Desain Feedback Variabel Keadaan 407

(d) Desainlah "reduced-order" observer yang akan memberikan wak-tu kembaliyang sarna seperti observer identitas.

8.5-13 Dengan menggunakan "reduced-order"observer untuk mendapatkanQ2'kerjakan kembaliLatihan(a) 8.5-10(b) 8.5-11

Tempatkan eigenvalues observer ke sebelah kiri dari eigenvaluessistem pengaturan.

8.5-14 Pengatur yang didesain pada Latihan 8.5-2 harus diimplementasikandengan menggunakan PC yang dilengkapidengan port AID dan Dj Asehingga data tersebut dapat dibaca dan tanda pengaturan dikirim.Tiga bahasa yang berbeda digunakan untuk mengimplementasikanhukum pengaturan: C, FORTRAN,dan BASIC. Waktu tunda yangdikaitkan dengan masing-masingbahasa adalah T = 6 msec,T = 15msec, dan T = 40 msec, berturut-turut. Dengan menggunakan me-tode desain ulang digital, tentukan gain feedback variabel keadaanuntuk digunakan pada masing-masingkasus. Observer masih diimple-mentasikan dengan menggunakan amplifieroperasional.

Apendiks

Jawaban Latihan Nomor-Genap

1.5-6 Bilamana fungsi clan clerivatif parsial tingkat pertama clan keclua aclaclan kontinyu.

( ) X- - JLg11/2a 1-- K1.5-8

(b) 1-. = X2 - X-'k II

.\"2= -- XI + -11/, 11/1

DAB 1-)

1.5-2 (a) x = Qa =-

RC

)u=E b=-

R-) )

(b) 1I = E a =- b =-RC RC

1.5-4 all = 0 al2 = ) hi = 0

-) -R )021 =- 022 = - h, = -

LC L - L

Jawaban Latihan Nomor - Genap 409

. kXJ = -x._

m2

1.5-10 (a) Tertentu(b) Tertentu(c) Untuk x = [r, r, e, e]T(dengansernua kornponen kecil),.u = r, dan

y = [r, e]T, per sarnaan linear adalah x= Ax + Bu, y = Cx,dirnana

o

o

o

1.5-12 .(. = X2

.\-2= -(f32 T + f3lx~ + f32f34X~

)XI - f32XSX2 + f3JX~1I

m

0 1 0

mg[J J0

:g( - I)-- - + m(R + h)

A =j P R0 0 0

_ mg ( J, + m)0 mghJ

p R- P R2

0

l + m(R + h)] I [1 0 0 OJB =IP R . c= 0010'0

(+m)- P R2

dengan

410 Pengantar Sistem Pengaturan

1 5 14 LF... RF.. LF. RF. - -JO+-JO---"":'mgeOcosO--mgesinO=EF.KA KA K... KA

dimana KA adalah konstan, dengan r = KAlA merupakan tenagaputar motor

1.5-16 Satu pendekatan ditentukan oleh1. Dengan pendulum'yang cukup beTatterpasang, aplikasikan vol-

tase konstan E. Kemudian pada ekuilibrium,gunakan (1.3-50)untuk menetukan kr.

2. Lepaskan pendulum tersebut, tinggalkan rotor dan kelembamanbatang. 12ada(1.3-48), dengan rex = 0, aplikasikanvoltase kon-stan E *-0. Gunakan (1.3-48) pada ekuilibriumuntuk menentukankB.

BAB2

2.5-2 (a) z = [~y = [I

O

J [15.75

J-2 z + -15.75 1I

l]z

(b) . =[

4i °J

.![

- i 2(1 - i)Jz ° _ 4i Z + 4 i 2(I + i) U

Y = Ui _12iJ z

2.5-4 (a) y + 4y + 3y = 1311+ 21i(b) Y + Y = 2u(c) Kondisi observabilitas tidak dipenuhi.(d) y - 4y + 3y = - II + Ii.

2.5-6 Mengikuti dari CAk = baris ke-k dari A, k = 1,...,Nx-1.

2.5-8 Sistem dapat dikontrol.

2.5-10 Tertentu

Jawaban Latihan Nomor - Genap 411

2 + s

2.5-12 (a) G(s) = S2 + 2s'+ 3

(b) A = [ _ ~ _~J. B = [6J.2 + s

(c) G(s) = S2 + 35 + 5'

c = [I 0]

2.5-14 TertentuG (s) = 0.5

2.5-16 (a) I 0.5 + (s + 2) (I + Ts)

(b) G (s) = 20(1 + 7S)2 0.5 + (s + 2) (I + Ts)

( )[

0.5 20(1 + TS)

]c G(s) = - , P(s) = 0.5 + (s + 2) (I + Ts)

P(s) P(s)

(d) Dengan x = [Xl xz]T dan U = [UI UZ]T,satu representasi diagonaldiberikan oleh

x = [ -2.~834y = [I I] x.

o] [

0.7538 22.0605

]-9.3166 x + -0.7538 -2.0605 u

BAB3

3.6-2 (a) Y = e-)t

(b) ~= 3e-2t - 2e-)t

(c) y = 3e-2t - 2e-)t

(d) y = e-t + ~ -t/2.' V7V7 e Sin T t.

[? ?

] [- I

3.6-4 (a)«I>(t)= _I _I e-t+ 1-2 ]2 e--2t

412 Pengantar Sistem Pengaturan

3.6-6

3.6-8

(b) ~(t) = [COS 2t + ~ sin 2t 26 sin 2t .

J- 2.5SIn 2t cos 2t - 8 SIn 2t

(c) ~(t) = e-,[

COS2t +.isin2t isin2t.J

.- hIn 2t cos 2t - ~SIn2t

x(t) = DJ e3, + [ =:J e2,.

Untuk a *- 0, titik asalnya adalah titik sadel, seperti pada Gambar3.4-1e. Untuk a = 0, lintasannya adalah seperti pada Gambar 3.4-1f.

3.6-10 Stabilitas memerlukan 132k2> 0 dan 132k1- 131> O.

3.6-12 Stabil untuk a > 0, b> 0, dan ab -c > O.Tidak stabiljika a = 0 ataub = O.Stabiljikac = 0 dengana > 0 dan b > O.

BAB4

4.5-2

4.5-4

4.5-6

4.5-8

(a) y =.\'2 = e-' - e-21(b) y = .\'2 = - 4 + 4 cas 2t + 0.5 sin 2t(c) Y =.\'2 = 0.5e-'sin2r

5' + 2~w,,5'+ w;,y = w;,u, ~ = 0.3579, w" = 672.88 rad/sec.

~ = 0.8892.

(a) Untuk contoh 4.4-1,

I v'3A) ' = --:!: ;-

.- 2 2 '

(b) Untuk contoh 4.4-2,

AI.2=-I,-2,

Jawaban Latihan Nomor -Genap 413

BAB5

5.5-2 (a) yet) = -3 + (3 + 9t)e-l, as t -+ oc,yet) -+ y, = -3(b) yet) = n [(24 - 9Ot)e-1 + 57 sin 21 - 24cos 2tJ, as t -+ ~,

yet) -+ y,(t) = H sin 2t - H cos 2t.

5.5-4 y,(t) = Ysin(wt + lp)2

(a) Y-- Y(2 - W2)2+ 9w2'

lp = tan-I [~

J

'

w2 - 2

(b) Y = 52 ={

0 ~f 0 < w < 214 - w21' lp 7T If w > 2

(c) Y = _ L_ I~_~ - ~, lp = tan-' [w22: 5J

5.5-6 Frekuensi rendah: IG(iw)ldb-+ 0 as w -+ 0

Frekuensi tinggi: IG(iw)ldb-+ - 40 log !!...Wn

as w -+ 00

Intersect: IG(iw)ldb = 0,

5.5-8 Tertentu

5.5-10 Tertentu

wI, dimana Wn = 4.

BAB6

6.6-2 H(s)

(a) Gp(s) = Q;(s) = As + k.K

(b) G(s) = As + k. + K

(c) h(t) =. ~ [2 + e-31!2](d) h..,= t

6.6-4 (a) C = k,(b) yet) = I

iIJ" = 51.0103 e -I sin(4.8991 + 1.3694).

6.6-6 (a) K = 3.5(b) C= 0.025

(c) Untuk w = 2, ly(t)1-+ IG(iw)I.= 17.5 ft.

414 Pengantar Sistem Pengaturan

6.6-8 (a) Ks = 0.1, K = 5, Ti = 0.2(b) - 20 db; + 20 db/decade at w = I; - 20 db/decade at w = V5(c) Wh = 7 rad/sec, T = !.

6.6-10 K = 20, a = 0.4.

6.6-12 (a) Gp(5) = mglJ = 0.196352 52

(b) tidak stabilmg

(I

)KsK- 5 + -(c) G(5) = . J T"

53 + -.!.. 52 + K mg (T"

)5 + (K

)mg

T" J T" T J(d) K = 5.093, Te = .1.8, T" = 0.2 "(e) Ks = 0.1.

6.6-14 (a) K > 27.308(b) K = 88.467.

BAB7

7.5-2 (a) 0", = :t 60°, 180°(b) a = - ~(c) Od = - 63.43°(d) 5 = :tiV5(e) 51>= - I(f) 5h = -~.

7.5-4 (a) Sumbu nyata : -00< &:s;0Asimtot: centroid pada &= -2, sudut em= :t 60°, 180°Tidak ada "break point"Berangkat dari s = -3 + i2: ed = -56.3°Intersepsi sumbu imajiner pada s = :t i3.6Secara asimtoto stabil untuk 0 < K < 78

(b) Sumbu nyata : -4 :s;&:s;-1Asimtot : sentroid pada &= -3/2, sudut em =:t 90°Tidak ada "breakpoint"

Jawaoon Latihan Nomor - Genap 415

Berangkat dari s = -3 - i2 : ed= 18.43°Tidak ada sumbu imajineryang bersilanganSeeara asimtot stabiluntuk K > O.

7.5-6 (a) Sumbu nyata : -4.2936 :$;8 :$;4.1063Asimtot: sentroid pada 8 = -0.0936 sudut em = :t 90°"Break point" : Sb = -0.0936Intersepsi sumbu imajiner pada s = 0Seeara asimtot stabil untuk K > 27.312

(b) Sumbu nyata : -4.2936 :$;8 :$;-0.3 0 :$;8 :$;4.1063Asimtqt: sentroid pada 8 = 0.0564, sudutem = :t 90°"Breakpoint" : Sb = 1.2116Tidak ada sumbu imajiner yang bersilanganTidak stabil untuk K > O.

(c) Sumbu nyata : -00 < 8 :$;0

Asimtot: centroid pada 8 = -0.0624, sudut em = :t 60°, 180°Tidak ada "Break point"Intersepsi sumbu imajiner pada s = :t i4.7435Seeara asimtot stabil untuk 'tj > 9.5274

(d)Sumbunyata : -10:$; 8:$;-4.2936,0:$; 8:$;4.1063Asimtot : sentroid pada 8 = 4.9064, sudut em = :t 90°"Breakpoint" : Sb = 2.204Tidak ada sumbu imajiner yang bersilanganTidak stabil untuk K > O.

7.5-8 Pusat pada s = -2 + iO, radius r = 2.

7.5-10 Seeara asimtot dijamin stabil untuk 0 < K < 0.7241 atau K >61.7579

7.5-12 Tertentu

7.5-14 S = 0.5 dan S = 0.3

7.5-16 GM = 10.3 db, dengan lintas fase pada ffiq>= 7.2 rad/seePM = 36°, sesuai dengan lintas gain pada ffik= 3.2 rad/see

7.5-18 (a) GM = 25db, PM = 57°, stabil

(b) F(s) == I + D.ls .s( I + 0.5.1')(I - 0.2s

416 Pengantar Sistem Pengaturan

BAB8

8.5-2 k1 = 66.042, k2 = 7.456

8.5-4 (a) Dapat dikontrol ~ ya(b) k2 < k1 < 0(c) k2 ,; ~k1- 2. Sebagaicontoh,pilihA,2= -4. MakaK = [k1 k2]=

[-8 -14].(d) untuk A,2= -4, ;2 = [1 -0.8f Simpul stabil.

8.5-6 (a)(b)

8.5-8 (a) Dapat diobsetVasi ~ ya(b) G = [14 48f

8.5-10 G = [5.8128 52.542f "

8.5-12 (a) k1 = 51,. k2 =10 .,(b) G = [12 62]T , J(c) ObsetVer identitas ditentukan dengan

;

[-12 I

J'

[oJ

'

[12

Jx = _ 61 ° x + 1 Ii + 62 y.

(d) Reduce-order obsetVerditentukan oleh

cd = - 6w - 35y + Ii

X2 = w + 6)',

8.5-14 Untuk T = 0.006 see, ~= [65.45 7.546fUntuk T = 0.015 see, ~= [64.64 7.676]TUntuk T = 0.040 see, ~= [62.31 8.035]T