Post on 03-Sep-2018
1 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP
TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004
A. ISIAN SINGKAT
1. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian
setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan
bilangan pada muka-muka yang berdekatan dengannya. Nilai tertinggi
bilangan pada titik sudut adalah ....
Solusi:
Dari jaring-jaring tersebut terbentuk kubus seperti diatas.
Titik-titik sudut suatu kubus merupakan Irisan 3 bidang sisi. Titik
sudut A adalah irisan bidang sisi ABCD, ABFE, dan ADHE.
9 5
7
1 3
11
2 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Jadi, nilai tertinggi terdapat pada titik sudut A = 5 + 11 + 9 = 25
2. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....
Solusi:
Perhatikan di dalam 3 persamaan tersebut terdapat variabel a, b, c
yang sama masing-masing sebanyak dua, jadi kita tidak perlu mencari
nilai a, b, atau c , karena yang ditanyakan operasinya sama yaitu
penjumlahan. Ini sejalan dengan sifat transitif, atau logika sylogisme.
Jumlahkan ke tiga persamaan, diperoleh;
a + b + b + c + c + a = 1 + 2 + 3
2a + 2b + 2c = 6
2 ( a + b + c ) = 6
a + b + c = 6/2 = 3
3. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00
sampai dengan 23:59, dimungkinkan terjadi penampakan bilangan
Palindrome (bilangan yang dibaca dari depan dan dari belakang sama
nilainya, misalnya 12:21 dan 23:32). Dalam satu hari satu malam,
banyaknya bilangan Palindrome tersebut menampakkan diri adalah ....
Solusi:
Bilangan Palindrome adalah bilangan yang dibaca dari depan dan dari
belakang sama nilainya. Kalau kata Palindrome seperti SUGUS,
KAKAK, KAPAK, KATAK, KODOK dan sejenisnya tetapi yang
lebih menjadi kajian pakar matematika dunia yaitu bilangan
Palindrome. ,
3 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Untuk menghitung banyaknya bilangan Palindrome dalam satu hari
satu malam, tentukan bilangan yang mungkin muncul dari ke- 4 digit
pada jam digital tersebut dan syaratnya.
Untuk memudahkan buatlah petak perhitungan yang menyatakan
banyaknya bilangan yang mungkin muncul seperti berikut:
Digit ke-1 harus sama dengan digit ke 4, dan digit ke 2 harus sama
dengan digit ke-3.
Jadi, cukup menentukan kemungkinan bilangan yang muncul pada
digit ke- 1 dan digit ke-2.
Bilangan digit ke-1 yang mungkin muncul adalah 0 , 1, dan 2 ada 3.
Bilangan digit ke-2 yang mungkin muncul adalah 0 , 1, 2, 3, 4, dan 5
ada 6.
Jadi, dalam satu hari satu malam, banyaknya bilangan Palindrome
yang muncul adalah sebanyak 3 6 = 18 bilangan.
Diantaranya : 00:00, 01:10, 02:20, 03:30, 04:40, 05:50 , 10:01, 11:11,
12:21, 13:31, 14:41, 15:51 dan sejenisnya silahkan lanjutkan!
4 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Jika yang diawali dengan 0 tidak termasuk bilangan, maka banyaknya
bilangan Palindrome sebanyak 18-6=12
4. Untuk bilangan bulat a dan b, (a, b) artinya bilangan tak negatif yang
merupakan sisa ba jika dibagi oleh 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh
(–3,4) adalah ....
Solusi:
(3) 4 = 12, 12 dibagi 5 sisanya = k5 + (12) , dengan k
bilangan bulat positif
Untuk k = 3 diperoleh 15 12 = 3.
Jadi, bilangan yang ditunjukkan oleh (3,4) adalah 3.
5. Bilangan 10-angka terbesar menggunakan empat angka 1, tiga angka 2,
dua angka 3, dan satu angka 4, sehingga dua angka yang sama tidak
terletak bersebelahan adalah ....
Solusi:
Buatlah 10 petak mendatar untuk menempatkan angka-angka 1, 2, 3,
4 tersebut sehingga tersusun sebuah bilangan terbesar yang memenuhi
syarat yang ditentukan.
Tempatkan angka terbesar yang mungkin pada nilai tempat terbesar
(dari paling kiri) menuju ke kanan!
Bilangan 10 angka terbesar yang memenuhi syarat yang ditentukan
adalah 4.321.312.121.
5 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
6. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu
adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah ....
Solusi:
Misalkan bilangan itu adalah a dan b .
a – b = 2 ,
(a + b)(a – b) = 6
7. Bentuk sederhana dari 154154 adalah ....
Solusi 1:
154154 n (bilangan negatif)
154154 p (bilangan positif)
15415415421542 p
1516282 p
)1(282 p
6p
6n
Jadi, bentuk sederhana dari 154154 adalah 6 .
Solusi 2:
1115161542
2 p (bilangan rasional)
154154
2
4
2
4
2
4
2
4 pppp
6 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
2
14
2
14
2
14
2
14
2
3
2
5
2
3
2
5
6
2
110
2
16
2
110
2
1
62
110
2
16
2
110
2
1
6
8. Suatu garis memotong sumbu-x di titik )0,(aA dan memotong sumbu-y
di titik )3,0(B . Jika luas segitiga AOB sama dengan 6 satuan luas
dengan titik )0,0(O , maka keliling segitiga AOB sama dengan ....
Solusi:
Jika tak terbayangkan dalam benak anda, buatlah sketsa gambar pada
bidang Kartesius.
Segitiga AOB siku-siku di O, maka
Luas Segitiga AOB = 6
7 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Menurut Teorema Pythagoras ;
Jadi Keliling segitiga AOB = panjang AB + panjang OA + panjang OB
= 5 + 4 + 3 = 12 satuan panjang.
9. Persegi Antimagic ukuran 4 4 adalah susunan persegi panjang dari
bilangan-bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian hingga jumlah dari
setiap empat baris, empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan
sepuluh bilangan bulat yang berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan
sebagian dari persegi Antimagic ukuran 4 4. Berapakah nilai dari *?
Solusi:
Jumlahkan bilangan pada setiap baris, kolom dan diagonal-diagonalnya
dan misalkan bilangan pada petak yang kosong a, b, c, d , dan * seperti
gambar berikut.
*
13
14
7 3 9
5
10 11 6 4
12
8 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Bilangan yang mungkin untuk pengganti a, b, c, d, dan * adalah 1, 2,
8, 15, dan 16.
Sekarang periksa apakah 30 merupakan jumlah terkecil dan 39 jumlah
terbesar.
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 sepuluh bilangan bulat berurutan.
Jadi, 30 jumlah terkecil dan 39 jumlah terbesar pada persegi ini.
Selanjutnya terka dan periksa nilai c.
Nilai c tidak mungkin 1, 2, 15, dan 16. Jadi, nilai c = 8, sehingga
jumlah bilangan pada salah satu diagonalnya adalah 8 + 9 + 13 + 4
= 34.
Selanjutnya terka dan periksa nilai d.
Nilai d yang mungkin 1 atau 2?
Jika d = 2, maka jumlah kolom ke-2 : 2 + 9 + 12 +11 = 34 dan ini sama
dengan jumlah salah satu diagonal utama (tidak memenuhi syarat), jadi
nilai d = 1 sehingga jumlah kolomnya = 1 + 9 + 12 + 11 = 33.
Selanjutnya terka dan periksa nilai *.
Tersisa dua bilangan yang bisa diperiksa yaitu 15 atau 16 .
9 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Jika * = 16 , maka jumlahnya c + d + * + 14 = 8 + 1 + 16 + 14 = 39,
dan ini sama dengan jumlah salah satu diagonal utama tidak memenuhi
syarat , jadi haruslah * = 15.
Jadi, nilai a = 2 , b = 16. Tampak gambar yang berisi bilangan 1 s.d
16.
Antimagic persegi merupakan himpunan bagian dari heteromagic
persegi dan berlainan dengan persegi ajaib (magic square) yang
jumlah angka-angkanya pada setiap baris, kolom, dan diagonal-
diagonalnya sama.
Sekilas tentang Antimagic persegi ukuran n n.
Bilangan yang digunakan 1 s.d n2
Untuk persegi ukuran 4×4 terdapat jumlah bilangan pada setiap baris,
kolom, dan diagonal-diagonalnya membentuk 10 bilangan bulat
berurutan. Sedangkan untuk ukuran 5×5 terdapat jumlah bilangan-
bilangannya yang membentuk 12 bilangan bulat berurutan.
10. 20042004
1....
44
1
33
1
22
1
11
122322
= ....
10 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Solusi:
20042004
1....
44
1
33
1
22
1
11
122322
)20041(2004
1....
)41(4
1
)31(3
1
)21(2
1
)11(1
1
)2005(2004
1....
)5(4
1
)4(3
1
)3(2
1
)2(1
1
2005
1
2004
1....
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
2005
11
2005
2004
B. URAIAN
1. Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka
dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di
setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu
sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas
selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur
(kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa
banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut?
Solusi:
Ini temasuk masalah Kombinasi atau masalah pembagian.
Kita pilah pertandingan ke dalam 4 babak, babak I, II, III, dan IV.
11 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Pada babak I, terdapat 4 kelompok dan dalam 1 kelompok yang terdiri
dari 4 tim saling bermain satu kali, sehingga
Banyaknya pertandingan pada babak I adalah
Pada babak II terdapat 8 tim yang bertanding dengan sistem gugur.
Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 8 : 2 = 4 kali
Pada babak III terdapat 4 tim yang bertanding dengan sistem gugur.
Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 4 : 2 = 2 kali
Pada babak IV (Final) terdapat 2 tim yang bertanding .
Banyaknya pertandingan pada babak II adalah 2 : 2 = 1 kali.
Jadi, banyaknya pertandingan dalam turnamen tersebut sebanyak 24 +
4 + 2 + 1 = 31 kali.
2. Pada gambar di bawah, ABCD adalah persegi dengan panjang 4 cm. Titik-
titik P dan Q membagi diagonal AC menjadi 3 bagian sama panjang.
Berapakah luas PDQ?
B
A
C
D
P
Q
12 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Solusi:
Luas segitiga ABC = 1/2 AB BC = 1/2 4 4 = 8 cm²
3. Untuk bilangan real x didefinisikan
0,
0,
xjikax
xjikaxx , cari semua x
yang memenuhi 0322 xx .
Solusi:
Berdasarkan
Maka nilai x = 1 atau 1 .
Jadi, semua nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 1 atau 1.
4. Sebuah semangka yang beratnya 1 kg mengandung 93% air. Sesudah
beberapa lama dibiarkan di bawah sinar matahari, kandungan air
semangka itu turun 90%. Berapakah berat semangka sekarang.
Solusi:
Di dalam buah semangka yang beratnya 1 kg, terdapat:
13 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Berat serat buahnya = 7% 1 kg = 0,07 kg =70 g .
Berat kandungan air dalam semangka = 93% 1kg = 0,93 kg = 930 g .
Karena terkena sinar matahari kandungan airnya turun 90% sehingga
berat kandungan ainya hanya 10% = 93 g.
Jadi, berat semangka sekarang (70 + 93) g = 163 g = 0,163 kg.
5. Untuk bilangan real a dan b sembarang, buktikanlah bahwa:
2 2 2 2a b a b
Bukti:
Dalam matematika untuk membuktikan suatu teorema atau dalil, kita
dituntut menguraikan, menganalisa, menyusun, lalu menyimpulkan
kebenaran sesuatu yang harus dibuktikan dengan menggunakan data
pada pernyataan sebelumnya (yang disebut premis), didukung dengan
aksioma-aksioma , fakta yang benar, definisi, atau teorema lain
sebelumnya yang berkaitan (jika diperlukan).
Metode pembuktian yang digunakan ada metode Induktif dan metode
Deduktif.
Pembuktian dengan metode Induktif yaitu, suatu pembuktian yang
diawali dari hal yang bersifat khusus menuju hal yang bersifat umum
(yang harus dibuktikan), dan ini yang dikenal dengan istilah induksi
matematika. Sedangkan metode Deduktif kebalikan dari metode
Induktif.
Teknisnya, ada pembuktian secara langsung (Direct prove) dan bukti
tak langsung (Indirect prove).
14 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Bukti langsung diawali dengan menganalisa, menguraikan pernyataan
awal (premis), memeriksa kebenaran yang harus dibuktikan, lalu
menyimpulkan secara umum (generalisasi).
Sedangkan bukti tak langsung diawali dengan penyangkalan (negasi)
dari kebenaran yang harus dibuktikan sehingga ditemukan hal yang
kontradiksi dengan premis, lalu menyimpulkan kebenaran yang harus
dibuktikan.
Bukti secara induktif:
Karena a, b adalah sembarang bilangan real, periksa untuk a=b , kita
bisa menganggap
Jadi, a² + b² = 2 (a + b) – 2 …. (1)
Untuk a > b , anggap a = 0 , dan b = – 2 , diperoleh nilai a² + b² = 0²
+ (-2)² = 4 , sedangkan nilai dari
2 (a + b) – 2 = 2[0 + (2)] – 2 = 4 – 2 = 6 , diketahui bahwa fakta
4 > 6.
Jadi, a² + b² > 2 (a + b) – 2 …. (2)
Periksa untuk a dan b yang bernilai pecahan, maka akan diperoleh
kondisi yang sama.
Dari persamaan (1) dan pertidaksamaan (2) disimpulkan
a² + b² ≥ 2 (a + b) – 2 (yang harus dibuktikan)
Bukti Secara Deduktif:
Nyatakan suatu pernyataan yang benar dari data premis.
Karena a , b, sembarang bilangan real, maka jika a dipangkatkan 2
hasilnya adalah suatu bilangan yang tidak negatif ,dapat berupa
bilangan 0 atau bilangan positif .
15 | Jejak Seribu Pena, OSP Matematika SMP 2004
Dalam kalimat matematika ditulis: a² ≥ 0
Demikian juga: ( a – 1 )² ≥ 0
Karena b juga sembarang bilangan real, maka
Pertidaksamaan (1) ditambah pertidaksamaan (2) diperoleh
yang harus dibuktikan
Pembuktian-pembuktian suatu teorema di dalam matematika mutlak
harus dikuasai dan dipahami jika anda memutuskan untuk belajar
matematika pada jenjang yang lebih tinggi. Mulailah sejak dini belajar
menurunkan rumus seperti rumus akar-akar persamaan kuadrat,
menentukan rumus suku ke-n suatu barisan bilangan, rumus-rumus
geometri yang sederhana seperti luas daerah segitiga= 1/2 alas tinggi
dlsb, sehingga kita akan lebih memahami teorema-teorema yang
dirumuskan karena dengan memahaminya, rumus tak perlu dihapal,
akan melekat kuat dalam benak kita sehingga selain memudahkan kita
dalam menuliskan rumus, memudahkan juga dalam mempelajari
materi-materi matematika lainnya.
(Anonim)