Post on 21-Jul-2021
1
TKS 4003 Matematika II
Nilai Ekstrim (Extreme Values)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Pendahuluan
Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1,
dimana pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran
temperatur, tekanan, pertumbuhan populasi terhadap waktu
atau pengukuran lainnya. Jika Gambar 1 diperhatikan, harga
pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada [x1,x2], dan
seterusnya, hingga konstan pada selang [x6,x7].
2
Pendahuluan (lanjutan)
Gambar 1. Ilustrasi suatu hasil pengukuran
Pendahuluan (lanjutan)
Definisi 1
Jika suatu fungsi terdefinsi pada selang I dengan x1 dan x2
adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :
1) Fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) < f(x2)
2) Fungsi f turun pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) > f(x2)
3) Fungsi f konstan pada selang I, jika f(x1) = f(x2) untuk
setiap harga x1 dan x2
3
Pendahuluan (lanjutan)
Teorema 2
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f setidak-
tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum
[a,b].
Contoh 1
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk
selang-selang berikut :
a. [-2,0] b. (-3, 1) c. [-3,-2) d. (-1,1]
Pendahuluan (lanjutan)
Penyelesaian : a. Pada selang [-2,0]
Maksimum = f(0) = 6
Minimum = f(-2) = 0
b. Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -3)
Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = 1)
4
Pendahuluan (lanjutan)
c. Pada selang [-3,-2)
Maksimum = f(-3) = 0
Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -2)
d. Pada selang (-1,1}
Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -1)
Minimum = f(1) = 12
Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat
suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian
rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau
terkecil (minimum). Setiap nilai f yang mempunyai nilai
maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.
5
Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)
Definisi 3
Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi
(domain) fungsi seperti pada Gambar 2, maka :
1) f(c) adalah maksimum lokal f, jika terdapat suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa
sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).
2) f(c) adalah minimum lokal f, jika terdapat suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa
sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).
Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)
Gambar 2. Domain suatu fungsi
6
Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)
Teorema 4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka
(a,b), suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada
titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka
(a,b), suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal
pada titik c jika turunannya ada dan tidak sama dengan nol
f’(c) 0.
Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)
Teorema 6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup
[a,b], suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada
titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan
kritis f, maka f’(c) = 0.
7
Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka
dapat disimpulkan bahwa titik (c,f(c)) merupakan titik
tertinggi pada grafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum
mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik
terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)
Teorema 8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan riil R. Jika c terletak padaR, maka :
1) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f, jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.
2) f(c) adalah nilai minimum mutlak f, jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.
8
Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)
Prosedur untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Tentukan titik ujung :
a. Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b], maka titik ujungnya adalah a dan b.
b. Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b), maka tidak mempunyai titik ujung.
c. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b], maka titik ujungnya adalah b.
d. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b), maka titik ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari langkah nomor 1.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada langkah nomor 3 dan 4.
Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)
Contoh 2
Jika diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai
maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3] dan
gambarkan grafiknya!
Penyelesaian : Bilangan kritis
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10
f’(x) = 6x2 – 6x – 12
6x2 – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x – 2)(x + 1) = 0
x1 = 2 ; x2 = – 1
f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = – 10
f(x2) = f(–1) = – 2 – 3 + 12 + 10 = 17
9
Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)
Titik ujung
– 4 dan 3
f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54
f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1
Jadi :
f(2) = minimum lokal
f(– 1) = maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(– 4) = minimum mutlak
Fungsi 2 Variabel
Definisi dari relatif ekstrim dari fungsi 2 variabel identik
dengan fungsi 1 variabel, hanya bedanya akan berurusan
dengan 2 variabel.
Definisi 9
1. Fungsi f(x,y) mempunyai minimum lokal pada titik (a,b),
jika f(x,y) f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah
sekitar/bersebelahan (a,b).
2. Fungsi f(x,y) mempunyai maksimum lokal pada titik
(a,b), jika f(x,y) f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam
daerah sekitar/bersebelahan (a,b).
10
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Definisi 9 menyatakan bahwa minimum lokal adalah bukan
nilai terkecil dari fungsi, tapi terkecil pada daerah
bersebelahan. Hal ini berarti untuk titik sekitar (a,b), nilai titik
tetangga bersebelahan (a,b) akan bernilai lebih besar dari
f(a,b). Di luar daerah tetangga dekat sangat mungkin ada nilai
fungsi yang lebih kecil, demikian pula dengan maksimum
lokal.
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Definisi 10
Titik (a,b) adalah titik kritis dari f(x,y), jika salah satu kondisi
dari dua syarat berikut terpenuhi :
1. f(a,b) = 0 atau fx(a,b) = 0 dan fy(a,b) = 0,
2. fx(a,b) dan/atau fx(a,b) tidak ada.
Teorema 11
Jika titik (a,b) adalah ekstrim lokal dari fungsi f(x,y), maka
titik (a,b) juga merupakan titik kritis dan akan diperoleh
f(a,b) = 0.
11
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Catatan
Bahwa tidak semua titik kritis adalah titik ekstrim lokal, tapi
semua titik ekstrim lokal adalah titik kritis. Untuk
mendapatkan gambaran yang lebih jelas, lihat contoh berikut :
Contoh 3 f(x,y) = xy
Turunan parsial orde pertama,
fx(x,y) = y fy(x,y) = x
Titik dimana kedua turunan di atas adalah = 0, terjadi pada titik (0,0) yang
merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Grafik fungsi, f(x,y) = xy
Dari grafik fungsi terlihat bahwa
titik kritis (0,0) bukan merupakan
titik ekstrim (maks/min), karena
daerah tetangganya mempunyai
nilai yang lebih besar dan lebih
kecil. Jenis titik kritis ini disebut
titik pelana atau saddle point.
12
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Teorema 12
Jika (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan kedua dari
turunan parsial adalah kontinu dalam suatu daerah yang
memuat (a,b). Dan jika D didefinisikan sebagai
D = D(a,b) = fxx(a,b)fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2,
maka akan diperoleh beberapa klasifikasi dari titik kritis
dengan beberapa kondisi :
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Teorema 12 (lanjutan)
i. Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka diperoleh nilai minimum
lokal pada (a,b).
ii. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka diperoleh nilai
maksimum lokal pada (a,b).
iii. Jika D < 0, maka titik (a,b) adalah titik pelana/saddle
point.
iv. Jika D = 0, maka titik (a,b) mungkin minimum lokal,
maksimum lokal atau titik pelana/saddle point. Dengan
kata lain tidak ada kesimpulan.
13
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Contoh 4 Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi f(x,y) = 4 + x3 + y3 – 3xy
Penyelesaian : Turunan parsial orde pertama (untuk mendapatkan titik kritis)
fx = 3x2 – 3y fy = 3y2 – 3x
Turunan parsial orde kedua (untuk mengklasifikasikan titik kritis)
fxx = 6x fyy = 6y fxy = – 3
Untuk mendapatkan titik kritis :
fx = 3x2 – 3y = 0 3x2 = 3y y = x2
fy = 3y2 – 3x = 0 3(x2)2 – 3x = 3x(x3 – 1) = 0
Solusinya :
x = 0 atau x = 1
Fungsi 2 Variabel (lanjutan)
Nilai y = x2, sehingga diperoleh titik kritis :
x = 0 y = 02 = 0 (0,0)
x = 1 y = 12 = 1 (1,1)
Klasifikasi titik kritis, perlu dihitung nilai D :
D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) – [fxy(x,y)]2
= (6x)(6y) – (– 3)2
= 36xy – 9
Masukkan titik kritis ke persamaan D(x,y) :
(0,0) ; D(0,0) = 0 – 9 = – 9 < 0
D negatif titik pelana/saddle point
Teorema 12(iii)
(1,1) ; D(1,1) = 36 – 9 = 27 > 0
D positif dan fxx positif minimum lokal
Teorema 12(i)
14
Latihan
1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi berikut dan gambarkan
grafiknya!
𝐟 𝐱 =𝟏
𝟐𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 ; [2,5]
𝐟 𝐱 = 𝟑𝐱𝟐 − 𝟏𝟎𝐱 + 𝟕 ; [-1,3]
2. Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi :
f(x,y) = x2 + 4y2 – 2x2y + 4
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!