Post on 01-Jan-2016
description
VEKTOR di R2 dan R3
• Skalar besaran
• Vektor besaran dan arah
mempunyai titik awal (pangkal) dan
titik akhir (ujung).
contoh : . B
A . Dinotasikan : atauAB v
.penjumlahan vektor bersifat komutatif:
a
a
b
b + a b
a b b a
Vektor dengan panjang nol disebut vektor nol (zero vector), ditulis 0
• .
v
v
( ) ( ) 0v v v v
Definisi : Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih dua buah vektor dinyatakan : v – w = v + (-w)
• .
ww
v( )v w
Vektor dalam sistem koordinat
• Vektor v dengan titik awal (0,0) dan titik akhir (v1,v2) , ditulis v = (v1,v2)
X
Y
v1
v2 (v1,v2)
(0,0)
v
.
Q (w1,w2)
O(0,0)
P(v1,v2)
v
w
1 2 1 2
1 1 2 2
( , ), ( , )
( , )
v OP v v w OQ w w
PQ v w w v w v
x
y
• .
x
(v1,v2)
(k v1, k v2)
y
(0,0)
v
Definisi:
Jika v bukan vektor nol dan skalar k > 0 , maka k v didefinisikan sebagai vektor yang punya panjang |k| kali panjang vektor v .
bila k < 0, maka k v adalah vektor yang panjang |k| kali panjang vektor v dengan arah berlawanan dengan vektor v.
bila k = 0 atau v = 0 k v = 0
R3
• Terdapat 3 buah sumbu yaitu x,y dan z
• Setiap vektor v dengan titik awal (0,0,0) dan titik akhir (v1,v2,v3) ditulis v = (v1,v2,v3).
• k skalar , k v = (k v1,k v2,k v3)
• Vektor dengan titik awal P(p1,p2,p3) dan titik akhir Q(q1,q2,q3), ditulis :
1 1 2 2 3 3( , , )PQ q p q p q p
Translasi Sumbu
. Y’ X’ = x - k , Y’ = y - l
O(0,0) X
Y
O’(k,l) X’
P (x,y) or (x’,y’)
3.2 Norm dan aritmatika vektor Sifat-sifat aritmatika vektor:
jika u , v , w vektor vektor pada R2 atau R3 , k dan l skalar, maka :
a. u + v = v + u b. ( u + v ) + w = u + ( v + w)
c. u + 0 = 0 + u = u d. u + ( - u ) = 0
e. k ( l u ) = ( k l ) u f. k ( u + v ) = k u + k v
g. ( k + l ) u = k u + l u
h. 1 u = u
Norm atau panjang vektor u
• . 2
1 2
2 2
1 2
3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
u R u = (u ,u )
panjang u dinotasikan u .
u u u
jika u R u = (u ,u ,u )
u u u u
Vektor satuan adalah vektor dengan norm = 1
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,y3) adalah dua titik di R3, maka jarak kedua titik adalah :
1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1
P P ( , , )
P P
x x y y z z
x x y y z z
k u k u
3.3 Hasil kali titik dan proyeksi
Definisi:
Jika u dan v adalah vektor vektor pada ruang berdimensi2 atau 3 dan adalah sudut antara
u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) uv didefinisikan oleh :
u v= u v cos ; 0 dan v 0
= 0 ; 0 0
jika u
u atau v
Bentuk komponen Hasilkali Titik . 1 2 3 1 2 3
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
u ( , , ) dan v= ( , , )
hukum cosinus :
2 cos
1 cos
2
;
Jika ,
OP u u u OQ v v v
PQ u v u v
u v u v v u
u u u u v v v v
v u v u v u v u
u v u v u v u v
u v 2
1 1 2 2
R
u v u v u v
. adalah sudut antara vektor u dan v :
cos
lancip 0
tumpul 0
10
2
u v
u v
u v
u v
u v
Vektor yang tegak lurus garis
Akan ditunjukkan :
pada R2 ada vektor n=(a,b) yang garis ax +by+c=0
Misal P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) pada garis ax +by+c=0, maka:
ax1 +by1+c=0 dan ax2 +by2+c=0 substitusi kedua pers
menjadi a(x1-x2) +b(y1-y2)=0. . . . (1)
vektor P1P2 ={(x1-x2),(y1-y2)} dan n=(a,b) yang P1P2
maka P1P2 . n = 0 ↔ {(x1-x2), (y1-y2)} . (a,b) =0 ↔
a(x1-x2) +b(y1-y2)=0 . . . (2) . Pers (1) dan (2) sesuai , sedang P1P2 terletak pada garis ax +by+c=0 . Maka terbukti bahwa vektor yang garis ax +by+c=0 adalah
n=(a,b).
Sifat – sifat hasilkali titik
• . Jika u , v , w Є R2 atau R3 dan k skalar.
a. u . v = v . U
b. u . ( v + w ) = u . v + u . w
c. k ( u . v ) = ( k u ) . v = u . ( k v)
d. v . v > 0 jika v 0 , dan v . v = 0 jika v = 0
Teorema 3.3.3
Jika u dan a adalah vektor vektor pada R2 atau R3 dan a 0 maka,
2
2
u aproj u= a (komponen u sepanjang a )
a
u au proj u = u a (komponen u orthogonal komponen a )
a
Bukti: lihat buku
a
a
Jarak titik Po(xo,yo) pada garis ax+by+c=d
Q(x1,y1) titik sembarang pada garis ax +by+c=d
n=(a,b) adalah vektor normal garis ax+by+c=d .
Q(x1,y1)
n=(a,b)
Po(xo,yo)
D
ax+by+c=d
• .
n
1 1
1 1 1 1
2 2
1 1
2 2
( , )
( , ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o o o
o o o o o
o o
QP nD proy QP
n
QP x x y y
QP n x x y y a b a x x b y y
n a b
a x x b y yD
a b
Hasilkali silang
• Jika u dan v vektor vektor pada R3, maka :
u x v = luas jajaran genjang (pararelogram
yang dibatasi oleh u dan v.
* u x v= u v sin
* u x v = {u v sin } n , dimana n adalah vektor satuan yang (u ,v) , mengikuti
“aturan tangan kanan”.
Hasilkali silang vektor standar • i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) , vektor –
vektor ini disebut vektor satuan standar
( standar unit vektor)
• i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0
• i x j = k j x k = i k x i = j
• j x i = -k k x j = -i i x k = - j
Definisi
• Jika u = ( u1,u2,u3) , v = (v1,v2,v3) Є R3 maka :
u x v = (u2v3-u3v2)i – (u3 v1 – u1v3)j + (u1v2-u2v1)k.
1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
merupakan vektor (u,v) dengan panjang u v
u v luas jajaran genjang dibatasi u dan v
v v v
Hubungan hasilkali silang dan hasilkali titik
• u , v, w Є R3 maka : u . ( u x v ) = 0
v . ( u x v ) = 0
u x v2 =u 2 v 2 – ( u . v )2
u x ( v x w ) = ( u . w ) v – ( u . v ) w
(u x v )x w = ( u . w ) v – ( v . w ) u
Sifat sifat Hasilkali silang
u , v, w Є R3 dan k skalar maka :
• u x v = - ( v x u )
• u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w )
• (u + v) x w = ( u x w ) + ( v x w )
• k (u x v)= (k u) x v = u x (kv)
• u x 0 = 0 x u = 0
• u x u = 0
Definisi
• Jika u,v,w Є R3 , maka u . ( v x w ) disebut hasil kali tripel skalar ( scalar triple product ) dari u , v , w.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
merupakan volume pararel epipedum dengan rusuk
, , .
u u u
u v w v v v
w w w
u v w
• .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
maka , dan sebidang.
u u u
u v w v v v
w w w
u v w
Vektor normal pada bidang ax+by+cz=d
• Misal P(x,y,z) dan Po(xo,yo,zo) adalah titik-titik pada bidang, r=OP dan ro = OPo adalah vektor posisi dari titik P dan Po , n(a,b) adalah vektor normal bidang, maka (r-ro) n(a,b)
n . (r-ro ) = 0
a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0
a x + b y + c z + (- a xo – b yo – c zo) = 0
a x + b y + c z + d = 0
Jarak titik pada bidang • D adalah jarak titik Po(xo,yo,zo) pada bidang
ax + by + cz + d = 0 adalah
Bukti : lihat buku ( sejalan dengan bukti “jarak titik P(xo,yo) pada garis ax + by = c
2 2 2
o o oax by cz dD
a b c