Web viewPada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran...

Y

Gambar 1.1

X

Z

0

V

Hal 1ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN / PU- 2213

____________________________________________________________________________________________________________

BAB IREVIEW BEBERAPA PEMAKAIAN

MATEMATIKA

A. VEKTORA.1 PANJANG DAN ARAH VEKTORBesaran vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Jadi sebuah besaran vektor dicirikan oleh adanya besar dan arah, adapun posisi koordinatnya tidak ‘diperdulikan’ . Pada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran vektor misalnya: kecepatan, gaya, luas permukaan, perpindahan. Sedangkan besaran yang tidak mempunyai arah disebut besaran skalar.

Sebuah besaran vektor V dalam notasi matematik dituliskan:

(1.1) Sedangkan dalam gambar dilukiskan sebagai sebuah anak panah dimana besar vektornya digambarkan sebagai panjang anak panah,

Basis i , j , k masing-masing merupakan vektor yang besarnya satu dan arahya berturut-turut dalam arah sumbu +X, +Y, +Z.

Dua buah vektor disebut sama bila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Sedangkan dua buah vektor disebut berlawanan bila keduanya mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan.

Dengan demikian vektor V pada gambar 1.1 di atas dapat juga di lukiskan menjadi seperti pada Gambar 1.2 di bawah.

Pada gambar 1.2 di bawah terlihat titik tangkap anak panah

vektor V sekarang di titik O, hal ini tak mengapa karena vektor tersebut tetap sama (asalkan besar dan arahnya tetap

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

dan arahnya dinyatakan dengan ujung runcingnya.

Pada persaman 1.1, x, y, z

dinamakan komponen vektor V ,

sedangkan i , j , k disebut basis yang membentang ruang 3-dimensi

Gambar 1.2X

Y

Z

0

V

x

y

z

i j^ k

^U W


____________________________________________________________________________________________________________

sama), jangan perdulikan posisinya. Terlihat dalam Gambar 1.2 U=V (sama ) dan V =− W (berlawanan ) .

Sekarang perhatikan, vektor V tersebut selalu dapat diuraikan (diproyeksikan) ke dalam arah sumbu +X, +Y, dan +Z yaitu V x= i x ; V y= j y ; V z=k z sehingga vektor V merupakan

‘kombinasi’ dari V x , V y , V z atau

V=V x+ V y+ V z .

Jelaslah panjang vektor V dapat dihitung dengan dalil

Phitagoras, sehingga panjang (besar) vektor V :

(1.2)

Seringkali penulisan |V| cukup ditulis V (tanpa tanda panah).

A.2 VEKTOR SATUANVektor satuan adalah vektor yang besarnya ‘satu’. Contoh

vektor satuan adalah: vektor basis i , j , k yang masing-masing arahnya (searah) sumbu +X, +Y, +Z. Bagaimanakah menyatakan sebuah vektor satuan dalam arah selain dalam arah-arah +X, +Y,

+Z diatas? misalnya vektor satuan yang searah vektor V (yang

ditulis V ).

Dapatlah dibuktikan bahwa vektor satuan yang searah dengan

vektor V adalah:

(1.3)

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 1.3

BA

A

D

B

B

A

D

B

E


____________________________________________________________________________________________________________

Silahkan periksa bahwa |V|=1, gunakan persaman 1.2.

A.3 PENJUMLAHAN VEKTOR

Misalnya tiga buah vektor A , B , C masing-masing dinyatakan:A= i A x+ j A y+k A z

B= i Bx+ j By+ k B z (1.4) C= i Cx+ j C y+k C z

secara gambar, misalnya dilukiskan

Maka penjumlahan dua buah vektor (A+B= D ) secara gambar dapat dilukiskan

Gambar 1.3

Sehingga penjumlahan tiga buah vektor A+B+C=E sekarang

dapat dilukiskan seperti pada gambar 1.4.

Gambar 1.4

Cara menjumlahkan vektor baik dengan cara gambar atau cara notasi masing-masing memiliki kelebihan. Dengan cara gambar kita dapat melihat ‘visualisasi’ tentang besar dan arah semua vektor, sedangkan dalam cara notasi kita dapat melakukan analisa secara analitik.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

atau

┐│├│┘

Sedangkan dalam notasi matematik

penjumlahan dua vektor A dan B dinyatakan

(1.5)

A

B

F

B

B

A

F

F

A cos

A

B


____________________________________________________________________________________________________________

A.4 PENGURANGAN VEKTORDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka pengurangan

vektor A−B=F dengan cara gambar dapat dilukiskan

Gambar 1.5

Dalam notasi matematik pengurangan dua vektor A dan Bdinyatakan

(1.6) A.5 PERKALIAN VEKTORDalam ‘dunia’ vektor operasi perkalian antara dua vektor mempunyai definisi yang berbeda dengan perkalian pada bilangan real. Ada dua jenis perkalian vektor yaitu perkalian titik dan perkalian silang.

PERKALIAN TITIKDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi

matematik perkalian titik anatara dua vektor A dan B dinyatakan

(1.7) atau

(1.8) dari persamaan 1.6 dan 1.7 didapatkan

(1.9)

Secara gambar perkalian titik antara vektor A dan B dapat dilukiskan sebagai berikut.

Gambar 1.6

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

atau

Dengan melihat persamaan 1.8, gambar 1.6 dapat dijelaskan bahwa perkalian titik

antara dua vektor A dan B adalah perkalian

antara proyeksi |A| pada B dan |B|, dimana proyeksi |A| pada Badalah |A| cos θ.

A

B

BAarah


____________________________________________________________________________________________________________

Contoh aplikasi dari perkalian titik ini misalnya ketika menghitung usaha oleh gaya F yang menghasilkan pergeseran sejauh x seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini

Usaha oleh gaya F adalah U= F x cos θ . Dengan melihat persamaan

1.8 usaha oleh F dapat juga ditulis U= F⋅x ; ingatlah seperti ditulis diawal, gaya dan pergeseran masing-masing adalah besaran vektor. Perhatikan juga hasil dari perkalian titik adalah sebuah besaran skalar, dalam contoh diatas usaha adalah skalar. Catatan: sering kali besarnya suatu vektor misalnya

|F|cukup ditulis F .

PERKALIAN SILANGDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi

matematik, hasil perkalian silang antara dua vektor A dan B adalah determinan matriks berikut

(1.10) atau

(1.11) Terlihat hasil dari perkalian silang adalah sebuah vektor baru. Kemanakah arah vektor baru itu? - Lihatlah deskripsi

perkalian silang A×B dalam gambar 1.8 di bawah.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Arah hasil kali silang A×B dapat ditentukan dengan cara membayangkan arah

sekrup. Jika vektor A dan B membentuk

bidang maka arah A×B adalah tegak lurus terhadap bidang tersebut dan searah dengan arah sekrup jika sekrup diputar dalam arah AB (dalam contoh ini searah jarum jam, sehingga sekrup bergerak ke bawah).

F

x

Gambar 1.7

F

x

B

F

AGambar 1.10

Gambar 1.11

2F

1r

A2r

1F

B


____________________________________________________________________________________________________________

Gambar 1.8

Adapun besar vektor A×B dapat diperoleh dengan dalil Phitagoras

(1.12)

atau

(1.13)

A.6 INTEGRAL GARIS

Terlihat, pendekatan dengan mengambil segmen-segmen lintasan lurus akan menghasilkan bentuk lintasan yang ‘kasar’ karena

pengambilan panjang segmen-segmen r i cukup besar, sehingga bentuk lintasan tidak mirip seperti aslinya.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Pada gambar di samping, sebuah gaya F menghasilkan pergeseran sejauh x sehingga usaha yang dilakukan oleh

gaya F adalah U= F⋅x , Persamaan ini berlaku untuk lintasan x yang lurus. Bagaimanakah menghitung usaha oleh gaya F yang menghasilkan lintasan melengkung dari A ke B seperti terlihat pada gambar 1.10.

Gambar 1.9

Menghitung usaha oleh gaya F dapat didekati dengan membagi lintasan A B menjadi beberapa segmen lintasan lurus seperti diperlihatkan oleh gambar 1.11. Usaha total oleh F adalah jumlah setiap usaha pada masing-masing segmen tersebut:

Dimana,U i= F i⋅ri

sehingga,

U≃∑i=1

nFi⋅r i

nUUUU ...21

D

A

n


____________________________________________________________________________________________________________

Agar pendekatan yang diambil dapat lebih bagus maka segmen-

segmen lintasan r i harus diambil sekecil mungkin dengan resiko banyaknya segmen (n) bertambah bayak. Tentu saja paling sempurna adalah dengan mengambil segmen-segmen yang kecilnya mendekati nol sehingga n=, secara matematis hal ini dapat ditulis:

U=limr→0∑i=1

nFi⋅ri

(1.14a)atau

(1.14b)

Inilah yang disebut integral lintasan, dimana vektor F adalah sembarang vektor, dan d r adalah elemen diferensial (segmen-segmen) lintasan.

A.7 INTEGRAL PERMUKAAN

Dan kerapatan fluk (D) adalah jumlah lintasan partikel

persatuan luas atau D=φ/ A, Sehingga .

Gambar 1.13 di bawah melukiskan lintasan dengan kerapatan D menembus permukaan secara tidak tegak-lurus terhadap luas penampang A (membentuk sudut terhadap normal bidang). Sehingga fluks total yang menembus permukaan A adalah

kerapatan fluks D diproyeksikan dahulu pada arah normal n

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 1.12

Gambar disamping melukiskan lintasan partikel-partikel air pada suatu penampang pipa air. Didefinisikan bahwa fluks () adalah jumlah lintasan partikel yang menembus penampang seluas A secara tegak-lurus terhadap penampang (sejajar dengan normal bidang A),

φ=(D cos θ) ( A ) atauφ=DA cos θ (1.15)

(1.16)

Pada persamaan di atas, karena komponen kerapatan fluks D harus tegak-lurus terhadap penampang luas maka komponen Gambar 1.13

Gambar 1.14

A1D1


____________________________________________________________________________________________________________

permukaan A, kemudian dikalikan dengan A. Perhatikan kerapatan fluks D dan luas permukaan A merupakan besaran vektor. Perhatikan pula persamaan 1.16 hanya berlaku untuk penampang A yang datar.

Bagaimanakah menghitung fluks pada permukaan yang tidak datar atau melengkung ? Gambar 1.14 di bawah melukiskan permukaan lengkung yang ditembus oleh listasan-lintasan partikel.

Sehingga,

Agar pendekatan yang diambil dapat lebih bagus maka segmen-

segmen luas Ai harus diambil sekecil mungkin (semakin kecil

akan semakin mendekati bentuk datar) dengan resiko banyaknya segmen (n) bertambah bayak. Tentu saja paling sempurna adalah dengan mengambil segmen-segmen yang kecilnya mendekati nol sehingga n=, secara matematis hal ini dapat ditulis:

φ= lim

Ai→ 0∑i=1

nDi ¿ A i

(1.17a)atau

(1.17b)

Inilah yang disebut integral permukaan. Secara umum, vektor D

adalah sembarang vektor dan d A adalah elemen diferensial (segmen-segmen) luas.

B. OPERATOR DEL (∇)

B.1 OPERATOR DEL (∇) DAN BEBERAPA JENIS OPERASINYA OPERATOR DAN OPERANSeorang pegawai tukang ketik biasanya disebut juga operator mesin ketik, sedangkan mesin ketiknya disebut operan. Jadi

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Untuk menghitung fluks total pada permukaan yang lengkung dapat dilakukan dengan cara membagi-bagi luas menjadi beberapa segmen luas yang hampir datar, kemudian jumlahkan semua fluks pada masing-masing segmen:

φ=φ1+φ2+.. .+φndimana,

φ i=Di⋅A i


____________________________________________________________________________________________________________

operator adalah seseorang (sesuatu) yang mengoperasikan suatu obyek (misalnya mesin ketik). Sesuatu yang menjadi obyek operasi disebut operan (mesin ketik), adapun nama dari operasinya adalah mengetik. Jadi seorang operator komputer akan mengoperasikan suatu obyek operan yaitu komputer, dan nama operasinya bisa mengetik, memasukkan data, ngegame, dll

Dalam matematika ada berbagai jenis operator misalnya operator

turunan ( ), operator ini dapat beroperasi pada suatu

operan misalnya sehingga bentuk operasinya

dan hasil operasinya adalah .

OPERATOR DEL ()Operator Del didefinikan sebagai

(1.18)Operator ini dapat bekerja pada beberapa jenis operan, dan melakukan berbagai jenis operasi.

OPERASI GRADIEN Operator Del melakuakan jenis opersi Gradien bila bekerja pada

operan berupa fungsi skalar dengan definisi

OPERASI DIVERGENSI Operator Del melakukan jenis opersi Divergensi bila bekerja

pada operan berupa fungsi vektor dimana

Definisi operasi Divergensi adalah

OPERASI CURL Operator Del melakukan jenis opersi Curl bila bekerja pada

operan berupa fungsi vektor dimana

Definisi operasi Curl adalah

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

OPERATOR LAPLACIAN (2)Operator Laplacian didefinisikan

Bila beroperasi pada sebuah fungsi skalar maka bentuk operasinya

Bila beroperasi pada fungsi vektor dimana

Maka bentuk operasinya

C SISTEM KOORDINATPada semua pembahasan diatas kita telah menggunakan sistem koordinat kartesian. Dalam sub bab ini akan diperkenalkan beberapa sistem kordinat yang lain yaitu: Koordianat Silinder, dan Koordinat Bola.

C.1 SISTEM KOORDINAT SILINDER

Sebuah titik P selain dinyatakan dengan koordinat kartesian P(x,y,z), dapat juga dinyatakan dalam koordinat silinder P(,,z). Hubungan transformasi masing-masing koordinat adalah

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

Adapun elemen-elemen diferensial panjang, luas, dan volume dinyatakan

Untuk keperluan metransformasi medan (fungsi vektor) dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain perlu mengetahui hasil-hasil perkalian titik dari masing-masing basis

C.2 SISTEM KOORDINAT BOLA

Sebuah titik P selain dinyatakan dengan koordinat kartesian P(x,y,z), dapat juga dinyatakan dalam koordinat bola P(r,,). Hubungan transformasi masing-masing koordinat adalah

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Cos -sin 0

Sin Cos 0

0 0 1


____________________________________________________________________________________________________________

Adapun elemen-elemen diferensial panjang, luas, dan volume dinyatakan

Untuk keperluan metransformasi medan (fungsi vektor) dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain, maka perlu mengetahui hasil-hasil perkalian titik dari masing-masing basis

C.3 BERBAGAI OPERASI DEL DALAM KOORDINAT TABUNG

C.4 BERBAGAI OPERASI DEL DALAM KOORDINAT BOLA

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Sin Cos Cos cos -sin

Sin Sin Cos sin Cos

Cos -sin 0


____________________________________________________________________________________________________________

TEOREMA DIVERGENSI

Ruas kiri menyatakan integral permukaan tertutup s, sementara ruas kanan menyatatakan integral volume dimana vol adalah volume yg dibatasi oleh permukaan tertutup s.

TEOREMA STOKES

Ruas kiri menyatakan integral lintasan tertutup c, sementara ruas kanan menyatatakan integral permukaan dimana s adalah permukaan yg dibatasi oleh kurva tertutup c.

BAB IIDISKRIPSI GELOMBANG

2.1 REVIEW TENTANG GELOMBANG Secara umum gelombang adalah solusi dari persamaan diferensial berikut

Dimana salah satu solusi dari persaman diferensial tersebut adalah:

Ψ ( z , t )=A cos (ωt±βz+ϕ ) dimana β=ω

v Dalam representasi notasi euler solusi diatas biasa ditulis

Ψ ( z , t )=A e j (wt±βz ) atau dalam bentuk fasor

Ψ s( z ,t )=A e j(±βz ) disini A=A e jϕ

2.2 GERAK OSILASI SEDERHANA

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 2.1

t

bb

t

Gambar 2.3


____________________________________________________________________________________________________________

Gerak osilasi sederhana adalah gerak lurus yang memenuhi persamaan gerak

Pada persamaan di atas, argumen (t + ) disebut fasa, sedangkan y menyatakan simpangan, A menyatakan amplitudo, menyatakan frekuensi sudut, t menyatakan waktu, dan menyatakan fasa awal. Persamaan di atas bila digambar dalam sumbu y dan t adalah sebagai berikut:

Gambar 2.2 memperlihatkan sebuah partikel bergerak melingkar yang sedang berada di titik b, perhatikan proyeksinya pada sumbu y dan pemetaannya pada grafik gelombang sinus. Dapatlah dibayangkan bahwa proyeksi partikel pada sumbu y adalah gerak osilasi.Grafik sinus pada gambar 2.2 di atas menyatakan juga proyeksi partikel pada sumbu y tetapi juga dipetakan pada sumbu waktu.

2.3 GEJALA GELOMBANG Sebuah gelombang dicirikan oleh adanya perambatan energi melalui suatu medium tetapi medium itu sendiri tidak ikut merambat, Contohnya adalah gelombang tali,gelombang air, gelombang suara.

Bila pada suatu tempat pada tali itu kita tandai, misalnya dengan mengecatkan warna putih. ternyata tanda putih itu hanya bergerak naik-turun saja, tidak bergerak sesuai arah perambatan gelombang. Demikian pula titik-titik yang lain pada

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Untuk mengamati gelombang tali dapat dilakukan dengan mengikatkan tali pada paku di tembok, kemudian ujung yang lain digerakkan naik-turun. Gambar 2.3 menggambarkan sebuah gelombang tali.

Tampak pada gambar 2.1, simpangan y berubah-ubah secara periodik (bolak-balik). Contoh gerak osilasi adalah gerak bandul matematik dan gerak beban yang terikat pada pegas. Sesungguhnya gerak osilasi dapat juga dibayangkan sebagai proyeksi pada sumbu y dari gerak pertikel yang sedang bergerak melingkar dengan kecepatan sudut .

Gambar 2.2

y

yy

t

y

Gambar 1.4

y

Aabyb

xxb


____________________________________________________________________________________________________________

tali, sebuah titik yang semula diam tiba-tiba bergerak naik-turun seakan ada yang menggerakkan. Siapa yang menggerakkan?

Ternyata titik itu digerakkan oleh titik disebelahnya yang melakukan gerakan naik-turun lebih dahulu, demikian seterusnya setiap titik akan ‘menularkan’ gerakan naik-turun pada titik sebelahnya. Jadi tali dalam hal ini sebagai medium tidak bergerak dalam arah perambatan gelombang tetapi hanya bergerak naik-turun saja akibat tertular gerak naik-turun titik sebelahnya. Karena gerak naik-turun adalah suatu energi mekanik maka proses menularkan gerak naik-turun adalah proses memindahkan energi dari satu titik ke titik sebelahnya.

Ingat, hanya energilah yang dipindahkan atau dirambatkan, bukan mediumnya yang dirambatkan. Demikian pula dengan gelombang air atau pun gelombang suara.

Titik-titik pada tali, gerakan naik-turunnya tidak searah dengan arah perambatan gelombang tetapi tegak lurus , gelombang dengan ciri seperti itu disebut dengan gelombang transversal. Seandainya gerakan titik itu searah dengan arah perambatan gelombang maka gelombang itu disebut gelombang longitudinal, contohnya gelombang longitudinal adalah gelombang suara dan gelombang pegas.

2.4 PERSAMAN GELOMBANG Perhatikanlah gambar 1.4 di bawah ini yang menggambarkan sebuah gelombang tali. Misalkan, gelombang tersebut merambat pada arah kekanan dengan kecepatan rambat v.

Sedangkan titik b keadaannya berada pada simpangan yb, akan bergerak ke atas dan jaraknya dari sumber adalah xb . Fasa dapat dinyatakan dengan satuan sudut. Memang pada lazimnya fasa dinyatakan dengan sudut. Nah, bagaimana menyatakan fasa dalam satuan sudut?

Perhatikan gambar 1.5 dimana sebuah titik pada gelombang dapat dipandang sebagai proyeksi sebuah titik yang bergerak pada lingkaran dengan kecepatan sudut tetap dengan jejari A, ketika kedudukan titik pada lingkaran berada pada sudut

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Keadaan tertentu dari suatu titik pada tali disebut fasa misalnya titik a keadaannya berada pada simpangan nol, akan bergerak ke bawah, dan jaraknya dari pusat koordinat adalah -xa.

Gambar 1.5

bb

y

x


____________________________________________________________________________________________________________

tertentu, sudut inilah yang digunakan sebagai besaran fasa (dihitung dari sumbu x positip).

jarak ini disebut juga panjang gelombang biasanya dinotasikan dengan . Jarak ini oleh perambatan gelombang ditempuh dalam waktu T yang disebut perioda waktu.Banyaknya perioda yang terbentuk dalam waktu satu sekon disebut frekuensi dinotasikan f. Ini semua berarti harus berlaku

f=1/Tv=λ /T= λ f

Bila dikaitkan kembali dengan gambar 1.5 maka satu perioda adalah ditempuhnya satu lingkaran penuh oleh satu titik pada lingkaran, ini berarti frekuensi adalah jumlah putaran yang ditempuh suatu titik pada lingkaran itu dalam waktu satu sekon, sehingga

ω=2 πf =2 π /T Setiap titik pada tali akan mempunyai kedudukan /

simpangan y sebagai fungsi dari x dan t yaituy ( x ,t )=sin ( βx−ωt+ϕo ) atauy ( x ,t )=cos (βx−ωt+ϕ 'o)

Bila gelombang merambat kekiri makay ( x ,t )=sin( βx+ωt+ϕo) atauy ( x ,t )=cos (βx+ωt+ϕ 'o )

Argumen dari sin atau cos diatas yaitu (x±t+o) merupakan satuan sudut, inilah yang dinamakan fasa. dinamakan tetapan gelombang (=2/), o disebut fasa awal atau fasa ketika x=0 dan t=0 biasa disebut juga tetapan fasa.

2.5 PRINSIP SUPERPOSISIDua buah gelombang atau lebih dapat berada pada (lokasi)

medium yang sama, bentuk akhir dari beberapa gelombang pada sebuah lokasi dinamakan superposisi dari beberapa gelombang tersebut. Misalnya pada seutas tali, ujung yang satu (kiri) menjadi sumber gelombang, ujung yang lain (kanan) menjadi sumber gelombang yang lain, kedua gelombang akan menjalar pada tali yang sama, bentuk akhir dari kedua gelombang yang

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Sedangkan simpangan maksimum yang dapat dicapai sebuah titik adalah A disebut amplitudo. Jarak satu perioda adalah jarak antar titik terdekat yang fasanya sama,

Gambar 1.6a Gambar 1.6b Gambar 1.6c Gambar 1.6d


____________________________________________________________________________________________________________

kebetulan saling berlawanan arah ini disebut superposisi gelombang.

Gambar 1.6c di atas memperlihatkan hasil superposisi maksimum dari dua buah pulsa gelombang yang bertabrakan dari kiri dan kanan. Perhatikan, Setelah bertabrakan kedua pulsa ‘berpisah’, seperti yang terlihat pada gambar 1.6d.

Kata superposisi disini dapat diperluas artinya yaitu: suatu operasi penjumlahan yang bersifat linier atau dalam hal ini penjumlahan biasa. Artinya hasil akhir dari beberapa gelombang yang berada pada suatu lokasi yang sama adalah penjumlahan biasa dari beberapa gelombang tersebut. Untuk contoh tali diatas misalnya gelombang dari kiri adalah y1(x,t) sedang yang dari kakan y2(x,t) maka hasil superposisi keduanya adalah

y R(x , t )= y1 (x ,)+ y2 ( x , t )N buah sirine yang yang masing-masing menghasilkan gelombang y1, y2, y3, … ,yN akan menghasilkan superposisi gelombang diudara:

y R= y1+ y2+ y3+. ..+ y N

MENJUMLAHKAN FUNGSI SINUSOIDAL Untuk kasus dua buah gelombang dengan frekuensi, dan fasa awal sembarang tetapi amplitudo sama, misalnya

y1=A sin ( βx−ω1 t+ϕo1 )y2=A sin( βx−ω2 t+ϕo 2)

maka hasil penjumlahan yR=y1+y2 dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan penjumlahan sin:

sin B+sin C=2sin 12(B+C ) cos 1

2(B−C )Sedangkan untuk kasus gelombang-gelombang yang frekuensi () dan tetapan gelombangnya () sama tetapi fasa awal dan amplitudo sembarang dapat dilakukan dengan teknik fasor, misalnya

y1=A1cos ( βx−ωt+ϕo 1 )y2=A2cos ( βx−ωt+ϕo 2 )y3=A3 cos( βx−ωt+ϕo3)

.

.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

yd

yp

Gambar 1.7


____________________________________________________________________________________________________________

y N=AN cos (βx−ωt+ϕoN )maka langkah-langkah untuk mendapatkan yR=y1+y2+y3+…+yN adalah sebagai berikut:

Hasil penjumlahan N buah gelomang tersebut adalah yR= AR

cos (x-t+R) sehingga yang harus di cari adalah AR dan R.

Hitung AR dan R dengan cara:

AR={(∑i=1

N

A i cosϕoi)2

+(∑i=1

N

A i sin ϕoi)2}

1/2

ϕ R=tan−1(∑i=1

N

A isin ϕoi

∑i=1

N

Ai cos ϕoi )2.6 GELOMBANG BERDIRI Perhatikan gambar 1.7 dibawah ini. Pada gambar tersebut, sebuah pulsa gelombang pada tali yang menjalar kekanan akan dipantulkan oleh dinding tembok, hasil pemantulan adalah sebuah pulsa yang bergerak kekiri dengan fasa berlawanan, ini terlihat dari kedudukan puncak pulsa pantulan yang berlawanan dengan puncak pulsa sebelumnya, sehingga beda fasa kedua pulsa tersebut sebesar 180o. Bila yang dikrimkan bukan pulsa tetapi gelombang (terus-menerus) yang merambat kekanan maka gelombang tersebut juga akan dipantulkan oleh dinding. Hasil pemantulan tersebut akan merambat kekiri dengan fasa yang berlawanan.

Kedua gelombang ini akan bertabrakan (bersuperposisi) sehingga menghasilkan gelombang yR

y R= yd+ y p

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Sebut saja gelombang yang merambat kekanan sebagai gelombang datang (yd) dan gelombang yang merambat kekiri sebagai gelombang pantul (yp).

yd=A sin ( βx−ωt )y p=A sin (− βx−ωt+180o )

Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus


2 (B−C )maka didapat

y R=2 A cos βx sin ωtyR ini disebut sebagai gelombang berdiri yang berbeda dengan gelombang biasa (berjalan). Persamaan yR tersebut dapat dituliskan

y R=A ' sin ωt

dimana A '=2 A cos( βx ). Dalam hal ini

Gambar 1.9

simpangan


____________________________________________________________________________________________________________

osilator harmonik yang independen dengan amplitudo A’ yang

merupakan fungsi x karena A '=2 A cos(kx ), hal ini menunjukkan juga bahwa pada x=(n+1

2 )π /k maka A '=0, artinya akan ada titik-titik tertentu di sepanjang tali yang amplitudo osilatornya nol. Tabel dibawah ini menunjukkan perbedaan antara gelombang berdiri dan gelombang berjalan.

Gelombang Berdiri Gelombang BerjalanPada setiap titik Amplitudonya bervariasi

Pada setiap titik Amplitudonya sama

Ada titik-titik yang amplitudonya nol

Tak ada titik yang amplitudonya nol

Tidak ada perambatan Ada perambatan2.7 POLARISASI

Lakukanlah percobaan berikut: 1. Ikatkan ujung sebuah tali yang cukup panjang pada sebuah

tiang lalu tarik, ujung yang lain dipegang dan buatlah sebuah gelombang vertikal dengan menggerakkan tangan naik-turun (vertikal). Karena tangan anda bergerak dalam arah vertikal maka gelombang yang terjadi adalah gelombang yang berpolarisasi linier vertikal (kata linier karena gerakan tangan anda embuat garis lurus dan vertikal).

2. Sekarang buat gelombang dengan cara menggerakkan tangan horisontal maka gelombang yang terjadi adalah sebuah gelombang dengan polarisasi linier horisontal.

3. Sekarang lakukan gerakan tangan, mula-mula seperti percobaan (1) diatas yaitu dengan menggerakkan tangan lurus naik-turun vertikal, kemudian gerakan naik-turun tersebut diubah arahnya dari vertikal agak sedikit miring kekanan secara kontinu, lalu ubah sedikit demi sedikit arah kemiringan sehingga membuat satu lingkaran penuh. Ulangi terus sampai gelombang tali yang terjadi terlihat melingkar-lingkar seperti terlihat pada gambar 6.9. Polarisasi yang terjadi ini disebut polarisasi lingkaran.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus


2 (B−C )maka didapat

y R=2 A cos βx sin ωtyR ini disebut sebagai gelombang berdiri yang berbeda dengan gelombang biasa (berjalan). Persamaan yR tersebut dapat dituliskan

y R=A ' sin ωt

dimana A '=2 A cos( βx ). Dalam hal ini

Sebuah cahaya (foton) dapat memiliki salah satu jenis polarisasi: Linier, Lingkaran, atau bahkan Elips. Tetapi seberkas cahaya lampu atau matahari yang terdiri dari milyaran foton dan masing-masing foton memiliki jenis


____________________________________________________________________________________________________________

polarisasinya sendiri sehingga secara total berkas cahaya matahari polarisasinya adalah acak atau sering disebut takterpolarisasi.

2.8 TEORI HUYGENSCobalah anda ganggu air di bak dengan cara mencelupkan tangan ditengah bak tersebut, maka terlihat riak air yang melingkar dan menjuhi tangan anda. Lingkaran riak air yang terlihat adalah muka gelombang. Teori Huygens menyatakan bahwa setiap titik pada muka gelombang merupakan sumber gelombang baru. Teori ini dapat menjelaskan berbagai gelala gelombang seperti interferensi, difraksi, dan lain-lain.

BAB IIISOLUSI GELOMBANG DARI PERSAMAAN MAXWELL

3.1 GELOMBANG DATAR DALAM BAHAN KONDUKTIVSecara lengkap persamaan-persamaan Maxwell adalah:

∇⋅ε E=ρv (3.1a)∇⋅B=0 (3.1b)

∇×E=−∂B∂ t (3.1c)

∇×Bμ=J+ ∂ ε E

∂ t (3.1d)

dimana J=σ E dan

Bμ= H

.Konstanta-konstanta ε , μ , σ merupakan karakteristik bahan/medium

pada mana medan E dan B berada, masing-masing dinamakan ‘permitivitas’, ‘permeabilitas’, dan ‘konduktifitas’, dan

memenuhi definsi ε=ε r ε o dan μ=μr μ0.

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

Jika diasumsikan bahwa setiap atom dalam bahan/medium mempunyai jumlah proton dan elektron sama sehingga muatan

totalnya nol, berarti rapat muatannya ρv=0 , sehingga persamaan Maxwell diatas menjadi:

∇⋅ε E=0 (3.2a)∇⋅B=0 (3.2b)

∇×E=−∂B∂ t (3.2c)

∇×Bμ=σ E+ ∂ ε E

∂ t (3.2d)

Dengan sedikit manipulasi, persamaan-persamaan Maxwell di atas

akan dapat memberikan solusi gelombang E dan B yang dalam bentuk fasor dituliskan:

E s( z )=Em e±γ z(3.3)

Bs ( z )= Bm e± γ z atau H s ( z )=H me±γ z

; H=

Bμ

yang merupakan gelombang datar dimana

γ= jω√μ(ε− j σω )

(3.4)

=α+ jβ (3.5)dapat diturunkan bahwa:

α=ω√ με√2 [√1+( σ

ωε )2−1]

1/2

Np /m(3.6)

β=ω√ με√2 [√1+( σ

ωε )2

+1]1/2

rad /m (3.7)

dengan substitusi (3.5) ke (3.3) maka ekspresi (3.3) menjadi:

E s( z )=Em e±(α+ jβ ) z(3.8)

Tanda ± pada ± γ menyatakan perambatan E dan B merambat kakanan (arah z membesar) jika − γ (bertanda minus), atau jika sebaliknya kekiri. Dapatlah dipilih salah satu, untuk kemudahan biasanya diplih − γ sehingga persamaan (3.8) menjadi

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

E s( z )=Em e−αz e− jβz

dimanaEm=Em e jφ

Jadi solusi E( z ) bila dituliskan dalam bentuk yang lengkap (bukan fasor):

E( z )=Em e−αz e jωt e− jβz e jφ atau

E( z )=Em e−αz e j (ωt−βz+φ )(3.9)

sehingga bentuk realnya E( z )=Em e−αz cos (ωt−βz+φ ) (3.10)

Didefinisikan pula impedansi karakteristik bahan η yaitu:

η=√ μ

(ε− j σω )

= √ με

[1+( σωε )

2 ]1/4 e

j12 tan−1( σ

ωε )= EH

(3.11)

=|η| e jθη =

EH

sehingga

H s=Eη=

E|η|

e− jθη

(3.12)maka bentuk riel gelombang H adalah

H ( z )=Em

|η|e−αz cos (ωt−βz+φ−θη )

(3.13)

3.2 GELOMBANG DALAM BAHAN NONKONDUKTIFBahan nonkonduktiv adalah bahan dimana σ≃0 sehingga beberapa persamaan yang didapat terdahulu menjadi terkoreksi dengan mengabaikan (menganggap nol) harga σ .

Perhatikan persamaan-persamaan yang telah terkoreksi berikut:J=0 (3.14)

γ= jβ= jω√με (3.15)α=0 (3.16)

β=ω √με (3.17)

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 3.1

x

yz

Ex

Hy

Vz


____________________________________________________________________________________________________________

η=√ με (3.18)

E( z )=Em cos (ωt−βz+φ)) (3.19)

H ( z )=Em

ηcos (ωt−βz+φ )

(3.20)

Khusus untuk medium udara atau ruang hampa harga μr=εr=1 yang

berarti μ=μo dan ε=ε o sehinggaγ= jβ= jω√μoε o

β=ω √μo ε o=ωc=2 π

λ; c=3×108 m / s

η=√ μo

ε o=377

3.3 PERBEDAAN GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTIF DAN NONKONDUKTIF

Gelombang pada persamaan (3.19) dan (3.20) adalah gelombang yang menjalar didalam bahan nonkonduktiv (σ≃0), perhatikan pada kedua gelombng E( z ) dan H ( z ) tersebut:

1) Tidak ada suku e−αz karena α=0 artinya tak ada redaman

2) Konstanta fasa φ untuk medan E( z ) dan H ( z ) sama karena

impedansi karakteristiknya bilangan real η=√ μ

ε

Gambar 3.1 di bawah mengilustrasikan gelombang Ex( z ) dan H y ( z )

pada medium nonkonduktiv, perhatikanlah arah medan E( z ) dan H ( z ) saling tegak lurus, dan masing-masing juga tegak lurus terhadap arah penjalaran (sumbu z).

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 3.2

x

y

z

Ex

Hy


____________________________________________________________________________________________________________

Sekarang perhatikan Gambar 3.2 berikut yang mengambarkan

gelombang E( z ) dan H ( z ) pada medium konduktiv yaitu medium dimana σ >>0

Terlihat, bahwa:

1) Karena α≠0 maka terdapat suku e−αz yang merupakan faktor

peredam terhadap amplituto gelombang, sehingga gelombang teredam secara eksponensal negatif. α disebut konstanta redaman.

2) Pada z=Δz=1α amplitudo gelombang tersisa Em e−1

, harga z=1

α disebut ‘skin depth’ (δ ), jadi δ=1α.

3) Gelombang Ex( z ) dan H y ( z ) tidak sefasa karena konstanta fasa berbeda dengan selisih θη (lihat persaman (3.11) dan (3.13)), hal ini disebabkan besaran impedansi karakteristik bahan (η ) merupakan bilangan kompleks

η=|η| ejθη

.

Terlihat pula arah medan E( z ) dan H ( z ) saling tegak-lurus, dan masing-masing tegak-lurus juga terhadap arah penjalaran gelombang (sumbu z).

DAYA DAN VEKTOR POYNTING (℘)

Vektor Poynting ℘ didefinisikan sebagai

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

℘=E× H watt/m2

Vektor poynting menyatakan banyaknya rapat daya pada permukaan yang dilewati oleh suatu gelombang atau intensitas gelombang pada permukaan yang dilewati, sedangkan arah vektornya menunjukkan arah perambatan gelombang.

MisalnyaEx=Em e−αz cos (ωt−βz ) ax dan

H y=Em

|η|e−αz cos (ωt−βz−θη ) ay

Maka besarnya vektor Poynting,

℘=Ex H y sin (900 )=Em

2

|η|e−2 αz cos (ωt−βt ) cos (ωt−βt−θη )

Adapun arah vektor Poynting sesuai aturan sekrup adalah dalam

arah sumbu z (℘z=Ex× H y).

VEKTOR POYNTING RATA-RATAKarena vektor Poynting masih merupakan fungsi yang berfluktuasi terhadap waktu, maka perlu didefinisikan vektor poynting rata-rata waktu:

℘av=1T ∫0

T

℘( t )dt dimana T adalah perioda (1/f).

Untuk contoh Ex dan H y di atas maka

℘av=12

Em2

|η|e−2 αz cos θη

Pada contoh diatas, gelombang adalah teredam dengan α≠0 dan η kompleks, maka jika gelombang tak teredam (α=0 dan η real) vektor poynting rata-ratanya adalah:

℘av=12

Em2

η

POLARISASI

BAB IVPANTULAN GELOMBANG

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

z

Et

Ht

v

Ei

Hi

v

-v

Er Hr

0Gambar 4.1


____________________________________________________________________________________________________________

4.1 PANTULAN TEGAK LURUS PADA BATAS DUA MEDIUM

dan sebagian juga ada yang diteruskan sebagai gelombang

transmisi Et dan H t di meduim 2 (z>0). Bila kita tuliskan semua

gelombang tersebut :Ex

i = Em 1+ e

−γ1 z

H yi =

Em1+

η1e−γ1 z

Exr = Em1

− eγ1 z

H yr =−

Em 1−

η1e γ1 z

Ext =Em2

+ e−γ2 z

H yt =

Em2+

η2e− γ2 z

Karena di z=0 harus berlaku prinsip kontinuitas maka di titik tersebut harus berlaku syarat batas kontinuitas :Medan E :

[ Exi + Ex

r ]z=0=[ Ext ]z=0 sehingga Em1

+ + Em 1− =Em 2

+ (4.1)

Medan H:

[ H yi +H y

r ]z=0=[ H yt ]z=0sehingga

Em1+

η1−

Em 1−

η1=

Em 2+

η2 (4.2) Dari (4.1) dan (4.2) didapat :

Em1−

Em1+ =

η2−η1

η2+ η1= Γ

(4.3)Disebut koefisien pantul (refleksi), dan

Em 1−

Em 1+ =

2 η2

η2+ η1=T ; T=1+ Γ

(4.4)Disebut koefisien transmisi.4.2 PANTULAN TEGAK LURUS PADA BATAS TIGA MEDIUM

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar di samping memperlihatkan

sebuah gelombang datang Ei dan H i

datang dari medium 1 (z<0), gelombang tersebut pada perbatasan medium (z=0) akan di pantulkan

sebagai gelombang pantul Er dan H r,

. . .

Z=0 Z=d Z Daerah 1 Daerah 2 Daerah 3

0 z=d

Daerah 3 Daerah 2 Daerah 1


____________________________________________________________________________________________________________

BAB V____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 4.2


____________________________________________________________________________________________________________

SALURAN TRANSMISI UNTUK SINYAL SINUSOIDAL

Pada rangkaian listrik, dimensi rangkaian biasanya lebih kecil dibandingkan panjang gelombang sinyal yang ditransmisikan, sehingga dapat dipandang sebagai sebuah rangkaian yang tergumpal.

Tinjauan saluran transmisi yang akan dibahas pada bab ini adalah saluran yang panjangnya tidak dapat diabaikan tarhadap sinyal yang ditransmisikan.

BAB VRADIASI DAN ANTENA

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

STTTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 4.3

Web viewPada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran...

Documents

Transcript of Web viewPada kuliah ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran...