MODEL MATEMATIK SISTEM MODEL MATEMATIK SISTEM FISIKFISIK

PEMODELAN MATEMATIKPEMODELAN MATEMATIK

Model MatematikGambaran matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem.

Beberapa sistem dinamik seperti mekanika, listrik, panas, hidraulik, ekonomi, biologi dan sebagainya dapat dikarakteri-sasikan dengan persamaan differensial.

Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum fisika dari sistem yang dipelajari, misalnya: ◦ Hukum Newton untuk sistem mekanik◦ Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik

Problem Definition

Mathematical ModelTheory Data

Problem solving toolsComputer program & Interface

Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, tergantung pada sistem dan lingkungan sekelilingnya.Contoh dalam persoalan kontrol optimal lebih mudah untuk menggunakan perangkat persamaan differensial orde pertama.

Beberapa perangkat analitik dan komputer (metoda numerik) dapat digunakan dalam analisis sistem dan sintesis.

Dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis.

Kecepatan dan kehandalan komputer digital memungkinkan merumuskan model matematika yang lebih lengkap dan kompleks.

Harus dicari kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi eksperimental pada sistem fisik.

Physical Model Mathematical Model

Modeling Error

Mathematical Model Numerical Model

Discretization Error

Numerical Model Computer Model

Numerical Error

SISTEM LINIERSISTEM LINIERSistem Linier adalah suatu sistem yang mempunyai model

persamaan yang linier. Suatu persamaan differensial adalah linier jika koefisiennya

adalah konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya.

Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya.

Sistem linier parameter konstan (time invariant) dinyatakan oleh persamaan differensial linier parameter konstan.Misal: Sistem pegas.

Sistem linier parameter berubah (time-varying) dinyatakan oleh persamaan differensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu. Contoh: Sistem kendali pesawat ruang angkasa (masa pesawat berubah karena konsumsi bahan bakar dan gravitasi).

SISTEM NON-LINIERSISTEM NON-LINIER

Sistem non-linier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan non-linier.

Beberapa contoh persamaan non-linier:y = ex

y = sin xy = x2

z = x2 + y2

Persamaan differensial disebut non-linier jika tidak berlaku prinsip superposisi, contoh:

tsinAxdtdx

dt

xd

2

2

2

0122

2

xdtdx

)x(dt

xd

FUNGSI ALIHFUNGSI ALIH

Fungsi Alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dari transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol.

nnnn

mmmm

asa...sasa

bsb...sbsb)s(X)s(Y

)s(G

11

10

11

10

Fungsi alih merupakan sifat dari sistem itu sendiri untuk merelasikan masukan dengan keluaran.

Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem.

MasukanX(s) Fungsi Alih

G(s)

KeluaranY(s)

Sistem Translasi MekanikSistem Translasi Mekanik

Tinjau sistem pegas-massa daspot (menimbulkan gaya viskos atau redaman).

Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak.

Energi yang diserap daspot didisipasikan sebagai panas sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau potensial.

Gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan masa y(t) sebagai keluaran.

Kita akan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:◦ Menulis persamaan diferensial dari sistem◦ Mencari transformasi Laplace dari persamaan

diferensial, dengan mengganggap semua syarat awal nol.

◦ Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan ini adalah fungsi alih.

JawabJawab Hukum Newton untuk sistem translasi:

m.a = F dengan: m = massa (kg), a = percepatan (m/dtk2), F = gaya (N).

Terapkan hukum Newton pada sistem, kita peroleh:

xkydtdy

fdt

ydm

2

2

atau

xkydtdy

fdt

ydm

2

2

Transformasi Laplace tiap suku persamaan diperoleh:

)s(X)x(L

)s(kYkyL

)(y)s(sYfdtdy

fL

)(y)(sy)s(Ysmdt

ydmL

0

0022

2

Jika kita tentukan syarat awal sama dengan nol, maka y(0) = 0, dan maka transformasi Laplace diatas dapat ditulis:

(ms2 + fs + k)Y(s) = X(s)

Dengan mencari perbandingan Y(s) dan X(s), diperoleh:

00

)(y

kfsms)s(X)s(Y

)s(G

2

1

SoalSoal

Buatlah fungsi pindah dari sistem rotasi mekanik yang terdiri dari inersia beban dan peredam gerakan viskositas.

Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan:

J = Tdengan: J = momen inersia (kg-m2), = percepatan sudut (rad/dtk2), T = torsi (Nm).

Dengan menerapkan hukum Newton pada sistem diperoleh:

J’ + f = T Dengan menganggap torsi T sebagai masukan dan

kecepatan sudut adalah keluaran, maka fungsi alih adalah:

fJs)s(T)s(

)s(G

1

dimana:(s) = L[(t)]T(s) = L[T(t)]

Rangkaian R-L-CRangkaian R-L-CRangkaian RLC terdiri dari suatu induktansi L (henry), suatu tahanan R (ohm) dan suatu kapasitansi C (farad). Tentukan fungsi alih dari sistem ini.

ie dt iC

Ridtdi

L 1

oe dt iC1

Dengan menerapkan hukum Kirchhoff pada sistem kita peroleh:

)s(E I(s)s1

C)s(RI)s(LsI i

1

)s(E)s(IsC o11

Dengan mencari transformasi Laplace dan menganggap syarat awal nol, kita peroleh:

Jika ei dianggap sebagai masukan dan eo sebagai keluaran, maka fungsi alih dari sistem adalah:

1

12

RCsLCs)s(E

)s(E)s(G

i

o

IMPEDANSI KOMPLEKSIMPEDANSI KOMPLEKS

Dalam menurunkan fungsi alih rangkaian listrik, seringkali kita rasakan lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk transformasi Laplace secara langsung. (tanpa menulis persamaan differensialnya).

Z1

Z2ei eo

)s(Z)s(Z)s(Z

)s(E)s(E

i

o

21

2

CsZ , RLsZ 2

11

Fungsi alih dapat diperoleh langsung sebagai berikut:

1

11

1

2

RCsLCsCs

RLs

Cs)s(E)s(E

i

o

ELEMEN PASIF DAN AKTIFELEMEN PASIF DAN AKTIF

Elemen Pasif : jumlah energi yang diberikan tidak melebihi jumlah energi yang tersimpan dalam elemen.

Contoh: kapasitansi, tahanan, induktansi; massa, inersia, pegas.

Elemen Aktif : elemen fisik yang dapat memberikan energi eksternal ke dalam sistem.

Contoh : Penguat mempunyai catu daya dan memberikan daya kepada sistem, Gaya, Torsi atau kecepatan eksternal.

Analogi Gaya - TeganganAnalogi Gaya - TeganganTinjau sistem mekanik dan sistem listrik

p kxdtdx

fdt

xdm

2

Persamaan diferensial Sistem Mekanik:

Persamaan diferensial Sistem Listrik:

ie dt iC

Ridtdi

L 1

ie qCdt

dqR

dt

qdL

12

2

BESARAN-BESARAN KESEPADANBESARAN-BESARAN KESEPADAN

Besaran-besaran Sepadan dalam Analogi Gaya-Tegangan

Sistem Mekanik Sistem Listrik

Gaya p (Torsi T)Massa m (Inersia J)Koefisien gesekan viskos fKonstanta pegas kPerpindahan x (sudut )Kecepatan v (kecepatan sudut )

Tegangan eInduktansi LTahanan RKebalikan dari kapasitansi 1/CMuatan qArus i

SoalSoal

Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini

1

1

RCs)s(E)s(E

i

o

1

1

skf)s(X

)s(X

i

o

Soal 2Soal 2

Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini

1

RCsRCs

)s(E)s(E

i

o

1

skf

skf

)s(X)s(X

i

o

Analogi Gaya - ArusAnalogi Gaya - Arus Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem

listrik dan sistem mekanik adalah analogi gaya-arus.

Persamaan diferensial yang melukiskan sistem mekanik:

p kxdtdx

fdt

xdm

2

Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik:

iL + iR +iC = isL

Dengan:

Persamaan dapat ditulis:

dt eL

iL1

Re

iR dtde

CiC

idtde

CRe

dt eL

1

Fluksi magnetik gandeng dihubungkan dengan: edtd

Persamaan kemudian dapat ditulis:

i Ldt

dRdt

dC

112

2

BESARAN-BESARAN KESEPADANBESARAN-BESARAN KESEPADAN

Besaran-besaran Sepandan dalam Analogi Gaya Arus

Sistem Mekanik Sistem Listrik

Gaya p (Torsi T)Massa m (Inersia J)Koefisien gesekan viskos fKonstanta pegas kPerpindahan x (sudut )Kecepatan v (kecepatan sudut )

Arus iKapasitansci CKebalikan dari tahanan 1/RKebalikan dari induktansi 1/LFluksi magnetik gandeng Tegangan e

MOTOR SERVO HIDRAULIKMOTOR SERVO HIDRAULIK

Motor servo hidraulik merupakan penguat daya hidraulik dengan pengontrolan katup pandu dan aktuator.

Katup pandu adalah suatu katup imbang (semua gaya tekan yang bekerja padanya adalah setimbang).

Keluaran daya yang sangat besar dapat dikendalikan dengan katup pandu yang posisinya diatur dengan daya sangat kecil.

Operasi motor servo hidraulik adalah sbb.:

Jika tutup pandu digerakkan ke kanan maka lubang I dihubung-kan dengan lubang catu, dan minyak bertekanan masuk ke dalam ruang di sebelah kiri torak daya.

Karena lubang II dihubungkan dengan lubang kuras, maka minyak di sebelah kanan torak daya keluar kembali.

Minyak yang mengalir ke dalam silinder daya mempunyai tekanan yang tinggi, sedangkan minyak yang keluar dari silinder daya mempunyai tekanan yang rendah.

Beda tekanan yang dihasilkan pada kedua sisi torak akan menyebabkan torak bergerak ke kanan.

Minyak yang kembali ke saluran kuras ditekan dengan sebuah pompa kemudian di sirkulasikan lagi di dalam sistem.

Jika torak pandu digerakkan ke kiri, maka torak daya akan bergerak ke kiri.

Besaran-besaran:Q = laju aliran minyak ke silinder (kg/dtk).P = P2 – P1 = beda tekanan pada torak daya (N/m2).x = perpindahan katup pandu (m).

Q = f(x, P)Dengan linierisasi persamaan non-linier, kita peroleh:

)PP(K)xx(KQQ___

21

__PP,xxx

QK

1 __PP,xxP

QK

2

Kondisi kerja normal sistem ini adalah :sehingga persamaan menjadi :

Q = K1x – K2P

000 ___P ,x ,Q

Gambar menunjukkan hubungan antara Q, x dan P yang dilinierkan (kurva karakteristik motor servo hidraulik dilinierkan).

Kita peroleh :A dy = Q dt

laju aliran minyak Q (kg/dtk) dikali dt (dtk) sama dengan perpin-dahan torak dy (m) dikali luas torak A (m2) dikali rapat massa minyal (kg/m3).

Persamaan dapat ditulis:

Gaya yang dibangkitkan torak daya sama dengan beda tekanan dikali luas torak

)dtdy

AxK(K

P 12

1

dtdy

AxKKA

PA andibangkitk yangGaya

21

Gaya yang dibangkitkan torak daya dikenakan pada massa dan gesekan beban, sehingga diperoleh:

Dengan menganggap bahwa perpindahan x dari katup pandu (pilot-valve) adalah masukkan, dan perpindahan y dari torak daya adalah keluaran, maka fungsi alih motor servo hidraulik adalah:

xKAK

'y)KA

f("my

)'yAxK(KA

'fy"my

2

1

2

2

12

atau

)Ts(sK

KA

AKfK

sAKmK

s)s(X)s(Y

1

1

11

2

1

2

dengan:

2

11

2

1

AK f

mKT dan

KA

AKK f

K2

2

DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK

Suatu sistem kontrol terdiri dari beberapa komponen. Diagram blok suatu sistem adalah penyajian dari fungsi

yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Buat diagram blok rangkaian listrik dibawah ini

Persamaan untuk rangkaian adalah:

C

dt ie ,

Ree

i ooi

Transformasi Laplace dari persamaan dengan syarat awal nol:

R)s(E)s(E

)s(I oi

Persamaan menyatakan operasi penjumlahan, diagram bloknya dinyatakan dengan:

Persamaan keluaran:Cs

)s(I)s(Eo

Dengan merakit kedua elemen diatas, diperoleh diagram blok keseluruhan dari sistem

GRAFIK ALIRAN SINYALGRAFIK ALIRAN SINYAL

Diagram blok sangat berguna dalam menyajikan sistem kendali secara grafis, tetapi untuk sistem yang sangat kompleks, proses penyederhanaan diagram blok memerlukan waktu cukup lama.

Suatu pendekatan lain untuk mencari hubungan antara variabel sistem kontrol yang kompleks adalah pendekatan grafik aliran sinyal, yang dikembangkan oleh S.J. Mason.

Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan seperangkat persamaan diferensial linier simultan.

Untuk menggunakan metode grafik, kita harus mentransformasi-kan persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar dalam s.

Contoh: Gambarkan Grafik Aliran Sinyal dari Hukum Ohm E = R I dengan E adalah tegangan, I adalah arus dan R suatu tahanan.

I

R

E

SoalSoal

Gambarkanlah Grafik Aliran Sinyal dari rangkaian R1 dan R3 yang dipasang seri dibawah ini.

Jawab:

21

11

211

1111

vR

vR

vvR

i

132 iRv dan

31

3

1

2

RRR

vv

Soal 2Soal 2

Sistem mekanik terdiri atas dua buah pegas dengan konstanta pegas k1 dan k2 dan masa M1 dan M2, friksi f1 dan f2 dan pergeseran X1 dan X2 dan gaya F. Gambarkan Grafik Aliran Sinyalnya.

Jawab:(I) F + k1X2 = (M1s2 + f1s + k1) X1

(II) k1X1 = (M2s2 + f2s + k1 + k2) X2

Ambil: A M1s2 + f1s + k1 (I) (1/A)F + (k1/A)X2 = X1

B M2s2 + f2s + k1 + k2 (II) (k1/B)X1 = X2