elsa033.files.wordpress.com · Web viewKarenanya model matematika yang akan digunakan untuk...

PROYEKSI PENDUDUK PROVINSI MALUKU DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK PADA

BEBERAPA TAHUN MENDATANG

[untuk memenuhi tugas mata kuliah Pemodelan]

Disusun oleh:1. CAROLINA LAISINA2. ELSA M. TAHALEA3. FRISKA NAHUWAY4. JANEYSIA SILOOY5. LIANA SOLISA6. SATRINA

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PATTIMURAAMBON2014

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pertumbuhan penduduk suatu daerah merupakan hal penting karena dapat mempengaruhi

kemajuan dan kemakmuran daerah tersebut. Tingkat pertumbuhan penduduk yang terlalu

tinggi akan sangat beresiko menimbulkan berbagai masalah pada daerah tersebut, seperti

tingkat pengangguran yang tinggi, kemiskinan, dan kelaparan. Namun disisi lain, dampak-

dampak negatif di atas dapat dikurangi jika kita mampu mempersiapkan sarana yang cukup

untuk mengantisipasi hal tersebut. Menurut Khakim (2010), faktor-faktor yang mempengaruhi

pertumbuhan penduduk antara lain: kelahiran (natalitas), kematian (mortalitas), dan migrasi

(mobilitas).

Provinsi Maluku merupakan salah satu provinsi kepulauan di Indonesia dengan luas

wilayah sekitar 581.376 km2. Dari luas tersebut 90% luas wilayahnya merupakan perairan

(lautan) yaitu sekitar 527.191 km2 sedangkan luas daratan maluku hanya mencakup 10%

luasnya atau hanya sekitar 54.185 km2. Dengan luas maluku yang hanya sebesar itu, maka

tingkat kepadatan penduduk di Maluku akan semakin meningkat sejalan dengan laju

pertumbuhan penduduknya yang terus meningkat. Dari hasil sensus penduduk Provinsi

Maluku tahun 2010, jumlah penduduk Provinsi Maluku mencapai 1.531.402 jiwa. Jika jumlah

penduduk tersebut dibandingkan dengan daratan Maluku yang hanya seluas 54.185 km2, maka

tingkat kepadatan penduduk Maluku adalah 28,26 jiwa/km2 yang berarti pada setiap luas

daratan 1 km2 ditempati oleh 28 jiwa. Hal ini tentunya akan berdampak negatif bagi penduduk

di maluku karena dengan tingkat pertumbuhan penduduk yang terus bertambah akan terjadi

persaingan di antara penduduk.

Menurut Khakim (2011), untuk mengurangi dampak negatif dari pertumbuhan penduduk,

maka salah satu solusi yang dapat ditempuh adalah proyeksi kependudukan. Menurutnya

proyeksi kependudukan perlu dilakukan karena dapat menjadi acuan untuk meningkatkan

fasilitas kesehatan, pendidikan, perumahan dan lapangan kerja di masyarakat. Proyeksi

kependudukan merupakan proses perhitungan jumlah penduduk di masa yang akan datang

berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran), mortalitas (kematian) dan

migrasi (mobilitas). Untuk dapat melakukan proyeksi kependudukan, dibutuhkan suatu model

matematika yang dapat mewakili kondisi riil, khususnya pertumbuhan penduduk suatu daerah

dari waktu ke waktu.

2

Pertumbuhan penduduk merupakan suatu proses yang bersifat kontinu. Kontinu dalam

hal ini berarti populasi bergantung waktu tanpa putus. Karenanya model matematika yang

akan digunakan untuk memproyeksi penduduk provinsi maluku dalam makalah ini adalah

model pertumbuhan populasi kontinu. Menurut Iswanto (2012) terdapat beberapa macam

model pertumbuhan populasi yang kontinu diantaranya model populasi eksponensial dan

model populasi logistik.

Afnirina (2010) dalam hasil penelitiannya tentang Aplikasi persamaan diferensial model

populasi kontinu pada pertumbuhan penduduk di Jombang, menyimpulkan bahwa model

populasi logistik lebih akurat dan lebih realistik daripada model populasi eksponensial untuk

memprediksi jumlah penduduk Jombang pada sensus 2020. Hal yang sama juga dikemukakan

oleh Iswanto (2012) bahwa keakuratan model logistik lebih mendekati realita lapangan jika

dibandingkan dengan model eksponensial, karena pada model eksponensial faktor

penghambat pertumbuhan penduduk diabaikan, sedangkan pada model logistik di perhatikan

faktor-faktor penghambat pertumbuhan penduduk seperti peperangan, kelaparan, wabah

penyakit dan sebagainya. Dengan demikian model pertumbuhan populasi kontinu yang akan

digunakan untuk memproyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku adalah model

populasi logistik. Sedangkan data jumlah penduduk Provinsi Maluku yang digunakan dalam

makalah ini adalah data hasil sensus penduduk Provinsi Maluku tahun 1961 hingga tahun

2010 yang bersumber dari BPS provinsi maluku.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas maka masalah-masalah dalam

penulisan makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

a. Bagaimanakah hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan

menggunakan model populasi logistik?

b. Berapakah jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil estimasi

menggunakan model pertumbuhan logistik?

C. Tujuan Penulisan

Dari masalah yang telah dirumuskan pada rumusan masalah di atas, maka tujuan

penulisan makalah ini antara lain:

a. Untuk mengetahui hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan

menggunakan model populasi logistik.

3

b. Untuk mengetahui jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil

estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik.

D. Penjelasan Istilah

Untuk menghindari multitafsir pembaca pada isi makalah ini, makalah berikut ini

penulis menjelaskan serta membatasi penggunaan istilah-istilah yang berkaitan dengan isi

makalah ini, antara lain:

a. Proyeksi Penduduk merupakan perhitungan jumlah penduduk secara ilmiah di masa

yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran),

mortalitas (kematian) dan migrasi (mobilitas).

b. Model Populasi Kontinu merupakan suatu model matematika yang memodelkan

kondisi populasi suatu daerah dimana variabel keadaan bergantung pada variabel

ruang. Dalam penulisan makalah ini model populasi yang digunakan untuk melakukan

proyeksi penduduk provinsi maluku adalah model populasi logistik.

c. Model Pertumbuhan Logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan

faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini

mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik

kesetimbangan (equilibrium).

d. Carrying capacity merupakan daya dukung suatu daerah terhadap jumlah populasi

pada waktu tertentu.

4

BAB II

PEMBAHASAN

A. Model Pertumbuhan Eksponensial

Pada tahun 1798, Thomas Malthus membuat sebuah model pertumbuhan penduduk dasar

yang terkenal dengan nama model pertumbuhan eksponensial. Pada model ini diasumsikan

bahwa populasi bertambah dengan laju pertumbuhan populasi yang sebanding dengan

besarnya populasi. Misalkan P(t) menyatakan jumlah populasi pada saat t (waktu), dan k

menyatakan laju pertumbuhan populasi maka model populasi eksponensial dinyatakan dalam

bentuk:

dPdt

=kP (t) …………….(P.01)

model persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial separabel, sehingga

kita dapat mencari solusi umumnya sebagai berikut:

eee

ckt

ckttP

tP

ckttP

dtkP

dP

)(

ln

.

)(ln

……………..(P.02)jika diberikan kondisi awal t = 0 dan P(0) = P0 maka diperoleh nilai c = ln P0 sehingga

bila nilai c disubstitusikan ke dalam (P. 02) akan menghasilkan,

kt

Pkt

Pkt

ePtP

eetP

etP

0

ln

ln

)(

)(

)(0

0

…..………….(P.03) persamaan (P.03) merupakan bentuk solusi khusus dari model pertumbuhan eksponensial. Dari persamaan tersebut dapat dilihat jika nilai k positif maka populasi akan meningkat secara eksponensial, sebaliknya jika nilai k negatif maka populasi akan semakin punah.

5

B. Model Pertumbuhan Logistik

Model ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dan juga seorang ahli biologi

berkebangsaan Belanda, yaitu Pierre Verhulst pada tahun 1838, hal ini diakibatkan karena

model pertumbuhan alami tidak cukup tepat untuk populasi yang cukup besar dan tempatnya

terbatas sehinggga timbul hambatan karenanya padatnya populasi yang akan mengurangi

populasi itu sendiri (Ngilawajan, 2010). Model pertumbuhan populasi logistik ini merupakan

penyempurnaan dari model pertumbuhan eksponensial di atas. Pada model ini jumlah

populasi dipengaruhi oleh besar kecilnya daya dukung lingkungan seperti suplai makanan,

tempat tersebut diharapkan model ini mempunyai penyimpangan data populasi yang sangat

kecil atau mempunyai kemiripan dengan data yang sebenarnya.

Model logistik mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan

mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian

dianggap sama sehingga grafiknya mendekati konstan. Bentuk yang paling sederhana untuk

laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini adalah:

)1(1

KPk

dtdP

P

…………… (P.04)

Kalikan dengan P, maka diperoleh model untuk pertumbuhan populasi yang dikenal

persamaan diferensial logistik :

)1(

KPkP

dtdP

………………(P.05)

Perhatikan dari persamaan (1.2) bahwa jika P kecil dibandingkan dengan K, maka P/K

mendekati 0 dan dP/dt ≈ kP. Namun, jika P→K (populasi mendekati kapasitas tampungnya),

maka P/K→ 1, sehingga dPdt

→ 1. Jika populasi P berada diantara 0 dan K, maka ruas kanan

persamaan di atas bernilai positif, sehingga dPdt

→ 1 dan populasi naik. Tetapi jika populasi

melampaui kapasitas tampungnya (P > K), maka 1−PK negatif, sehingga

dPdt

<0 dan populasi

turun. Solusi persamaan logistik dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut ini:

kdt

KPP

dP

)1(

kdt

KPP

dP

)1(

6

kdt

KP

dP

P2

kdtKP

KdP

P2

cktPKP )ln(ln

cktPK

P

)ln(

cktePK

P

)( PKeP ckt

cktckt PeKeP cktckt KePeP

cktckt KeeP )1(

ckt

ckt

eKeP

1 ……………(P.06)

Dari persamaan (P.06) jika kita memberikan nilai awal t = 0 dan P(0) = Po kemudian

disubstitusikan ke dalam (P.06) maka akan diperoleh nilai c = ln (P0 / K - P0) selanjutnya nilai

c tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan (P.06), sehingga diperoleh solusi

khusus dari model logistik seperti berikut,

)ln(

)ln(

0

0

0

0

1 PKP

kt

PKP

kt

e

KeP

)(1

)(

0

0

0

0

PKPe

PKPKe

Pkt

kt

0

00

0

0

PKPePK

PKPKe

P kt

kt

00

0

PePKPKeP kt

kt

7

ktkt ePePKKPP

)( 00

0

)( 00

0

PePKeKPP ktkt

)1(0

ktkt eePK

KP

1)1(0

PKe

KPkt

…..………….(P.07)

Keterangan;

P adalah jumlah populasi pada saat t

P0 merupakan jumlah populasi awal saat t = 0.

K adalah daya tampung (carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi.

k merupakan laju pertumbuhan per kapita populasi.

t menyatakan waktu.

persamaan (P.07) merupakan bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik yang akan

digunakan dalam melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku. Menurut Iswanto (2012)

penentuan nilai K dapat dilakukan dengan cara trial error, yaitu dengan cara mensubstitusikan

perkiraan nilai K ke dalam model yang diperoleh hingga hasil yang diperoleh model

mendekati jumlah populasi yang sebenarnya.

C. Data Jumlah Penduduk Provinsi Maluku

Untuk melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku perlu dilakukan analisis

perhitungan terlebih dahulu terhadap data jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun-

tahun sebelumnya. Hal ini dimaksudkan agar kita dapat mengetahui kecenderungan dan arah

dari data yang kita gunakan (Khakim, 2010). Jumlah data yang digunakan turut

mempengaruhi keakuratan model dalam memprediksi keadaan populasi secara menyeluruh.

Dalam makalah ini, data jumlah penduduk yang penulis gunakan adalah data jumlah

penduduk hasil sensus penduduk provinsi maluku dari tahun 1961 sampai tahun 2010 yang

bersumber dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Maluku. Berikut ini adalah tabel 1 yang

menyatakan jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010:

8

Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa sejak tahun 1961 - 2010 jumlah penduduk provinsi

maluku mengalami kenaikan. Secara umum jika kita bandingkan jumlah penduduk pada awal

tahun dan akhir tahun maka telah terjadi kenaikan jumlah penduduk provinsi maluku.

D. Penyelesaian Model Logistik Pertumbuhan Penduduk Provinsi Maluku

Untuk menentukan model logistik dari data jumlah penduduk provinsi maluku pada tabel

1 di atas, sebelumnya diasumsikan terlebih dahulu bahwa waktu (t) yang diukur dalam tahun

dan dimisalkan t = 0 pada tahun 1961 maka syarat awal adalah P(0) = 551.018. Karena

jumlah penduduk provinsi maluku sejak tahun 1961-2010 masih berada dibawah 2.000.000

maka diasumsikan untuk kapasitas tampungnya yaitu K = 2.000.000, sehingga jika nilai P(0)

dan nilai K disubstitusikan ke dalam persamaan solusi model logistik (P.07) akan diperoleh :

1)1(0

PKe

KPkt

1)15510182000000(

2000000

kteP

1)62965,2(2000000

kte

P ………………..(P.08)

Selanjutnya dari persamaan (P.08) akan dicari model logistik yang dapat mewakili laju

pertumbuhan penduduk di maluku. Untuk t = 10 pada tahun 1971 maka P(10) = 613388, jika

disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:

1)62965,2(2000000613388 10

ke

6133886133882000000)62965,2( 10

ke

9

62965,2260579,210 ke

)85965,0ln(10 k015123,0k

nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:

1)62965,2(2000000

)015123,0( te

P (MODEL I)

Untuk t = 19 pada tahun 1980 maka P(19) = 897951 jika disubstitusikan ke persamaan

(P.08) diperoleh:

1)62965,2(2000000897951 19

ke

8979518979512000000)62965,2( 19

ke

62965,222729,119 ke

)46671,0ln(19 k

040108,0k


1)62965,2(2000000

)040108,0( te

P (MODEL II)


(P.08) diperoleh:

1)62965,2(20000001157878 29

ke

115787811578782000000)62965,2( 29

ke

62965,2727298,029 ke

)276576,0ln(29 k

04432,0k

10


1)62965,2(2000000

)04432,0( te

P (MODEL III)


(P.08) diperoleh:

1)62965,2(20000001249899 39

ke

124989912498992000000)62965,2( 39

ke

62965,260013,039 ke

)2282,0ln(39 k

03789,0knilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:

1)62965,2(2000000

)03789,0( te

P (MODEL IV)


(P.08) diperoleh:

1)62965,2(20000001531402 49

ke

153140215314022000000)62965,2( 49

ke

62965,2305993,049 ke

)11636,0ln(49 k

043899,0k


1)62965,2(2000000

)043899,0( te

P (MODEL V)

11

Dari hasil perhitungan diatas diperoleh hasil model logistik sebagai berikut:

1. Model Logistik I, bentuk persamaannya

1)62965,2(2000000

)015123,0( te

P

dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 1,5%

2. Model Logistik II, bentuk persamaannya

1)62965,2(2000000

)040108,0( te

P


3. Model Logistik III, bentuk persamaannya

1)62965,2(2000000

)04432,0( te

P


4. Model Logistik IV, bentuk persamaannya

1)62965,2(2000000

)03789,0( te

P


5. Model Logistik V, bentuk persamaannya

1)62965,2(2000000

)043899,0( te

P


Selanjutnya akan dihitung jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010 yang

dihasilkan dari kelima model di atas, kemudian akan dianalisis model yang memberikan hasil

yang cukup signifikan bila dibandingkan dengan hasil sensus penduduk. Berikut ini dalam

tabel 2 memuat hasil jumlah penduduk berdasarkan lima model logistik di atas..

12

Tabel 2. Perbandingan Jumlah Penduduk Provinsi Maluku antara Hasil Sensus dan Hasil

Model

Tahu

nHasil Sensus

Hasil Model

Model I Model II Model III Model IV Model V

1961 551.018 551.017 551.017 551.017 551.017 551.017

1971 613.388 613.388 724.426 743.997 714.210 741.9889

1980 897.951 672.739 897.975 937.695 877.153 933.627

1990 1.157.878 741.834 1.097.876 1.157.882 1.065.884 1.157.797

2000 1.249.899 813.675 1.290.104 1.363.414 1.250.045 1.250.115

2010 1.531.402 887.565 1.461.503 1.538.765 1.417.680 1.531.246

Jika perbandingan jumlah penduduk Provinsi Maluku antara hasil sensus dan hasil model

pada tabel 2 ditampilakan dalam bentuk grafik, maka akan terlihat seperti di bawah ini.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1600000

1800000

1961 1971 1980 1990 2000 2010

hasil sensus

model I

model III

model III

model IV

model V

Grafik 1. Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Berdasarkan Hasil Sensus dan Hasil Model

Berdasarkan jumlah penduduk yang dihasilkan oleh kelima model di atas, model logistik

V memberikan hasil yang cukup mendekati hasil sensus. Selain itu keakuratan model logistik

V cukup baik, hal ini dapat dilihat dari hasil jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun

2010 yang dihasilkan model logistik V hampir sama dengan hasil sensus penduduk 2010.

Dengan demikian dipilih model logistik V sebagai model final yang akan digunakan untuk

memprediksi jumlah penduduk provinsi maluku pada sensus penduduk 2020.

E. Prediksi Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Tahun 202013

Karena model logistik V digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk provinsi

maluku pada tahun 2020, maka persamaan modelnya adalah :

1)62965,2(2000000

)043899,0( te

P

dari model di atas laju pertumbuhan penduduk di provinsi maluku adalah 4,38% per tahun.

Selanjutnya untuk memprediksi jumlah penduduk pada tahun 2020 diambil t = 59

disubstitusikan ke dalam model logistik V diatas peroleh:

1)62965,2(2000000

)59)(043899,0( e

P

1)62965,2(2000000

)590041,2( e

P

1)075017,0)(62965,2(2000000

P

1197269,02000000

P

197269,12000000

P

1670468P

Dari hasil perhitungan di atas diperoleh jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2020 yang dihasilkan model logistik adalah 1.670.468 jiwa.

BAB III

14

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya maka dapat disimpulkan

beberapa hal:

1. Untuk melakukan proyeksi penduduk dengan menggunakan model logistik maka

terlebih dahulu ditentukan nilai jumlah penduduk maksimum yang merupakan daya

tampung (carrying capacity) yakni nilai variabel K. Setelah menentukan nilai K, kita

harus menghitung semua bentuk model logistik yang dihasilkan dari data yang kita

gunakan. Dari model-model yang dihasilkan selanjutnya kita melakukan perbandingan

antara hasil yang di peroleh lewat model dan hasil sensus penduduk. Model yang

dianggap dapat mewakili hasil sensus artinya hasil antara model dan hasil sensus tidak

berbeda jauh, maka model tersebut dapat dijadikan sebagai model akhir untuk

melakukan prediksi jumlah penduduk di masa mendatang.

Dalam makalah ini diperoleh model logistik V lebih tepat untuk memprediksi jumlah

penduduk provinsi maluku dengan daya tampung 2000000 jiwa. Bentuk persamaan

dari model logistik V adalah:

1)62965,2(2000000

)043899,0( te

P

2. Dengan menggunakan model logistik V dapat diprediksi jumlah penduduk provinsi

maluku pada tahun 2020 yakni sebanyak 1.670.468 jiwa.

15

DAFTAR PUSTAKA

Afnirina. 2010. Aplikasi Persamaan Diferensial Model Populasi Kontinu Pada

Pertumbuhan Penduduk Jombang. Jurnal. STKIP PGRI Jombang.

Iswanto, R., J., 2012. Pemodelan Matematika (Aplikasi dan Terapannya).

Yogyakarta. Graha Ilmu.

Khakim, L., 2011. Proyeksi Penduduk Provinsi DKI Jakarta dan Kota Surabaya

Dengan Model Pertumbuhan Logistik. Jurnal. Universitas Brawijaya, Malang.

Ngilawajan, D., A., 2010. Model Matematika Untuk Penangkapan Ikan Pada

Budidaya Ikan. Buletin Pendidikan Matematika. Vol. 10. No 1,60-67. Maret 2010.

16

elsa033.files.wordpress.com · Web viewKarenanya model matematika yang akan digunakan untuk...

Documents

Transcript of elsa033.files.wordpress.com · Web viewKarenanya model matematika yang akan digunakan untuk...