PENGGUNAAN MATEMATIKA SEBAGAI ALAT PEMECAHAN MASALAH

J. Robert Cooke

Cornell University, Ithaca, New York

I. PENDAHULUAN

Model tanaman berbobot yang popular dan sukse dijadikan sebagai alat

perencanaan penelitian dan berasal dari focus perilaku tanaman agronomi sebagai suatu

sistim. Selain dari kekompleksitasan biologis yang melekat pada pertumbuhan dan

perkembangan tanaman, juga terdapat beberapa kondisi lingkungan dan hambatan

seperti kekeringan dan serangan hama dan penyakit yang harus dipertimbangkan secara

komprehensif dalam mengkarakteristikkan proses produksi tanaman dan hasil.

Telah ada dua alat yang berperan sentral dalam menangani kompleksitas  ini:

matematika dan komputer. Yang pertama menyediakan kekuatan bahasa dan kerangka

kerja untuk konseptualisasi hubungan, dan yang kedua menyediakan kekuatan teknik

untuk mangeskplorasi hubungan dikodekan secara matematis. Bab ini mangeksplorasi

proses realitas fisik menggunakan matematika dan proses penggalian wawasan dari

representasi. Dengan kata lain, saya menyelidiki proses penggunaan matematika

sebagai alat yang berfungsi untuk mendapatkan pemahaman terhadap masalah.

Diskusi ini terdiri dari

1. Tinjauan singkat dari proses para ilmuwan yang digunakan untuk

mengkonsepsikan keteraturan alam demi tujuan yang dapat prediksi

2. Diskusi singkat tentang peran model matematika dalam menghubungkan antara

tugas konseptual dan eksperimental

3. Diskusi yang panjang dari langkah-langkah praktis para insinyur dalam

memukan suatu rumusan yang bermanfaat, memvalidasi, dan menafsirkan model

matematika

4. Sebuah pertimbangan masalah representatif untuk menggambarkan dan membuat

diskusi tentang proses pemodelan tradisional yang lebih konkrit

II. METODOLOGI ILMIAH DALAM MENGGAMBARKAN KENYATAAN

Proses penciptaan suatu pengetahuan baru berhubungan erat dengan eksplorasi

focus pertanyaan atau kebimbangan. Gambar 1 menggambarkan proses ini (Novak dan

Gowan, 1984). Dipandu oleh focus fenomena pertanyaan yang menarik dan akan

diuji. Dimulai berdasarkan teori Gowin "Pengetahuan yang berlawanan" atas peristiwa-

peristiwa tertentu atau benda yang diamati. Makna yang melekat erat pada peristiwa atau

objek dengan suatu interaksi konseptual (atau berpikir) dan metodologis (atau

melakukan) pertimbangan, seperti yang digambarkan oleh dua sisi "Vee=Berlawanan

arah."

Pikirkan terlebih dahulu tentang pertimbangan metodologis (di sisi

kanan). Rekaman peristiwa atau objek dibuat. Fakta-fakta yang kemudian dilaksanakan

atau terorganisir (transformasi). Hasil ini kemudian dipresentasikan sebagai data

menggunakan tabel, grafik, dll, diikuti oleh interpretasi, penjelasan dan generalisasi. Hal

ini menyebabkan pengetahuan akan mengklaim tentang apa yang ditemukan. Langkah

akhir terdiri dari nilai klaim tentang makna atau arti dari klaim pengetahuan.

Pada sisi proses konseptual, (dimulai dari atas-kiri "Vee"); berawal dari yang

paling umum yaitu, Pandangan alam (bahwa alam itu teratur dan diketahui) untuk

Filsafat, dan untuk Teori (secara logis terkait konsep) Prinsip (berasal dari klaim

pengetahuan sebelumnya) untuk Membangun Struktur Konseptual untuk Konsep (berarti

keteraturan). Selama penciptaan pengetahuan baru itu ada interaksi aktif antara sisi

konseptual dan metodologis dari "Vee". Novak dan Gowin (1984) memberikan beberapa

contoh ilustrasi spesifik administrative dari berbagai ruang lingkup subjek.

Singkatnya, ini adalah proses yang kita gunakan untuk menciptakan pengetahuan

baru. Proses ini begitu terkenal sehingga kita sering ambil untuk diberikan

penganugerahan. Namun, untuk menyadari akan langkah-langkah ini akan membuat 

proses pemodelan yang lebih jelas, secara fundamental hal ini adalah proses artistik dan

tidak ada model tunggal yang "benar". Ini pada dasarnya adalah masalah aproksimasi

yang sangat terpengaruh oleh hal-hal rasa.

FOKUS PERTANYAAN 

Memulai aktivitas antara dua

domain dan tertanam dalam atau yang

Teori: set logis terkait konsep pola memungkinkan penalara

METODOLOGYKONSEPTUAL

Dunia Tampilan: (misalnya, alam adalah tertib dan diketahui)

Filosofis:(misalnya, pemahaman manusia oleh Toulmin

Hasil: Representasi data dalam tabel, diagram dan grafik

Laporan dari keteraturan atau Definisi Konsep

Konseptual Struktur: teori himpunanlangsung digunakan dalam penyelidikan

Konstruksi: Ide yang mendukung teori yang dapat diandalkan, tapi tanpa acuan langsung dalam peristiwa atau benda.

Prinsip: Konseptual aturan  yangmengatur menghubungkan pola dalam peristiwa; 

Interpretasi, Penjelasan, & Generalisasi: Produk

Nilai Klaim: senilai itu, baik di lapangan atau di luar lapangan, klaim diproduksi dalampenyelidikan

Kejadian / Objects:Fenomena yang menarik ditangkapmelalui konsep-konsep dan mencatat-menandai: kejadian, objek

Konsep: Tanda-tanda atau simbol yang menandakan keteraturan dalam acara-acarasosial dan berbagi metodologi

Transformasi: Memerintahkan fakta diatur oleh teori pengukuran dan klasifikasi

Pengetahuan Klaim: generalisasi Baru, untuk menjawab pertanyaan mengatakan, diproduksi dalam konteks penyelidikan sesuai dengan kriteria yang tepat dan eksplisitkeunggulan

Fakta: Penghakiman, berdasarkan kepercayaan dalam metode, yang mencatat peristiwaatau benda yang valid.Rekaman Acara atau Objek

GAMBAR 1 Para heuristik vee dengan deskripsi elemen interaksi dalam pembangunan

atau analisis pengetahuan dalam setiap disiplin. Meskipun semua elemen yang terkait

dalam program penelitian yang koheren, sumber utama kesulitan dalam penyelidikan

individual biasanya dimulai pada bagian bawah vee, dimana konsep-konsep,

peristiwa / objek, dan catatan harus diteliti. (Novak dan Gowin Dari 1984, Dicetak ulang

dengan izin dari Cambridge University Press, New York, New York.)

III. MEMILIH ALAT

Penyelidikan ilmiah berlangsung lebih cepat ketika ada kemampuan berinteraksi

antara konseptual dan eksperimental di setiap tahap dalam proses menciptakan

pengetahuan dari pada hanya mengandalkan satu atau yang lain dari pangkal

"vee." Namun, literatur penuh dengan disiplin di mana aspek-aspek teoritis dan

eksperimental telah matang pada tingkat dramatis yang berbeda.

Bagaimanapun, kami sebagai para ilmuwan individu lebih banyak mengandalkan

pada salah satu atau yang lain, tergantung pada pelatihan kami. Sebagai contoh, Fry

(1941) telah membandingkan kebiasaan pemikiran dari ahli matematika dan insinyur:

1) keyakinan yang lebih besar dalam: secara tipical, para ilmuan matematika merasa

benar-benar yakin dalam mengambil kesimpulan yang dicapai oleh penalaran

dengan saksama dan tidak yakin dengan derajat yang sama oleh bukti experimen.

Seorang insinyur memiliki minat yang kurang dalam bentuk-bentuk "murni"

yang tidak memiliki hubungan nyata dengan dunia realitas fisik, tetapi mungkin

memiliki minat yang besar dalam informasi yang berguna seperti tabulasi

kekerasan yang mungkin sama sekali tidak terkait apapun dengan teori dan yang

tipikal matematika akan mendatangkan cukup kebosanan.

2) Rincian kritik ekstrim: matematika adalah sangat kritis terhadap rincian

demonstrasi.Untuk hampir semua kelas orang, argumen ini mungkin cukup baik,

meskipun beberapa pertanyaan kecil tetap ada. Untuk argument para ahli

matematika adalah baik dan sempurna dalam setiap detail, dalam bentuk serta

substansi, atau bisa juga hal itu salah. Matematikawan menyebutkan berpikir

yang sulit dan perlu untuk bekerja untuk memiliki nilai permanen; insinyur

menyebutnya hair-splitting dan mengatakan jika larut maka tidak akan pernah

mendapatkan apa pun dilakukan.

3) idealisasi: matematika cenderung mengidealkan situasi-gas yang 'ideal /

konduktor, gas' sempurna / permukaan bumi 'halus. " Apa yang matematikawan

namai dengan 'penurununan essensi’, para insinyur kemungkinan untuk

menjuluki dengan sedikit mencibir sebagai' pengabaian atas fakta-fakta.

4) Peraturan Umum: Ketika dihadapkan dengan pemecahan

X3 – 1 = 0

bahwa pertanyaan sederhana mungkin akan berubah menjadi pemecahan

Xn – 1 = 0.

Matematika menyebutnya "menghemat energi." Insinyur mungkin menganggap

hal ini sebagai "membuang-buang waktu."

Salah satu pendekatan adalah tidak mengunggulkan yang satu dari yang

lain. Mereka berbeda namun saling melengkapi.

Salah satu kontribusi yang benar-benar besar yang dapat membuat rekayasa

untuk pemodelan tanaman adalah transfer dari beberapa konsep dan teknik-teknik yang

telah terbukti sangat bermanfaat untuk tujuan rekayasa. Ketergantungan jauh lebih besar

telah ditempatkan pada penggunaan teknik matematika dalam ilmu fisika daripada yang

telah terjadi dalam ilmu-ilmu bi-embriologis dan pertanian. Namun demikian,

penggunaan model empiris yang telah memperoleh pengakuan luas dalam pemodelan

tanaman pada 30 tahun terakhir.

Sementara sebagian besar dari tubuh pengetahuan yang terkait dengan teknik

pada umumnya dan dalam pemodelan tanaman khususnya sangat empiris pada alam,

penggunaan yang cukup ekstensif telah tetap dan dibuat dari konsep dan teori yang dapat

dinyatakan paling mudah dalam bentuk matematika. Pembahasan berikut ini berlaku

sama untuk pemodelan, yang hampir secara eksklusif bergantung pada penggunaan

komputer dan hubungan empiris, dan pendekatan yang lebih tradisional, yang

mengandalkan komputer dan prinsip-prinsip pertama. Pendekatan yang kedua, bila

cukup dikenal untuk membuat pendekatan yang layak, sering memberikan wawasan

yang lebih dalam dan biasanya dapat lebih mudah digeneralisasi untuk konteks yang

lebih luas.

IV. SIFAT DASAR MODEL MATEMATIS

Pada daerah antarmuka antara rekayasa dan biologi ada keyakinan pasti tersisa

dan keliru bahwa biologis berbasis problem yang inheren begitu kompleks sehingga

mereka hanya tidak setuju untuk perlakuan matematika. Orang mungkin membayangkan

bahwa ini sikap yang sama bisa saja diterapkan pada mekanika kuantum, kalau bukan

karena keberhasilan yang menakjubkan dicapai dengan menggunakan matematika

sebagai alat utama.

Eksperimentalis, terutama bagi mereka yang biasanya bekerja dengan

berdasarkan masalah biologis, kadang-kadang cenderung bersikap curiga terhadap cara

kerja matematika. Meskipun skeptisisme yang sehat sangat diinginkan, peran pemodelan

matematika telah berkali-kali tidak adil dikritik (tetapi tentu tidak dalam semua kasus).

Kesulitan utama yang umum adalah kegagalan untuk mencatat kebutuhan dan keinginan

untuk membuat asumsi dalam kedua studi matematika dan eksperimental. Dalam

keduanya misalnya perhatian diarahkan ke masalah yang terbatas dan kesimpulan yang

dicapai hanya berlaku dalam batasan "asumsi eksperimental." Model matematika

(Noble, 1967) dapat digunakan untuk menyebabkan perhatian untuk diarahkan ke

pertanyaan yang paling penting dalam studi eksperimental. Jika data sesuai dengan teori,

tingkat kepercayaan pada kekuatan prediksi dari model ini ditingkatkan. Dalam kasus

lain, matematika dapat digunakan untuk mengurangi atau menghilangkan hasil

experimental tertentu.

Nahikian (1964) menggambarkan grafis berturut kira-memperkirakan terkait

dengan model matematika (lihat Gambar. 2). Dimulai dengan pernyataan yang jelas dari

sebuah "masalah," sifat-sifat paling penting dari masalah fisik atau biologis untuk

dipelajari diabstraksikan dan terisolasi dengan memanfaatkan asumsi bijaksana (sisi kiri

Gambar. 2). Sebuah masalah matematika, menggunakan prinsip-prinsip fisika atau kimia

dasar, dikembangkan untuk mewujudkan "esensi" dari masalah. Para "eksentrik

matematika" (bawah) dihidupkan dan diperiksa. Implikasi dari model

diartikulasikan. Implikasi ini kemudian terkait dengan masalah asli melalui fenomena

yang diamati. Perbedaan dicatat, dan memulai kembali siklus. Namun, perhatikan bahwa

anak-anak panah dua arah, menunjukkan bahwa perkembangan logis mungkin terjadi

sebaliknya pada titik apapun.

Munculnya komputer memiliki efek pembebasan besar pada penggunaan

matematika. Tidak ada lagi kebutuhan utama untuk merumuskan masalah untuk

menyesuaikan diri dengan alat terbatas pada klasik analisis. Di sisi lain, ketika

menggunakan komputer kita masih harus abstrak dan menjunjung tinggi masalah

rekayasa. Kami masih harus memecahkan masalah asli ke unsur-unsurnya, memutuskan

apa yang penting, menentukan data kita harus mulai, apa langkah-langkah analisisnya,

dan hasil akhir apa yang diperlukan. Langkah-langkah ini memerlukan kebiasaan

berfikir matematika.

M Melakukan

Experimen

Melakukan

Manipulasi Matematika

FIGURI 2 Pengembangan model matematika. [Diadaptasi dari Nahikian (1964).]

V. MERUMUSKAN MODEL MATEMATIS

Proses pembentukan model (sisi kiri Gambar. 2) adalah baik ilmu dan suatu

bentuk seni. Pembahasan berikut berkonsentrasi pada teknik yang mapan digunakan

dalam menciptakan dan memvalidasi model dan memperoleh wawasan. Aspek yang

lebih artistik, tetapi penting, dari pemodelan disebutkan hanya secara sepintas, tetap,

yang dapat menjadi langkah yang paling penting dan menentukan. Hal ini terutama

bahwa alasan keseimbangan dapat diberlakukan antara kompleksitas dan kesederhanaan.

Sebuah model bisa jadi termasuk rincian sehingga menjadi keras atau sulit dipahami.

Sebuah model mungkin dibekalii dengan koefisien empiris yang begitu banyak, hanya

dilihat dari pengukuran eksperimental untuk pengaturan tertentu, bahwa ia memiliki

manfaat yang terbatas dalam pengaturan yang hanya sedikit berbeda karena hilangnya

daya prediksi dan wawasan ke dalam mekanisme yang mendasar. Di sisi lain, model

dapat dibuat begitu sederhana bahwa esensi dari situasi yang hilang. Sebagai contoh,

fenomena tertentu mungkin tidak tercakup jika direpresentasikan menggunakan sistem

Masalah Biologi atau Pisik

Model Matematika

Melakukan cek secara matematika, memperhatikan asumsi-asumsi, menghubungkan model pada masalah yg sebenarnya

Mendefinisikan masalah, menyederhanakan asumsi, melihat kembali prinsip dasar

Mengobservasi fenomena

Inferensi Matematika

linear persamaan diferensial biasa daripada sistem nonlinear persamaan diferensial

biasa. Sebuah model linier, sebagai contoh, tidak mencakup perilaku membatasi siklus

stabil. Dan model tertentu mungkin tidak cocok untuk situasi di mana probabilistic

mungkin saja berhasil.

Misalkan Anda tertarik untuk memeriksa variasi-variasi suhu dalam dinding-

dinding dari sebuah mesin pembakaran internal selama siklus pembakaran. Bagaimana

mungkin Anda mewakili masalah sebagai masalah matematika, sementara belum

mencapai pendekatan yang baik untuk nilai eksperimental?

Anda mungkin akan merumuskan masalah ini sebagai salah satu pengantar panas

dalam zat padat. Selanjutnya Anda mungkin akan menyadari bahwa Anda harus

menentukan konfigurasi geometris yang sesuai. Berurusan dengan geometri actual

mungkin akan mengharuskan Anda menggunakan cara yang tidak diinginkan untuk

pendekatan numerik seperti penggunaan teknik terbatas-perbedaan atau terbatas-

elemen. Misalkan Anda ingin membuat pendekatan pertama menggunakan solusi

sederhana dari literatur yang ada?

Beberapa kemungkinan muncul ke pikiran. Anda mungkin merumuskan ini

sebagai (a) silinder tebal dikenakan fluktuasi suhu periodik pada dinding dalam dari

silinder atau (b) lubang silinder di ruang terbatas. Kasus akan mengarah pada

penggunaan fungsi Hankel, sedangkan b kasus ini akan mengarah pada penggunaan

fungsi Bessel sederhana. Tergantung pada frekuensi fluktuasi periodik pada silinder

bagian dalam, kedalaman penetrasi mungkin kira-kira sama pada kedua kasus. Jika

demikian, model sederhana mungkin memadai.

Di sisi lain, jika kelengkungan silinder bagian dalam bukan merupakan

pertimbangan utama, Anda mungkin merumuskan ini sebagai (c) slab terbatas-ketebalan

atau (d) padat semi-infinite (setengah-ruang memiliki tepi rata). Untuk kasus c, solusi

akan melibatkan fungsi hiperbolik, sementara kasus d ini akan melibatkan fungsi

trigonometri bahkan lebih sederhana (atau fungsi eksponensial kompleks). Ternyata,

rasio suhu permukaan periodik untuk suhu periodik pada setiap kedalaman di dinding

adalah kira-kira sama untuk keempat kasus ketika frekuensi dalam kisaran khas mesin,

tetapi beban matematika menjadi sangat kurang untuk kasus sederhana d.

Sebuah tanaman pemodel mungkin akan dikenali sebagai analogi dengan

fluktuasi harian atau tahunan suhu periodik dalam tanah dan bagaimana suhu bervariasi

dengan jarak ke dalam tanah. Menyadari analogis sangat dapat memperkuat kepercayaan

seseorang tentang suatu larutan.

(c) (d)

GAMBAR 3 geometri Alternatif, (a) Sebuah silinder tebal dikenakan fluktuasi suhu periodik pada dinding dalam silinder, (b) Sebuah lubang silinder dalam ruang tak terbatas, (c) slab terbatas-ketebalan, (d) setengah solid-terbatas.

Semakin besar wawasan ke dalam proses yang mendasari Anda dapat

mengumpulkan setiap tahap perkembangan, semakin besar kemungkinan diterima

keseimbangan antara kesederhanaan dan kompleksitas dapat dicapai. Poin utama yang

harus diingat adalah bahwa Anda menggunakan model matematis untuk mendapatkan

wawasan dan bahwa tidak ada representasi tunggal atau model yang melayani tujuan.

Sebuah modeler pemula akan tergoda meminta untuk perwakilan secara umum yang

cocok untuk semua situasi, tapi sayangnya, jika itu adalah tujuan Anda, Anda cenderung

untuk berdagang menutupi kompleksitas untuk kejelasan yang dapat dicapai lebih

mudah melalui kesederhanaan.

Bowen (1966) menggambarkan masalah dasar yang harus dipertimbangkan guna

merumuskan masalah (Gambar 4). Sebelum masalah dapat benar diketahui, pembuat

keputusan harus mengidentifikasi masalah. Biasanya pembuat keputusan itu baik orang

atau kelompok yang tujuan tidak terpenuhi dan salah satu yang mengontrol sumber daya

yang dibutuhkan untuk mengefektifkan pemecahan masalah. Selanjutnya tujuan

pembuat keputusan dan sumber daya harus jelas dan berbobot. Biasanya tujuan konflik

dan tidak dapat secara serempak memuaskan. Selain itu, lingkungan dengan kendala

yang terkait harus ditentukan dan dipahami. Sebuah "solusi" yang mengabaikan kendala

ini adalah bukan solusi. Hanya setelah ketiga masalah (tujuan, sumber daya, dan

lingkungan) jelas dapat dipahami secara tepat masalah yang ditimbulkan atau

didefinisikan dengan ketepatan yang cukup dan kejelasan. Bagaimana Anda

mendefinisikan masalah fundamental berguna bagi bentuk sisa proses!

GAMBAR 4 Langkah dalam merumuskan masalah.

Pemilihan Pembuat Keputusan

Tujuan Sumber Daya Lingkungan

Mendefinisikan Masalah

Menguji solusi atau mesin

Mengembangkan rincian rencana, garis besar rencana

Pilih solusi alternatif paling logis

Mengembangkan ukuran objektif untuk pengujian 

Alternatif Solusi Umum

Melaksanakan rencana; membangun mesin

Penerimaan atau penolakan dari solusi

Untuk menggambarkan bagaimana model fundamental tergantung pada

bagaimana masalah dibingkai, mempertimbangkan pendekatan yang diambil dalam

memecahkan masalah dari mekanisme panen pohon buah-buahan. Masalahnya telah

terwujud dalam literatur dan setidaknya ada dua bentuk yang berbeda. Pandangan

sebelumnya menyatakan bahwa kriteria untuk penghapusan buah yang dikembangkan

dari reaksi inersia dari batang pohon buah sementara sedang bergetar. Ini niscaya

menyebabkan peneliti untuk berpusat pada cara bagaiman menghasilkan getaran kuat

dari pohon, misalnya, di salah satu frekwensi anggota tubuh nya. Di sisi lain, jika

seseorang mendefinisikan masalah dalam hal tegangan lentur pada batang, di buah atau

di cabang, maka argumen mengikuti pola yang secara substansial berbeda. Buah dan

perakitan induk dapat dianggap sebagai pendulum fisik ganda dan satu maka mungkin

studi frekuensi yang menghasilkan gerakan terbesar dari sistem buah batang daripada

struktur dukungan pohon. Seseatu tidak perlu diherankan untuk dipelajari bahwa

kesimpulan tentang panen yang cukup berbeda untuk dua statement masalah akan

menghasilkan tingkat pemahaman yang berbeda secara fundamental.

Hanya setelah definisi yang jelas telah dicapai-dan ini adalah sepuluh fase yang

paling penting dan sulit dalam memecahkan masalah-harus Anda memulai proses

menghasilkan solusi alternatif. Tahap ini membutuhkan imajinasi serta kapasitas untuk

memanfaatkan semua pengalaman sebelumnya dan pengetahuan profesional Anda.

Novel asosiasi dan analogis sering memainkan peran penting. Singkatnya, kreativitas

memainkan peran penting dalam langkah ini. Banyak teknik dapat digunakan untuk

merangsang proses ini. Seringkali mental block harus diatasi jika masalah yang akan

disusun kembali dari sudut pandang yang baru. Ada kecenderungan kuat untuk melihat

masalah dengan cara yang akrab bahkan ketika tujuan tidak lagi memuaskan.

Pemilihan alternatif yang paling logis biasanya mengharuskan serangkaian

masalah yang sangat spesifik dirumuskan dan dianalisis. Proses ini akan dieksplorasi

berikutnya. Ketika Anda mengembangkan rencana untuk mengimplementasikan

alternatif yang dipilih, Anda secara bersamaan mengartikulasikan, mengukur atau

setidaknya ambigu, mengukur kinerja di mana Anda akan menilai lution sehingga

diusulkan. Anda melakukan hal ini sebelum rencana Anda diimplementasikan dan

sebelum Anda harus membuat penilaian rasional apakah Anda telah berhasil.

Setelah solusi Anda telah diterapkan, ada bertanggung jawab untuk menentukan

apakah solusi Anda dalam bekerja. Hal ini biasanya berkaitan dengan beberapa bentuk

eksperimentasi dan evaluasi dan apakah Anda telah memenuhi tujuan sebelumnya untuk

diartikulasikan.

VI. LANGKAH PRAKTIS MERUMUSKAN MODEL MATEMATIS

Meskipun banyak teks pada pemodelan matematika telah dipublikasikan, sebuah

teks sangat tua oleh Ver Planck dan Teare (1954) berfungsi dengan baik sebagai focal

point untuk diskusi ini. Tabel 1 merangkum pendekatan yang disajikan dalam buku

mereka, tapi saya juga membuat beberapa adaptasi. Ini adalah waktu dilakukan langkah-

langkah insinyur secara rutin menggunakan pemecahan masalah. Karena langkah-

langkah yang begitu akrab, signifikansi sering diabaikan.

Secara eksplisit mengidentifikasi langkah-langkah membuat proses lebih

comprehensif dan lebih dari sekedar suatu bentuk seni. Langkah-langkahnya (A)

mendefinisikan masalah, (B) rencana treatmennya, (C) mengeksekusi langkah-langkah,

(D) memeriksa pekerjaan Anda, dan (E) belajar dan generalisasi dari analisis Anda. Mari

kita pertimbangkan setiap langkah dalam proses ini.

A. Mendefinisikan Masalah

Dalam berurusan dengan masalah non-buku, yang penting harus ditempatkan

pada pertimbangan pertama melakukan sebuah heuristik dari masalah sebelum

menyelidiki ke dalam seluk-beluk pendekatan tertentu. Dengan kata lain, secara sadar

dan eksplisit memutuskan antara pendekatan alternatif sebelum Anda komitmen dengan

waktu Anda untuk setiap tahap yang spesifik.

Dengan menyatakan hasil yang diharapkan cukup dini dalam studi masalah,

Anda biasanya harus lebih mampu menilai validitas analisis Anda. Hal ini akan

memberikan dasar untuk memandu analisis serta latar belakang analisis terhadap yang

dapat dinilai.Titik yang tepat di mana untuk meninjau literatur yang relevan mungkin

tergantung pada sifat dari masalah. Untuk menghindari "reinventing the wheel," literatur

mungkin harus lebih awal, tapi di sisi lain ada kemungkinan prematur penyaluran

seseorang berpikir untuk ide-ide saat ini. Ada juga memerlukan di sini untuk

keseimbangan, dan penilaian.

Bagaimana Anda mengemukakan masalah yang akan dipecahkan, yaitu, yaitu

membentuk frame teka-teki, akan memiliki dampak yang mendalam pada seluruh

proses. Jika Anda memecahkan masalah yang salah, waktu Anda mungkin sia-sia. Jika

masalah dinyatakan sembarangan, Anda dapat mempersulit tugas Anda. Anda berpegang

jelas pada masalah, lebih mudah tugas mendefinisikan masalah. Masalah buruk

didefinisikan kemungkinan akan meningkatkan kompleksitas dari formulasi matematika.

A. Definisikan masalah.1. Bagilah masalah menjadi serangkaian pertanyaan khusus.2. Diskusikan masalah dengan cara kualitatif dan menyajikan motivasi heuristik

sebelum terjun ke dalam persamaan3. Sadar memutuskan antara pendekatan-pendekatan alternatif.4. kemukakan apa hasil yang Anda mengantisipasi. Hal ini setara dengan hipotesis.5. Review literatur yang relevan.

Rencana B. treatmennya.1. Review prinsip-prinsip fisik atau kimia yang relevan. Mengungkapkannya secara

verbal dan kemudian matematis.2. Identifikasi asumsi-asumsi yang mungkin diinginkan dan / atau diperlukan.3. Merumuskan masalah matematis.

a. Gunakan sketsa bebas.b. Tentukan semua simbol dan memberikan unit terkait.c. Tampilkan semua koordinat dengan arah positif diidentifikasi.d. Identifikasi semua asumsi seperti yang tertanam dalam model.e. Sebutkan semua referensi berkonsultasi.

Jalankan rencana.1. Gunakan lebih dari satu pendekatan bila memungkinkan.2. Ketika melakukan langkah-langkah matematika, nomor semua persamaan.3. Menggunakan cek menengah sering.

4. Memberikan penjelasan tentang motivasi untuk setiap langkah, dan menunjukkan hubungan logis antara langkah.

5. Jika jalan buntu tercapai, menyederhanakan masalah dengan mengubah asumsi dan / atau definisi masalah.

B. Periksa secara menyeluruh.1. Periksa dimensi dan unit.2. Periksa kasus membatasi3. Periksa simetri.4. Periksa kewajaran.5. Periksa berbagai variabel.6. Periksa kembali semua asumsi untuk efek kemungkinan dan kepentingan.7. Gunakan derivasi alternatif.8. Gunakan analogi.C. Belajar dan generalisasi dari analisis Anda.1. Meringkas temuan penting, termasuk keterbatasan.2. Menafsirkan persamaan dalam hal masalah asli.3. Apakah faktor penting telah diabaikan?4. Apa yang penting oleh ketiadaan?5. Menggunakan nomor berdimensi dalam presentasi grafis.6. kemukakan secara lisan makna persamaan matematika akhir.7. Skema yang diusulkan dapat diperbaiki atau diubah sehingga tidak akan bekerja?8. Periksa kasus numerik untuk kejelasan dan kelayakan. Ini adalah cek dari

besarnya efek dan nilai-nilai parameter yang dibutuhkan.9. Berapa banyak variasi parameter dapat ditoleransi?10. Berapa banyak angka penting yang harus digunakan11. Apakah presentasi grafis sepenuhnya diklarifikasi, termasuk sumbu diberi label

dengan jelas, dan merupakan interpretasi dari informasi yang disajikan?12. Ketidakpastian apa masih ada?13. Bagaimana model berhubungan dengan masalah asli?14. Dapat dan harus masalah sekarang disederhanakan atau umum?

Sumber: Diadaptasi dari Ver Planck dan Teare (1954).

B. Treatmen masalah

Sebuah diskusi verbal dari masalah (dicatat di notebook Anda) sering penting

dalam memahami salah satu menyegarkan tentang prinsip phisical, karena pernyataan

matematis dari prinsip-prinsip fisik, terutama jika disajikan dalam bentuk matematika,

mungkin singkat dan biasanya akan berisi banyak asumsi yang tidak jelas. Perumusan

aktual dari model matematika harus disertai dengan pernyataan yang sangat hati-hati dan

meninjau fungsi asumsi yang harus Anda buat dalam rangka untuk membentuk sebuah

model matematika. Terus-menerus menyadari trade-off antara kesederhanaan dan

kompleksitas. Cukup sering disarankan untuk merumuskan dan memecahkan sebuah

model sederhana sebelum menambahkan tingkat detail yang Anda percaya akhirnya

akan diinginkan. Kapanpun memungkinkan, gunakan beberapa pendekatan. Jika hasil

yang sama dapat diperoleh dengan metode alternatif, misalnya, konservasi energi, dan

melalui persamaan gerak, Anda akan meningkatkan rasa percaya diri Anda dalam hasil.

Selanjutnya, validitas dan kegunaan dari analisis Anda biasanya menderita lebih

banyak dari asumsi diakui penting daripada asumsi diakui penting. Ingat pemodelan

yang merupakan proses yang iteratif, yaitu, tidak setiap detail atau harus dimasukkan di

awal. Dalam semangat Occam Razor, penjelasan sederhana tentang sukses adalah

disukai untuk penjelasan sederhana tapi kompleks. Merumuskan dan memecahkan salah

satu atau lebih sangat menggunakan models sederhana sebagai pendekatan pertama

biasanya bijaksana tetapi sering diabaikan.

Seringkali masalah yang kompleks dapat diselesaikan sebagai urutan

independen-submasalah, dianggap bersama-sama, menggambarkan situasi yang lebih

kompleks. Seringkali beberapa masalah sederhana akan memungkinkan Anda untuk

braket solusi yang cukup untuk membuat analisis yang lebih canggih yang tidak perlu.

C. Jalankan Rencana

Ketika Anda pertama kali memperkenalkan variabel, segera mendefinisikannya

dalam kata-kata dan memberikan unit yang terkait. Hal ini akan memfasilitasi

pemahaman dan menguji berikutnya. Semua persamaan harus homogeneous, yaitu,

ketika unit menggantikan variabel dalam persamaan, unit-unit di kedua sisi persamaan

harus sama. Berhati-hatilah menggunakan konstanta numerik yang terkait unit; lebih

baik untuk menetapkan nama parameter. Nama parameter ini kemudian diperlakukan

atas dasar yang sama dengan variabel, dan pemeriksaan simensi homogenitas kurang

rentan terhadap kesalahan.

Gunakan sketsa bebas, jumlah mereka, dan memberikan keterangan. Bahkan

sketsa kasar sering dapat memberikan kejelasan yang tidak akan membutuhkan banyak

kata. Label sumbu, ke arah yang positif, dan semua komponen gambar. Keterangan akan

berguna saat Anda kembali beralih ke pekerjaan Anda setelah setiap selang waktu yang

substansial. Demikian juga, untuk kemudian mengingat dan untuk digunakan dalam

penulisan laporan resmi yang berasal dari analisis Anda, Anda harus mengutip semua

referensi Anda saat berkonsultasi. Metode pendekatan ini mendorong pemikiran yang

hati-hati. Untuk memfasilitasi derivasi dan diskusi tentang persamaan, jumlah setiap

persamaan, meskipun Anda dapat memilih untuk meninggalkan beberapa yang tidak

termasuk dalam jumlah di laporan resmi Anda. Ingat bahwa analisis Anda akan maju

lebih lancar jika Anda menangkap pikiran Anda karena hasil. Hal ini tidak hanya

membantu Anda berpikir melalui masalah, tetapi juga merupakan bantuan yang tak

ternilai ketika Anda kembali ke analisis Anda nanti. Sebagai hasil proses, merekam

pikiran Anda tentang motivasi analisis. Selalu memberikan laporan secara lisan dari

koneksi logis dan rincian dalam analisis. Anda tidak akan mendapatkan hasil yang baik

jika mengabaikan rincian dengan sebuah pernyataan bahwa "dapat ditampilkan." Juga,

catatan Anda melayani tujuan arsip tetapi harus diperlakukan berbeda dari laporan

resmi, yang digunakan untuk menyajikan ide-ide Anda dalam bentuk ekonomis untuk

kepentingan orang lain. Catatan Anda adalah untuk Anda gunakan sendiri.

Jika Anda mencapai kebuntuan dalam analisis, menyederhanakan masalah

dengan membuat asumsi tambahan atau dengan memodifikasi masalah

pendefinisian. Setelah Anda memahami versi yang disederhanakan, bahkan jika itu

terlalu sederhana untuk dimasukkan dalam laporan akhir, mungkin memberikan

wawasan yang hanya diminta untuk memecahkan versi yang lebih rumit.

D. Periksa dengan seksama

Bagian ini sangat menarik pada dua primer, sumber cetak: Ver Planck dan Teare

(1954, Bab 6) dan Johnson (1944, Bab 8). "fungsi Rekayasa tidak benar-benar diperiksa

memiliki nilai yang kecil." (Ver Planck dan Teare, 1954, hal 229). Sering menggunakan

cek menengah sangat diinginkan. Analisis Anda harus bebas dari kesalahan penting-

mulai dari menggunakan metodologi yang salah untuk mendapatkan titik desimal

salah. Reputasi profesional Anda tergantung pada reliability- sehingga Anda harus

mencurahkan perhatian serius untuk memeriksa dan memvalidasi pekerjaan. Dalam

mata kuliah mungkin bahaya terbesar yang dihasilkan dari kesalahan Anda adalah untuk

pelajaran kelas, tetapi dalam praktek profesional, keselamatan dan kesehatan orang lain

mungkin menghadapi risiko. Berbeda dengan situasi kelas, keandalan adalah jauh lebih

penting daripada kecepatan. Juga, ketika Anda mempublikasikan sebuah makalah,

kesalahan tetap untuk seluruh dunia untuk melihat dan mungkin kesalahan Anda

menyesatkan orang lain. Karena masalah rekayasa kebanyakan diselesaikan selama

beberapa hari bukan menit, penting untuk mengembangkan kebiasaan menyediakan

dokumentasi langkah-demi-langkah yang tepat dan memeriksa setiap langkah dalam

analisis Anda. Proyek rekayasa sering melibatkan upaya tim, namun secara individual

mempertahankan tanggung jawab untuk menjamin akurasi dari pekerjaan mereka. Tim

keyakinan pada Anda tergantung fundamental pada kemampuan Anda untuk

menghasilkan karya yang benar-benar diuji.

"Sejauh ini cara yang paling efektif untuk memeriksa analisis adalah dengan cara

percobaan yang dirancang dengan baik." (Ver Planck dan Teare, 1954, hal

229).Tergantung pada perspektif seseorang dan pengalaman, sebagai kutipan Fry

sebelumnya menunjukkan, satu akan lebih mudah yakin akan keabsahan suatu analisis

dengan eksperimen atau dengan penalaran yang cermat. Metode ilmiah menyatakan

bahwa percobaan yang dilakukan dengan benar berfungsi sebagai pengadilan akhir

banding ketika analisis dan eksperimen berbeda. Namun, ini tidak berarti bahwa Anda

harus segera dan seragam resor untuk eksperimen-mengabaikan alat-alat matematika

Anda.Di tempat pertama, percobaan sering mengharuskan Anda melakukan beberapa

analisis trivial yang benar membangun percobaan. Percobaan sering mahal dan

memakan waktu. Selanjutnya, tugas dapat dilakukan secara inherent lebih untuk model

eksperimental atau matematika. Tingkat relatif keahlian Anda sebagai seorang modeler

atau sebagai experimentalis, independen dari proyek tertentu, dapat mempengaruhi jalan

mana yang kurang mahal untuk dilalui.

"Metode profesional Baik menyiratkan tidak hanya memeriksa hasil akhir dalam

setiap cara yang masuk akal, tetapi juga memeriksa sering sebagai pekerjaan

berlangsung sehingga analisis yang akurat pada setiap tahap perkembangannya." (Ver

Planck dan Teare, 1954, hlm 229-230). Memeriksa begitu penting sehingga harus

menjadi naluriah dan kebiasaan. Tak diragukan lagi, banyak usaha Anda memeriksa

akan terjadi setelah Anda telah menemukan hasil yang terlihat menjanjikan. Namun,

harus memeriksa bentuk perlakuan pada setiap tahap analisis Anda, bukan hanya setelah

derivasi telah selesai. Kesalahan, bahkan yang sederhana dan mudah terdeteksi, dapat

menyebarkan melalui analisis Anda dan memerlukan waktu yang hilang dengan melacak

kembali langkah Anda.

Dalam bab ini kita lebih tertarik pada teknik yang membuat penggunaan alat

matematika yang lebih efektif (untuk validasi dan untuk membantu Anda mendapatkan

wawasan), jadi mari kita pertimbangkan beberapa teknik-teknik spesifik, termasuk

beberapa yang dapat diterapkan lebih mudah selama pekerjaan Anda berlangsung.

Jenis Pemeriksaan

Dua jenis lain dari pemeriksaan yang sangat berguna: (1) cek secara keseluruhan.

Yang terakhir ini sering bergabung dengan belajar dan generalisasi, dan (2) pemeriksaan

manipulasi (aritmatika, dimensi, dll).

Pemeriksaan berdasarkan Pengalaman Membandingkan hasil Anda dengan

pengalaman sebelumnya dan akal sehat merupakan bentuk yang paling penting, tetapi

sering diabaikan untuk dieriksa. Jika perhitungan menghasilkan hasil yang tidak sesuai

oleh urutan besarnya (misalnya, mobil berbobot dua puluh ton), internal alarm Anda

harus memperingatkan. Ketika Anda mengembangkan lebih banyak pengalaman dalam

keahlian khusus, rasa skala menjadi aset yang kuat. Kadang konversi angka ke dalam

satu set unit lebih akrab  dapat memfasilitasi urutan cek besarnya dengan pengalaman

Anda. Pemeriksaan oleh pengalaman sangat berharga, tapi tentu saja, tidak sempurna.

Dimensi Pemeriksaan. Untuk mewakili secara fisik hubungan yang bermakna,

persamaan harus pada dimensi homogen. Sebagai contoh, masing-masing istilah dalam

persamaan yang terdiri dari penjumlahan harus memiliki satuan yang sama. Ini adalah

kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup. Jika unit tidak konsisten, sebuah

"persamaan" tidak dapat berlaku, tetapi dimensi persamaan homogen mungkin tidak

benar. Artinya, kegagalan untuk memenuhi tes ini adalah bukti positif dari ketidak

tepatan, namun pertemuan tes tidak menetapkan kebenaran nya. Sebagai contoh,

istilah yang hilang tidak akan terdeteksi, atau Anda bisa yakin bahwa parameter

berdimensi memilikimagnitudo yang benar atau tanda.

Nama dan Unit

Ver Planck dan Teare (1954, hal 231) menggambarkan kebutuhan untuk

menggunakan satuan yang sama sebagai berikut:

Persamaan ditulis dengan simbol untuk setiap kuantitas diikuti dengan nama unit

di mana kuantitas yang diungkapkan.

5 apel + 6 = 11 apel apel adalah dimensi homogen, namun5 apel + 1 apel sapi = 6 adalah omong kosong.

Sebuah contoh yang lebih representatif:satu (1 X A (keranjang)+ B 1 -*-*--) XB (pohon) = C (apel) \ pohon /

Unit-unit untuk setiap istilah diperlakukan secara aljabar. Sementara perangkat

lunak simbolik matematika dapat digunakan untuk mengotomatisasi tugas ini, serta

menangani tugas biasa tapi rawan kesalahan konversi unit.

Ada situasi khusus yang harus dipertimbangkan. Numerical konstanta dalam

persamaan dapat mewakili angka murni (misalnya,-FT), tetapi bisa juga tergantung pada

set unit tertentu. Untuk alasan ini, parameter simbolik biasanya lebih dipilih karena unit

mereka dapat diperiksa lebih mudah jika dilakukan treatmen secara simetris dengan

variabel. Untuk tes Misalnya, jika x variabel dalam persamaan kuadrat memiliki satuan

meter, maka jelas parameter a, b, dan c harus memiliki unit juga.

Argumen fungsi khusus yang tertentu, seperti fungsi trigonometri, fungsi

eksponensial, dan fungsi Bessel, adalah nomor/angka murni dan harus berdimensi.

Berwaspada dalam menggunakan satuan ukuran seperti gelar dari pada radian dapat

membuat perbedaan yang jelas. Demikian pula, karena logaritma dari suatu produk

dapat dipisahkan, sebuah ketidak sesuaian mungkin ada. Kadang-kadang suatu hokum

fisik harus diproduksi untuk menyelesaikan proses konversi untuk menunjukkan dimensi

homogenitas.

Dimensi-dimensi

Ini mirip untuk mengecek unit, tetapi masing-masing faktor dalam equation

tersebut kembali ditempatkan oleh rumus dimensi dalam hal jumlah primer seperti

massa (M), panjang (L), dan waktu (T). Berbeda dengan cek unit, hal ini tidak

memverifikasi konsistensi unit sistem. Ver Planck dan Teare (hal. 231) mengilustrasikan

prosedurnya sebagai berikut:

... kepadatan adalah massa per satuan volume, atau massa dibagi dengan panjang kubus, maka [ML 3] dimana M mewakili dimensi massa dan L dimensi panjang. Demikian pula, mungkin diinginkan untuk memiliki formula dimensi untuk tahanan listrik yang dalam hal tegangan dimensi [V], biaya [Q], dan waktu [T], itu adalah [VG_1T], sebagaimana dapat disimpulkan dari Hukum Ohm dan definisi saat ini sebagai muatan melewati sirkuit per unit waktu .... Jika terlalu banyak primer kuantitas terjadi dipilih dalam kasus tertentu, maka akan nec-essary untuk menghilangkan satu atau lebih dari mereka dengan menggunakan hubungan fisik dikenal.Misalnya, dalam masalah dinamika jika semua empat dimensi, gaya [F], massa [M], Panjang [L], dan waktu [T] digunakan sebagai kuantitas primer, maka akan ditemukan diperlukan untuk menghilangkan salah satu dari mereka. Hal ini dilakukan dengan sangat mudah dengan menggunakan hukum Newton / = ma, itu menunjukkan kekuatan yang [F] memiliki rumus dimensi [MLT ^ 2], atau, jika Anda suka, bahwa massa [M] memiliki formula [FL-1T2].

Membatasi Pengecekan Masalah

Membatasi Pemeriksaan kasus adalah teknik yang sangat berguna. Seringkali

pengalaman Anda akan menyarankan apakah suatu ekspresi harus meningkatkan atau

berkurang sebagai parameter setiap peningkatan atau penurunan. Jika kenaikan atau

penurunan hasil tanpa batas sebagai parameter atau variabel berubah, atau harus ada

asimtotik terikat? Atau harus ada maksimum relatif atau minimum?

Memeriksa nilai khusus, seperti 0, 1 e, kelipatan dari n, atau di-finity, seringkali

sangat mudah dan mengungkapkan. Memeriksa nilai-nilai khusus yang sering

memungkinkan Anda untuk membandingkan ekspresi dengan intuitif rasa apa yang

harus terjadi.

Mengidentifikasi perilaku stabil sering dapat diidentifikasi. Sebuah derivasi

independen kasus membatasi sederhana mungkin; konfirmasi independen seperti ini

sangat dapat memperkuat kerahasiaan di derivasi yang lebih umum.

Ver Planck dan Teare (hal. 46) menggambarkan teknik ini menggunakan hasil

eksponensial sederhana dari transfer panas. Pendekatan Suhu T nilai awal T = 0 sebagai

pendekatan waktu nol dan pendekatan T kondisi mapan q / QIA) sebagai meningkatkan

waktu tanpa batas.

Rumus

Membatasi pemeriksaan kasus ini juga memainkan peran penting dalam

membantu memahami pentingnya fisik yang mendasari model dan sering berguna dalam

proses pemodelan ketika menafsirkan makna fisik dari hasil.

Simetri sebagai Pengecekan

Simetri juga menyediakan sarana yang kuat untuk memeriksa derivasi.

Memeriksa hasil untuk fungsi genap dan ganjil sangat mudah dan sering membantu.

Sebagai contoh, jika sebuah variabel memiliki arah yang positif, apa hasil yang

diharapkan jika tanda variabel terbalik? Apakah tanda ekspresi sama atau terbalik?

Adalah F (x) = F (-x) (bahkan) atauF (x) =-F (-x) (aneh)?

Ver Planck dan Teare (hal. 242) menyediakan dua contoh menggunakan symmetry

untuk mengidentifikasi potensi kesalahan.

Rumus(Ver Planck dan Teare, 1954, hal 233.)

Simetri sebagai Periksa

Hambatan ekuivalen untuk rangkaian berikut (lihat diagram) diketahui

GAMBAR 5 Diagram Sirkuit.

Karena R3 dan R4 sama-sama ditempatkan, tentu saja, harus juga ditempatkan dalam persamaan (Ver Planck dan Teare, 1954, hal 243).

Perhatikan bahwa kesalahan di bawah ini tidak dapat terdeteksi dengan cara ini.

GAMBAR 6 skematik Spring.

E. Belajar dan generalisasi Analisis

Analisis harus selalu diakhiri dengan ringkasan penting tentang temuan, dengan

penekanan khusus pada keterbatasan yang ditetapkan oleh asumsi. Tentu saja, semua

asumsi penting harus dibuat eksplisit dari pada implisit. Persamaan matematika yang

tidak berguna untuk insinyur sehingga telah ditafsirkan dalam hal masalah asli. Anda

harus menyatakan secara verbal arti dari persamaan matematika yang sesuai. Jika Anda

tidak dapat menyatakan makna, sangat mungkin Anda belum memahaminya.

Analisis harus biasanya, namun tidak selalu, melibatkan pengujian numerik dari

hasil. Ini akan memperjelas makna dan kelayakan masalah tertentu. Ini memberikan rasa

skala, memperingatkan Anda untuk kesalahan kotor atau mungkin kurangnya

keberhasilan Anda dalam mencari solusi. Akhirnya, diidentifikasi ketidakpastian yang

masih ada harus dinyatakan dengan jelas. Kesalahan selanjutnya jika Anda sembarangan

melebihi kondisi yang didasarkan analisis Anda. Analisis tidak harus disimpulkan

sampai kemungkinan menyederhanakan dan / atau generalisasi analisis telah dianggap,

secara eksplisit dan individual.

Perhatikan sekarang analisis spesifik dalam rangka untuk membuat pembahasan

sebelumnya menjadi lebih konkret. Hal ini juga menggambarkan bagaimana analisis

sederhana dapat membuat sebuah eksperimen yang mahal dan tidak perlu.

VII. CONTOH: KENAIKAN SUHU TERHADAP PERKECAMBAHAN BENIH

Dalam upaya untuk menghasilkan pendekatan yang lebih rasional untuk desain

mesin lapangan dan operasi yang mempengaruhi penanaman tanaman pertanian,

berbagai faktor harus diselidiki. Suhu tanah dikenal sebagai salah satu faktor penting

yang mempengaruhi perkecambahan biji. Hal ini juga diketahui bahwa perkecambahan

sekali telah dimulai, laju generasi panas internal karena respirasi meningkat

pesat. Dapatkah efek termal diukur dengan termokopel di situ?

A. Pernyataan Masalah

Apakah panas respirasi biji berkecambah mengubah suhu tanah dan suhu biji

internal? Dan apakah bisa diukur di situ?

B. Asumsi

Al. Jika faktor-faktor lain yang mempengaruhi perkecambahan tidak terbatas, misalnya,

kelembaban tanah yang tersedia, suhu tanah yang cocok, pasokan oksigen yang cukup,

fisik tanah diterima imperialis-tarian, tidak ada bahan kimia menghambat (alam dan

buatan), sejarah temperatur sebelumnya, dan aktivasi krom nabati dengan panjang

gelombang cahaya yang tepat, benih yang layak.

A2. Perpindahan panas karena sumber eksternal (misalnya, fluktuasi diurnal) dan panas

penguapan dan panas pembasahan diabaikan dalam analisis pertama.

A3. Tanah adalah homogen dan isotropik sehubungan dengan sifat termal.

A4. Hanya pernyataan mapan harus dieksplorasi (pada awalnya). Dengan kata lain,

benih dan tanah akan diasumsikan berada dalam ekuilibrium (dinamis) termal

bergantung pada waktu, dengan suhu tidak pernah dekat beku (untuk menghindari

kesulitan panas laten).

A5. Konstanta termal bergantung pada waktu, temperature dan posisi (untuk benih dan

untuk tanah).

A6. Benih diambil untuk menjadi (awalnya) bola dengan jari-jari r = a (yang akan

berlaku untuk benih tertentu), untuk menjadi produksi-ing panas internal pada tingkat,

seragam konstan A0 per satuan volume per satuan waktu, dan memiliki termal conduc

tivity KQ.

A7. Tidak ada panas yang diproduksi di dalam tanah, yang memiliki konduktivitas K.

A8. Ada kontak termal yang tidak sempurna antara benih dan tanah seperti yang ada

adalah suhu film yang drop di permukaan biji. Secara khusus, energi termal dilakukan

untuk permukaan benih masuk ke dalam tanah pada tingkat sebanding dengan perbedaan

suhu antara benih dan tanah.

A9. Benih cukup jauh di bawah permukaan tanah untuk menjadi relatif tidak

terpengaruh oleh diskontinuitas tanah-ke-udara. A10. Perpindahan panas dalam benih

dan dalam tanah adalah dengan hanya konduksi, yaitu, perpindahan panas karena

perpindahan kelembaban akan diasumsikan terabaikan.

Benih \ TanahA = 0KA J KVl / v2

GAMBAR 7 Benih-tanah skematik.

BenihA0

K0

V1

Asumsi ini ditunjukkan secara skematis pada Gambar. 7.

C. Formulasi Matematika

Karena suhu tanah pada jarak jauh dari pusat benih itu tidak akan

terpengaruh lumayan oleh panas yang dihasilkan oleh benih dalam tanah (yang

akan pada suhu seragam apakah benih itu tidak hadir), suhu yang dapat diambil

sebagai referensi. Dengan kata lain, semua suhu lain dapat dihitung dengan

lim v2 = 0r-»oo

sebagai referensi nol.

Dari Asumsi 10, kita akan menggunakan persamaan konduksi panas, dengan

generasi panas, seperti yang diberikan oleh Carslaw dan Jaeger (1959, hal 10).

"2 1 dv A {x, y, z, t)K dt K W

D. Pengujian dan Diskusi

Sekarang bahwa suhu telah ditemukan di semua titik, cek harus dibuat. Batasi

Periksa Misalkan generasi panas yang nol. Lalu

lim vx = 0 OK (17)Ao-»0lim v2 = 0 OK (18)A) -0Misalkan ukuran benih menjadi makin kecil. Lalulim vi = 0 OK untuk r <a (19) r <a(4)(5)

Kondisi yang diperlukan untuk solusi dari Pers. (4) dan (5) adalah sebagai

berikut. Suhu pada jarak yang besar dari biji harus ap ¬ proach nilai referensi dari nol.

lim v2 (r) = 0 (6) dimana v2 bukan suhu tetapi perbedaan-derajat Celcius dari suhu

referensi. Agar batas antara benih dan tanah tidak dalam lipatan ¬ suhu tanpa batas,

hubungan kontinuitas harus dipaksakan. Aliran panas per satuan luas per satuan waktu

dalam arah peningkatan variabel diberikan oleh

F =-KVD (7)

E. Diskusi Hasil, Asumsi, dan Generalisasi

Dalam pandangan konduksi termal sepanjang termokopel dan diffi-culty dengan

benar menempatkan probe dalam biji, ini tampaknya menjadi pendekatan eksperimental

sia-sia untuk masalah. Gradien yang terjadi biasanya dalam tanah akan jauh lebih besar

daripada yang dihasilkan oleh panas dari respirasi. Namun, jika resistansi kontak

permukaan yang besar, maka suhu internal mungkin terpengaruh cukup untuk mengubah

reaksi kimia di dalam benih. Oleh karena itu, masalahnya mungkin didefinisikan ulang,

jika diinginkan, untuk menjelajahi masalah baru disarankan oleh analisis.

Benih dan tanah suhu akan sering berada di bawah orang-orang dari tes

kalorimeter dengan laju respirasi yang lebih rendah. Air akan diserap oleh benih

(imbibition), tentu saja, mengubah status energi termal dari benih. Konduktivitas termal

dari tanah perubahan radikal dengan kelembaban. Juga, kernel jagung tidak

bulat. Namun, perhitungan di atas dapat diambil sebagai batas pada nilai-nilai yang

sebenarnya.

Bila benih sangat dekat permukaan, metode superposition dari sumber panas dan

tenggelam dapat digunakan. Kasus ekstrim lain dari panas seed padat bola berproduksi

pada tingkat konstan AQ per satuan waktu per satuan volume di udara pada suhu

konstan dapat diperiksa.

v = A-[h (a2 _ r2) + 2al 0 <r <a (37)Onk[Lihat Carslaw dan Jaeger (1959, hal 232).]

Akhirnya, panas respirasi mungkin tidak diproduksi uni-formly seluruh benih.

Secara khusus, suhu embrio akan diharapkan akan lebih tinggi dari endosperma. Hal ini

bisa memiliki konsekuensi penting bagi perilaku benih, tetapi tidak mungkin untuk

mengubah suhu tanah lumayan.

Percobaan respirasi panas tentu harus dilakukan dalam microcalorimeters seperti

praktek saat ini para ilmuwan tanaman. Suhu udara perubahan dalam sebuah ruang

terbatas adiabatik karena benih bernapas mungkin berguna diperiksa.

VIII. KESIMPULAN

Proses menerapkan matematika untuk solusi dari masalah rekayasa adalah

sebuah bentuk seni lama yang menikmati perhatian meningkat pada antarmuka antara

rekayasa dan biologi. Para pres sekarang di mana-mana daya komputasi yang tak

terbayangkan beberapa dekade lalu telah secara besar-besaran memperluas pentingnya

dan ruang lingkup minat pada alat-alat matematika dan pemodelan. Bab ini membahas

proses yang kita gunakan untuk menghubungkan bentuk pemikiran konseptual untuk

masalah solv-ing. Mengelusidasi proses-bahkan aspek-aspek yang jelas bagi praktisi-

membuat proses lebih bermanfaat dan nyaman. Dengan perhatian yang lebih besar untuk

proses marshaling lebih efektif semua alat-alat matematika yang dibangun ke dalam

program pendidikan kita,kita dapat meningkatkan nilai matematika dalam praktek

profesional kami.

Contoh disajikan dalam Bagian VII digunakan untuk membuat beton diskusi

yang lebih abstrak. Luangkan waktu untuk membandingkan bentuk untuk dan langkah-

langkah yang tercantum dalam Tabel 1. Perhatikan bagaimana penggunaan disiplin

langkah-langkah memfasilitasi proses penemuan.

PENGHARGAAN

Saya ingin menyampaikan penghargaan saya kepada Henry D. Bowen, yang

memberikan stimulus minat saya pada subjek ini dan membantu saya menghargai

magic yang melekat dalam pemodelan.

REFERENSI

ASAE. 1967. Yearbook.

Bowen, H. D. 1966. Developing tractable problems from abstract problem situations. ASAE Paper 66-510. St. Joseph, MI: ASAE.

Carslaw, H. C, and J. C. Jaeger. 1959. Conduction of Heat in Solids, 2nd ed. London: Oxford Univ. Press.

Fry, T. C. 1941. Industrial mathematics. Am. Math. Monthly 48, 1-38, Part II of the June-July Supplement.

Johnson, W. C. 1944. Mathematical and Physical Principles of Engineering Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 206-217.

Nahikian, H. M. 1964. A Modern Algebra for Biologists. Chicago, IL: Univ. Chicago Press, p. 2.

Noble, B. 1967. Applications of Undergraduate Mathematics in Engineering. New York: The Mathematical Association of America and The Macmillan Company.

Novak, J. D., and D. B. Gowin. 1984. Learning How to Learn. New York: Cambridge University Press.

Prat, H. 1952. Can. J. Bot. 30: 39.

Ver Planck, D. W., and B. R. Teare. 1954. Engineering Analysis: An Introduction to Professional Method. New York: Wiley, pp. 229-250.