1

SYARAT KUHN-TUCKERBY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM

2

Kasus 1

Sebagai syarat agar menjadi solusi optimal bagi NLP dengan kendala pertidaksamaan :

Maks/min

s.t. ≤

.

.

.

≤

Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤

3

Teorema 1Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, yang memenuhi :

- = 0 j = 1, …, n (1)

= 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z naik sebesar :

- Kendala – kendala: penggunaan sumber daya

4

TEOREMA 1’

Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, yang memenuhi :

+ = 0 j = 1, …, n (1)

= 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z turun sebesar :

5

Kasus 2

Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah

Maks/ min

s.t. ≤

.

.

.

≤

--

6

Teorema 2

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :

- + = 0 j = 1, …, n

= 0 i = 1, …, m

= 0 j = 1, …, n

≥ 0 i = 1, …, m

j = 1, …, n

7

Theorema 2’

Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :

+ - = 0 j = 1, …, n

= 0 i = 1, …, m

= 0 j = 1, …, n

≥ 0 i = 1, …, m

j = 1, …, n

8

Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1)

Pada saat kita gunakan unit resource i dan bi unit sumber daya tersedia.

Jika kita tingkatkan sebesar (yang kecil), maka nilai dari fungsi objective meningkat sebesar Nilai kendala ke – i berubah menjadi

+ atau

Atau rhs meningkatkan sebesar

shg perubahan pada z adalah total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj

sebesar adalah Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat

meningkatkan f dengan memilih > 0

9

• Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat

meningkatkan f dengan memilih < 0. • Sehingga agar optimal maka syarat (1) harus terpenuhi

10

Penjelasan syarat (2)

Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi complementary of slackness untuk Pemrograman Linier.

Syarat (2) berimplikasi bahwa

Jika i > 0 maka ( kendala ke –i binding)

Jika maka = 0

11

Penjelasan syarat (3)

Jika untuk > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari bi ke bi + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat atau tetap sehingga ≥ 0

12

Pengertian i = nilai resources yang digunakan untuk membuat sebuah barang – harga jual barang tersebut

Sehingga jika i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik tidak produksi atau xi = 0

Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka i =0,

Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus sama dengan marginal cost resources yang digunakan untuk memproduksi satu unit xi

13

Theorema 3.

Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi.

Jika adalah fungsi konkaf dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema 1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah maksimisasi, adalah fungsi konkaf dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal

14

Theorema 3’

Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi

Jika adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah minimisasi, adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi optimal

15

Contoh

Selesaikan masalah optimisasi berikut

s.t

Gunakan syarat berikut

- = 0 j = 1, …, n (1)

= 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

Kemudian kombinasikan nilai i > atau = 0 dan carilah solusi yang tidak melanggar semua syarat

16

Soal - soal

Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari permasalahan berikut:

s.t

s.t 2x1 + x2 ≤ 100

x1 + x2 ≤ 80

x1 ≤ 40

x1 , x2 ≥ 0