitung panjang busur seperempat lingkaran yang nilainya adalah

kali jari-jari lingkaran yang nilainya sama saja dengan 3,14240 kali

jari-jari untuk panjang busur setengah lingkaran.

Nilai dari perbandingan keliling dan diameter inilah yang kemudian hari dalam dunia

matematika geometri dan trigonometri dinyatakan dengan huruf Yunani .

Gambar 22.11. Mascheroni

g. William Ougthret dan William Jones

Lambang “ “ pertama kali digunakan oleh ahli matematika Inggris William Oughtret pada

tahun 1737. Tetaphi matematikawan yang memperkenalkan nilai “ “ sebagi huruf Yunani

adalah William Jones seorang ahli matematika asal inggris. Jadi secara resmi simbol “ “ baru

dikenal pada tahun 1737.

Gambar 22.12. William Ougthret dan William Jones

7. Zaman Abad Ke-20

Pada tahun 1800-an banyak orang yang berusaha selama bertahun-tahun untuk mencari

nilai phi sampai kira-kira 1000 digit angka desimal dengan menggunakan perhitungan secara

manual. Pada abad ke-20, ada dua perkembangan penting yaitu penemuan komputer listrik dan

Sejarah Matematika

11

penemuan rumus-rumus dalam bentuk program komputer yang lebih canggih untuk menghitung

nilai phi. Misalnya, pada tahun 1910, seorang ahli matematika India, Ramanujan menemukan

suatu rumus yang pada tahun 1985 digunakan untuk menghitung phi sampai 17 juta digit angka

desimal. Akhir-akhir ini metode-metode yang lebih baik telah dikembangkan dan komputer

semakin canggih sejalan dengan kemutakhirannya. Hasil perhitungan phi terakhir ini (tahun

2001) kira-kira mencapai 51 trilyun digit angka desimal. Akan tetaphi, sampai kapanpun semua

angka phi tidak akan pernah diketahui. Bilangan phi adalah transenden-irrasional untuk

menentukan komposisi angka-angka dalam urutannya di belakang koma.

Demi alasan fungsional dan kepraktisan, pada umumnya

atau

atau pecahan

desimal 3,14 ditulis sebagai pendekatan rasional untuk phi. Nilai-nilai tersebut sering dipakai

dalam matematika tingkat sekolah dasar dan sekolah menengah. Untuk tingkat perguruan tinggi,

biasanya nilai pendekatan phi jarang dipakai, sehingga phi lebih sering ditulis secara utuh

sebagai bilangan irrasional eksak.

C. PENERAPAN PHI DALAM MATEMATIKA

Phi diterapkan dalam matematika yang digunakan dalam perhitungan rumus-rumus seperti

mencari keliling, luas atau volum bangun datar maupun bangun ruang. Misalnya saja dalam

menghitung luas dan keliling lingkaran, bola, tabung dan lain-lain tentu menerapkan nilai phi.

Berikut contoh penerapan nilai phi dalam rumus matematika :

P E N E R A P A N R U M U S

Bentuk Rumus

Keliling lingkaran dengan jari-

jari r dan diameter d K = πd = 2πr

Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d L = πr2 =

πd

2

Volume bola dengan jari-jari r V =

πr

3

Luas permukaan bola dengan jari-jari r L = 4 πr2

Sejarah Matematika

12

Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r V = πr2h

Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-

jari r L = 2(πr

2) + (2πr)h = 2πr(r + h)

Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r V =

πr

2h

Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-

jari r

L = πr + πr2

= πr(r

+ )

D. FAKTA-FAKTA MENARIK TENTANG PHI

1. Kata phi diambil dari huruf Yunani “Phiwas“. Itu juga merupakan Abjad Yunani yang

ke-16;

2. Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika dari Inggris memperkenalkan abjad Yunani

phi untuk mewakili nilai yang dikatakan;

3. Pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol phi(π) untuk mewakili bilangan;

4. Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai phi adalah sebuah bilangan

irrasional;

5. Pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang merupakan seorang ahli Matematika

terkenal membuktikan bahwa phi adalah bilangan yang sulit dipahami;

6. Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat

untuk phi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil;

7. Seorang pengusaha di Cleveland, AS, menerbitkan buku pada pada tahun 1931 untuk

mengumumkan bahwa nilai phi adalah

;

8. Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph Van Ceulen, mendedikasikan seluruh

hidupnya untuk menghitung 35 digit angka desimal pertama phi;

Sejarah Matematika

13

9. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo membutukan waktu sekitar

116 jam untuk menemukan sebanyak 6.442.450.000 angka desimal phi dengan

menggunakan komputer;

10. Ada orang yang hafal semua angka desimal phi dan menciptakan lagu berdasarkan digit

dari nilai phi;

11. Nilai phi dengan 100 angka desimal pertama adalah:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944

5923078164062862089986280348253421170679;

12. Tidak akan ditemukannya angka nol dalam 31 digit pertama dari angka desimal phi;

13. Terdapat banyak digit yang tak terbatas dari phi, yaitu:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944

5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647

0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 4811174502 8410270193

8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823

3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726

0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036

5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735

1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494

6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846

7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872

1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611

2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837

2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825

3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717

7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778

1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 ….....

Dari pembahan diatas, didapt banyak informsi menarik tentang phi, antara lain Phi diketahui

sebagai sebuah konstanta (tunggal) yang merupakan perbandingan antara keliling (perimeter)

lingkaran dan diameter lingkaran. π merupakan bilangan irrasional. Bilangan π selalu memiliki

nilai konstan pada setiap lingkaran yaitu 3,14159 atau

.

Sejarah Matematika

14

Bilangan phi ditemukan sejak zaman Mesopotamia dan Mesir Kuno 4000 tahun yang lalu.

Namun, perhitungan nilai phi yang memiliki ketelitian relative baik dimulai pada zaman Yunani

Kuno oleh Archimedes sekitar tahun 240 SM, zaman Cina Kuno oleh Zu Chongzhi di kitaran

tahun 480 SM dengan ketelitian 7 digit angka desimal, menyusul ilmuan muslim Al-Kasyi pada

tahun 1435 M dengan ketelitian 16 digit angka desimal. Melalui poligon regular dengan metode

klasik Ludolph Van Ceulen (1540-1610 M) memperoleh nilai phi sampai ketelitian 35 digit

angka desimal. Sebelum dikenal dengan lambang bilangan phi yaitu seperti sekarang ini, ada

versi lambang lain yang digunakan sebagai representasi dari perbandingan keliling dan lingkaran

yaitu yang diperkenalkan oleh Al-Kasyi pada tahun 1435. Bilangan

digunakan sebagai

penganti phi dalam keperluan hitungan yang praktis dan sederhana yang sudah digunakan dan

meluas pada zaman Cina kuno sekitar abad ke-5 M. Namun, penggunaan

untuk pertama

kalinya dapat ditelusuri pada hasil-hasil tulisan metematikawan Yunani Kuno, terutama

Archimedes, sehingga tidak menutup kemungkinan bilangan

sudah dipakai sebagai pengganti

phi pada kitaran tahun 240 SM.

Penerapan phi dalam matematika yaitu digunakan dalam perhitungan rumus-rumus seperti

mencari keliling atau luas bangun datar maupun bangun ruang. Misalnya saja dalam menghitung

luas dan keliling lingkaran, bola, tabung dan lain-lain tentu menerapkan nilai phi.

Banyak fakta-fakta menarik yang bisa diperoleh tentang nilai phi. Terdapat 13 fakta menarik

yang tersedia. Fakta menarik tersebut diantaranya adalah kata phi diambil dari huruf Yunani

“Phiwas“, yang juga merupakan Abjad Yunani yang ke-16; ada orang yang hafal semua angka

desimal phi dan menciptakan lagu berdasarkan digit dari nilai phi; nilai phi dengan 100 digit

desimal yaitu:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862

089986280348253421170679; tidak akan ditemukannya angka nol dalam 31 digit pertama dari

angka desimal phi dan lain-lain.

Sejarah Matematika

15

SEJARAH

GOLDEN RATIO

Golden ratio mempunyai arti rasio emas. Rasio emas ini diperoleh dari bilangan Fibonacci.

Bilangan Fibonacci mempunyai arti dua kuantitas dikatakan sebagai rasio emas jika bilangan

pertama dan bilangan kedua dijumlahkan maka akan menghasilkan bilangan ketiga dan apabila

bilangan kedua dan bilangan ketiga dijumlahkan maka akan menghasilkan bilangan keempat

begitu juga sebaliknya.

Rasio emas memiliki nilai konstan 1.61803398874989. Rasio emas memiliki beberapa istilah

diantaranya dalam bahasa latin (sectio Aurea) yang berarti bagian emas, (sectio divina) yang

berarti bagian rataan rasio, dan (sectio Phidias) yang berarti rataan nilai phi. Dalam penulisan

huruf latin lambang rasio emas dibagi menjadi 2 yaitu dilambangkan dengan huruf kecil φ

dibaca phi sedangkan huruf besarnya dilambangkan dengan Φ dibaca phi.

A. SEJARAH GOLDEN RATIO

Sejarah Matematika

16

Golden ratio atau rasio emas ini ditemukan oleh Leonardo Pisano Fibonacci di Pisa, Italia

pada tahun 1170 – 1250. Leonardo pisano Fibonacci adalah seorang ahli matematika yang

hidup pada abad pertengahan di Aljazair. Semasa kecilnya Leonardo Pisano Fibonacci pernah

berguru kepada seorang ahli matematika Muslim, hingga akhirnya Fibonacci membawa ilmu

Golden Ratio di benua Eropa.

Dilihat dari kata golden ratio yang artinya rasio emas, sejak abad ke 20 rasio emas ditulis

dengan huruf yunani dilambangkan dengan huruf kecil ditulis φ dibaca “phi” sedangkan

huruf besar ditulis Φ juga dibaca “phi”. Rasio emas adalah sebuah angka yang dapat

diperoleh dari perbandingan ukuran pada benda. Dalam ilmu matematika bilangan rasio emas

ini terdapat dalam bilangan deret Fibonacci yang bernilai 1,618 bagaimana bilangan ini bisa

di dapat? Dalam buku yang berjudul “The Da Vinci Code” dijelaskan dalam uraian brown

tentang keagungan nilai phi sebagai proporsi ilahi angka emas atau golden ratio.

Golden ratio ini diperoleh dari sebuah deret bilangan Fibonacci, deret bilangan Fibonacci

ini dimulai dari angka yang pertama adalah angka 0 dan angka kedua adalah angka 1. Cara

menemukan deret angka yang lain dari deret bilangan Fibonacci ini kita hanya menjumlahkan

saja bilangan yang pertama yaitu 0 dan bilangan yang kedua yaitu 1 sehingga di dapat

bilangan yang ketiga yaitu angka 1. Begitu juga untuk mendapatkan bilangan yang keempat

yaitu angka 2 dengan cara menjumlahkan angka 1 pada urutan bilangan kedua dan angka 1

pada urutan bilangan ketiga. Sehingga deret Fibonacci menjadi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…………. dst.

Golden ratio itu sendiri yang bernilai 1,618 diperoleh dari deret Fibonacci. Angka

Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika kita membagi satu angka dalam deret tersebut

dengan angka sebelumnya, akan kita dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya

sangat mendekati satu sama lain. Ternyata, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam

deret tersebut. Angka ini dikenal sebagai “golden ratio” atau “rasio emas”.

GOLDEN RATIO (RASIO EMAS) = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

Sejarah Matematika

17

Pada matematika golden ratio dirumuskan dengan

Nilai 1,618 inilah yang kemudian dikenal dengan golden ratio dan kemudian dilambangkan

dengan φ atau Φ dibaca “phi”.

Leonardo Pisano Fibonacci

B. TEMUAN GOLDEN RASIO

1. GOLDEN RATIO PADA MANUSIA

a. Golden ratio pada tubuh manusia

Sebuah novel The Da Vinci Code, Brown memberikan sejumlah contoh Golden Ratio

dalam tubuh kita. Hubungan kesesuaian "ideal" yang dikemukakan pada berbagai bagian

tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas dapat dijelaskan dalam sebuah

bagan umum sebagaimana berikut:

Nilai perbandingan M/m pada diagram berikut selalu setara dengan rasio emas. M/m =

1,618

Sejarah Matematika

18

Berbagai perbandingan ukuran anggota tubuh kita selalu setara dengan rasio emas. M/m=

1,618. Rasio emas pada tubuh manusia rata-rata adalah jika antara pusar dan telapak kaki

dianggap berjarak 1 unit, maka tinggi seorang manusia setara dengan 1,618 unit. Beberapa

rasio emas lain pada tubuh manusia adalah:

a. Jarak antara ujung jari dan siku / jarak antara pergelangan tangan dan siku =1,618.

b. Jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala / panjang kepala =1,618.

c. Jarak antara pusar dan ujung atas kepala / jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala

=1,618.

d. Jarak antara pusar dan lutut / jarak antara lutut dan telapak kaki =1,618.

b. Tangan manusia

Jari-jemari memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari dua ruas pertama

terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan angka rasio emas (kecuali

ibu jari). Perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking juga merupakan

rasio emas.

Manusia memiliki dua (2) tangan, dan jari-jemari yang ada padanya terdiri dari tiga (3)

ruas. Terdapat lima (5) jari pada setiap tangan, dan hanya delapan (8) dari keseluruhan

Sejarah Matematika

19

sepuluh jari ini tersambung menurut rasio emas: 2, 3, 5, dan 8 bersesuaian dengan angka-

angka pada deret Fibonacci.

c. Wajah

Terdapat beberapa rasio emas pada wajah manusia. Misalnya, jumlah lebar dua gigi depan

pada rahang atas dibagi dengan tingginya menghasilkan rasio emas. Lebar gigi pertama dari

tengah dibandingkan gigi kedua juga menghasilkan rasio emas. Semua ini adalah

perbandingan ukuran ideal yang mungkin dipertimbangkan oleh seorang dokter. Sejumlah

rasio emas lain pada wajah manusia adalah:

a. Panjang wajah / lebar wajah.

b. Jarak antara bibir dan titik di mana kedua alis mata bertemu / panjang hidung.

c. Panjang wajah / jarak antara ujung rahang dan titik di mana kedua alis mata bertemu.

d. Panjang mulut / lebar hidung.

e. Lebar hidung / jarak antara kedua lubang hidung.

f.Jarak antara kedua pupil / jarak antara kedua alis mata.

Keterangan: jumlah lebar dua gigi depan

pada rahang atas dibagi dengan tingginya

menghasilkan rasio emas. Lebar gigi

pertama dari tengah dibandingkan gigi

kedua juga menghasilkan ratio emas.

Sejarah Matematika

20

d. Rasio Emas pada Paru-Paru

Dalam sebuah penelitian yang dilakukan antara tahun 1985 dan 1987, fisikawan Amerika

B. J. West dan Dr. A. L. Goldberger menemukan keberadaan rasio emas pada struktur paru-

paru. Salah satu ciri jaringan bronkia yang menyusun paru-paru adalah susunannya yang

asimetris. Misalnya, pipa saluran udara yang bercabang membentuk dua bronkia utama, satu

panjang (bronkia kiri) dan yang kedua pendek (bronkia kanan). Percabangan asimetris ini

terus berlanjut ke percabangan-percabangan bronkia selanjutnya. Telah dipastikan bahwa

pada seluruh percabangan ini perbandingan antara bronkia pendek terhadap bronkia panjang

selalu bernilai 1,618.

e. Rasio Emas pada Organ Pendengaran dan Keseimbangan

Koklea pada telinga bagian dalam manusia berperan menghantarkan getaran suara.

Struktur bertulang ini, yang berisi cairan, memiliki bentuk spiral logaritmik dengan sudut

tetap =73°43´ yang memiliki rasio emas.

f. Rasio Emas pada DNA

Molekul yang mengandung informasi tentang seluruh sifat-sifat fisik makhluk hidup juga

telah diciptakan dalam bentuk yang didasarkan pada rasio emas. Molekul DNA, cetak biru

kehidupan, didasarkan pada rasio emas. DNA tersusun atas dua rantai heliks tegaklurus yang

saling berjalinan. Panjang lengkungan pada setiap rantai heliks ini adalah 34 angstroms dan

Sejarah Matematika

21

lebarnya 21 angstroms. (1 angstrom adalah seperseratus juta sentimeter). 21 dan 34 adalah

dua angka Fibonacci yang berurutan.

2. GOLDEN RATIO PADA TUMBUHAN

a. Pola Bunga Matahari

Titik tengah bunga matahari, biji-bijinya tersusun membentuk pilinan (spiral) yang

membelok ke kiri dan kanan. Jika dihitung, maka jumlah masing-masing pilinan ini adalah

dua angka Fibonacci berurutan, umumnya 21 dan 34, 34 dan 55, 55 dan 89, atau 89 dan 144.

Hal yang sama terjadi pada pilinan buah pohon cemara, nanas, dan blumkol. Jika angka-angka

tersebut dibandingkan maka akan bernilai 1,618.

b. Jumlah daun pada Bunga (petals) mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan

jumlah daun pada sebuah bunga. Jika diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu

menganut deret fibonacci. Contohnya:

jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris.

jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok).

jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria.

jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory.

jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum.

Sejarah Matematika

22

jumlah daun bunga 55 : michaelmas daisies, the asteraceae.

Jika angka-angka tersebut dibandingkan maka akan bernilai 1,618.

3. GOLDEN RATIO PADA ARSITEKTUR

a. Arsitektur Parthenon di Yunani.

Bangunan Parthenon menggunakan kaidah golden rectangles atau golden proportions

mulai dari lingkup bangunan secara keseluruhan sampai pada detail terkecilnya. Parthenon

dirancang sesuai dengan rasio emas 1,618. Yunani kuno percaya bahwa struktur yang

dirancang dengan rasio ini lebih menyenangkan untuk dilihat. Panjang dan tinggi bangunan,

jarak antara kolom dan atap pitch semuanya dirancang sesuai dengan rasio emas.

b. Golden ratio pada piramida Mesir.

Sejarah Matematika

23

Ahmes papirus Mesir memberikan gambaran dari pembangunan Piramida Besar di Giaz

4700 SM dengan proporsi sesuai dengan rasio emas.

4. GOLDEN RATIO PADA SENI

a. Gambar Monalisa sebuah karya dari Leonardo Da Vinci

Lukisan diatas berbentuk persegi panjang emas. Persegi panjang yang alasnya memanjang

dari pergelangan tangan kanan wanita itu ke siku kirinya dan memperpanjang persegi panjang

secara vertikal hingga mencapai puncak kepalanya. Kotak di dalam persegi panjang emas

ditemukan garis baru pada kotak ke semua titik fokus penting dari wanita: dagunya, matanya,

hidungnya, dan terbalik sudut mulut misterius. Hal ini diyakini bahwa Leonardo, sebagai

seorang ahli matematika mencoba untuk memasukkan matematika menjadi seni. Lukisan ini

tampaknya sengaja dibuat menggunakan persegi panjang emas (golden rectangle). Lukisan

monalisa jika dilihat lebih detail pada wajahnya konon katanya setengah wajah sebelah kanan

adalah laki-laki dan yang sebelah kiri adalah perempuan. Da Vinci mendesain lukisan itu

dengan sangat memperhatikan perpaduan antara laki-laki dan perempuan karena dia

Sejarah Matematika

24

menganut pagan. Pagan disini mengandung arti yaitu pentagram, simbol harmoni alam,

mengandung golden ratio.

b. Vitruvian Man

Vitruvian Man merupakan karya Leonardo Da Vinci dalam anatomi. Gambar Vitruvian

Man dianggap mengagumkan karena menunjukkan bahwa tubuh manusia mengandung

banyak golden ratio. Gambar ini seringkali dijadikan patokan proporsi pada tubuh manusia.

Gambar ini, leornado ingin menceritakan bahwa bila seseorang berbaring terlentang dengan

tangan dan kaki yang direntangkan dan pusar sebagai pusatnya, maka dapat dibuat lingkaran

yang menyentuh ujung-ujung jari tangan dan jari kakinya (seperti memakai jangka). Leonardo

Da Vinci juga membuat bujur sangkar dengan garis horizontal di puncak kepala dan kaki serta

garis vertical dari ujung jari tangan yang terentang lebar.

C. HUBUNGAN π DAN Φ

Pi dan Phi adalah dua bilangan, atau kita sebut sebagai suatu konstanta yang merupakan

bilangan irasional, bentuk desimalnya tidak berulang, dan bentuk pecahan berulangnya tidak

berhenti. Jika ingin lebih tahu mengenai hubungan Pi dengan Phi, maka kami mencoba

membedakannya dalam berbagai kasus. Berikut ini adalah ulasannya :

1. Desimal tak berulang

2. Pecahan berulang yang tak berhenti

Sejarah Matematika

25

latex 3+ \frac{1}{7+ \frac{1}{15+

\frac{1}{1+ \frac{1}{292 + \frac{1}{1 +

\dots}}}}}&s=2$

latex 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+

\frac{1}{1+ \frac{1}{1 + \frac{1}{1 +

\dots}}}}}&s=2$

Dalam bentuk penulisan umumnya yaitu :

Untuk , penulisan resminya juga bisa seperti ini :

3. Bilangan irasional

Karena pi adalah bilangan transenden.

4. Hubungan antara pi dan phi

Bentuk-bentuk lain tentang pi dan phi, bentuk sigma, penjumlahan, integral maupun yang

lainnya mengenai pi dan phi. Sebagai berikut :

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Sejarah golden ratio ditemukan oleh Leonardo Pisano Fibanacci di Pisa Italia pada tahun

1170 - 1250. Sesuai dengan nama penemunya golden ratio didapat dari sebuah deret bilangan

Fibonacci. Deret Fibonacci sendiri mempunyai bentuk deret yaitu dimulai dari angka 0, 1, 1,

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…………. dst. Cara menemukan

bilangan golden ratio yang bernilai 1,618 pada deret bilangan fibonacci yaitu dengan

membagi urutan bilangan ke empat belas yaitu angka 233 dengan urutan bilangan ke tiga

belas yaitu angka 144 sehingga didapat

= 1,618. Golden ratio ini juga ditemukan pada

tubuh manusia diantara badan atau anggota tubuh manusia yaitu tubuh manusia secara

keseluruhan, tangan, wajah, paru – paru, telinga, dan DNA. Tanaman juga mengandung unsur

Sejarah Matematika

26

golden ratio yang ternyata jumlah daun pada bunga itu terdiri dari deret bilangan Fibonacci,

contohnya: bunga lili, iris, buttercup (sejenis bunga mangkok) dan masih banyak lagi.

Penemuan yang lain pada bidang arsitektur dan seni yaitu piramida, bangunan Parthenon di

yunani dan lukisan monalisa.

Sejarah Matematika

27

SEJARAH

BILANGAN

PRIMA

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan

bangun. Dalam konsep bilangan ini tak terlepas dari barisan bilangan prima. Bilangan prima

termasuk salah satu misteri alam semesta yang tidak pernah terbayangkan oleh manusia

sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan

alamyang ingin dijelaskan oleh para matematikawan dalam ilmu sains.

Pada umumnya banyak orang yang berpendapat bahwa matematika khususnya

bilangan prima hanyalah penemuan manusia biasa. Namun, beberapa pemikir masa lalu seperti

: Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para

revolusioner abad ke-20 yaitu Planck, Einstein dan Sommerffeld, mereka yakin bahwa

keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang

bebas (independent). Sedangkan Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa

Tuhan ketika menulis alam semesta. Sehingga sampai saat ini bilangan prima dianggap sebagai

salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan. Oleh karena itu, dalam makalah

ini akan dijelaskan tentang bilangan prima dan perkembangannya serta manfaat bilangan prima

bagi kehidupan manusia.

Sejarah Matematika

28

A. Pengertian Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor, yaitu satu dan bilangan

itu sendiri.Bilangan asli lebih dari satu dan bukan prima disebut “composite numbers”.Bilangan

1 adalah kasus khusus, tidak termasuk ke bilangan prima ataupun komposit. Banyak orang

menanyakan sebabnya. Walau bilangan 1 dulunya dianggap sebagai bilangan prima sehingga

diperlukan penanganan khusus di banyak definisi dan aplikasi yang mencakup bilangan prima,

sehingga bilangan 1 tersebut biasanya diletakkan pada sebuah kelas khusus.

Bilangan prima ini berbeda karena tidak adanya pola terhadap kemunculannya, bisa

dikatakan bilangan ini muncul secara acak.Jadi, cukup sulit untuk menentukan suatu bilangan

adalah prima atau bukan. Jika saja bilangan prima muncul setiap dua puluh empat angka, akan

sangat mudah untuk menentukannya. Oleh karena itu, setiap angka harus diperiksa untuk

menentukan apakah bilangan tersebut prima atau bukan.

B. Sejarah Perkembangan Bilangan Prima

Beberapa orang menduga bahwa manusia telah mengenal bilangan prima sekitar 5989 SM.

Hal ini terkait dengan penemuan tulang Ishango di Afrika (sekarang disimpan di Musee

d’Histoire Naturelle di Brussels) oleh para arkeolog, pada tulang tersebut terdapat tiga kolom

takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik yang merupakan bilangan prima

antara 10 sampai dengan 20.

Gambar 24.1. Tulang Ishango

Beberapa ahli sejarah lainnya berpendapat bahwa takik pada tulang tersebut hanya sebuah

catatan tanggal dan secara tidak sengaja berupa bilangan prima.Dari semua keraguan tersebut,

satu hal yang pasti bahwa masyarakat pertama yang mempelajari bilangan prima ini secara lebih

mendalam adalah masyarakat Yunani Kuno. Seperti yang kita ketahui Yunani Kuno memiliki

kemajuan dalam ilmu pengetahuan. Mereka banyak berpikir tentang sains, termasuk matematika.

Pada saat itu mereka mempelajari bahwa ada bilangan yang tidak dapat dibagi lagi dan bilangan

Sejarah Matematika

29

tersebut merupakan dasar dari banyak bilangan artinya setiap bilangan dapat terbentuk dari

perkalian bilangan-bilangan tersebut, bilangan tersebut adalah bilangan prima.

C. Bilangan Prima pada Rumusan Pythagorean Tripels

Dalam sejarah Yunani kuno tercatat nama besar Pythagoras (570 – 500 SM), ia sangat

terkenal lewat `Theorem of Pythagoras` dan memunculkan bilangan ganda 3 atau dikenal dengan

istilah Pythagorean Triples yang sebenarnya telah ada sejak 1000 tahun sebelum masa

Pythagoras. Menurut catatan sejarah bangsa Babilonia telah mengenal ganda 3 tersebut, yang

terkenal dengan namaBabylonian Triples. Di dalam Babylonian tablet Plimton 322, yang

diperkirakan berasal dari tahun 1700 S M, tercatat Babylonian Triples tersebut ketenarannya

terkalahkan oleh ketenaran nama Pythagorean Triples. Sebenarnya, diantara keduanya terdapat

perbedaan.Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u2 – v2

dan u2 + v2 yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak

mempunyai faktor prima selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, tiga angka seperti (56,90,106) adalah

Babylonian Triples hal ini dimungkinkan karena jika u = 9 dan v = 5 dan disubstitusikan pada

generatornya akan menghasilkan bilangan 56, 90, 106, tetapi untuk ketiga bilangan (28,45,53)

adalah bilangan Pythagorian Triples tetapi bukan Babylonian Triples, karena untuk u = 7, u

memiliki faktor prima 7 bukan 2 atau 3 atau 5.

D. Bilangan Prima di Rumusan Bilangan Sempurna

Bilangan Prima dalam Rumusan Bilangan Sempurna, sesuai karya Euclid dalam buku IX

Elements (300 SM) diberikan bukti dari sebuah proposisi, yaitu :Jika 2n – 1 adalah prima maka

2n – 1.(2n – 1) adalah bilangan sempurna (perfect number).Bukti preposisi tersebut adalah

sebagai berikut :Karena 2m – 1 adalah prima maka 2m – 1 = p dengan p prima sehingga untuk n

= 2m-1.(2m – 1 dan n = 2m–1 ). P dengan pembagi-pembagi : 1, 2, 22, …, 2m-1, p, 2p, …,2m-

1.P jumlah pembagi-pembaginya :1+2+22+…+p+2p + …+ 2m - 1.PS(n) = (1+2+22+…+2m-

1).(1+p)=( 2m-1).(1+p) = p . (1+p),dengan p = 2 m-1 dan p+1 = 2m- 1+1=2m = p . 2m,

sementaran = 2m-1. p maka 2n = 2.2m-1 .p =2m . p =p . 2m.

Pada masa itu bangsa Yunani telah menemukan 4 bilangan sempurna yaitu 6, 28, 496 dan

8128 (Kart : 458). Berkenaan dengan bilangan sempurna ini, sekitar 2000 tahun kemudian

seorang matematikawan Euler pada tahun 1947 telah mampu menunjukkan bahwa semua

bilangan sempurna yang didapat dari rumusan di atas adalah genap. Tidak diketahui sampai hari

ini apakah ada bilangan sempurna yang ganjil.Teorema ke-20 dari buku IX The Elements

Sejarah Matematika

30

Euclide menyatakan bahwa “ Tidak ada bilangan prima yang terakhir (There is no last Prime)”.

Pernyataan ini menunjukan ketakberhinggaan bilangan prima (Infinitude of Prime) yang

dibuktikan Euclid dengan menggunakan cara pembuktian kontradiksi.Untuk hal tersebut

perhatikanlah definisi bahwa suatu bilangan p prima jika p ¹1 dan pembagi-pembaginya hanya 1

dan p dengan demikian hanya p, ½p dan1½p. Misalkan p1, p2, p3. pn adalah n prima berbeda

maka bilangan prima dapat dinyatakan dengan:

a = p1 . p2 .p3 . ….pn + 1, maka p1 ½a , karena p1 ½ p1 . p2 .p3 . … pn dan andaikan p1½a maka

p1 ½(a - p1 . p2 . p3 . … pn ) atau p1 ½1, tentu hal ini tidak mungkin terjadi karena hanya 1½1,

sementara p1 prima ( p1¹ 1 ), terjadi kontradiksi, sehingga yang benar: p1½a dan p2½a, p3½a, ...

, pn½a dengan demikian ada suatu bilangan a yang tidak terbagi oleh bilangan prima manapun

dengan pengambilan suatu n. Dalam hal ini a adalah bilangan prima yang besarnya ditentukan

oleh n. Nilai n dapat membesar sampai tak hingga.

E. Pencarian Bilangan Prima

Sebenarnya Euclid dalam beberapa definisi dan proposisi buku Elements-nya menaruh

perhatian yang sangat besar akan keberadaan bilangan prima ini. Dalam buku IX Elements,

beliau memberikan bukti tentang ketakberhinggaan banyaknya bilangan-bilangan prima dengan

menggunakan metode kontradiksi, yang dilakukan pertama kali dalam sejarah matematikan.

Selain itu, Euclid juga memberikan sebuah bukti Teorema Fundamental Aritmetika : “Setiap

bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima dalam sebuah bentuk

dasar yang unik”. Kemudian dikenal dengan nama Eratosthenes (± 230 SM) dengan

`Eratosthenes sieve` atau saringan Eratosthenes,. Pertama-tama ia memperkenalkan metode

untuk mendapatkan seluruh bilangan prima yang terbatas hingga suatu bilangan bulat positif n.

Dari saringan itu akan didapat bilangan-bilangan prima yang kurang dari n, bahkan dengan

saringan tersebut diturunkan suatu konjektur dalam bentuk formula yang dapat dipergunakan

untuk memprediksi banyaknya bilangan prima kurang dari suatu bilangan n, yang dinyatakan

dengan √n. Sebagai contoh diberikan cara mencari bilangan prima kurang dari 50, dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Susun bilangan asli secara berurutan kurang dari 50

2. Hilangkan bilangan 1 karena 1 bukan prima

3. Hilangkan bilangan kelipatan 2, kecuali 2

4. Hilangkan bilangan kelipatan 3, kecuali 3

5. Hilangkan bilangan kelipatan 5, kecuali 5

Sejarah Matematika

31

6. Hilangkan bilangan kelipatan 7, kecuali 7

Realisasi langkah tersebut seperti berikut ini:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50.

Sehingga didapat bilangan prima yang kurang dari 50 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,

37, 41, 43, 47.

Keberadaan formula untuk memprediksi banyaknya bilangan prima kurang dari n, yaitu

Ön, diperkuat oleh Ernst Meissel yang sukses menunjukkan banyaknya bilangan prima kurang

dari 108 sebanyak 5.761.455 pada tahun 1870. Bertelsen, melanjutkan perhitungan Ernst dan

tahun 1893, ia mengumumkan bahwa banyak bilangan prima yang kurang dari 109 adalah

50.847.478, dan hasil ini kemudian dikoreksi oleh D. H. Lehmer pada tahun 1959 yang

menyatakan bahwa Bertelsen keliru, seharusnya 50.847.534, ia juga menunjukkan bahwa banyak

bilangan prima kurang dari 1010 adalah sebanyak 455.052.511. Meskipun telah sebegitu jauh

para matematikawan berusaha, tapi sampai saat ini belum dikenal suatu prosedur praktis yang

dapat dipergunakan untuk menentukan suatu bilangan prima.

Matematikawan masa lalu beranggapan bahwa bentuk 2n – 1 akan menghasilkan semua bilangan

prima untuk n bilangan prima, jika n bukan prima maka bilangan yang didapat adalah komposit.

Rumus berbentuk 2n – 1 ini tampaknya diadopsi dari rumus bilangan sempurna 2n-1.( 2n – 1)

yang mempersyaratkan 2n –1 adalah prima. Sementara 2n –1 tidak prima jika n bukan prima,

tetapi pada tahun 1536 Hudalricus Regius menunjukkan bahwa 211 – 1 = 2047 bukan prima

karena 2047 = 23 x 89. Selain itu Pietro Cataldi dari Italia pada tahun 1603 melakukan verifikasi

terhadap 217 – 1 dan 219 – 1 , ternyata keduanya adalah prima dan menurut Cataldi pula 2n – 1

adalah prima juga untuk n = 23, 29, 31 dan 37. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat berhasil

menunjukkan bahwa Cataldi keliru untuk n = 29 dan beberapa waktu kemudian Euler

menunjukkan bahwa Cataldi kali ini benar untuk n = 31.

F. Bilangan Prima Terbesar

Perlu diketahui bahwa tidak ada bilangan prima terbesar karena bilangan prima berjumlah

tak terhingga, sebagaimana telah dibuktikan Euclides.Hal ini berarti untuk bilangan prima

terbesar yang diketahui saat ini, pasti ada bilangan prima yang lebih besar daripada bilangan

Sejarah Matematika

32

tersebut. Hingga Agustus 2007, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan penemuan

dari komputasi terdistribusi (distributed computing) dari proyek Great Internet Mersenne Prime

Search (Pencarian Internet Besar Bilangan Prima Mersenne) (GIMPS),yang memiliki panjang

9.808.358 digit.Pencarian bilangan prima besar biasanya dilakukan untuk tujuan kesenangan

oleh para matematikawan dan orang yang memiliki hobi di bidang tersebut.Selain itu, juga ada

hadiah yang disediakan Electronic Frontier Foundation untuk individu atau kelompok yang

menemukan bilangan prima yang melebihi angka-angka tertentu.

Sejak 1951, penggunaan komputer mempercepat penemuan bilangan prima besar, dan

semua rekor sejak 1951 ditemukan dengan bantuan komputer. Pada tahun 1999, rekor bilangan

prima terbesar yang diketahui mencapai 1 juta digit, dan penemunya diberi hadiah 50.000 dolar

AS oleh Electronic Frontier Foundation.

Bilangan prima terbesar yang diketahui hingga saat ini merupakan penemuan GIMPS.

Bilangan prima dipastikan merupakan bilangan prima pada 11 September 2006, memiliki

panjang 9.808.358 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne ke 44. GIMPS menemukan 10

rekor terakhir dengan cara menyebarkan perangkat lunak khusus pada sukarelawan di seluruh

dunia.

Hadiah Electronic Frontier Foundation berikutnya akan diberikan kepada penemu

pertama bilangan prima yang memiiki panjang setidaknya 10.000.000 digit (besar hadiah adalah

100.000 dolar AS). Rekor saat ini amat dekat dengan batas tersebut, dan kemungkinan rekor

berikutnya akan memecahkan batas tersebut. Bilangan prima Mersenne dengan ukuran p lebih

atau sama dengan 33.219.281 akan memiliki setidaknya 10.000.000 digit, dan GIMPS sedang

melakukan tes terhadap banyak kandidat dengan ukuran ini

G. Tokoh-Tokoh dalam Bilangan Prima

a. 325 SM - Euclid

Euclid membuktikan bahwa bilangan prima memiliki

jumlah yang tidak terbatas. Euclid juga membuktikan teorema

dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika

menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat

dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya

6936 = 23 x 3

1 x 17

2 ; 1200= 2

4 x 3

1 x 5

2 adalah dua contoh

bilangan yang memenuhi teorema bahwa bilangan-bilangan

tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima.

Sejarah Matematika

33

b. 276BC – Eratosthenes

Eratosthenes menciptakan metode untuk

menemukan bilangan prima yang disebut dengan “The

Sieve of Eratosthenes” atau dalam Bahasa Indonesia

“Saringan Eratothenes”. Contohnya,untuk menemukan

bilangan prima lebih kecil atau sama dengan 30, prosesnya

adalah sebagai berikut:

Pertama, tuliskan daftar bilangan bulat dari 2 sampai 30:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dimulai dari angka 4, angka yang dapat dibagi 2 dicoret:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Bilangan pertama pada daftar setelah 2 adalah 3, bagi semua angka dengan 3 dimulai

dari 9 dan yang dapat dibagi 3 dicoret:

2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 141516 17 18 19 202122 23 24 25 26 27 28 29 30

Bilangan pertama pada daftar setelah 3 adalah 5, bagi semua angka dengan 5 dimulai

dari 25 dan yang dapat dibagi dicoret juga:

2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 141516 17 18 19 202122 23 242526 27 28 29 30

Angka berikutnya setelah 5 yang belum dicoret adalah 7, tapi 7 kuadrat adalah 49

dimana lebih besar dari 30 sehingga proses ini selesai. Angka tersisa yang tidak

tercoret adalah bilangan prima lebih kecil atau sama dengan 30:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

c. 1588 – Mersenne

Seorang biarawan dari Perancis bernama Marinne Mersenne.

Dia mengemukakan sebuah formula yang kini disebut “Mersenne

Number” atau “Angka Mersenne” yaitu, Mp = 2p – 1 (dua pangkat

p dikurang 1) merupakan sebuah bilangan prima. Sebagai

Sejarah Matematika

34

contoh: adalah prima, adalah prima, 25 - 1 = 31 adalah

prima, dan seterusnya. Faktanya, matematikawan telah membuktikan bahwa Mersenne

number dapat berupa bilangan prima jika eksponennya adalah bilangan prima. Namun,

tidak semuanya dapat menghasilkan bilangan prima, contohnya,

adalah bukan prima. Bilangan prima Mersenne terkecil adalah 2 dan bilangan

prima Mersenne terbesar yang telah diketahui adalah –

d. 1601 – Fermat

Perkembangan penting berikutnya dilakukan oleh Fermat

pada awal abad ke-17. Ia menyatakan bahwa p adalah prima

maka untuk setiap bilangan bulat a kita mendapatkan ap = a

modulo p atau lebih jelasnya, p|ap- a(p dapat membagi a

p- a

tanpa sisa) . Misalnya:

23

– 2 = 6 , 3|6 (3 dapat membagi 6 tanpa sisa)

35

– 3 = 240 , 5|240 (5 dapat membagi 240 tanpa sisa)

47

– 4 = 16380 , 7|16380 (16380 habis dibagi 7)

Namun, tidak semua angka dapat memenuhi formula ini, contohnya, 341 bukan

bilangan prima karena 31x11=341, tetapi 2341

- 2 dapat dibagi 341.

Fermat menulis surat kepada matematikawan lain pada masanya, yaitu Marin

Mersenne. Pada salah satu dari surat yang ia kirimkan, Fermat mengemukakan bahwa

bilangan yang dihasilkan dari 2n + 1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dari 2

atau dapat dinyatakan sebagai:

Bilangan yang dihasilkan dari rumus tersebut disebut “Fermat Numbers” atau “Fermat

Prime”. Namun, hal tersebut tidak sampai 100 tahun kemudian karena Euler

menunjukan pada kasus berikutnya yaitu n=5, 232

+ 1 = 4294967297 dapat dibagi 641

dan bukan prima.

The only known Fermat primes are:

Sejarah Matematika

35

e. 1777- Gauss

Tabel berikut menunjukan bilangan primakurang

dari 100:

Gauss mempelajari kepekatan Bilangan Prima. Dia menemukan hubungan antara

sebuah bilangan dengan jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tersebut.

Dia mengemukakan: Π(x)≈

, sehingga,

Pernyataan tersebut dikenal sebagai Teorema Bilangan Prima. Seperti ditunjukan pada

tabel berikut:

Sejarah Matematika

36

f. Euler

Definisi. Untuk dan dikatakan multiplikatif

jika ketika . Sedangkan dikatakan

multiplikatif lengkap jika untuk sebarang

Teorema. Untuk dan konvergen mutlak, Identitas Perkalian

Euler menyatakan bahwa jika multiplikatif maka :

dan jika multiplikatif lengkap maka:

Bukti :

Bila diketahui konvergen mutlak, maka deret konvergen mutlak untuk

masing-masing bilangan prima karena ini merupakan sub bagian dari deret . Bila

didefinisikan

Sejarah Matematika

37

di mana deret perkalian bekerja untuk semua bilangan prima kurang dari atau sama

dengan , adalah deret perkalian berhingga dari deret penjumlahan yang

konvergen absolut. Maka dapat dinyatakan dalam deret sederhana yang konvergen

mutlak di mana bagian-bagian deret yang selain 1 adalah dalam bentuk :

dengan dan bagi Kesamaan ini didasarkan kepada

adalah multiplikatif. Jika adalah himpunan bilangan natural yang

dekompisisi primanya hanya mengandung bilangan prima lebih kecil dari

(termasuk 1) maka :

Sehingga:

karena jika Melalui kekonvergenan mutlak dari maka

didapat

dan

Jika multiplikatif lengkap, maka untuk setiap bilangan prima

sedangkan yang lainnya

adalah divergen yang berkontradiksi dengan kekonvergenan mutlak dari

Karena itu untuk setiap bilangan prima berlaku

H. Manfaat atau Aplikasi Bilangan Prima dalam Kehidupan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan

prima.Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu

Sejarah Matematika

38

sendiri dan angka 1.Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis

dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….dan

seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita

menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin

jarang. Hal ini menjadi teka-teki jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka

lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer adalah memberikan

kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-

perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu

proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca

oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan

dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima.Para ilmuwan sudah

lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh

semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar.Bahasa ini

penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Kesimpulan

Bilangan prima ditemukan sekitar tahun 5989 SM yang terkait dengan penemuan

tulang Ishango di Afrika.pada tulang tersebut terdapat tiga kolom takik. Salah satu

kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik yang merupakan bilangan prima antara 10

sampai dengan 20.

Bilangan prima memiliki keistimewaan, yaitu tidak adanya pola yang mengatur

kemunculannya, bilangan prima nampak muncul secara acak.Masyarakat pertama yang

diketahui telah mempelajari bilangan prima secara lebih mendalam adalah para

matematikawan dari Yunani Kuno.

Bilangan prima terbesar tidak ada sebagaimana yang telah dibuktikan oleh Euclid

yang menyaakan bahwa bilangan prima berjumlah tak terhingga.Pencarian bilangan

prima terbesar biasanya dilakukan untuk tujuan kesenangan oleh para

matematikawan.Bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan penemuan dari

komputasi terdistribusi dari proyek Great Internet Mersenne Prime Search

(GIMPS).Bilangan prima terbesar saat ini merupakan bilangan prima yang ditemukan

pada 11 September 2006 yang memiliki panjang 9.808.358.Pencarian bilangan prima

terbesar masih terus dilakukan sampai saat ini.

Sejarah Matematika

39

Bilangan prima diaplikasikan pada komputer dalam hal pengkodean yang penting

dan rahasia seperti asuransi, pengkoden bank, perhitungan-perhitungan peluru kendali

dan security sistem dengan enskripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data

menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali

bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut.

Sejarah Matematika

40

SEJARAH

BILANGAN

SEMPURNA Pembelajaran bilangan sempurna menjadi bagian dari matematika, matematika murni

yang tidak dapat diterapkan dalam dunia nyata. Akan tetapi masih cukup banyak orang yang

belum mengetahui tentang bilangan sempurna.Dalam makalah ini kami akan menjelaskan

tentang pengertian, sejarah, dan tokoh-tokoh bilangan sempurna. Bilangan sempurna adalah

bilangan yang nilainya sama dengan jumlah nilai pembagi-pembaginya (kecuali pembagi

sebesar nilai bilangan itu sendiri). Euclid menemukan empat bilangan sempurna pertama.

Biarawan Marin Mersenne menemukan bilangan prima maersenne.Leonard Euler menemukan

teorema Euclid-Euler yang menemukan 47 prima mersenne,tapi tidak diketahui apakah ada

bilangan sempuna lainnya diantara bilangan yang ditemukan oleh tokoh – tokoh bilangan

sempurna Oleh karena itu bilangan sempurna dianggap menarik oleh matematikawan karena

sampai saat ini mereka belum dapat membuktikan angka sempurna ganjil meskipun mereka

mempunyai banyak bukti mengenai angka sempurna ganjil.Kita disini akan belajar tentang

pengertian, sejarah, tokoh penemu dalam bilangan sempurna .

Sejarah Matematika

41

A. Pengertian Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna adalah bilangan yang nilainya sama dengan jumlah nilai pembagi-

pembaginya (kecuali pembagi sebesar nilai bilangan itu sendiri). Pembagi itu sendiri maksudnya

pembagi (faktor) dari suatu bilangan selain dari itu sendiri. Dalam bahasa mamematikanya,

jika suatu pembagi (faktor) dari bilangan positif , atau , memenuhi , maka

adalah pembagi dari . Apabila jumlah semua pembagi dari sama dengan itu sendiri, maka

dikatakan sebagai bilangan sempurna. Sebagai contoh bilangan sempurna adalah 6. Bilangan 6

mempunyai faktor pembagi 1 , 2 , 3 , 6 karena apabila semua faktor pembagi dijumlahkan akan

didapatkan hasil 1 + 2 + 3 = 6 maka dari itulah 6 dianggap sebagai bilang sempurna. Karena itu

bisa dinyatakan bahwa, jika menyatakan jumlah semua pembagi (faktor) dari sebuah

bilangan positif , termasuk itu sendiri, maka bilangan sempurna jika dan hanya jika

atau

. Contoh bilangan Sempurna adalah 6 Bilangan pembagi dari 6 adalah

1, 2, 3, 6. Bila semua pembagi dari 6 dijumlahkan maka akan didapat 1+2+3+6 = 12. Separuh

dari 12 adalah

= 6. Contoh bilangan sempurna yang lain adalah bilangan pembagi dari 28

adalah 1, 2, 4, 7, 14 ,28. Total bilangan pembagi 1 + 2 + 4 + 7 14 + 28 = 56. Separuh dari 56

adalah

= 28.

B. Sejarah Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna dipelajari sejak zaman kuno.Meskipun tidak pasti,Mesir menemukan

bilangan sempurna seperti bagaimana metode perhitungan mereka bekerja, lihat misalnya [17] di

mana pembenaran rinci dari ide ini diberikan. Bilangan sempurna telah dipelajari oleh

Pythagoras dan para pengikutnya (500 – 300 SM). Mereka tertarik untuk mempelajari bilangan

sempurna karena dipercaya mempunyai kandungan mistik dan peramalan dengan angka

(numerology). Mereka memahami ide primalitas dalam bilangan serta tertarik dengan pengertian

bilangan sempurna. Sebelum mulai mempelajari sejarah dari studi angka sempurna, kita

mendefinisikan konsep-konsep yang terlibat. Definisi biasa dari sebuah angka sempurna

sekarang dalam hal pembagi, tetapi definisi yang awal dengan istilah 'aliquot’.

Sejarah Matematika

42

Aliquot adalah suatu hasil bagi sesuai angka tersebut. Jadi, misalnya, aliquot dari 10

adalah 1, 2 dan 5.Aliquot ini terjadi karena,

. Perhatikan bahwa 10

bukanlah aliquot 10 karena bukan merupakan hasil bagi yang tepat, artinya rasio yang berbeda

dari nomor itu sendiri. Sebuah angka sempurna didefinisikan sebagai salah satu yang sama

dengan jumlah bagian-bagiannya aliquotnya.

Empat angka sempurna 6, 28, 496 dan 8128 tampaknya telah dikenal sejak zaman kuno,

dan tidak ada catatan dari temuan ini.

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

C. Angka Pembagi dan Sempurna Bilangan

Dalam mempelajari perhitungan angka yang habis dibagi atau ada sisa saat dibagi..

Ditemukan beberapa angka membagi rata misalnya, 3 membagi rata 15. Yang dimaksud disini

adalah ketika anda membagi 15 dengan 3, anda mendapatkan seluruh angka sebagai hasilnya

tanpa ada sisa. 3 dikatakan menjadi pembagi dari 15 karena 3 membagi secara rata. Angka yang

hanya memiliki satu pembagi disebut angka pembagi. Dari uraian diatas orang dari Yunani kuno

terinspirasi untuk menunjukkan bahwa angka pembagi membagi rata angka yang dibagi.

Berdasarkan hasil penelitian orang yunani kuno angka dikategorikan menjadi tiga :

a. Jika jumlah dari pembagi kurang dari angka, jumlah ini disebut kekurangan

b. Jika jumlah dari pembagi lebih besar dari angka, jumlah ini disebut berlimpah

c. Jika jumlah dari pembagi persis sama dengan nomor, jumlah ini disebut sempurna

Dari penelitian orang yunani kuno dengan metode konstruksi yang menghasilkan semua

angka sempurna, ia mengatakan tentang angka sempurna ganjil. Sampai sekarang tidak ada yang

tahu apakah hal tersebut ada atau tidak. Matematikawan telah menguji semua angka ganjil

sampai satu triliun dan telah menunjukkan bahwa tidak satupun dari angka ganjil sempurna.

Meskipun banyak bukti yang cukup baik akan tetapi semua upaya untuk membuktikan bahwa

Sejarah Matematika

43

angka sempurna ganjil telah gagal. Ini salah satu misteri yang belum terpecahkan oleh para

matematikawan.

D. Tokoh – Tokoh Matematikawan Bilangan Sempurna

Euclid menemukan bahwa empat bilangan sempurna pertama dihasilkan oleh

, adalah bilangan prima.

Untuk = 2;

Untuk = 3;

Untuk = 5;

Untuk = 2;

Euclid mengungkapkan bila ( 2p – 1 ) dari rumus diatas adalah bilangan prima maka akan

didapat Angka Sempurna Genap.

Menyadari bahwa dalam setiap kasus adalah bilangan prima. Euclid membuktikan

bahwa adalah bilangan sempurna genap jika adalah bilangan prima.Supaya

menjadi prima, maka perlu bahwa itu sendiri adalah prima. Bilangan prima berbentuk

dikenal sebagai bilangan prima Mersenne, setelah ditemukan oleh biarawan Marin

Mersenne abad ke-17, yang belajar teori bilangan dan bilangan sempurna. Namun tidak semua

bilangan berbentuk dengan prima adalah bilangan prima. Pada kenyataannya, bilangan

prima Mersenne sangat jarang dari dari 78.498 bilangan prima dibawah 1.000.000,

yang merupakan bilangan prima hanya 33 dari 78.498 bilangan prima tersebut.

Lebih dari satu milenium setelah Euclid, Ibn al-Haytham (Alhazen) sekitar tahun 1000

Masehi menduga bahwa setiap bilangan sempurna genap berbentuk dimana

adalah bilangan prima, tetapi ia tidak dapat membuktikan hasil tersebut.Pada abad ke-18,

Leonhard Euler membuktikan bahwa rumus akan menghasilkan semua bilangan

Sejarah Matematika

44

genap dan bilangan prima Mersenne. Setiap bilangan prima Mersenne mengahasilkan suatu

bilangan sempurna, dan sebaliknya. Hal ini sering disebut sebagai teorema Euclid-Euler.Ada 47

bilangnan prima Mersenne dan karenanya 47 bilangan sempurna genanp dikenal. Yang terbesar

dengan 25.956.377

.

40 bilangan sempurna genap pertama adalah untuk 2, 3, 5, 7, 13, 17,

19, 31, 41, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213,

19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787,

1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917.

7 lainnya yang dikenal adalah untuk 20996011, 25964951, 30402457, 32582657,

37156667, 42643801 43112609. Tidak diketahui apakah ada bilangan sempurna lain di antara

bilangan tersebut. Hal ini masih belum pasti apakah ada bilangan prima Mersenne dan bilangan

sempurna tak terhingga. Karena setiap bilangan sempurna genap memiliki bentuk ,

itu adalah bilangan segitiga ke ( ) dan bilangan heksagonal ke- . Seperti semua

bilangan segitiga, yang merupakan penjumlahan dari semua bilangan asli sampai bilangan

tertentu, dalam hal ini . Setiap bilangan sempurna genap kecuali yang pertama adalah

bilangan nonagonal berpusat (

) juga penjumlahan dari

pangkat tiga ganjil yang

pertama.

Bilangan sempurna genap (kecuali 6) bersisa 1 ketika dibagi dengan 9. Hal ini dapat

dirumuskan sebagi berikut. Tambahkan angka pada sebarang bilangan sempurna genap (kecuali

6), kemudian tambahkan angka pada bilangan hasil, dan ulangi proses ini sampai satu digit.

Contoh:

Angka digital 8128 =1, karena 8+1+2+8=19, 1+9=10, dan 1+0= 1

Alasan bahwa akar digital ini tidak berlaku pada bilangan sempurna 6 adalah karena

hanya berlaku pada bilangan sempurna , dengan bilangan prima ganjil , bilangan

sempurna 6 dikaitkan dengan bilangna prima genap 2. Karena bentuk bilangan tersebut

, maka setiap bilangan sempurna genap dinyatakan dalam angka 1 sebanyak

diikuti oleh angka 0 sebanyak :

Sejarah Matematika

45

Semua bilangan sempurna genap memiliki bentuk yang sangat tepat, bilangan sempurna

ganjil sangat jarang, jika memang terdapat bilangan sempurna ganjil. Ada bilangan hasil pada

bilangan sempurna yang sebenarnya cukup mudah untuk membuktikan namun demikian dangkal

untuk menjelaskan, beberapa dari mereka juga berada di bawah hokum kuat Richard Guy pada

bilangan kecil.

Dari hokum Richard Guy didapat bahwa setiap bilangan sempurna adalah bilangan

harmonic Ore. Bilangan sempurna bukan merupakan bilangan trapesium, yaitu mereka tidak

dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua bilangan segitiga positif tidak berurutan. Hanya ada

tiga jenis bilangan non-trapesium. Bilangan sempurna genap, pangkat dari dua, dan kelas

bilangan terbentuk dari bilangan prima Fermat dengan cara yang mirip dengan bentuk bilangan

sempurna genap dari bilangan prima Mersenne.

Menurut definisi, bilangan sempurna adalah titik dari fungsi pembagi terbatas

, dan barisan aliquot dihubungkan denga bilangan sempurna adalah barisan konstan.

Dari pembahasan diatas, telah didapat banyak informasi tentang bilangan sempuran, antara

lain, definisi bilangan sempurna (perfect numbers) yaitu bilangan yang nilainya sama dengan

jumlah nilai pembagi-pembaginya (kecuali pembagi sebesar nilai bilangan itu sendiri). Pembagi

itu adalah pembagi (faktor) dari suatu bilangan .Jika suatu pembagi (faktor) dari bilangan

positif , atau , memenuhi , maka adalah pembagi dari . Apabila jumlah

semua pembagi dari sama dengan itu sendiri, maka dikatakan sebagai bilangan sempurna.

Euclid menemukan bahwa empat bilangan sempurna pertama dihasilkan oleh ,

adalah bilangan prima.Untuk p = 2 bilangan sempurnanya 6, untuk p = 3 bilangan sempurnanya

28, untuk p = 5 bilangan sempurnanya 496, sedangkan untuk p = 7 bilangan sempurnanya

8128.Bilangan sempurna 6, 28, 496, 8128 adalah Bilangan Sempurna Genap.

Sejarah Matematika

46

SENI DAN

MATEMATIKA

PERSPEKTIF

Sebagian besar orang beranggapan bahwa matematika selalu identik dengan angka dan

rumus serta tidak mempunyai hubungan dengan seni. Karena itu matematikawan selalu

dibayangkan sebagai seorang yang tidak mempunyai daya seni, atau pun seniman tidak

mengenal ilmu matematika. Jika dicermati, sebenarnya matematika memiliki berbagai bentuk

bangun-bangun yang indah, seperti segitiga, segi-n, bangun ruang, dan sebagainya. Akan tetapi

tidak banyak orang yang menyadarinya.

Berbeda hal nya dengan seni. Seni merupakan sesuatu yang menarik bagi sebagian besar manusia.

Bahkan dunia seni dipelajari hingga jenjang perguruan tinggi dan dapat dijadikan lapangan pekerjaan

yang menjanjikan. Misalnya saja sebagai pelukis, arsitek, dan sebagainya. Namun, bagaimana jika seni

dikaitkan dengan matematika. Pada bagian ini akan dibahas mengenai sejarah perkembangan seni

dan kaitannya dengan matematika perspektif

A. Pengertian Perspektif

Sejarah Matematika

47

Perspektif berasal dari bahasa Latin yaitu perspicere yang berarti untuk melihat

melalui. Perspektif dalam seni grafis seperti menggambar adalah representasi perkiraan, pada

permukaan datar (seperti kertas) dari suatu gambar seperti yang dilihat oleh mata. Dua fitur yang

paling memiliki karakteristik dari perspektif adalah obyek yang digambar lebih kecil karena

jarak dari pengamat meningkat. Serta foreshortened, yaitu ukuran sebuah objek dimensi

sepanjang garis pandang relative lebih pendek dari dimensi pada garis pandang.

Gambar 26.1. Gambaran perspektif

1. Jenis-Jenis Perspektif

Dari banyak jenis gambar perspektif, kategori yang paling umum dari perspektif buatan

adalah satu, dua dan tiga titik. Nama-nama kategori ini mengacu pada jumlah titik hilang dalam

gambar perspektif.

a) Satu Titik Perspektif

Salah satu titik hilang biasanya digunakan untuk jalan, kereta api, jalan setapak, atau

bangunan yang dilihat sehingga bagian depan langsung menghadap penonton. Objek yang

dibentuk oleh garis-garis sejajar langsung pada garis visual pemirsa atau langsung tegak lurus

dapat direpresentasikan sebagai titik perspektif. Perspektif satu titik ada ketika piring lukisan

(juga dikenal sebagai pesawat gambar) adalah sejajar dengan dua sumbu. Seluruh objek terdiri

dari unsur-unsur linier yang bersinggungan yang hanya pada sudut kanan. Jika satu sumbu

sejajar dengan bidang gambar, maka semua elemen baik sejajar dengan pelat lukisan (baik secara

horisontal maupun vertikal) atau tegak lurus. Semua elemen yang sejajar dengan pelat lukisan

digambar sebagai garis paralel. Semua elemen yang tegak lurus terhadap pelat lukisan

berkumpul di satu titik (titik hilang) di cakrawala.

Sejarah Matematika

48

Gambar 26.1. Perspektif satu titik hilang

b) Dua Titik Perspektif

Perspektif dua titik dapat digunakan untuk menggambar obyek yang sama sebagai salah

satu titik perspektif. Misalnya, melihat di sudut rumah, atau melihat dua jalan bercabang

menyusut ke kejauhan. Dapat di bayangkan satu titik mewakili satu set garis paralel, dan titik

lain mewakili yang lain. Melihat rumah dari suatu sudut, salah satu dinding akan mengecil

menuju satu titik hilang, dinding lain akan mengecil menuju titik hilang sebaliknya.

Perspektif dua titik ada ketika piring lukisan sejajar dengan sumbu cartesian dalam satu

poros (biasanya sumbu z) tetapi tidak untuk dua sumbu lainnya. Jika adegan yang dilihat hanya

terdiri dari sebuah silinder duduk pada bidang horisontal, tidak ada perbedaan dalam gambar dari

silinder antara satu titik dan dua titik perspektif.

Dua titik perspektif memiliki satu set garis paralel ke pesawat gambar dan dua set miring.

Garis sejajar dengan bidang miring gambar konvergen ke titik hilang, yang berarti bahwa ini

akan membutuhkan dua titik hilang.

Contoh perspektif dua titik

Sejarah Matematika

49

Gambar 26.3. Perspektif dua titik hilang

c) Tiga Titik Perspektif

Tiga titik perspektif biasanya digunakan untuk bangunan yang dilihat dari atas atau bawah.

Selain dua titik hilang dari sebelumnya untuk setiap satu dinding, sekarang ada satu lagi

bagaimana dinding-dinding hilang ke dalam tanah. Maka titik ketiga akan hilang di bawah tanah.

Melihat bangunan tinggi adalah contoh umum lainnya dari titik hilang ketiga. Kali ini titik hilang

ketiga adalah tinggi di langit.

Perspektif tiga titik ada ketika pandangan dari adegan di mana pesawat gambar Cartesian

tidak sejajar dengan salah satu dari tiga adegan di sumbu. Masing-masing dari tiga titik hilang

sesuai dengan salah satu dari tiga sumbu.

Gambar 26.4. Perspektif tiga titik hilang

d) Empat Titik Perspektif

Sejarah Matematika

50

Empat titik perspektif juga disebut titik perspektif tak terbatas, yaitu varian melengkung

dari dua sudut pandang. Hasil saat dibuat menjadi versi dari titik yang tak terbatas yaitu ketika

jumlah titik hilang melebihi jumlah minimum yang diperlukan, empat titik perspektif digambar

ke dalam panorama yang bisa masuk dalam 360 derajat dan seterusnya.

e) Nol Titik Perspektif

Sebagai titik hilang ada hanya ketika ada di tempat garis parallel. Titik nol perspektif

terjadi jika penampil sedang mengamati adegan nonlinier. Contoh yang paling umum dari sebuah

adegan nonlinier adalah pengaturan alam (misalnya gunung). Seringkali tidak berisi garis paralel.

Sebuah perspektif tanpa titik hilang dapat membuat seperti ada kedalaman yang jelas terlihat

dalam sebuah foto dari berbagai gunung, dimana gunung yang jauh memiliki skala yang lebih

kecil.

Gambar 26.5. Contoh perspektif nol titik

B. Sejarah Perspektif

Pada abad 13M dan 14M, sebelum ditemukan perspektif linier, seniman kadang-kadang

digunakan sesuatu yang disebut perspektif terbalik, di mana garis paralel melebar daripada

bertemu ketika mereka mendekati garis horizon. Salah satu aturan yang ditetapkan dalam buku

manual seniman awal adalah bahwa unsur-unsur di atas mata pengamat cenderung ke bawah

(seperti atap), sementara unsur-unsur di bawah mata pemirsa cenderung ke atas (seperti tabel).

Sementara garis miring ke atas dan ke bawah dapat membuat efek yang tidak biasa, ini

umumnya dianggap sebagai langkah signifikan dalam perkembangan menuju penerapan rasional

perspektif linier.

Pada jaman Renaissance dianggap ditemukannya pertama kali teori perspektif. Awalnya,

diyakini bahwa pandangan ini disebabkan oleh emisi dari sebuah "balok mata" aktif, tetapi

kemudian ditemukan menjadi penerimaan cahaya oleh mata. Dalam setiap kasus, metode

Sejarah Matematika

51

geometris yang digunakan untuk menggambarkan cara kita memandang tetap tidak berubah.

Mengabaikan masalah fisika dan berfokus pada geometri, teori perspektif untuk menjelaskan

bagaimana proyek tiga-dimensi objek menjadi dua-dimensi permukaan.

Upaya Awal Untuk Menggambarkan Dunia Nyata Di Seni

Galileo berbicara mengenai bukunya yang berjudul ”Mengenai Sistem Dunia Dua

Kepala” yang diterbitkan tahun 1632 yaitu mengenai ”anatomi kuliyah”. Gambar mewakili apa

yang telah dokter pelajari dari seniman Renaissance yang merepresentasikan berdasarkan

observasi yang cermat melalui anatomi yang mengungkap struktur tersembunyi yang mendasari

bentuk manusia.

Seniman dari Abad Pertengahan, kurang tertarik pada perspektif matematika, dan lebih

tertarik dalam agama, kebenaran rohani dari dunia. Saat itu orang Italia yang bernama Spert

Giotto mulai menggambar ruang nyata dan bentuk kekurangan teori perspektif yang membuat

pandangan itu dari Arezzo. Dengan teori matematika perspektif seniman mudah mencapai

sesuatu yang lebih baik.

Awal menuju realitas artistik yaitu pada abad ke-15. Salah satu awalnya adalah observasi

manusia oleh Masaccio. Dalam ”Pengusiran dari surga”, yaitu pada tahun 1427 di Florence yang

dapat dilihat dari observasi tersebut secara cermat mengenai anatomi manusia.

Gambar 26.6. Lukisan Pengusiran dari Surga

Masaccio menggambarkan struktur yang mendasari tulang dan otot superimposed, seperti halnya

lukisan dinding tentang ”Petrus Membaptiskan Neophytes”

Sejarah Matematika

52

Gambar 26.7. Lukisan ”Petrus Membaptiskan Neophytes”

Satu abad kemudian, seni dan anatomi dikombinasikan dalam karya Andres Vesalius, Dokter

Flemish yang bekerja pada ”Struktur Tubuh Manusia”. Ilustrasi yang dilakukan memberikan

catatan, grafis rinci tentang otot dan kerangka-kerangka tubuh manusia, dan kerangka manusia

itu tampak berlapis-lapis otot untuk mengungkapkan struktur tersembunyi di bawahnya.

Gambar 26.8. ilustrasi Struktur Tubug Indonesia

Seniman pertama yang melakukan pembedahan, yang sebenarnya untuk meningkatkan

pengetahuan anatomi yaitu Antonoi Pollaiuolo. Lukisan “Kemartiran St Sebastian”, karya

terakhirnya selesai pada tahun 1475.

Sejarah Matematika

53

Gambar 26.9. Lukisan ”Kemartiran St. Sebastian”

Dalam banyak cara yang sama, tetapi lebih menarik, Luca Signorelli menyelesaikan

serangkaian lukisan dinding di Orvieto antara tahun 1449 dan 1504. “Orang-orang terkutuk

dalam neraka” dan dalam “ Kebangkitan Orang Mati”, Signorelli tampaknya telah mengadopsi

posisi dan dibuat banyak tokoh, yaitu untuk menunjukkan keahliannya dalam manusia.

Pencapaian utama ini dibawa kesempurnaan oleh Michelangelo di Kapel Sistina seperti evolusi

langsung dari Signorelli di Orvieto.

Gambar 26.10. Lukisan ”Kebangkitan Orang Mati”

Pada akhirnya abad ke-15, Michelangelo dan Leonardo aktif mengajar pembedahan

anatomi untuk menyempurnakan pemahaman mereka tentang bentuk manusia. Seperti terlihat

pada gambar di bawah ini oleh Michelangelo dan dalam studi Leonardo.

anatomi oleh Michelangelo anatomi oleh Leonardo

Gambar 26.11. Anatomi oleh Michelangelo dan Leonardo

Sejarah Matematika

54

C. Tokoh tokoh dalam seni dan perspektif

matematika

1. Al-Haytham

Ini adalah al-Haytham sekitar 1000 setelah Masehi yang

memberi penjelasan pertama menunjukkan bahwa cahaya dipantulkan

dari sebuah obyek ke mata. Dia mempelajari ilmu visi lengkap disebut Perspektif, pada abad

pertengahan, dan meskipun dia tidak menerapkan ide-ide untuk lukisan, para seniman

Renaissance kemudian memanfaatkan penting optik al-Haytham's. Al-Haytham juga dikenal

sebagai Alhazen. Dia adalah seorang matematikawan Islam yang

menulis karya-karya awal pada optik serta geometri dan teori

bilangan.

2. Filippo Brunelleschi

Filippo Brunelleschi adalah seorang seniman Florentine

dan arsitek terkenal dalam kubah itu katedral Florence.

Brunelleschi berusaha untuk memahami geometri yang mendasari

perspektif.

Seniman renaisans yang telah jelas dicapai melalui pengamatan alam, termasuk studi

tentang anatomi bedah adalah sarana untuk membuat tiga dimensi realitas fisik dari bentuk

manusia dalam dua dimensi permukaan. Pada pemahaman ini, terletak struktur yang mendasari

tersembunyi nya dari tubuh manusia yang kemudian memungkinkan seniman untuk

menghasilkan representasi yang realistis dari apa yang ia lihat pada permukaan dinding datar

dalam kasus lukisan dinding atau pada kayu panel.

Jika para seniman di abad ke-15 telah belajar untuk menggambarkan dengan akurasi yang

setia bentuk manusia melalui pengamatan yang cermat dan diseksi anatomi, sebuah inspirasi

yang sama untuk mereka yang akan mencari kenyataan yang cocok dramatis dalam representasi

ruang fisik. Berarti A dirancang pada abad ke-15 awal untuk menerjemahkan tiga dimensi

realitas fenomena alam ke dalam dua dimensi permukaan yang menghasilkan salinan hampir

Sejarah Matematika

55

realistis. Sebuah korespondensi sehingga dimungkinkan melalui matematika antara seniman

representional realitas dan sifat realitas fisik.

Yang pertama untuk melakukan serangkaian percobaan optik yang menyebabkan teori

matematika perspektif adalah insinyur dan arsitek Filippo Brunelleschi di Florence.

Pencapaian paling luar biasa adalah mahkota kubah katedral yang luar biasa di Florence.

Gambar 26.11. Mahkota kubah

Sekarang, dengan versi 2 dimensi, hal itu mungkin untuk menganalisis struktur matematis

Brunelleschi. Terdapat kunci matematika tidak hanya pusat titik hilang yang dapat dilihat pada

grafik di bawah ini.

Titik hilang yang didefinisikan persis berlawanan dengan posisi permanen berdiri nya

Brunelleschi pada Baptistery, tetapi hal ini juga untuk menentukan garis horizon atau cakrawala.

Sejarah Matematika

56

Garis Horizon tidak hanya melalui pusat titik hilang, tetapi juga garis yang ditentukan

oleh dua ttitik hilang miring perspektif juga jatuh, yaitu garis yank mendefinisikan perspektif

Baptistery sendiri.

Yang jelas adalah deskripsi dari panel Manetti dibangun oleh Brunelleschi dilakukan

dengan perhitungan matematika yang cermat.

Setelah itu, hampir setiap seniman di Florence dan Italia menggunakan perspektif

geometri dalam lukisan mereka.

3. Leone Battista Alberti (1404 – 1472)

Alberti adalah seorang matematikawan Italia yang

menulis risalah umum pertama pada hukum-hukum

perspektif dan juga menulis sebuah buku tentang kriptografi

yang berisi contoh pertama dari tabel frekuensi. Bahkan ia

memberikan definisi dari sebuah lukisan yang menunjukkan

betapa penting menganggap gagasan tentang perspektif

menjadi:

Lukisan persimpangan dari piramida visual pada jarak tertentu, dengan pusat tetap dan

posisi didefinisikan cahaya, diwakili dengan seni dengan garis dan warna pada permukaan yang

diberikan. Orang pertama yang menulis penjelasan tentang aturan kerja perspektif yaitu Alberti

yang berada di Risalah tentang lukisan. Sekarang pada kenyataannya Alberti menulis dua risalah,

yang pertama ditulis dalam bahasa Latin pada 1435 dan berjudul De pictura sedangkan yang

kedua, yang didedikasikan untuk Brunelleschi, adalah sebuah karya Italia ditulis pada tahun

berikutnya berjudul Pittura Della. Tentu saja buku-buku ini tidak hanya pekerjaan yang sama

diterjemahkan ke dalam dua bahasa yang berbeda. Buku Latin jauh lebih teknis dan ditujukan

kepada cendekiawan sementara versi Italia ini ditujukan untuk khalayak umum. Pictura De

dibagi dalam tiga bagian, yang pertama memberikan gambaran perspektif matematika yang

Alberti menganggap perlu pemahaman yang tepat dari lukisan. Ini adalah Albert menulis:

Sejarah Matematika

57

sepenuhnya matematis, tentang akar di bangunlah alam dari yang ini seni yang anggun

dan mulia.

Alberti memberikan latar belakang pada prinsip-prinsip geometri, dan ilmu optik. Ia

kemudian mendirikan sebuah sistem segitiga antara mata dan obyek dilihat yang menentukan

piramida visual. Dia memberikan konsep yang tepat proporsionalitas yang menentukan ukuran

nyata dari suatu obyek dalam gambar relatif terhadap ukuran aktual dan jarak dari pengamat.

Salah satu contoh yang paling terkenal digunakan oleh Alberti dalam teks yang ada pada lantai

ditutupi dengan ubin persegi.

3. Piero della Francesca

Piero della Francesca adalah seorang seniman Italia yang

merintis penggunaan perspektif dalam seni Renaissance dan

melanjutkan menulis beberapa risalah matematika. Piero menulis

sebuah buku Pendek pada lima padat biasa. Namun, tiga

volumenya Risalah Dalam perspektif untuk lukisan (yang tertulis

pertengahan 1470-an, yang ditulis dalam 1460-an) Yang paling

menarik adalah bukunya diawali dengan deskripsi lukisan:

Lukisan memiliki tiga bagian utama, yaitu gambar, proporsi dan mewarnai. Menggambar

seperti memahami makna dan Garis-garis kontur yang terdapat dalam hal. Proporsi di katakan

Outlines dan kontur diposisikan dalam proporsi di tempat-tempat mereka. Mewarnai kita

maksudkan sebagai memberi warna seperti yang ditunjukkan pada hal-hal, terang dan gelap

menurut sebagai cahaya yang membuat berbeda-beda. Dari tiga bagian untuk hanya berurusan

dengan proporsi, yang di sebut perspektif, pencampuran dengan itu beberapa bagian dari gambar

tersebut, karena tanpa ini perspektif tidak bisa ditampilkan dalam tindakan; Mewarnai dan akan

membahas bagian yang dapat ditunjukkan dengan cara garis, sudut dan proporsi, titik berbicara,

garis, permukaan dan tubuh.

Seniman Matematika yag terkenal mengenai karya pada perspektif yang ditulis oleh para

seniman Renaissance Italia di tengah abad ke-15 yaitu Piero della Francesca. Dalam arti tertentu

ini tidak mengherankan karena juga menjadi salah satu seniman terkemuka di masa itu, ia juga

ahli matematika terkemuka menulis beberapa teks matematika dengan baik. Dalam d'Abaco

Trattatori yang dia tulis sekitar 1450, Piero mmpelajari materi aritmatika dan aljabar dan bagian

panjang pada geometri yang sangat tidak biasa untuk teks tersebut pada saat itu. Hal ini juga

Sejarah Matematika

58

berisi hasil matematika asli dalam sebuah buku yang ditulis dalam gaya teks mengajar (walaupun

dalam pendahuluan Piero tidak mengatakan bahwa Dia menulis buku itu atas permintaan

pelindung dan teman-temannya dan bukan sebagai buku sekolah). Apakah ada hubungannya

dengan Perspektif? Ya ada, untuk menggambarkan Piero teks dengan tokoh padat diagram

digambar dalam perspektif.

4. Euclid dari Alexandria sekitar 325 SM - 265 SM

Euclid adalah matematikawan Yunani yang terkenal karena

risalah tentang geometri: The Elements. This influenced the

development of Western mathematics for more than 2000 years. Hal

ini mempengaruhi perkembangan matematika Barat selama lebih

dari 2000 tahun.

5. Luca Pacioli (1445 – 1517)

Luca Pacioli adalah seorang matematikawan Italia yang

menerbitkan buku berpengaruh Suma pada tahun 1494 memberikan

ringkasan dari semua matematika yang dikenal pada waktu itu. Piero

della Francesca karya yang sangat diandalkan oleh Luca Pacioli

untuk publikasi sendiri. Bahkan buku ketiga dari Pacioli 's

proportione Divina adalah terjemahan Italia Piero 'buku Pendek

pada lima padat reguler dalam.

6. Leonardo da Vinci 1452 - 1519

Leonardo da Vinci adalah seorang seniman Italia dan sarjana

yang memiliki banyak bakat di samping lukisannya. Dia bekerja di

bidang mekanika, meskipun geometri adalah cinta utamanya. Dia

terlibat dalam hidrodinamika, anatomi, mekanika, matematika dan

optik. Tulisan Leonardo ditemukan yang mana dia menggemakan

teori yang tepat dari perspektif seperti diatur oleh Alberti dan Piero.

Dia menulis:

Sejarah Matematika

59

Perspektif adalah demonstrasi rasional oleh pengalaman yang menegaskan bahwa gambar

dari semua hal yang ditransmisikan ke mata dengan garis piramidal. Badan-badan dari ukuran

yang sama akan membuat piramida yang lebih besar atau lebih kecil di sudut mereka sesuai

dengan jarak yang berbeda antara satu dan lainnya oleh piramida garis yang berangkat dari tepi

dangkal badan dan bertemu lebih dari jarak yang akan ditarik bersama dalam satu titik.

Kontribusi lain dengan perspektif yang dibuat oleh Dürer dalam bukunya Treatise 1525 adalah

deskripsi berbagai alat bantu mekanik yang dapat digunakan untuk menggambar gambar dalam

perspektif yang benar.

7. Frederico Commandino (1506 – 1575)

Frederico Commandino adalah seorang matematikawan Italia

yang menerbitkan terjemahan penting dari karya matematikawan Yunani

Kuno. Dia pertimbangkan beberapa kontribusi lain untuk mempelajari

perspektif mengikuti lebih dari 200 tahun. Federico Commandino

membuat buku yang diterbitkan dalam Ptolemaei planisphaerium

commentarius pada tahun 1558. Dalam karya ini ia memberikan account

proyeksi stereografik Ptolemy, itu penting dalam perspektif. Commandino lebih tertarik pada

penggunaan perspektif dalam pembuatan tahap pemandangan terutama karena bunga utamanya

adalah klasik dalam teks dan tidak seperti risalah sebelumnya banyak dia menulis untuk

matematikawan daripada seniman.

D. Aplikasi Perspektif Di Seni Renaissance

Kasus Brunelleschi, tampaknya masuk akal bahwa ia menciptakan metode perspektif

untuk keperluan arsitektur, dia mengatakan akan berencana membuat rancangan untuk Gereja

Santo Spirito yang akan menghasilkan gambar perspektif untuk menunjukkan kepada orang-

orang dan perspektif itu akan terlihat setelah itu di bangun. Kita dapat melihat gambar tersebut

seperti berikut.

Sejarah Matematika

60

Gambar 26.13. Gereja Santo Spirito

Dari gambar diatas dapat terlihat jelas matematika perspektif terdapat seninya tetapi ini

hanya awal. Setahun kemudian, Masaccio menerapkan metode baru mengenai matematika

perspektif bahkan lebih spektakuler yaitu “Holy Trinity” dimana langit-langit berkubah barel di

kompleks penggunaanya matematika perspektif.

Gambar 26.14. Perspektif “holy trinity”

Geometri digunakan untuk merekontruksi volume dan akurasi diukur dari ruang 3

dimensi. Dan ini persis menggambarkan seperti gambar Brunelleschi yang dalam pikirannya

mampu menterjemahkan schemata langsung antara dua dan tiga dimensi

Dari pembahasan diatas, didapat banyak pengetahuan tentang perpektif, antara lain

pengertian perspektif yaitu representasi perkiraan, pada permukaan datar (seperti kertas) dari

suatu gambar seperti yang dilihat oleh mata serta memiliki dua fitur yang paling memiliki

karakteristik dari perspektif adalah obyek yang digambar lebih kecil karena jarak dari pengamat

meningkat. Serta foreshortened, yaitu ukuran sebuah objek dimensi sepanjang garis pandang

relative lebih pendek dari dimensi pada garis pandang.

Sejarah Matematika

61

Teori perspektif pertama kali ditemukan pada zaman Renaissance lalu untuk mempelajari

tentang perspektif lebih lanjut maka dilakukan kontruksi atau percobaan-percobaan oleh Leon

Battista Alberti dan seniman lainnya. Sebelum munculnya perspektif secara umum diterima

bahwa fungsi seni bukanlah representasi naturalistik, melainkan ekspresi kekuatan spiritual.

Seniman cenderung menggambarkan pentingnya ukuran.

Seorang seniman yang berupaya memperkenalkan seni pada awalnya dalam dunia nyata

adalah Spert Galileo pada tahun 1632 dan pada abad pertengahan seniman kurang tertarik pada

perspektif matematika, dan lebih tertarik dalam agama, kebenaran rohani dari dunia. Dan

akhirnya pada abad 15 para seniman tertarik pada seni, itu dibuktikan dengan observasi manusia

oleh Masaccio dalam ”Pengusiran dari surga”, yaitu pada tahun 1427 di Florence dan pada satu

abad kemudian, seni dan anatomi dikombinasikan secara dalam karya Andres Vesalius. Seorang

Seniman pertama yang melakukan pembedahan untuk meningkatkan pengetahuan anatomi yaitu

Antonoi Pollaiuolo lukisan “Kmartiran St Sebastian”. Dan seniman Michelangelo yaitu

melakukan evolusi langsung dari Signorelli di Orvieto dan Michelangelo melakukan

pembedahan anatomi. Dan pada akhirnya abad ke-15, Michelangelo dan Leonardo aktif

mengajar pembedahan anatomi untuk menyempurnakan pemahaman mereka tentang bentuk

manusia.

Sejarah Matematika

62

DAFTAR PUSTAKA

Abidin, Muhammad Zainal. 2010. Sejarah Perkembangan Matematika”. Sumber:

http://www.masbied.com/2010/06/04/sejarah-perkembangan-matematika/#more-3029

Diunduh 21 Oktober 2011.

Adit. 2008. “Aljabarnya Al-Khawarizmi”. Sumber: http://adit38.wordpress.com/2008/11/15/

aljabarnya-al-khwarizmi/ Diakses (22 September 2011)

Aguskristiyono. 2011. “Matematika Jaina”. Sumber:

http://matematikajainadanmayan.blogspot.com/2011/09/jaina-matematika.html. Diakses 24

September 2011

Al Hifni, Heriadi. 2011. ”Sejarah Matematika Bangsa Mesir”. Sumber : http://alhifnie.

wordpress.com/2011/05/22/sejarah-matematika-bangsa-mesir/. Diunduh tanggal 27

September 2011.

Ancient Egyptian Number Hieroglyphs . http://www.eyelid.co.uk/numbers.htm. Diakses tanggal

15 September 2011.

Ancient Egyptian Number Hieroglyphs. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_numerals.

Diakses tanggal 15 September 2011.

Andini. 2011. ”Sejarah Teori grup”. Sumber:

http://historyofmathematicsbyandini.blogspot.com/2011 /06/sejarah-teori-grup.html.

Diunduh tanggal 12 September 2011.

Anis Rumsari. 2011. Sejarah Bilangan Prima. Sumber:

http://anisrum.blogspot.com/2011/07/sejarah-bilangan-prima.html. Diunduh tanggal 4

November 2011.

Argana, Daud. 2011. ”Kalender Hijriyah”. Sumber :

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Hijriyah. Diunduh tanggal 18 November 2011.

Aria Turns. 2010. “Ruang Topologi”. Sumber:http://ariaturns.wordpress.com/2010/05/12/ruang-

topologi/. Diunduh 23 Oktober 2011

Baru, Era. 2011. “Siapakah Penemu Nilai Phi (π)?”. Sumber: http://erabaru.net/iptek/90-

komputer-a-internet/22266-siapakah-penemu-nilai-phi-. Diunduh tanggal 1 November 2011

Bria, Yuliana. 2011. “Pengertian Phi Dan Fakta Menarik Mengenai Phi”. Sumber: yulianabria.

blogspot.com/2011/06/pengertian-phi-dan-fakta-menarik.html. Diunduh tanggal 31 Oktober

2011

Burton, David M. 1988. “Sejarah Matematika-pengantar”. Dubuque, lova:Willim C. Brown.

Burton, David M., Elementary Number theory, 6th edition, McGraw Hill, 2007

Camp, Adsesns. 2011. “Sejarah Matematika Abad ke-7.” Sumber: http://makalah-

download.blogspot.com/2011/06/sejarah-matematika-abad-ke-7.html Diakses (22

September 2011)

Casson, Lionel. 1983. Mesir Kuno. Jakarta: Tira Pustaka.

Sejarah Matematika

63

Chris, C. K.2003. The Largest Known Prime by Year A Brief History.

http://www.utm.edu/research/primes/largest.html. Diunduh pada tanggal 15 November

2011.

Cohen, Bernard I . 1985. “Revolution In Science”. Cambridge: The Belknap Press of Harvard

University Press

Digests, Eric. 2010. ”Kalender Cina”. Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Cina.

Diunduh tanggal 9 November 2011.

Downey, Tika.2004. “ The History of Zero : Exploring Our Place Values Number System “.

Sumber : Books.google.co.id. Diakses tanggal 14 September 2011.

E Widodo, Cahyo. 2011. “Time Line Hystory of Mathematics”. Sumber : http://cahyoew.

blogspot.com/2011/06/normal-0-false-false-false-in-x-none-x.html. Diunduh tanggal 29

September 2011

Era. 2010. ”Cara jitu Menghitung Orang Mesir Kuno”. Sumber : http://erabaru.net/iptek/55-

iptek/13349-cara-jitu-menghitung-orang-mesir-kuno. Diunduh tanggal 27 September 2011.

Fakta Wow. 2010. ”Sejarah Sistem Waktu”. Sumber : http://www.faktawow.com/fakta/sejarah-

sistem-waktu. Diunduh tanggal 9 November 2011.

Galileo. 2011. Perspective . Sumber: http://www.mcm.edu/academic /galileo/ars/arshpers pectiva

.html. Diunduh tang gal 20 November 2011

Golding, William.2011. “Egyptian numerals”.

Sumber:http://www.enotes.com/topic/Egyptian_numerals.Diakses tanggal 15 September 2011.

Google. 2011. “Thall Sejarah Mekanika kuantum”. Sumber:

http://web.fccj.org/~ethall/quantum/quant.htm. Diakses 19 September 2011

Google. 2011. Teory perspective. Sumber: http://www.math.nus. edu.sg/aslaksen /project

/perspective/theory.html. Diunduh tanggal 23 November 2011

Goudsmit, Claiborne, Robert. 1981. Waktu. Jakarta: Tira Pustaka.

Guiness, grattan.1994. “ Companion encyclopedia of the history and philosophy of the

mathematical sciences (edited) “. New York : Routledge

Harjapamekas, R.S.2010. “Sekelumit Mitologi Yunani”. Mandar maju : Bandung.

Hazewinkel ,Michiel.2010. http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus. 11 September 2011.

Hazewinkel, Michiel. 2010. ”Sejarah Jam”. Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Jam.

Diunduh tanggal 9 November 2011.

Herusaptono. 2008. “sejarah Matematika Inca, Maya dan Astec”, sumber:

http://queenqolbu.wordpress.com/2009/03/18/sejarah-matematika/, Diakses tanggal 27

September 2011

Ismunamto, A. 2011. “Ensiklopedi Matematika”. Jakarta: PT Ikrar Mandiri Abadi.

Jimmy Walles. 2011. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_ constant%29.

Diunduh tanggal 6 November 2011

Sejarah Matematika

64

Jimmy Walles. 2011. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_ constant%29.

Diunduh tanggal 6 November 2011

Joseph, George Gheverghese. 1994. “The Crest of the Peacock: Non-European Roots of

Mathematics”. London: Penguin Books.

Joseph, George Gheverghese. Joseph, Gheverghese George. 1994. The Crest of the Peacock:

Non-European Roots of Mathematics. 1994:. The Crest dari Merak-Akar Non Eropa

Matematika. London: Penguin Books. London: Penguin Books.

Karmer, Samuel A. 1985. Tempat Lahir Peradaban. Jakarta: Tira Pustaka.

Klee, V. and Wagon, S., Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number

Theory, MAA, New York, 1991.

Kuriyama, Shigeshi. 1999. “The Expressiveness of the Body and the Divergence of Greek and

Chinese Medicine”. New York: Zone Books.

Kuriyama, Shigeshi. Kuriyama, Shigeshi. 1999. The Expressiveness of the Body and the

Divergence of Greek and Chinese Medicine . 1999. Ekspresif Tubuh dan Divergence

Yunani dan Kedokteran Cina. New York: Zone Books. New York: Buku Zone.

Lailiah. 2011. “Sejarah Matematika”. Sumber: http://blog.sunan ampel.ac.id/lailiah/2011/02/11.

Diakses tanggal 23 September 2011

Leplace.2007. “Artikel tentang angka India“. Sumber :

http://wwwhistory.msc.standrews.ac.uk/HistTopics/India_numerals.html. Diakses tanggal 14

September 2011

Lukman. 2011. ”Matematika Mesir”. Sumber : http://indopostingan.wordpress.com/2011/

01/18/matematika-mesir/. Diunduh tanggal 27 September 2011.

Mahardhikazifana. 2010. “Sejarah Peradaban Bangsa Aztec Inca dan Maya”, Sumber: http://mahardhikazifana.com/social-history-sosial-sejarah/sejarah-peradaban-bangsa-aztec-inca-

dan-maya.html. Diakses tanggal 26 Septemberr 2011.

Majalengka.blogspot.com. 2009. Sejarah Perkembangan Bilangan Prima.Sumber:http://rudyks3-

majalengka.blogspot.com/2009/01/sejarah-perkembangan-bilangan-prima-drs.html.

Diunduh tanggal 4 November 2011.

Maulanusantara. 2010. “Sejarah Matematika”. Sumber: http://maulanusantara.wordpress.com

/2010/06/12 / sejarah-matematika/. Diunduh tanggal 1 November 2011

Melville, Duncan J. 2003. Kalender Maya. Sumber :

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Maya. Diunduh tanggal 9 November 2011

Miftachul Hadi. “A Brief of Topology”. Sumber: http://www.fisikanet.lipi.go.id/

utama.cgi?cetakartikel&1119934986. Diunduh 23 Oktober 2011

O’Connor J J dan E F Robertson. 2002. “A History of the Burnside Problem”. Sumber:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Burnside_problem.html. Diunduh

tanggal 24 Oktober 2011.

Sejarah Matematika

65

O’Connor, J.J. and Robertson, E.F.2001.Prime Number. Sumber: http://www-history.mcs.st-

andrew.ac.uk/ history/Hist Topis/prime_numbers.html. Diunduh tanggal 10 Oktober 2011.

O'Connor, J and E F Robertson. 1996. ”The development of group theory”. Sumber :

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html. Diunduh

tanggal 12 September 2011

O'Connor, JJ. 1996. “Sejarah Mekanika kuantum”. Sumber: http://www-history.mcs.st-

andrews.ac.uk/HistTopics/The_Quantum_age_begins.html. Diakses 19 September 2011.

Octobi, dkk. 2003. ”Prinsip-Prinsip Kimia Modern”. Jakarta: Erlangga

Ore, Oystein, Number Theory and its History, Dover Publications Inc., New York, 1988.

Perdana, Arif. 2008. “Al-Khawarizmi, Penemu Algoritma.” Sumber:

http://rumahislam.com/tokoh/3-ilmuwan-muslim/72-al-khawarizm.html Diakses (22 September

2011)

Purcell, Edwin J, Dale Varberg . 2004. “Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1”. Jakarta: Penerbit

Erlangga

Purwanto, Agus. 2006. Fisika Kuantum. Yogyakarta: Gava Media

Putra, Fagiel Rachman Darmawan. 2011. ”Sejarah Himpunan Matematika”. Sumber:

http://rythem-fagiel.blogspot.com/ Diunduh 03 November 2011.

Rapar, Jan Hendrik. 2010. Kalender Saka. Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Kalender_Saka.

Diunduh tanggal 9 November 2011.

Renal. 2010. ”Ilmuwan Penting dalam Sejarah”. Sumber: http://renal-blogger.blogspot.com/

Diunduh 29 September 2011

Rijiwa. 2009. “Selayang Pandang Sejarah Matematika.” Sumber:

http://rijalwafiq.blogspot.com/2009/05/selayang-pandang-sejarah-matematika.html Diakses (23

September 2011)

Robert L. Ward. 2010. Sumber: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.e.html. Diunduh tanggal

28 Oktober 2011

Robert L. Ward. 2010. Sumber: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.e.html. Diunduh tanggal

28 Oktober 2011

Robertson, E.F. 2000. “India Numeral”. Sumber :

http://wwwhistory.mcs.standrews.ac.uk/HistTopics/India_numerals.html. Diakses tanggal 14

September 2011 pukul 18.30

RudyKS3 Majalengka, http://rudyks3-majalengka.blogspot.com/2009/01/sejarah-perkembangan-

bilangan-prima-drs.html 28/09/20101.

Ruslam. 2010. “Aljabar”. Sumber: http://slemgaul.wordpress.com Diakses (21 September 2011)

Samparadja, Hafiludin. 2010. “Tinjauan Konstanta Phi Sebagai Perbandingan Perimeter Dan

Diameter Dari Aspek Sejarah”. Sumber:

http://isjd.pdii.liphi.go.id/admin/jurnal/142073643.pdf. Diunduh tanggal 14 Oktober 2011

Sejarah Matematika

66

Sarton, George. 1966. “A history of science”. Cambridge: Harvard University Press

Sci.math, FAQS. Sumber: http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/primes; Diunduh tanggal 14

Oktober 2011.

Sen, S.N. 1971. Mathematics. In A Concise History of Science in India (Eds.) D. M. Bose, S. N.

Sen and B.V. Subbarayappa. New Delhi: Indian National Science Academy. Pp. 136-212.

Shan. 2010. “shuzhou Numerals”. Sumber: http://www.shandonghan.com/my_software/suzhou-

numerals-conv-tool.html . Diakses tanggal 30 September 2011

Starbird, Kay. 1986. Matematika Ria. Jakarta: Tira Pustaka.

Sukma Indar Kurniawan. 2008. “Definisi Topologi”. Sumber:http://kuzon.wordpress.com/2008/

05/25/definisi-topologi/. Diunduh 23 Oktober 2011

Wiemer, Michael. 2007. “Sejarah Singkat Mekanika Kuantum”. Sumber:

http://cvitae.org/images/stories151/history_of_quantum.pdf. Diakses 14 September 2011

Wikipedia. 2011. “Burnside’s Problem”. Sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem. Diunduh tanggal 24 Oktober 2011.

Wikipedia. 2011. “Mekanika Kuantum”. Sumber:

http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum. Diakses 14 September 2011

Wikipedia. 2011. “William Burnside”. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/William_Burnside.

Diunduh tanggal 24 Oktober 2011.

Wikipedia. 2011. ”History of Group Theory”. Sumber: http://en.wikipedia,org/wiki/history of

group theory. Diunduh tanggal 12 September 2011.

Wikipedia. 2011. Bilangan Prima. Sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima.

Diunduh tanggal 10 Oktober 2011.

Wikipedia. 2011. Matematics and art . Sumber: http:/www.en.wikipedia.org/wiki /Mathem atic

and art html. Diunduh tanggal 20 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e0.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e1.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e2.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e0.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e1.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

William Mueller. 2010. Sumber: http://www.wmueller.com/precalculus/e/e2.html. Diunduh

tanggal 13 November 2011

Sejarah Matematika

67

Wira. 2009. ”Mengenal Mesir Kuno dan Tulisan Hieroglif”. Sumber : http://blog.loksado.com/

mengenal-mesir-kuno-dan-tulisan-hieroglif. Diunduh tanggal 28 September 2011.

Yan, Song Y., Number Theory for Computing, 2ndedition, Springer,Berlin, 2002.

Zulaekhah. 2011. ”Sejarah Teori Himpunan”.

Sumber:http://zulaekhah09.blogspot.com/2011/06/sejarah-teori-himpunan.html Diunduh 29

September 2011.

---. ---. Mesir Kuno. Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno. Diunduh tanggal 28

September 2011.

----. 2011. “20th Century Mathematics”. Sumber: http://storyofmathematics.com/20th-Century-

of-Mathematics/. Diakses tanggal 9 November 2011

----. 2011. “Hipotesis Riemenn bagian III”. Sumber: http://pppkpetra.or.id/hipotesis-riemann-

bagian-iii.html. Diakses tanggal 5 November 2011

----. 2011. “Paradox Russel”. Sumber: http://ariaturns.wordpress.com/paradox-russel/. Diakses

tanggal 9 November 2011

----. 2011. ”Matematikawan Godel”. Sumber: http://www.mate-mati-

kaku.com/matematikawan/godel.html Diunduh 03 November 2011.

----. 2011. ”Phytagoras dan Mesir Kuno”. Sumber : http://ilmumatematika.com/pythagoras-dan-

mesir-kuno/. Diunduh tanggal 27 September 2011.

----. 2011. ”Tulisan Kuno (Sejarah Matematika Mesir)”. Sumber : http://www.kaskus.us/

showthread.php?t=8923243. Diunduh tanggal 27 September 2011.

----.2008. Perspective. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Perspective_graphical html.

Diunduh tanggal 23 No vember 2011

----.2011.“Paradox Tukang Cukur”. Sumber: http://deking.wordpress.com/paradox-tukang-

cukur/.Diakses tanggal 9 November 2011