02 Metode Deformasi Konsisten

9/3/2013

1

K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4

2 Metode Deformasi Konsisten

Pengantar

Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.

Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).

9/3/2013

2

2D 3D

Persamaan Keseimbangan

0

0

0

x

y

z

F

F

M

0 0

0 0

0 0

x x

y y

z z

F M

F M

F M

Ketaktentuan Statis

Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturdikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).

Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.

A B

wMA

RAy RB

9/3/2013

3

Gaya Kelebihan

Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.

Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).

Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.

Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.

Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.

Prinsip Dasar

Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.

=

+

A B

wMA

RAy RB

A B

w

RAy0

MA0

AB

RBRAy1

MA1

MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1

9/3/2013

4

Prinsip Dasar

Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, diperlukan syarat kompatibilitas.

=

+

A B

wMA

RAy RB

w

RAy0

MA0

0

RBRAy1

MA11

B = 0 B = 0 + 1

0 + 1 = 0persamaankompatibilitas

Prinsip Dasar

Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.

Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.

Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.

9/3/2013

5

Ilustrasi Perhitungan

w

RAy0

MA0

0

2

0 0

4

0

;2

8

Ay AwLR wL M

wLEI

RBRAy1

MA11

1 1

3

1

;

3

Ay B A B

B

R R M R L

R LEI

Ilustrasi Perhitungan

Persamaan kompatibilitas:

Reaksi lainnya:

34

0 1 0 08 3

BR LwLEI EI

38BwLR

0 1

2 2

0 1

3 58 8

3 CCW2 8 8

Ay Ay Ay

A A A

wL wLR R R wL

wL wL wLM M M L

9/3/2013

6

Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan

Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.

Misalnya untuk struktur balok berikut:

Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:

A B

wC

A B

w MB

B C

wMB

A B

w

ΔBA0

Syarat kompatibilitas:

B C

w

ΔBC0

A B

MB

ΔBA1

B C

wMB

ΔBC1

0 0 1 1 0BA BC BA BC

Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!

9/3/2013

7

Penamaan Variabel

Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi. Perpindahan struktur primer akibat beban luar

dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama Δ0i.

Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama Δij.

w

RAy0

MA0

01

X1RAy1

MA111

Koefisien Fleksibilitas

Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.

Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama δij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).

δij disebut juga koefisien fleksibilitas.

9/3/2013

8


X1RAy1

MA111

1rAy1

mA1δ11

11 11 1

1 1 1

1 1 1

A A

Ay Ay

XM m XR r X


Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δijadalah:

Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:

00

0 0

;L L

i jii ij

m mM m dx dxEI EI

M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

dalam arah gaya kelebihan Xi.

01 11 10 11 10 0X

11 1 01X

9/3/2013

9


Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δij adalah:

00

1 1

;N N

ki kj kk ki ki ij

k kk k k k

s s LS s LE A E A

Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.ski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

dalam arah gaya kelebihan Xi.

Contoh 1

Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.

A B

wMA

RAy RB

A B

wX1

RAy RB

9/3/2013

10

Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.

01 11 1 0X

01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan

dalam arah X1.

A B

w

RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2

Δ01

A B1

rAy1 = –1/L rB1 = 1/L

δ11

m1

1+

M0

wL2/8

+Diagrammomen

Perpindahan struktur primer akibat beban luar:

1 111

0

1 13

3

L m m LdxEI EI

LEI

2

0 101

03

1 26 8

24

L M m L wLdxEI EI

wLEI

Koefisien fleksibilitas:


01 11 1 0X 3

1

2

1

024 3

8

wL L XEI EI

wLX

2

CCW8A

wLM

9/3/2013

11

Reaksi lainnya:

0 1 1

2

0 1 1

2

1 5 2 8 8

1 3 2 8 8

Ay Ay Ay

B B B

R R r X

wL wL wLL

R R r X

wL wL wLL

w

A B

3wL/85wL/8wL2/8

Contoh 2

Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.

Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I.

8 m

6 m

20 kN/m

A B

C

9/3/2013

12


Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).

20 kN/m

A B

CX1

Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:

01 11 1 0X

01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gaya

satu satuan dalam arah X1

Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:

+

(c) M0

160

(b) ri1

(d) m1

–

–

80 kN

80 kN

20 kN/m

(a) Ri0

0.75

0.75

1

1

6

6

9/3/2013

13

Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:

1 111

0

8 6 6 6 6 6 1683 3

L m m dxEI

EI EI EI

0 101

0

8 6 2 1606

2560

L M m dxEI EI

EI

Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)

Persamaankompatibilitas: 10 11 1 0X

1

1

2560 168 0

2560 15.24 kN 168

XEI EI

X

15.24 kN CxR

Reaksi lainnya:

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 15.24 15.24 kN

80 0.75 15.24 68.57 kN

80 0.75 15.24 91.43 kN

Ax Ax Ax

Ay Ay Ay

Cy Cy Cy

R R r X

R R r X

R R r X

+

(c) Momen lentur M [kN-m]

–

(a) Reaksi

–

(b) Gaya geser V [kN]

–

+

+ 20 kN/m

15.24 kN

91.43 kN

15.24 kN

68.57 kN

68.5715.24

91.43

117.55

91.43

9/3/2013

14

Contoh 3

Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.

Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.

1

2

3

4

5 6

7

6 m 6 m

E

9 mD

CA B

90 kN


Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C.

Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:

01 11 1 0X

01 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan vertikal titik C pada struktur primer akibat gaya


S1

REx

D

CA B

90 kN X1

REy

RA

S2

S3

S4

S5 S6

S7

9/3/2013

15

Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:

90 kN60 kN

90 kN

60 kN

–75–45

75

0

–90

0

0

1.33

1

1.33

0

11.33 1.33

–1.67

–1.67

0

0

Ri0 dan Si0 ri1 dan si1

Perhitungan deformasi:

Batang Li[m]

Si0[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]

1 7.5 –75 –1.67 937.5 20.83 –50.20

2 9 –45 0 0 0 –45

3 7.5 75 0 0 0 75

4 6 0 1.33 0 10.67 –19.84

5 4.5 –90 0 0 0 –90

6 7.5 0 –1.67 0 20.83 24.80

7 6 0 1.33 0 10.67 –19.84

937.5 63

01937.5

EA 11

63EA

9/3/2013

16


01 11 1 0X

1

1

937.5 63 0

14.88 kN

XEA EA

X

Reaksi lainnya:

0 1 1

0 1 1

0 1 1

60 1.33 14.88 40.16 kN

60 1.33 14.88 40.16 kN

90 1 14.88 75.12 kN

A A A

Ex Ex Ex

Ey Ey Ey

R R r X

R R r X

R R r X

Gaya-gaya batang:

0 1 1i i iS S s X

Hasil perhitungan dituliskan di kolom paling kanan pada tabel perhitungan di atas dan pada gambar di samping.

90 kN40.16 kN

40.16 kN

75.12 kN

14.88 kN

–50.20

24.80

–19.84–19.84

–9075

–45

Contoh 4

Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.

Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.

1

2

3 45

6

4 m

3 m

D

A B

80 kN

C30 kN

9/3/2013

17

Syarat kompatibilitas

Struktur primerSalah satu gaya batang dapat dipilih sebagai gayakelebihan, misalnya gaya batang 3. Batang 3 seolah-olah“diputus” di tengah dan dapat berpindah relatif terhadapsatu sama lain akibat beban luar dan akibat beban 1 satuandalam arah X1.

Total perpindahan antara kedua ujung batang 3 yang “diputus” harus sama dengan nol.

01 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban luar,11 = perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban


ReaksiReaksi dapat langsung dihitung menggunakan persamaan keseimbangan. Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu dalam derajat 1 (terdapatkelebihan 1 batang).

S1

X1

S2 S4S5

S6

D

A B

80 kN

C30 kN

X1

01 11 1 0X

Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:

30 kN

40 kN

–50

30

–40 0

Ri0 dan Si0

D

A B

80 kN

C30 kN

40 kN

30

1

ri1 dan si1

D

A B

C

1

–0.6

–0.6

–0.8 –0.81

9/3/2013

18

Perhitungan deformasi:

Batang Li[m]

Si0[kN] si1 Si0 si1 Li si1 si1 Li Si [kN]

1 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01

2 4 –40 –0.8 128 2.56 –50.65

3 5 0 1 0 5 13.31

4 5 –50 1 –250 5 –36.69

5 4 0 –0.8 0 2.56 –10.65

6 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01

–230 17.28

01230EA

1117.28

EA

Persamaan kompatibilitas:01 11 1 0X

1

1

230 17.28 0

13.31 kN tarik

XEA EA

X

Gaya-gaya batang lainnya:

0 1 1i i iS S s X

30 kN

40 kN 40 kN

–50

.65

22.01

–10

.65

4 m

3 m

D

A B

80 kN

C30 kN22.01

9/3/2013

19

Derajat Kestatistaktentuan > 1

Untuk struktur dengan derajat kestatistaktentuan > 1, diterapkan pola penyelesaian yang sama: Ubah menjadi struktur primer statis tertentu dengan sejumlah

gaya kelebihan. Tetapkan syarat kompatibilitas. Selesaikan persamaan kompatibilitas menggunakan nilai

perpindahan struktur primer akibat beban luar (Δ0i) dan koefisien fleksibilitas (δij) untuk memperoleh nilai gaya kelebihan.

Tentukan nilai reaksi lainnya.

Ilustrasi

w

A B

RAy

RAx

RB

MA

C

RC

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

1 = B = 0

struktur statistak tentu

struktur primerdan gaya kelebihan

syarat kompatibilitas 2 = C = 0

9/3/2013

20


RAy002

01

MA0

1

2111

mA1

rAy1

1

mA2 12

rAy2

22

Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan)


1 01 11 1 12 2

2 02 21 1 22 2

0 00 0

X XX X

Sekarang persamaan kompatibilitas dapat dituliskan dalambentuk matriks:

0111 12 1

0221 22 2

00

XX

atau dalam formula yang lebih umum:

0X

[] = matriks fleksibilitas yang berisikan koefisien fleksibilitas{X} = vektor gaya kelebihan yang nilainya belum diketahui{} = vektor perpindahan tumpuan yang umumnya bernilai nol,

kecuali jika terjadi perpindahan tumpuan{0} = vektor perpindahan struktur primer pada setiap arah gaya kelebihan

akibat beban luar

9/3/2013

21

Gaya kelebihan:

10X

Reaksi dan gaya dalam lainnya:

0 1 1 2 2

01

0 1 1 2 2

01

i i i i iN NN

i ik kk

i i i i iN NN

i ik kk

R R r X r X r X

R r X

S S s X s X s X

S s X

Teorema Betti-MaxwellJames C. Maxwell (1864)

Perpindahan suatu titik pada struktur (titik A) akibat beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik B) sama dengan perpindahan titik B akibat beban satuan yang bekerja di titik A.

Dengan kata lain: δij = δji

Implikasi: matriks fleksibilitas simetris.

9/3/2013

22

Prosedur Metode Deformasi Konsisten

Tentukan derajat kestatistaktentuan struktur. Pilih gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer

yang stabil. Tetapkan syarat kompatibilitas yang sesuai dengan gaya

kelebihan yang dipilih. Susun persamaan kompatibilitas dalam bentuk:

dengan menentukan nilai δij (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) dan Δ0i (perpindahan struktur primer akibat beban).

0X

Prosedur Metode Deformasi Konsisten

Selesaikan persamaan kompatibilitas untuk memperoleh nilai gaya kelebihan {X}.

Hitung reaksi dan gaya-gaya dalam lainnya:

10X

01

01

N

i i ik kkN

i i ik kk

R R r X

S S s X

0

0

R R r X

S S s X

9/3/2013

23

Contoh 5

Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur balok seperti tergambar.

Balok AB dan BC memiliki modulus elastisitas E, panjang L, dan inersia penampang I.

A B

w

C

Struktur primer dan gaya kelebihan:

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

Syarat kompatibilitas: 1 = B = 0 2 = C = 0


11 1 12 2 01

21 1 22 2 02

X XX X

Diagram momen akibat beban luar dan beban 1 satuanpada masing-masing arah gaya kelebihan:

– + +

2wL2

2wL

w

2wL2

M0

L 2L

11

11

m1 m2

L 2L

9/3/2013

24



31 1

110

31 2

120

32 2

220

13 3

2 21 56 6

2 2 21 83 3

L

L

L

L L Lm m LdxEI EI EI

L L L Lm m LdxEI EI EI

L L Lm m LdxEI EI EI

2 2 40 1

010

2 2 40 2

020

2 2 1.1251 176 24

2 2 2 2 0.51 26

L

L

L L wL wLM m wLdxEI EI EI

L L wL wLM m wLdxEI EI EI


Reaksi lainnya:

0X

0 1 2 1

0 1 2 2

2

2 1 1 32 132 2 11 228 28

AA A A

AA A A

RR r r XMM m m X

wL wL wLwL L L L

8 11 ; 7 28B CwL wLR R

213 ; CCW

28 14A AwL wLR M

3 41

2

11

2

2 5 175 16 486 24

2 5 175 16 484

16 5 17 3215 2 48 114 7 28

XL wLXEI EI

X wLX

wL wL

9/3/2013

25

Diagram gaya-gaya dalam:

A B C

87wL 11

28wL13

28wL

2

14wL

w

1328wL

1528wL

1728wL

1128wL

+ +

– –V

M

0.0714wL2

0.0364wL2

0.1071wL2

0.0772wL2

+ +

– –

Contoh 6

Tentukan reaksi dari struktur seperti tergambar.

Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas Edan inersia penampang I.

8 m

6 m

20 kN/m

A B

C

9/3/2013

26

Struktur primer dan gaya kelebihan:

20 kN/m

A B

C X1

X2 Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:

20 kN/m

A B

C

80 kN

80 kN

Ri0

160 kN-m

M0

Misalnya reaksi horizontal dan momen di Bdipilih sebagai gaya kelebihan.

A B

C

0.75

ri1

0.75

1

1

m1

–

–

6

6

A B

C

0.125

ri2

0.1251

m2

+

+

1

1

9/3/2013

27


1 111

0

1 212

0

2 222

0

8 6 6 6 6 6 1683 3

8 6 1 6 6 1 343 2

8 1 1 6 1 1 263 3

L

L

L

m m dxEI EI EI EI

m m dxEI EI EI EI

m m dxEI EI EI EI


0 101

0

0 202

0

8 6 2 160 25606

8 1 2 160 12806 3

L

L

M m dxEI EI EI

M m dxEI EI EI


1

2

1

2

504 102 76801 1102 26 12803 3

25.6CCW51.2

Cx

C

XXEI EI

RXMX

0 1 0 25.625.6

80 0.75 0.125 67.251.2

80 0.75 0.125 92.8

Ax

Ay

Cy

RRR

Reaksi lainnya:

20 kN/m

A B

C

67.2 kN

92.8 kN51.2 kN-m

25.6 kN

25.6 kN

9/3/2013

28

Contoh 7

Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari struktur rangka batang seperti tergambar.

Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.

1

2

3 45

6

4 m

3 m

D

A B

80 kN

C30 kN

Struktur primer dan gaya kelebihanSatu reaksi dan satu gaya batang harus dipilih sebagaigaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di B dan gayabatang 3, seperti tergambar.

S1

X1

S2 S4S5

S6

D

AB

80 kN

C30 kN

X1

X2 Reaksi dan gaya-gaya batang pada

struktur primer:

30 kN

40 kN

–50

30

–40 0

Ri0 dan Si0

D

A B

80 kN

C30 kN

40 kN

30

1 1

ri1 dan si1

1

1

ri2 dan si2

D

A B

C

1

–0.6

–0.6

–0.8 –0.81

9/3/2013

29

Perhitungan koefisien fleksibilitas dan perpindahan struktur primer:

# L[m]

S0[kN] s1 s2 s1s1L s1s2L s2s2L S0s1L S0s2L

S[kN]

1 3 30 –0.6 1 1.08 –1.8 3 –54 90 0

2 4 –40 –0.8 0 2.56 0 0 128 0 –48.69

3 5 0 1 0 5 0 0 0 0 10.86

4 5 –50 1 0 5 0 0 –250 0 –39.14

5 4 0 –0.8 0 2.56 0 0 0 0 –8.69

6 3 30 –0.6 0 1.08 0 0 –54 0 23.48

17.28 –1.8 3 –230 90

11 12 22 01 02

Persamaan kompatibilitas: 0

1

2

11

2

17.28 1.8 0 2301 11.8 3 0 90

17.28 1.8 2301.8 3 90

10.8623.48

X

XXEA EA

XX

3 10.86 kN tarik

23.48 kNBx

S

R

Reaksi dan gaya batang lainnya:

10 1 2

2

10 1 2

2

i i i i

i i i i

XR R r r

X

XS S s s

X

9/3/2013

30

Pengaruh Perpindahan Tumpuan

Berbeda dengan struktur statis tertentu, perpindahan tumpuan pada struktur statis tak tentu akan menimbulkan gaya-gaya dalam pada struktur.

Dalam struktur yang sebenarnya, perpindahan tumpuan ini dapat diakibatkan oleh penurunan tanah atau pondasi, kesalahan pengukuran pada saat konstruksi, perubahan ukuran material akibat perubahan suhu, susut dan rangkak pada beton, kesalahan fabrikasi, atau sebab-sebab lainnya.

Pengaruh Perpindahan Tumpuan

Pada metode fleksibilitas, perpindahan tumpuan ini dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah nilai perpindahan pada persamaan kompatibilitas.

Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi: Perpindahan pada arah yang dipilih sebagai gaya kelebihan. Perpindahan tumpuan struktur primer (yang tidak dipilih

sebagai gaya kelebihan).

9/3/2013

31

Perpindahan pada arahyang dipilih sebagai gaya kelebihan

02 21 1 22 2 1X X

0111 12 1

0221 22 2

01

XX

w

A BC

C = 1Tumpuan C mengalamipenurunan sebesar1 satuan.

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.

Syarat kompatibilitas di tumpuan C :

sehingga persamaankompatibilitas menjadi:

Perpindahan tumpuan struktur primer

A B C

w Tumpuan A mengalamiputaran sebesar 0.1 radsearah putaran jarum jam.

w

A B

X1 = RB

C

X2 = RC

2s = –0.2L1s = –0.1L

Struktur primer dan gayakelebihan yang dipilih.

01 10

02 2

s

s

0111 12 1

0221 22 2

0.100.20

LXLX

Perpindahan dalam arah masing-masing gaya kelebihan akibat perpindahan struktur primer.

9/3/2013

32

Contoh 8

Tentukan reaksi pada struktur balok seperti tergambar apabila tumpuan B mengalami perpindahan vertikal sebesar 1 satuan (ke arah atas).

1

A

B

Struktur primer dan gaya kelebihan

X1

X2

Koefisien fleksibilitas

11

L

+L

1

+1

1

3 2

11 12

22

1;

3 3 2 21 1

L L L L LL LEI EI EI EI

L LEI EI

9/3/2013

33

Persamaan kompatibilitas

Reaksi lainnya

21

2

1 02 30 06 3 6

XL LLXEI L

122 3

2

6 3 1 126 13 2 0 63

X LEI EIX L L LL L L

3

3

0 1 0 120 1 6

126

Ay

A

R EIM L LL

EILL

1

312EI

L

312EI

L

26EIL

26EIL

Contoh 9

Tentukan reaksi pada struktur seperti tergambar, jika tumpuan A mengalami putaran sebesar 1 satuan searah putaran jarum jam.

Gunakan struktur primer dan matriks fleksibilitas dari Contoh 8.

1

AB

9/3/2013

34

Perpindahan tumpuan struktur primer

Persamaan kompatibilitas

L

1

21

2

0 02 30 0 16 3 6

X LL LLXEI L

12 22 3

2

6 3 66 13 2 1 23

X L L LEI EIX L L LL L L

Reaksi lainnya

23

23

0 1 0 60 1 2

64

Ay

A

R LEIM L LL

LEILL

1

AB

26EIL

26EIL

2EIL

4EIL

02 Metode Deformasi Konsisten

Documents

Transcript of 02 Metode Deformasi Konsisten