Post on 26-Dec-2015
description
MEKANIKA
KELOMPOK III
Di Susun Oleh :
Rhistanto F (140710130019) Adhiawa Alif Archiafinno (140710130020) Teguh Fitra M (140710130021 Sarah Dhiba N.S (140710130023) Astri Fitriani M (1407101300240) Fizar Firdaus (140710130025)
PROGRAM STUDI GEOFISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2014
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat
dan karunianya kita masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan makalah
ini.Tidak lupa kami ucapkan kepada dosen pembimbing dan teman-teman yang
telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.Kami menyadari
bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebabiti
penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun.Semoga dengan
selesainya makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman-teman.
DAFTAR ISI
Kata pengantar ..................................................................... 1
Daftar Isi ..................................................................... 2
BAB I
Pendahuluan ..................................................................... 3
Rumusan masalah ..................................................................... 4
Tujuan ..................................................................... 4
BAB II
Hukum Kepler
Hukum I Kepler ..................................................................... 5
Hukum II Kepler ..................................................................... 6
Hukum III Kepler ..................................................................... 6
Hubungan antara α dengan Ψ ..................................................................... 7
Simulasi Orbit Bumi ..................................................................... 8
BAB III
Kesimpulan ................................................................... 13
DAFTAR PUSTAKA ................................................................... 14
BAB I
PENDAHULUAN
Simulasi tentang gerak planet bumi merupakan suatu persoalan yang
menarik untuk dilakukan. Simulasi ini akan menggambarkan gerak yang
dihasilkan oleh planet bumi pada posisi setiap saat yang dialami bumi. Posisi ini
yang akan disimulasikan adalah waktu pada posisi yang akan disimulasikan
adalah pada posisi pada vernal equinox, Autumn equinox, winter solstice, dan
solar solstice.
Dalam kajian Astronomi, Equinox adalah titik perpotongan antara
lingkaran Equatorial dengan lingkaran ekliptika. Titik perpotongan ini dinamakan
equinox, karena pada saat matahari berada di titik ini bumi bagian utara dan
selatan mengalami lama siang dan malam yang sama masing-masing 12 jam.
Istilah Equinox diambil dari bahasa Latin aequus (sama) dan nox (malam). Dalam
setahun matahari melintasi titik equinox 2 kali, yaitu (kira-kira) pada tanggal 21
Maret dan 22 September.
Dalam hukum Kepler ke II untuk kasus orbit berbentuk ellips, karena
dalam kenyataannya orbit ellips inilahbentuk dari orbit planet yang mengitari
matahari.
Di dalam suatu ilmu astronomi , tiga hukum Kepler tentang gerak planet
adalah (1) Setiap planet bergerak dengan lintasan ellips dan matahari berada di
salah satu fokusnya, (2) Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama
akan selalu sama dan (3) Periode kuadrat suatu planet berbanding dengan pangkat
ti jarak rata-ratanya dari matahari.
Ketiga hukum di atas dikemukakan oleh seorang ahli matematika dan
astronomi yang bernama Johanes Kepler (1571-1630) berasal dari Jerman yang
menjelaskan tentang planet didalam tata surya. Hukum di atas menjelaskan
tentang gerakan dari dua buah benda yang saling mengorbit.
Hukum Kepler mempertanyakan kebenaran astronomi dan fisika warisan
zaman Aristoteles dan Ptolomeus. Ungkapan Kepler bahwa bumi beredar
sekeliling berbentuk ellips dan bukan epycile dan membuktikan bahwa kecepatan
gerak planet bervariasi, mengubah astronomi dan fisika.
Pada era modern, hukum Kepler digunakan untuk aproksimasi orbit satelit
dan benda-benda yang mengorbit matahari. Hukum-hukum ini menjelakan
gerakan dua benda yang mengorbit satu sama lainnya. Massa dari kedua benda ini
hampir sama.
Dalam semua contoh di atas kedua benda mengorbit mengelilingi satu
pusat massa ( barycenter ) dan tidak satupun berdiri secara sepenuhnya di atas
fokus ellips. Namun kedua orbit itu adalah ellips dengan satu titik fokus di
barycenter.
A. Rumusan Masalah
Bagaimana menentukan waktu dari posisi vernal equinox, Autumn
equinox, winter solstice, dan solar solstice.
B. Tujuan
Menentukan waktu dari posisi vernal equinox, Autumn equinox, winter
solstice, dan solar solstic dengan menggunakan pendekatan pada hukum Kepler.
BAB II
PEMBAHASAN
Hasil karya kepler yang di hasilkan dari data hasil pengamatan yang
dikumpulkan Tricho Brahe mengenai posisi setiap planet dalam pergerakannya di
dalam tata surya. Hukum ini telah dikemukakan oleh Kepler setengah abad
sebelum Newton mengmukakan ketiga hukumnya tentang gerak dan grafitasi
universal. Di anatara karya Kepler, terdpat tiga penemuan yang sekarang kita
kenal dengan “ Hukum Kepler Tentang Gerak Planet”.
A. Hukum Kepler
1. Hukum 1 Kepler
Hukum 1 Kepler berbunyi “Lintasan planet ketika mengelilingi
matahari berbentuk ellips, dimana matahari terletak pada salah satu
fokusnya”
Gambar 1. Posisi matahari dan planet dalam lingkaran ellips
2. Hukum II Kepler
Hukum II Kepler berbunyi “ Luas daerah yang disapu oleh garis
antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu
sama”.
g
Gambar 2. Luas daerah yang disapu oleh garis
antara matahari dengan planet
3. Hukum III KeplerHukum III Kepler berbunyi “ Kuadrat waktu yang diperlukan oleh
planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat
tiga jarak rata-rata planet-plenet tersebut dari matahari”.
Jika T1 dan T2 menyatakan periode dua planet, dan r1 dan r2
menyatakan jarak rata-rata dari matahari, maka
(T1
T2)
2
=( r1
r2)
3
Persamaan ini dapat ditulis kembali menjadi
r 13
T12 =
r 23
T22
(a-ea)
B. Hubungan antara α dengan Ψ
Pertama, harus mencari tahu hubungan antara α dengan Ψ, karena
dalam perhitungan selanjutnya akan menggunakan hubungan tersebut
untuk mencari nilai Δt.
TL
TL = titik pusat lingkaran
Tf = titik fokus elips
Data literatur:
Yang berhimpit diasumsikan datar
Orbit bumi sekarang eksitrinsitasnya 0,0167 (elips)
Orbit bumi berbentuk lingkaran nilai eksentrisnya 0,0005
Jika melihat pada gambar, dapat diasumsikan bahwa lintasan orbit
bumi pada antara bulan Desember sampai Januari berimpit dengan
orbit bumi berbentuk lingkaran.
Jika diperbesar segitiganya :
a
II p I
Ψ α
ea a-ea
a
a a Januari
DesemberTf
Jika a = jari-jari lingkaran, maka p adalah jarak perihelion atau bisa
dikatakan p = (a-ea).
Sehingga untuk mencari hubungan antara α dengan Ψ bisa
menggunakan aturan sinus.
Ltotal=L I+ L2
12
a ∙a sin Ψ=12
ea⋅ a ⋅sin Ψ + 12
a2 (1−e )2 sin α
a2sin Ψ =¿a2 e sin Ψ +a2 (1−e )2 sinα ¿
sin Ψ −¿e sin Ψ =(1−e )2 sinα ¿
sin Ψ (1−e )= (1−e )2sin α
sin Ψ =(1−0,0167 )sin α
sin Ψ =0,09833 sin α..................(1)
Selanjutnya, substitusikan persamaan (1) ke persamaan Kepler
sehingga mendapatkan persamaan berikut :
φ−e sinφ=2πτ
(t−t 0 )
φ−¿
C. Simulasi Orbit Bumi
a. Langkah menentukan waktu
1. Tentukan α. (α adalah sudut yang dibentuk antara titik acuan
dengan titik yang ditentukan).
2. Mencari nilai Ψ dan sin Ψ dari persamaan (1).
3. Setelah didapat nilai Ψ dan sin Ψ, substitusikan kedalam
persamaan Kepler, sehingga mendapatkan nilai Δt.
4. Δt merupakan selang hari dari waktu awal (atau waktu yang
dijadikan acuan) sampai titik yang ditentukan (t-t0).
b. Perhitungan menentukan waktu
Berdasarkan dari data literatur winter solstice terjadi pada 21
Desember, kemudian α mempunyai nilai sebesar 1,010 (berdasarkan
perbandingan antara periode bumi dengan jarak penuh suatu orbit)
perharinya. Acuan pada perhitungan kali ini adalah pada tanggal 1
Januari. Maka, kita dapat menentukan nilai α dari 21 Desember sampai
1 Januari, yaitu sebesar 11,10.
Maka Ψ dapat ditentukan :
Sin Ψ = 0,9833 sin (11,1o)
= 0,0605 π
Substitusikan Ψ dan sin Ψ pada persamaan Kepler :
0.0605π – (0,0167)(0,09833) sin(11,1) = 6,28
362,5∆ t
Δt = 10,86 hari = 11 hari.
Maret
Januari
Desember (ws)
Jika Desember ke Januari = 11,1o maka dari Januari sampai
kemaret adalah 78,89o.
Maka nilai Ψ dan sin Ψ :
Sin Ψ = 0,9833 sin (78,89o)
= 0,96487
Ψ = 0,4667
Substitusikan ke persamaan Kepler :
φ−e sinφ=2πτ
(t−t 0 )
0,4667 ⋅3,14−(0,0167 ) ( 0,9833 )sin 78,89 °=¿ 6,28365,25
∆ t ¿
Δt = 80,64 hari
11,1o
Jika menambahkan Δt dari 1 Januari, maka vernal equinox akan
terjadi pada tanggal 24 Maret.
Kemudian antara vernal equinox dengan solar solstice mempunyai
nilai α = 90o
Maret (se)
Juni (ss)
Sehingga sin Ψ = sin α
φ−e sinφ=2 πτ
(t−t 0 )
0,5 π−0,0167 (1 )sin 90 °= 6,28365,25
Δt
Δt = 90,34 hari.
Jika menambahkan Δt dari 18 Maret, maka solar solstice terjadi
pada 18 Maret + Δt = 20 Juni.
Kemudian untuk autumn equinox. Jika kita lihat pada gambar orbit
dengan vernal equinox
VE
SS WS
AE
Maka dapat menentukan nilai α = 180o dari VE ke AE, maka Ψ = π
dan sin α = sin Ψ. Sehingga jika kita substitusikan ke persamaan Kepler :
φ−e sinφ=2 πτ
(t−t 0 )
π−e sin π=2 πτ
∆ t
π−0=2 πτ
∆ t
π=2 πτ
∆ t
∆ t=182,625 hari
Maka jika ditambahkan Δt dari vernal equinox, maka autumn
equinox akan terjadi pada 20 September.
Kemudian, jika ingin mengetahui kapan terjadi kembali winter
solstice, kembali pada persamaan :
φ−e sinφ=2πτ
(t−t 0 )
Dengan α = 90o
Sin Ψ = 0,9833 sin 90o
= 0,9833 (1)
Ψ = 0,4837π
Substitusikan ke persamaan Kepler
φ−e sinφ=2 πτ
(t−t 0 )
0,4667 π− (0,0167 ) (0,9833 )=2πτ
Δt
0,4667 ∙ 3,14−(0,01667 ) (0,9822 )=2 πτ
∆ t
∆ t=87,4hari
Maka winter solstice pada tanggal 16 Desember.
Sehingga VE (21 maret)
SS
20 juni
AE (20 sept)
WS (21 Desember)
WS (16 Desember)
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Dari hasil simulasi diatas, maka didapat beberapa kesimpulan sebagai
berikut :
1. Hukum yang digunakan adalah Hukum Kepler I, II dan III tentang gerak
planet.
2. Hubungan antara α dengan Ψ adalah sin Ψ = 0,9833 sin α
3. Dengan menggunakan persamaan Kepler, dapat diketahui waktu dari
setiap posisi Bumi, yaitu :
a. Vernal Equinox = 21 Maret
b. Solar Solstice = 20 Juni
c. Autumn Equinox = 20 September
d. Winter Solstice = 16 Desember
DAFTAR PUSTAKA
Supardi M,Si. Simulasi Gerak Planet dalam Tata Surya. Yogyakarta. Penerbit :
Universitas Negeri Yogyakarta.
http://id.wikipedia.org/wiki/Orbit
http://syauqingisab.blogspot.com/2012/03/menghitung-saat-matahari-berada-
di.html