Struktur Data dan Algoritma

Suryana Setiawan, Ruli Manurung & Ade Azurat(acknowledgments: Denny)‏

Fasilkom UI

SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Binary Search Tree

2SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Tujuan

Memahami sifat dari Binary Search Tree (BST)‏

Memahami operasi-operasi pada BST

Memahami kelebihan dan kekurangan dari

BST

3SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Outline

Properties of Binary Search Tree (BST)‏

Operation

Insert

find

remove

4SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Properties of Binary Search Tree

Untuk setiap node X pada tree, nilai elemen

pada subtree sebelah kiri selalu lebih kecil dari

elemen node X dan nilai elemen pada subtree

sebelah kanan selalu lebih besar dari elemen

node X.

Jadi object elemen harus comparable.

X

<X >X

5SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Binary Search Tree

936

5127

6SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

7

2

3

9

1 5

6

Binary Search Tree

7SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

3

2

1

3

1

2

2

1 3

1

3

2

1

2

3

Binary Search Tree

8SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Basic Operations

insert

findMin and findMax

remove

cetak terurut

9SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Print InOrderclass BinaryNode {

void printInOrder( )‏

{

if( left != null )‏

left.printInOrder( ); // Left

System.out.println( element ); // Node

if( right != null )‏

right.printInOrder( ); // Right

}

}

class BinaryTree {

public void printInOrder( )‏

{

if( root != null )‏root.printInOrder( );

}

}

10SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Insertion

Penyisipan sebuah elemen baru dalam binary

search tree, elemen tersebut pasti akan

menjadi leaf

10

2

3

15

1 5

6

12

14

11SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Insertion: algorithm

Menambah elemen X pada binary search tree:

mulai dari root.

Jika X lebih kecil dari root, maka X harus diletakkan

pada sub-tree sebelah kiri.

jika X lebih besar dari root, then X harus diletakkan

pada sub-tree sebelah kanan.

Ingat bahwa: sebuah sub tree adalah juga

sebuah tree. Maka, proses penambahan elemen

pada sub tree adalah sama dengan

penambahan pada seluruh tree. (melalui root

tadi)

Apa hubungannya?

permasalahan ini cocok diselesaikan secara rekursif.

12SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

BinaryNode insert(int x, BinaryNode t)

{

if (t == null) {

t = new BinaryNode (x, null, null);

} else if (x < t.element) {

t.left = insert (x, t.left);

} else if (x > t.element) {

t.right = insert (x, t.right);

} else {

throw new DuplicateItem(“exception”);

}

return t;

}

Insertion

13SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

BinaryNode findMin (BinaryNode t)

{

if (t == null) throw exception;

while (t.left != null) {

t = t.left;

}

return t;

}

FindMin

Mencari node yang memiliki nilai terkecil.

Algorithm:

ke kiri terus sampai buntu….:)‏

Code:

14SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

FindMax

Mencari node yang memiliki nilai terbesar

Algorithm?

Code?

15SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Find

Diberikan sebuah nilai yang harus dicari

dalam sebuah BST. Jika ada elemen tersebut,

return node tersebut. Jika tidak ada, return

null.

Algorithm?

Code?

7

2

3

9

1 5

6

16SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Remove

Kasus 1: jika node adalah leaf (tidak punya

anak), langsung saja dihapus.

Kasus 2: jika node punya satu anak: node

parent menjadikan anak dari node yang

dihapus (cucu) sebagian anaknya. (mem-by-

pass node yang dihapus).

Kasus 3: jika node punya dua anak…..

17SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

8

4

5

12

1 6

3

Remove

5

6

4

Kasus 1

Kasus 2

Kasus 3

18SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Removing 6

8

4

5

12

1 6

3

19SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

After 6 removed

8

5

12

1

3

4

6

20SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Remove (lanj.)‏

Bagaimana bila node punya dua anak?

1. Hapus isi node (tanpa mendelete node)

2. Gantikan posisinya dengan:

Succesor Inorder node terkecil dari sub tree

kanan, dilanjutkan dengan melakukan

removeMin di subtree kanan.

[Alternatif: dengan kaidah Predecesor Inorder,

2. Gantikan posisinya dengan:

Predecesor Inorder, node terbesar dari sub

tree kiri, dilanjutkan dengan melakukan

removeMax di subtree kiri.]

21SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

7

3

9

1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

Cari node

berisi 2

22

22SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

7

9

1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

2

Cari sucessor

Indorder

33

23SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

7

9

1 5

4

Removing 2 (Sucessor Inorder)

3

Gantikan

posisi yang

dihapus

24SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

After 2 deleted

7

3 9

1 5

4

Hapus node

ini

25SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Removing Root

7

2

3

12

1 5

4

10 14

9 11

9

26SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

removeMin

BinaryNode removeMin(BinaryNode t)

{

if (t == null) throw exception;

if (t.left != null) {

t.left = removeMin (t.left);

} else {

t = t.right;

}

return t;

}

27SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Remove

BinaryNode remove(int x, BinaryNode t) {

if (t == null) throw exception;

if (x < t.element) {

t.left = remove(x, t.left);

} else if (x > t.element) {

t.right = remove(x, t.right);

} else if (t.left != null && t.right != null) {

t.element = findMin(t.right).element;

t.right = removeMin(t.right);

} else {

t = (t.left != null) ? t.left : t.right;

}

return t;

}

28SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

removeMax

code?

29SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

SL

SR

X

k < SL + 1

SL

SR

X

k == SL + 1

SL

SR

X

k > SL + 1

Find k-th element

30SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Find k-th element

BinaryNode findKth(int k, BinaryNode t)

{

if (t == null) throw exception;

int leftSize = (t.left != null) ?

t.left.size : 0;

if (k <= leftSize ) {

return findKth (k, t.left);

} else if (k == leftSize + 1) {

return t;

} else {

return findKth ( k - leftSize - 1, t.right);

}

}

31SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Analysis

Running time:

insert?

Find min?

remove?

Find?

Worst case: O(n)‏

32SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Rangkuman

Binary Search Tree menjamin urutan elemen

pada tree.

Tiap node harus comparable

Semua operasi membutuhkan O(log n) -

average case, saat tree relatif balance.

Semua operasi membutuhkan O(n) - worst

case, tinggi dari tree sama dengan jumlah

node.

33SUR – HMM – AA Fasilkom UI – IKI20100/IKI80110P 2009/2010 – Ganjil – Minggu 9

Selanjutnya:

Sejauh ini struktur Binary Search terbentuk

dengan asumsi data cukup acak sehingga

seluruh bagian tree akan cukup terisi.

Benarkah asumsi tersebut?

Jika tidak benar, maka akan terbentuk tree

yang “tidak balance” yang berakibat tidak

tercapainya performance O(log n)

Solusi?

Dalam kuliah yad akan dibahas struktur

binary tree dengan kemampuan auto-

balancing AVL tree