Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a x a x a x bn n1 1 2 2+ + + =... ; a a an1 2, ,..., ∈ ℜ merupakan koefisien dari persamaaan dan x x xn1 2, ,..., merupakan peubah.

Beberapa persamaan linear bila kita kumpulkan akan membentuk sistem persamaan linear ( SPL ). Sehingga bentuk umum dari SPL dengan n peubah dan m persamaan linear diberikan :

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

...

...

.................................................

..................................................

.................................................

...

Contoh : 1. SPL dengan 2 peubah ( x1, x2 ) dan 2 persamaan :

2 3 5

01 2

1 2

x x

x x

− = −− − =

2. SPL dengan 3 peubah (x,y,z ) dan 2 persamaan :

x y x

x y

− + = −+ = −2 3 1

2 5

Dalam menentukan himpunan jawab ( solusi ) dari suatu SPL seperti yang sudah dikenal adalah menggunakan cara gabungan antara substitusi dan eliminasi. Namun hal ini hanya akan mudah untuk diterapkan pada SPL bilamana jumlah peubah dua atau tiga buah sedangkan bila jumlah peubah besar (n > 3 ) kita akan mengalami kesulitan karena terlalu memakan waktu dan ketelitian. Untuk itu dalam pembahasan ini akan dikenalkan suatu metode yang dikembangkan oleh Gauss dan Jordan.

Bila diberikan suatu SPL maka akan ada dua kemungkinan terhadap keberadaan solusinya, yaitu SPL tidak mempunyai solusi disebut SPL tidak konsisten dan SPL mempunyai solusi disebut SPL konsisten. Bila suatu SPL konsisten maka solusi dari SPL dibedakan lagi menjadi dua yaitu ada satu solusi ( solusi tunggal ) dan ada banyak solusi ( solusi tak hingga ).

Untuk menentukan solusi dari SPL kita lakukan dengan cara membentuk matriks yang diperluas / diperbesar ( augmented matrix ) dari SPL dan melakukan operasi baris elementer ( OBE ) pada matriks yang diperbesar tersebut. Dari bentuk umum SPL dengan n peubah dan m persamaan , dapat dituliskan dalam notasi matriks : A X = B, dengan :

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

A

a a a

a a a

a a a

X

x

x

x

B

b

b

b

n

n

m m mn n m

=

=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

. . .

. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . .

;.

.

.

;.

.

.

Matriks A berukuran m x n - mempunyai baris sebanyak m buah dan kolom sebanyak n buah dan banyak unsur / elemen sebanyak m x n buah - disebut matriks koefisien dari SPL, matriks X berukuran n x 1 dan matriks B berukuran m x 1. Perkalian matriks A dan X, yaitu AX dapat dilakukan karena banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks X.

Bentuk matriks yang diperbesar dari SPL merupakan gabungan dari matriks koefisien A dan matriks B, yaitu :

( )A B

a a a

a a a

a a a

b

b

b

n

n

m m mn m

=

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

. . .

. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . .

.

.

.

Elemen atau unsur dari matriks di atas ada yang mempunyai nomor baris dan nomor kolom sama disebut elemen / unsur diagonal.

Sedangkan cara melakukan OBE pada matriks di atas sebagai berikut : 1. Membuat semua unsur di bawah atau di atas elemen diagonal menjadi nol ( bila

mungkin ), caranya dengan menambahkan kelipatan suatu baris terhadap baris lain yang memuat unsur yang akan kita buat menjadi nol.

2. Membuat semua unsur diagonal menjadi satu bila unsur tersebut setelah dilakukan cara (a) tidak sama dengan nol, dengan membagi baris yang bersangkutan dengan nilai dari elemen diagonalnya. Sedangkan bila elemen diagonal sama dengan nol maka kita lihat elemen pada kolom selanjutnya pada baris yang sama. Misal nilai elemen tersebut tidak nol. Maka elemen ini yang kita buat menjadi satu. Demikian seterusnya kita lakukan sehingga kita dapatkan elemen paling kiri pada setiap baris menjadi satu. Elemen dengan besar satu ini biasa dinamakan satu utama.

Cara menentukan solusi SPL dengan melakukan OBE pada matriks yang

diperbesar di atas dikenal dengan cara Eliminasi Gauss Jordan. Dan bentuk matriks terakhir setelah dilakukan eliminasi Gauss Jordan disebut bentuk Eselon baris tereduksi. Contoh Tentukan solusi dari SPL berikut ( bila ada ).

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

1. 2 x + 3 y = -4 -x - y = 2 2. -3 x + y = 1 6 x - 2 y = -2 3. -3 x + y = 1 6 x - 2 y = 3 Jawab : 1. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :

− −− −

→

− −−

→

−−

→−

−

→

−

− +− +

−−

1 1 2

2 3 4

1 1 2

0 1 0

1 0 2

0 1 0

1 0 2

0 1 0

1 0 2

0 1 0

2 1 2

2 1

1

2

b bb b

bb

Kita lihat bahwa kolom satu merupakan koefisien peubah x dan kolom dua merupakan koefisien peubah y, sedangkan kolom tiga merupakan nilai dari masing-masing peubah yang bersesuaian. Jadi didapatkan x = -2 dan y = 0 merupakan solusi SPL dan karena hanya merupakan satu-satunya solusi SPL maka solusi tersebut merupakan solusi tunggal, artinya tidak ada solusi lain dari SPL tersebut.

2. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :

−

− −

→

−

→

+

−− −3 1 1

6 2 2

3 1 1

0 0 01

0 0 02

13

13

13

1 2

1

b b

b

Solusi SPL didapatkan dari : x y− =−1

31

3. Bila y dimisalkan t maka solusi SPL

dituliskan :

x

y

t

tt R

= −

∈3

13 ;

t disebut parameter dan solusi di atas disebut solusi parameter. Karena parameter t merupakan bilangan real ( -∞ < t < ∞ ) maka akan ada banyak solusi tergantung pemilihan t, sehingga solusi dari SPL merupakan solusi tak hingga.

3. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :

−

−

→

−

+

3 1 1

6 2 3

3 1 1

0 0 52 1 2b b

Dari baris kedua didapatkan : 0 x + 0 y = 5. Ini menunjukkan bahwa tidak ada x atau y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, SPL tidak mempunyai solusi.

Secara geometris, grafik persamaan linear merupakan garis dan terlihat pada

contoh (1) kedua garis berpotongan, contoh (2) kedua garis berimpit dan contoh (3) kedua garis sejajar. Contoh Gunakan eliminasi gauss jordan untuk mencari solusi SPL berikut.

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

2x + y - 2z - 2w = -2 x - y + 2z - w = -1 -x + 2y -4z + w = 1 3x - 3w = -3 Jawab : Matriks diperbesar dituliskan :

2 1 2 2 2

1 1 2 1 1

1 2 4 1 1

3 0 0 3 3

− − −− − −

− −− −

Untuk menghindari perhitungan bentuk pecahan maka bentuk matriks diperbesar di atas dapat diubah menjadi :

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2 4 1 1

3 0 0 3 3

− − −− − −

− −− −

Dengan melakukan didapatkan sebagai berikut :

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2 4 1 1

3 0 0 3 3

1 0 0 1 1

0 1 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

− − −− − −

− −− −

→

− −−

Solusi SPL didapatkan dari : x - w = -1 dan y - 2 z = 0. Bila diambil w = t dan z = s maka didapatkan solusi tak hingga sebagai berikut :

x

y

z

w

t

s

s

t

t s R

=

−

∈

1

2; ,

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 3 ) Tentukan solusi SPL berikut ( bila ada ) bila diberikan : 1 x - 2 y + z - 4 w = 1 x + 3 y + 7 z + 2 w = 2 x - 12 y - 11 z - 16 w = 5 2 10 y - 4 z + w = 1 x + 4 y - z + w = 2

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

3 x + 2 y + z + 2 w = 5 -2 x - 8 y + 2 z - 2 w = -4 x - 6 y + 3 z = 1 3 3x + 2y + 2z - 5w = 8 6x + 15y + 15z - 54w = 27

12x - 3y -3z + 24w = 21 4 Pilihlah nilai a, b dan c agar SPL berikut mempunyai solusi x = 1, y = -1 , z = 2. a x + b y - 3 z = -3 -2 x - b y + c z = -1 a x + 3 y - c z = -3 5 Tentukan nilai k yang memenuhi SPL berikut agar :

a. SPL tidak punya solusi b. SPL mempunyai solusi tunggal c. SPL mempunyai solusi tak hingga

x + 2 y - 3 z = 4 3 x - y + 5 z = 2 4 x + y + ( k2 - 14 ) z = k + 2

6 Diketahui matriks diperbesar dari suartu SPL berikut :

a b

a a

a b

0 2

4 4

0 2

Tentukan nilai a dan b agar : a. SPL tidak punya solusi b. SPL mempunyai solusi tunggal c. SPL mempunyai solusi dengan satu parameter d. SPL mempunyai solusi dengan dua parameter

7 Diketahui SPL :

x + z = 2 a x + y + z = 1 a x = b

Tentukan nilai a dan b agar SPL : a. Mempunyai solusi tunggal b. Mempunyai solusi tak hingga c. Tidak konsisten

8 Diketahui :

x + 2y + 3z = 4 2x - y + z = 3 -2x - ( a2 +1 ) z = a - 3

Tentukan : a). Nilai a agar SPL tak konsisten

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

b). Nilai a agar SPL mempunyai satu solusi c). Nilai a agar SPL mempunyai tak hingga solusi