A.A. B. Dinariyana

Jurusan Teknik Sistem PerkapalanFakultas Teknologi Kelautan ITS Surabaya

2013

A.A. B. Dinariyana

Jurusan Teknik Sistem PerkapalanFakultas Teknologi Kelautan ITS Surabaya

2013

Perhitungan-perhitungan di kapal pada umumnyadidasarkan pada bidang-bidang lengkung yang dibatasioleh: Sebuah garis datar sebagai basis

Dua buah ordinat yang ada kalanya bernilai o (nol)

Sebuah garis lengkung

2

Garis lengkungGaris lengkung

Ordinat Ordinat

Basis Basis

A B C D

Ordinat A & B = 0

Pendekatan yang dapat digunakan untukmenghitung luasan yang dibatasi bidanglengkung: Teknik analitis (analytical technique) yang

didasarkan pada metode aljabaroMetode integral EXACT ANSWER

Metode numerik (numerical method) yang didasarkan pada operasi aritmatikaoMetode Trapesium (trapezium rule)

oMetode Simpson (Simpsons rule)

3

Pendekatan integral

(estimating integral)

4

Berapakah luasan daerah yang

dibatasi olehb

a

ydx dimana y=f(x)?y = f(x)

dx

x

y

0 A B

C

D

xi xi+1

yi

yi+1Luasan dapat diwakilkan

oleh luasan sebuah trapesium

ABCD

b

a

ydx

5Luas trapesium ABCD

= AB(AC+BD)

Jika h = jarak AB

yi = nilai f(xi) adalah tinggi AC

yi+1 = nilai f(xi+1) adalah tinggi BD

Luas ABCD

= h(yi + yi+1)

y = f(x)

dx

x

y

0 A B

C

D

xi xi+1

yi

yi+1

6

Bagi luasan dibawah kurva y=f(x)Kedalam n bagian dengan lebar hDan tinggi yi pada titik xi

x

y

0 A B

C

D

x1 xn+1

y1

x2 x3 x4

y = f(x)

y2 y3 y4 yn+1h h h h h

Luas bidang lengkung I

= h(y1 + y2)Luas bidanglengkung II

= h(y2 + y3) Luas bidanglengkung ke-n

= h(yn + yn+1) Luas keseluruhan

= h(y1 + y2) + h(y2 + y3) + h(y3 + y4) + .. + h(yn + yn+1) = h[(y1 + y2) + (y2 + y3) + (y3 + y4) + .. + (yn + yn+1)]= h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1]

Area/luasan dibawah kurva diwakilkan oleh persamaany = f(x) sehingga trapezium rule:

h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1]7

b

a

ydx

x

y

0 A B

C

D

x1 xn+1

y1

x2 x3 x4

y = f(x)

y2 y3 y4 yn+1h h h h h

8

Untuk memudahkan perhitungan, trapezium rule dapat

diselesaikan dengan menggunakan tabel.

h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1] h[ y1 + y2 + y3 + + yn + yn+1]

b

a

ydx

Faktor Luas (FLt): , 1, 1, ,

No.

ordinat

Tinggi

ordinat (yi)

Faktor luas

(FLti)

yi x FLti

1

2

3

4

5

n

n+1

y1y2y3y4y5

ynyn=1

0,5

1

1

1

1

1

0,5

0,5y1y2y3y4y5

yn0,5yn+1

9

= .Luas trapesium (Lt) = khdimana k trapesium =1

No. Ordinat Tinggi Ordinat y (m)

0

1

2

3

4

5

6

7

2

2,8

3,4

4

3,2

2,6

1,2

0

10

Jika jarak antara masing-masing ordinat h adalah 2,4 m,

tentukan luasan bidang lengkung tersebut

No. Ordinat Tinggi Ordinat y

(m)

FLt Y x FLt

0

1

2

3

4

5

6

7

2

2,8

3,4

4

3,2

2,6

1,2

0

0,5

1

1

1

1

1

1

0,5

1,0

2,8

3,4

4,0

3,2

2,6

1,2

0,0

11

= 18,2Lt = kh= 1 x 2,4 x 18,2= 43,68 m2

1. Sebuah kapal memiliki Lwl 100 m. 1/2 ordinatlebar kapal pada Lwl diukur dari belakang kapaladalah:

0,6; 4,8; 7,6; 7,7; 7,3; 6,0; 3,6; 0

Hitunglah luasan waterplane dari kapal tersebutdengan menggunakan metode Trapezium.

2. Jika diantara dua ordinat pertama lebar kapaladalah 2,8 hitunglah luasan tersebut denganmetode Trapezium.

12

13

1 No. 1/2 ordinat FL 1/2 ordinat * FL

1 0.6 0.5 0.30

2 4.8 1 4.80

3 7.6 1 7.60

4 7.7 1 7.70

5 7.3 1 7.30

6 6.0 1 6.00

7 3.6 1 3.60

8 0.0 0.5 0.00

37.3

Luas water plane = 2 x k x h x 1065.71

14

2 No. 1/2 ordinat FL 1/2 ordinat * FL

1 0.6 0.25 0.15

1a 2.8 0.5 1.40

2 4.8 0.75 3.60

3 7.6 1 7.60

4 7.7 1 7.70

5 7.3 1 7.30

6 6.0 1 6.00

7 3.6 1 3.60

8 0.0 0.5 0.00

37.35Luas water plane = 2 x k x h x

1067.14

Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahui setengah lebar

garis air (ordinat) dari kapal ini berturut-turut dari belakang

(buritan) ke bagian depan (haluan) adalah sebagai berikut:

0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2 ; 0,2

Jika jarak antara tiga ordinat pertama dan tiga ordinat

terakhir adalah setengah dari jarak antar ordinat lainnya,

hitunglah luasan waterplane kapal tersebut dengan

menggunakan metode Trapezium.

15

Sebuah bangunan apung memilik data lebar kapalseperti terlihat pada gambar berikut. Denganmenggunakan Metode Trapezium, hitunglah luasan water line kapal tersebut. Perhitungan wajib dikerjakan dalam 1 buah tabel untuk memperlihatkan konversi Faktor Luasakibat adanya appendages dibagian depan dan belakangbangunan apung.

16

15 15 15 15 15

1198 4

2.57.5

2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2

17

Simpsons first rule menggunakan asumsi bahwa kurva merupakan

fungsi parabola orde dua: y = a0 + a1 x + a2 x2, dimanaNilai a0 , a1 , dan a2 adalah sebuah konstanta

y = a0 + a1 x + a2 x2

dx

x

y

0

y1

y3h h

x

y2

18

= 20

AreaDimana y = a0 + a1x + a2x2

= ( + 1 + 22)2

0

= 0 + 12

2 +233 0

2

Area

= 2a0h + 2a1h2 + 8/3 a2h3

y = a0 + a1 x + a2 x2

dx

x

y

0

y1

y3h h

x

y2

19

Asumsi luasan dibawah kurva

= Ay1 + By2 + Cy3Dengan mensubstitusikan nilai x = 0, h, 2h pada persamaan

y = a0 + a1x + a2x2Luasan daerah dibawah kurva

= Aa0 + B(a0 + a1h + a2h2) + C(a0 + 2a1h + 4a2h2)= a0 (A + B + C) + a1h (B + 2C) + a2h2 (B + 4C)

2a0h + 2a1h2 + 8/3 a2h3 = a0 (A + B + C) + a1h (B + 2C) + a2h2 (B + 4C)Koefisien dari perumusan diatas:

A + B + C = 2h; B + 2C = 2h, dan B + 4C = 8/3 hSehingga:

A = h/3, B = 4h/3, dan C = h/3 Area = h/3 (y1 + 4y2 + y3)Faktor Simpson (FS) = 1 4 1

20

No.

ordinat

Tinggi

ordinat (yi)

Faktor

Simpson (FS)

yi x FS

1

2

3

4

5

n-1

N

y1y2y3y4y5

yn-1yn

1

4

2

4

2

4

1

y14y22y34y42y5

4yn-1yn

=

Luas = 1/3h

Luas = h/3 (y1 + 4y2 + y3)

yo y1 y2

h h

y1 y2 y3

Sebuah kapal dengan Lpp 112,6 dan LWL 104% Lpp memiliki data lebarkapalnya sebagai berikut:

21

-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Station B/2

-2 0.50

-1 1.20

AP 2.20

1 3.15

2 4.25

3 5.30

4 6.50

5 7.40

6 7.90

7 8.20

8 8.39

9 8.39

10 8.39

10 8.39

11 8.39

12 8.39

13 8.15

14 7.70

15 7.00

16 5.90

17 4.35

18 2.75

19 1.20

FP 0.00

Station B/2

Hitung luasan garis air kapal ini dengan

Menggunakan metode Simpson I

22

Data:

Lpp 112.6

LWL 1.04 x Lpp

h Lpp/20

Station B/2 FS B/2 x FS

-2 0.50 0.4 0.20

-1 1.20 1.6 1.92

AP 2.20 1.4 3.08

1 3.15 4 12.60

2 4.25 2 8.50

3 5.30 4 21.20

4 6.50 2 13.00

5 7.40 4 29.60

6 7.90 2 15.80

7 8.20 4 32.80

8 8.39 2 16.78

9 8.39 4 33.56

10 8.39 2 16.78

10 8.39 2 16.78

11 8.39 4 33.56

12 8.39 2 16.78

13 8.15 4 32.60

14 7.70 2 15.40

15 7.00 4 28.00

16 5.90 2 11.80

17 4.35 4 17.40

18 2.75 2 5.50

19 1.20 4 4.80

FP 0.00 1 0.00

371.66

Station B/2 FS B/2 x FS

Area of waterplane 2 x (1/3) x h x 1394.964

23

Simpsons first rule menggunakan asumsi bahwa kurva merupakan

fungsi parabola orde dua: y = a0 + a1 x + a2 x2, dimanaNilai a0 , a1 , dan a2 adalah sebuah konstanta

Simpsons second rule menggunakan

asumsi bahwa kurva merupakan

fungsi parabola orde tiga:

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3dimana nilai a0 , a1 , a2 , dan a3adalah sebuah konstanta

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

dx

x

y

0

y1 y2 y3 y4

x

h h h

24

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

dx

x

y

0

y1 y2 y3 y4

x

h h h

Area = 30

= ( + 1 + 22 + 33)3

0

= 0 + 12

2 +233 +

234 03

= 30 + 92 12 + 923 +814 34

25

Asumsi luasan dibawah kurva

= Ay1 + By2 + Cy3 + Dy4

Dengan mensubstitusikan nilai x = 0, h, 2h, 3h pada persamaan

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

Luasan daerah dibawah kurva

= Aa0 + B(a0 + a1h + a2h2 + a3h3) + C(a0 + 2a1h + 4a2h2 + 8a3h3)+ D(a0 + 3a1h + 9a2h2 + 27a3h3)

= a0 (A + B + C + D) + a1h (B + 2C + 3D) + a2h2 (B + 4C + 9D) + a3h3 (B + 8C + 27D)

Koefisien dari perumusan diatas:

A + B + C + D = 3h B + 2C + 3D = 9/2 hB + 4C + 9D = 9 h B + 8C + 27D = 81/4 h

Sehingga:

A = 3/8h, B = 9/8h, C = 9/8h , dan D = 3/8h Area = 3/8h (y1 + 3y2 + 3y3 + y4)

= a0 (A + B + C + D) + a1h (B + 2C + 3D) + a2h2 (B + 4C + 9D) + a3h3 (B + 8C + 27D)

= 30 + 92 12 + 923 +814 34

26

Faktor Simpson (FS)1 3 3 1

27

Luas = h/3 (y1 + 3y2 + 3y3 + y4)

No.

ordinat

Tinggi

ordinat (yi)

Faktor

Simpson (FS)

yi x FS

1

2

3

4

5

n-1

n

y1y2y3y4Y5

yn-1yn

1

3

3

2

3

3

1

y13y23y32y43y5

3yn-1yn

=

Luas = 3/8h

y1 y2 y4

h h

y3

h

Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahui setengah lebar

garis air (ordinat) dari kapal ini berturut-turut dari belakang

(buritan) ke bagian depan (haluan) adalah sebagai berikut:

0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2 ; 0,2

Jika jarak antara tiga ordinat pertama dan tiga ordinat

terakhir adalah setengah dari jarak antar ordinat lainnya,

hitunglah luasan waterplane kapal tersebut dengan

menggunakan metode Simpson I.

28

Sebuah bangunan apung memilik data lebar kapalseperti terlihat pada gambar berikut. Denganmenggunakan Metode Simpson I, hitunglah luasan water line kapal tersebut. Perhitungan wajib dikerjakan dalam 1 buah tabel untuk memperlihatkan konversi FaktorSimpson akibat adanya appendages dibagian depan danbelakang bangunan apung.

29

15 15 15 15 15

1198 4

2.57.5

2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2

30

15 15 15 15 15

1198 4

2.57.5

2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2

Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahuisetengah lebar garis air (ordinat) dari kapal iniberturut-turut dari belakang (buritan) kebagian depan (haluan) adalah sebagaiberikut:

0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2

Hitunglah luasan waterplane kapal tersebutdengan menggunakan metode Simpson II.

31

Setengah luas waterplane memiliki ordinat setengah lebar

garis air yang berjarak masing-masing 9 m berturut-turut

dari belakang (buritan) ke bagian depan (haluan) adalah

sebagai berikut:

0,2 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 4,4 ; 0,2

Dengan kombinasi antara Metode Simpson I dan II,

hitunglah luasan waterplane kapal tersebut

32

Ship Stability for Masters and Mates, Fourth

Edition, Revised, D.R. Derrett, B-H Newnes,

1990

33