01 intro taylor_series

Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

Metode Numerik & Teknik Komputasi

Muhtadin, ST. MT.


• Intro

– Rencana Pembelajaran

– Ketentuan Penilaian

• Deret Taylor & McLaurin

• Analisis Galat

Agenda

2


Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro

3


Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa.

Kompetensi : Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode

numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik.

Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan algoritma-algoritma dalam menyelesaikan persoalan sorting, searching, dan optimasi.

4

Tujuan Pembelajaran


Pokok Bahasan

Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi.

Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier.

Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi.

Turunan dan integrasi numerik.

Penyelesaian persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial.

Optimasi numerik.

Tipe-tipe struktur data.

Algoritma divide and conquer.

Algoritma greedy.

Dynamic programming.

5


Pustaka Utama : 1. Munir R., “Metode Numerik”, Informatika Bandung, 2005

2. Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C., “Introduction to Algorithms”, 2nd Edition, Mc Graw Hill international Edition, 2004.

Prasyarat :

Pemrograman Komputer dan Kalkulus I.

6


Perlu belajar metode numerik ?

• Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu melibatkan “MODEL MATEMATIKA“

• Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks

– Sulit untuk dipecahkan

– Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan metode analitis untuk menghasilkan “Hasil Exact“.

• Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model matematis menggunakan aljabar umum

7


Contoh

8

....!4!3!2

1432

xxx

xex

7239874.32.3

1007.01.898.7454376

153.922189651.3

1191.76.61.24.62.34.4

12236785.4321.1

432781639.0

181005.58.4121232.1

gfedcba

gfedcba

gfedcba

gfedcba

gfedcba

gfedcba

gfedcb


Metode Numerik menggunakan Komputer

• Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun memerlukan proses panjang

– Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan terhadap human errors.

• Perlu menggunakan Mesin Komputer.

• Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc. Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc.

9


Teorema Pendekatan

Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran / pendekatan – Biasanya dalam bentuk polinomial

Perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati)

Perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan)

Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relatif

– Kesalahan Absolut : Ee = p – p*

– Kesalahan Relatif : ε = (Ea / p) x 100%


Contoh Soal

Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif :

Jawab :

Kesalahan absolut : – Jembatan = 1 cm.

– Pensil = 1 cm.

Kesalahan relatif : – Jembatan = 0.01 %

– Pensil = 10 %

11


Deret Taylor & McLaurin

12


Overview

– Polynomial

– Deret Taylor

– Deret MacLaurin

13


Deret Taylor

• Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial error.

• Jika x0 = 0 Deret MacLaurin.

14

Jika f dan semua fungsi turunannya (f’, f’’, f’’’,…) kontinyu pada interval [a, b], maka f(x) dapat diperluas dalam deret Taylor :

Definisi :

...)(!

)(...)(''

!2

)()('

!1

)()()( 0

)(00

2

00

00

xf

m

xxxf

xxxf

xxxfxf m

m


• Pendekatan f(x) = sin(x) menggunakan deret taylor disekitar x0 = 1. Dengan asumsi x – 1 = h;

• Pendekatan sin(x), ex, cos(x) menggunakan Deret McLaurin.

15

...)1cos(6

)1sin(2

)1cos()1sin()sin(32

hh

hx

...!6!4!2

1)cos(

...!4!3!2

1

...!5!3

)sin(

642

432

53

xxxx

xxxxe

xxxx

x


Contoh Deret Taylor

• Cari Deret Taylor dari fungsi f(x) = sin(x) dengan titik pusat pada x = 0!

16


• Deret Taylornya

• Polinomial Taylor

17


Contoh Deret Taylor

Contoh soal

Hitung sin 5 menggunakan deret taylor

Jawab :

Sin x =

Karena 360 = 2rad, maka 1 rad = 180/ = 57,295

Jadi 5= 5 / 57,295 = 0,087266

Masukkan kedalam deret tailor sinus.

18


Contoh Deret Taylor

19


Contoh Deret Taylor

• Deret Taylornya :

• Polinomial Taylor

20


Contoh Deret Taylor

21


Deret Taylor yang Terpotong

• Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor – Tak berhingga !

• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga;

• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

22


Deret Taylor yang Terpotong

Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret Taylor

23

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

2

00000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn


Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

• Temukan deret taylor hingga order 3 dari fungsi berikut ini :

• Dengan titik pusat pada

24

)2cos()( xxf

40

x



• Untuk pendekatan hingga order 3 :

• Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan turunan fungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat.

25

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(

3

00

2

00

000

xxxf

xxxf

xxxfxfxf



26

82

sin84

)2sin(8)(

02

cos44

)2cos(4)(

22

sin24

)2sin(2)(

02

cos4

)2cos()(

fxxf

fxxf

fxxf

fxxf



27

!3

48

!2

40

420)(

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(

32

3

00

2

00

000

xx

xxf

xxxf

xxxf

xxxfxfxf

3

43

4

42)(

xxxf


• Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10𝑥2 + 5,

– Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1= 5 berdasarkan fungsi pada titik xi =0.

– Bandingkan dengan nilai eksak untuk x = 5

– Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya?

28

Quiz


TERIMA KASIH

29

01 intro taylor_series

Engineering

Transcript of 01 intro taylor_series