Post on 06-Sep-2015
description
SOAL & PEMBAHASAN
yos3prens.wordpress.com
2015SBMPTNMATEMATIKA TKD SAINTEK
http://yos3prens.wordpress.comyos3prens.wordpress.com
SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA
TKD SAINTEK SBMPTN 2015
Berikut ini 15 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan dalam TKD Saintek SBMPTN Tahun 2015 kode naskah 517.
1. Misalkan titik A dan B pada lingkaran 2 2 6 2 0x y x y k+ + = sehingga garis singgung lingkaran di
titik A dan B berpotongan di ( )8,1C . Jika luas segiempat yang melalui A , B , C , dan pusat lingkaran adalah 12, maka ....k =
Pembahasan Beberapa hal yang dapat kita peroleh untuk menyelesaikan masalah ini adalah sebagai berikut:
Lingkaran 2 2 6 2 0x y x y k+ + = memiliki pusat di
( )1 1, 3,12 2
O A B O =
.
Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik potongnya, maka OAC merupakan segitiga siku-siku di A . Demikian juga OBC merupakan segitiga siku-siku di B .
Luas OAC sama dengan setengah luas segiempat
OACB , yaitu 1 12 62 = satuan luas. Sehingga tinggi
OAC dapat ditentukan sebagai berikut.
Luas OAC 12
OC t=
6 ( )1 8 32
t=
t 6 2 225 5
= =
Koordinat titik A adalah 2 2,1 2 ,35 5
A x A x + =
.
Pada soal nomor 1, sebelum kita tentukan nilai , kita harus tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang diberikan. Karena jika
adalah pusat
lingkaran, maka
.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 2
yos3prens.wordpress.com
Berdasarkan beberapa hal yang telah diperoleh, segiempat OACB dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Untuk menentukan nilai x agar OA AC , kita gunakan sifat bahwa perkalian gradien dua garis yang tegak lurus sama dengan 1.
OA ACm m 1=
2,4 2,43 8x x
1=
25,7611 24x x +
1=
5,76 2 11 24x x= + 2 11 29,76x x + 0=
( )( )4,8 6,2x x 0=
x 4,8= atau 6,2x =
Untuk 4,8x = maka jari-jari lingkaran O adalah
( ) ( )2 24,8 3 3,4 1 9 3r = + = =
Untuk 6,2x = maka jari-jari lingkaran O adalah
( ) ( )2 26, 2 3 3,4 1 16 4r = + = =
http://yos3prens.wordpress.com3 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
Sehingga peroleh dua nilai k yaitu, 2 2 23 1 3 1k = + =
atau, 2 2 23 1 4 6k = + =
(Jawaban C)
2. Jika ( )sin 15x a+ = dengan 0 15x , maka nilai ( )sin 2 60x + adalah .
Pembahasan Sebelum menyelesaikan permasalahan tersebut, kita tentukan
( ) 2cos 15 1x a+ = .
Sehingga, kita dapatkan
( )sin 2 60x + ( )( )sin 2 15 30x= + +
( ) ( )sin 2 15 cos30 cos 2 15 sin 30x x= + + +
( )2 21 12 1 3 1 22 2a a a= +
( )2 21 3 12 a a a= +
(Jawaban A)
3. Diketahui 2 2a i j k=
dan 4b i j=
. Luas jajaran genjang
yang dibentuk oleh a b+
dan a
adalah .
Pembahasan Pertama, kita ilustrasikan jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
( ) ( )2 1 2 4 3 6a b i j k i j k+ = + + =
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 4
yos3prens.wordpress.com
Proyeksi ortogonal vektor a b+
pada a
adalah
( )( ) ( )2 22
3 26 21 1 19
32 2 1
a b ac
a
+ = = =+ +
.
Panjang vektor a b+
dapat ditentukan sebagai berikut.
( ) ( )2 223 6 1 46a b+ = + + =
Sehingga
22 2 2 19 5346
3 3t a b c = + = =
Jadi, luas jajaran genjang yang terbentuk
533 533
L a t= = =
(Tidak ada jawaban)
Cara lain Cara ini untuk memastikan bahwa soal nomor 3 memang benar-benar tidak ada jawabannya.
Pertama kita tentukan sinus sudut , yaitu sudut yang dibentuk oleh a
dan a b+
.
2 32 61 1 19cos3 46 3 46
= =
. Sehingga,
53sin3 46
= .
Luas segitiga yang dibentuk oleh a
dan a b+
adalah
1 1 53 1sin 3 46 532 2 23 46
L a a b = + = =
.
Jadi, luas jajaran genjangnya adalah
12 53 532
L = = (terbukti)
http://yos3prens.wordpress.com5 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
4. Pencerminan garis 2y x= + terhadap garis 3y = menghasilkan garis .
Pembahasan Misalkan ( ),x y sebarang titik pada garis 2y x= + , maka bayangan titik tersebut setelah
dicerminakan terhadap garis 3y = adalah
' 1 0 0' 0 1 2 3 6
x x xy y y
= + =
.
Sehingga, kita mendapatkan
'x x= dan 6 'y y=
Selanjutnya kita substitusi dua persamaan tersebut ke persamaan garis yang dicerminakan.
6 ' ' 2 ' ' 4y x y x = + = +
Jadi, bayangan garis tersebut adalah 4y x= + .
(Jawaban A)
5. Pada kubus .ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4, titik P terletak pada segmen AF sehingga 2PF AP= . Titik Q adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD . Jika adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA maka nilai cos adalah .
Pada soal nomor 5, garis akan berpotongan dengan garis karena kedua garis tersebut terletak pada bidang dan, terlihat jelas, tidak sejajar.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 6
yos3prens.wordpress.com
Pembahasan Pertama, kita perhatikan dua segitiga PFG dan PAQ .
Karena garis FG dan AQ tegak lurus dengan bidang ABFE maka FG PF dan AG PF . Sehingga PFG PAQ = . Selain itu, FPG APQ = (bertolak belakang). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa PFG sebangun dengan PAQ .
Selanjutnya kita tentukan panjang PF dan PA . Karena AF merupakan diagonal sisi kubus, maka 4 2AF = . Sedangkan 2PF AP= , maka kita mendapatkan
1 44 2 22 1 3
AP = =+
.
Dengan menggunakan kesebangunan,
4 22
AQ AP APAQFG PF AP
= = = .
Dengan menerapkan Teorema Pythagoras,
22 2 24 22 2 17
3 3PQ AP AQ = + = + =
.
Sehingga,
2 3cos 2 17173
AQPQ
= = = .
(Jawaban D)
http://yos3prens.wordpress.com7 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
6. Suku banyak ( ) ( ) ( ) ( )7 6 3p x x a x b x= + + habis dibagi oleh ( )2x a b x ab + + . Jika a b , 4a , maka b = .
Pembahasan Perhatikan bahwa
( ) ( )( )2x a b x ab x a x b + + = .
Sehingga x a= dan x b= merupakan pembuat nol ( )2x a b x ab + + . Jika suku banyak ( )p x habis dibagi
bentuk aljabar tersebut, maka
( ) ( ) ( )6 3 0p a a b a= + = (6.1)
( ) ( ) ( )7 3 0p b b a b= + = (6.2)
Persamaan (6.1) dapat ditulis kembali menjadi
( )6 3a b a = (6.3)
Persamaan (6.3) di atas kita substitusikan ke persamaan (6.2) untuk mendapatkan
( ) ( )7 3b a b + 0=
( )( )71 3a b b + 0=
( )( )6 3a b a b b + 0=
( )( )3 3a b a b + 0= 23 3 3a a b ab b + + + 0=
4b ab 23 3a a= +
( )4b a 23 3a a= +
b 23 3
4a a
a+
=
(Jawaban D)
7. Nilai c yang memenuhi ( )( ) ( )( )2 23 2 80,0081 0,09x x c x x+ + +<
adalah .
Teorema Sisa menyatakan: Jika suku banyak dibagi
maka siwa
pembagiannya adalah .
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 8
yos3prens.wordpress.com
Pembahasan Permasalahan di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
( )( )2 30,0081 x x c+ + ( )( )
2 2 80,09 x x +<
( )( )24 12 40,3 x x c+ + ( )( )
22 4 160,3 x x +<
24 12 4x x c+ + 22 4 16x x> + 22 16 4 16x x c+ + 0>
2 8 2 8x x c+ + 0>
Agar bentuk 2 8 2 8x x c+ + selalu positif, maka diskriminannya haruslah negatif, 0D < .
( )( )28 4 1 2 8c 0<
64 8 32c + 0<
96 8c 0<
c 96 128
> =
(Jawaban E)
8. Jika 1x , 2x adalah akar-akar 2 2 1 2 325 5 2 5 0x x x a+ + + = di
mana 51 2 2 log 2x x+ = , maka a = .
Pembahasan Perhatikan bahwa, 2 2 1 2 325 5 2 5x x x a+ + + 0=
( )22 1 2 3 25 5 5 2 5 5x x x a + 0=
( )22 25 255 5x x a + 0= Sehingga,
1,22 255 65.025 452
x a = .
Atau dengan kata lain,
51,2
255 65.025 42 log2
ax
=
.
Syarat agar suatu fungsi kuadrat definit positif adalah dan
.
Ingat!
Definisi logaritma:
.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.com9 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
Padahal diketahui bahwa 51 2 2 log 2x x+ = . Oleh karena itu, kita mendapatkan
1 22 2x x+ 54 log 2=
5 255 65.025 4 255 65.025 4log2 2
a a +
54 log 2=
( )5 log a 5 4log 2=
a 42 16= =
(Jawaban C)
9. Nilai ( )( )
1
5 2 2 1lim
1xx x
x +
adalah .
Pembahasan
( )( )1
5 2 2 1lim
1xx x
x +
( )( )( )( )( )1
5 2 5 2 2 1lim
5 2 1xx x x
x x + +
= +
( )12 1lim5 2x
xx
+=
+
2 1 1 1
25 1 2 +
= = +
(Jawaban E)
10. Jika 1u , 2u , 3u , adalah barisan geometri yang memenuhi
3 6u u x = , dan 2 4u u y = , maka x y =.
Pembahasan
x y 3 62 4
u uu u
=
2 5
1 3ar arar ar
=
( )( )
2 3
2
1
1
ar r
ar r
=
Salah satu teknik faktorisasi aljabar:
dan
.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 10
yos3prens.wordpress.com
( )( )( )( )
21 11 1
r r r rr r
+ +=
+
3 2
1r r r
r+ +
=+
(Jawaban C)
11. Fungsi ( ) 2sin2xf x x = + + , 2x < < turun pada
interval .
Pembahasan Fungsi turun atau naik dapat diidentifikasi melalui turunan pertama fungsi tersebut. Misalkan
( )y f x= dan 2sin2xu x = + + , maka dengan menggunakan
aturan rantai kita mendapatkan
dydx
dy dudu dx
=
1 12sin cos
22x x
u = +
2
12sin cos2
2 sin2
x x
xx
+=
+ +
Fungsi turun ketika turunan pertamanya kurang dari nol (negatif). Karena penyebut dari turunan pertama fungsi f selalu positif, maka untuk menjadi negatif pembilang dari turunan pertama tersebut haruslah negatif.
12sin cos2
x x + 0<
sin 2x 12
<
Sehingga selesaian pertidaksamaan di atas adalah 512 12
x < < , 7 1112 12
x < < , dan 19 2312 12
x < < .
(Jawaban A)
12. Pada interval 2 2x , luas daerah di bawah kurva 24y x= dan di atas garis y k= sama dengan luas daerah
Jika untuk
semua dalam ,
maka turun pada
.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.com11 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
di atas kurva 24y x= dan di bawah garis y k= . Nilai k adalah .
Pembahasan Dengan mudah kita tahu bahwa 0 4k< < dan titik potong grafik 24y x= dan y k= adalah
( )4 ,k k dan ( )4 ,k k . Sehingga,
( )4
2
0
2 4k
x k dx
( )2
2
4
2 4k
k x dx
=
( )4
3
0
143
k
k x x
( )
23
4
1 43 k
x k x
= +
( )2 4 43
x x ( )16 22 4 43 3
k k k= +
2k 163
=
k 83
=
(Jawaban B)
13. Banyak kurva 2
2 02
ByAx + =
dengan A dan B dua
bilangan berbeda yang dipilih dari { }1,0,1,2,4 adalah .
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 12
yos3prens.wordpress.com
Pembahasan Jika 0A = maka berapapun nilai B akan menghasilkan grafik yang sama. Begitu juga jika 0B = maka berapapun nilai A akan menghasilkan grafik yang sama. Sehingga hanya ada dua kemungkinan kurva yang dapat dibentuk untuk 0A = atau 0B = .
Selanjutnya kita perhitungkan kemungkinan jika nilai 0A dan 0B . Untuk nilai-nilai tersebut, semua grafiknya akan
berbeda karena grafik 2
2 1 02
B yAx + =
dan
22 2 0
2B yAx + =
berbeda, serta
22
1 02ByA x + =
dan
22
2 02ByA x + =
juga akan berbeda. Sehingga banyaknya
kemungkinan grafiknya adalah ( )
42
4! 124 2 !
P = =
. Jadi,
banyaknya semua kemungkinan kurvanya adalah 2 + 12 = 14.
(Jawaban B)
14. Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah .
Pembahasan Misalkan ketiga kelas tersebut adalah Kelas A, Kelas B, dan Kelas C, Kelas A terdiri atas laki-laki saja, banyaknya siswa laki-laki kelas B adalah b dan banyaknya siswa laki-laki kelas C adalah c.
Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36, maka
3030 30 30
b c 7
36=
b c 175=
Pada dua bilangan cacah kurang dari atau sama dengan 30 yang hasil kalinya sama dengan 175 hanyalah 7 dan 25. Sehingga 7b = dan 25c = , atau sebaliknya.
Terdapat dua kemungkinan terpilihnya dua laki-laki dan satu perempuan, yaitu siswa perempuan yang terpilih
Permutasi digunakan ketika urutan diperhitungkan. Pada soal nomor 13, grafik
dan akan berbeda dengan grafik
dan .
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.com13 Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
yos3prens.wordpress.com
tersebut berasal dari Kelas B atau Kelas C. Sehingga peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah
( )P A ( ) ( )30 3030 3030 30 30 30 30 30
b cc b = +
30 30
900 900c bc b bc
= +
( )30 2
900b c bc+
=
30 32 350 61
900 90
= =
(Jawaban B)
15. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah
sama dengan nilai maksimum fungsi ( ) 32 223 3
f x x x= + +
untuk 1 2x . Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah ( )2 ' 0f . Rasio deret geometri tersebut adalah .
Pembahasan Pertama kita tentukan titik-titik puncak fungsi f dengan menggunakan turunan pertama.
( )'f x 0= 22 2x + 0=
( )( )2 1 1x x + 0=
x 1= atau 1x =
Sehingga,
( ) ( ) ( )32 2 21 1 2 13 3 3
f = + + = , dan
( ) ( ) ( )32 21 1 2 1 23 3
f = + + = .
Diperoleh titik-titik puncaknya adalah 21,3
dan ( )1,2 .
Selanjutnya kita tentukan titik-titik ujungnya. Ujung kiri sama dengan titik puncaknya, sehingga kita tinggal menentukan ujung kanannya.
Hati-hati, tidak semua titik yang turunan pertamanya sama dengan nol, ,
merupakan titik puncak.
Contoh pada
fungsi tetapi
titik bukan titik
puncak fungsi tersebut.
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.comSoal dan Pembasan Matematika SBMPTN 2015 14
yos3prens.wordpress.com
( ) ( ) ( )32 2 22 2 2 23 3 3
f = + + = .
Sehingga titik ujung yang sebelah kanan adalah 22,3
.
Jadi, nilai maksimum fungsi f adalah 2.
Karena deret geometri tak hingga yang diberikan mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f maka
21
ar=
.
Selain itu,
2 1u u ( )2 ' 0f=
ar a ( )( )22 2 0 2= + ( )1a r 4=
a 41 r
=
Dengan mensubstitusi nilai a di atas ke persamaan jumlah deret, didapatkan
1a
r 2=
( )( )4
1 1r r 2=
242 1r r +
2=
4 22 4 2r r= +
( )22 2 1r r 0= 2 2 1r r 0=
Sehingga kita mendapatkan
( ) ( )( )( )
2
1,2
2 2 4 1 11 2
2 1r
= =
(Jawaban A)
Jumlah deret geometri tak hingga dirumuskan dengan:
dengan suku awal dan rasio, .
Ingat!
http://yos3prens.wordpress.com