BAB III

TRANSFORMASI LAPLACE

1. Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)

dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:

L {F(t)} = = f(s)

Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( )

maka

L{F(t)} =

=

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk

beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t),

G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf

kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan

seterusya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplace f(s) ada untuk setiap s >

III - 1

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa

fungsi sederhana.

Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)

1. 1 s > 0

2. T s > 0

3. t, s > 0

4. t

n = 0,1,2,3,….

, s > 0

5. e

s > 0

6. sin at s > 0

7. cos at s > 0

8. sinh at s >

9. cosh ats >

Contoh

Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:

1. F(t) = 1

L {F(t)} = L{1}

=

III - 2

=

=

=

=

2. F(t) = t

L{F(t)} = t dt

=

=

=

=

= o

=

3. F(t) = e

L{F(t)} =

=

=

III - 3

=

=

4. F(t) = sin at

L{F(t)} =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

5. F(t) = cos at

L{F(t)} =

III - 4

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang

berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplace-ny f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah

CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi

transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak

dipenuhi.

III - 5

3. Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya

adalah

1) Sifat linear

Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan F dan F adalah

fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing

dan , maka:

L{c +c } = c + c

Bukti:

L{c +c } =

=

=

=

Contoh

1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}

= 5 L{t} – 3 L{1}

= 5

=

2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}

= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}

III - 6

= 6

=

Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-

fungsi berikut ini.

a. F(t) = 2t2 e-t

b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t

c. F(t) = (sin t – cos t)2

d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t

e. F(t) = (2t + 2)3

f. F(t) = (sin t – 3)2

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a)

Bukti

Karena L{F(t)} = = f(s), maka

L{e =

=

= f(s-a)

Contoh:

1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s)

2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a)

3. Sifat translasi atau pergeseran kedua

III - 7

Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = maka

L{G(t)} = e

Bukti

L{G(t)} =

=

=

=

Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga

=

= e

= e

4. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =

Karena L{F(t)} = maka

L{F(at)} =

Misal u = at, du = a dt atau dt =

Sehinga L{F(at)} =

III - 8

=

=

=

5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)

Karena Karena L{F(t)} = = f(s), maka

L{F’(t)} =

=

=

= -F(0) + s F(t)dt

= sf(s) – F(0)

Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s

Bukti

L{F”(t)} =

=

= e

III - 9

=

=

= s

Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

L{F(t)} = f(s) maka

L{F = s

6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

7. Perkalian dengan t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t = (-1) = (-1)f

Bukti.

Karena f(s) = maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan

dibawah tanda integral, diperoleh:

= f’(s) =

=

=

= -

= -L{tF(t)}

III - 10

Jadi L{tF(t)} = -

8. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

Bukti:

Misal G(t) = maka F(t) = t G(t).

Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian,

maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - atau

f(s) = - .

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh

f(s) = - .

g(s) = -

=

Jadi L

III - 11