Post on 26-Oct-2015
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-1
BAB 7. SIMULASI MONTE CARLO
A. PENDAHULUAN
Bagian ini menjelaskan pemodelan sistem dengan model Monte Carlo.
Pemodelan ini berkaitan dengan model probabilistic suatu event atau kejadian
berdasarkan history atau sejarah kejadian yang telah terjadi (recorded data).
Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode
simulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk
mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyak-
banyaknya (nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk mendapatkan
ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman yang
bebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule atau aturan tertentu.
Setelah mendapat materi ini, mahasiswa diharapkan mampu:
1. Mengenal konsep dasar metode Monte Carlo dalam memformulasikan
masalah dengan baik
2. Memahami konsep kerja bilangan acak (Random Number)
3. Menyederhanakan system menjadi suatu algoritma
4. Menyusun algoritma
5. Membuat program simulasi Monte Carlo
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-2
B. DASAR TEORI SIMULASI MONTE CARLO
1. Variabel Random
Menurut Bain dan Engelhardt (1992) Variabel random adalah suatu fungsi yang
didefinisikan pada ruang sampel π yang menghubungkan setiap hasil yang
mungkin π di π dengan suatu bilangan real, yaitu π(π) = π₯. Jika himpunan hasil
yang mungkin dari variabel random π merupakan himpunan terhitung, { 1, π₯2, β¦
π₯n }, atau , { π₯1, π₯2, β¦ }, maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi
(π₯) = π [ π =π₯ ] , π₯ = π₯1, π₯2, β¦ π₯n (7.1)
yang menentukan nilai probabilitas untuk masing-masing nilai π₯ yang mungkin
disebut dengan fungsi densitas probabilitas diskrit.
Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random π yang didefinisikan untuk
bilangan real adalah sebagai berikut
(π₯) = π (π β€ π₯) (7.2)
Variabel random π disebut variabel random kontinu jika (π₯) fungsi densitas
probabilitas dari π, sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat dinotasikan
sebagai berikut:
(π₯) = β«
πt (7.3)
Jika variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas π (π₯), maka
nilai ekspektasi dari ππ didefinisikan sebagai πΈ (π) = β π₯π π₯ . Jika adalah
variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas π (π₯), maka nilai
ekspektasi dari π didefinisikan sebagai
E(X) = β« π₯ π₯ ππ₯
(7.4)
(π) sering kali ditulis dengan π atau ππ₯.
Varians dari variabel random X didefinisikan sebagai berikut
πar (π) = πΈ (π - π)2 (7.6)
Jika adalah variabel random, maka πar (π) = (π)2 - π2 (7.7)
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-3
Ukuran sebaran yang sering digunakan selain varians adalah standar deviasi
yang merupakan akar kuadrat dari varians.
(7.8)
Jika adalah variabel random, π dan π adalah konstanta, maka
πar(aπ + π ) = a2 πar (π) (7.10)
Jika π dan π adalah variabel random yang saling independen dan (π₯) dan π (π¦)
adalah fungsi, maka
[ π(π) h (π)] = πΈ [π(π)] πΈ[h(π) ] (7.11)
Kovarians dari variabel random dan π didefinisikan sebagai
πov (π,) = πΈ [(π β πx)(Y- πy)] (7.12)
Jika dan π independen, didapat
πov (π,) = πΈ(XY) βE(X)E(Y) =0 (7.13)
Notasi lain untuk kovarians adalah Ζ‘xy.
Jika π1 dan π2 adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas
gabungan π(π₯1 , x2), maka
(7.14)
Selanjutya diperoleh:
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-4
Johnson dan Wichern (2002) mengungkapkan jika adalah variabel random
dengan mean π, dan kovarians β, vektor random π dengan ordo π Γ 1 maka
ditulis sebagai matriks yaitu:
Atau
dengan πππ adalah varians ke- ππ i = 1, β¦ , ππ, β menunjukkan matriks varians
kovarians.
2. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial digunakan untuk mengetahui besarnya kemungkinan terjadinya
suatu peristiwa tertentu atau banyaknya terjadi peristiwa sukses dalam n kali
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-5
percobaan (trial). Misal adalah banyaknya kejadian sukses, π adalah besarnya
peluang terjadinya peristiwa sukses, maka dapat dinotasikan sebagai π ~π΅in ( π, π )
(Bain dan Engelhardt, 1992).
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi binomial adalah
(7.15)
sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Binomial adalah
(7.16)
3. Distribusi Normal
Variabel random dikatakan berdistribusi normal dengan mean π dan varians π2,
jika π mempunyai fungsi densitas probabilitas berbentuk
(7.17)
untuk - β < π₯ < β, dimana - β < π < β dan 0 < π < β, yang dinotasikan sebagai
π~N ( π , π2) (Bain dan Engelhardt, 1992).
Jika π ~π΅ ( , π2) , maka π =π βπ π mengikuti distribusi normal standar dengan
fungsi densitas probabilitas adalah
(7.18)
dengan mean 0 dan varians 1, atau ditulis π = X βπ π~π΅( 0,1 ) (Bain dan
Engelhardt, 1992).
4. Distribusi Normal Multivariat
Distribusi normal multivariat merupakan perluasan dari distribusi normal univariat.
Dengan demikian distribusi normal multivariat π dimensi untuk vektor random π =
[π1,π2 β¦Xp] mempunyai bentuk:
(7.19)
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-6
5. Fungsi Lagrange
Untuk memaksimumkan atau meminimumkan (π) terhadap kendala π(π) = 0
dengan menyelesaikan persamaan
β(π) = πβ π(π) dan π(π) = 0 (5.20)
untuk π dan π. Tiap titik π adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem
terkendala dan π yang berpadanan disebut pengali Lagrange, dengan β π)
merupakan vektor gradien dari π(π) dan β π) merupakan vektor gradien dari π(π)
(Purcell dan Varberg, 1987).
Jika ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada variabel-variabel suatu
fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-
pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala) (Purcell dan Varberg, 1987).
6. Uji Lilliefors untuk kenormalan
Uji Lilliefors merupakan metode untuk menguji data apakah data berasal dari
distribusi normal atau tidak. Metode ini menggunakan statistik uji tipe Kolmogorov-
Smirnov yaitu pada jarak vertikal maksimum antara fungsi kumulatif (π) distribusi
empirik sampel random π1, π2,. . . , πp dengan fungsi kumulatif distribusi normal
standar yang disebut πΉ (Conover, 1980).
Uji Hipotesis:
π»0 : Data berasal dari distribusi normal
π»1 : Data tidak berasal dari distribusi normal
Statistik Uji
(7.21)
π»0 ditolak jika - πalue < πΌ .
7. Matriks
Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-7
Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horisontal)
dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.
Jika π΄π π₯ π, adalah sebuah matriks dengan jumlah baris π dan kolom n, maka aij
menyatakan entri yang terdapat di dalam baris π dan kolom π dari π΄. Jadi sebuah
matriks dapat dituliskan sebagai berikut:
(7.22)
Jika dan π΅ adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah π΄ + π΅
adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan sama-sama entri yang
bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda
tidak dapat ditambahkan.
Jumlah π΄ + π΅ adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-
anggota dan anggota-anggota π΅ yang berpadanan. Sedangkan selisih π΄ - adalah
matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota π΄ dengan anggota-
anggota π΅ yang berpadanan.
(7.23)
(7.24)
Jika π΄ adalah suatu matriks dan π adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) ππ΄
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari π΄ oleh
π.
(7.25)
Jika adalah matriks πΓπ dan π΅ adalah matriks πΓπ , maka hasil kali π΄π΅ adalah
matriks ππ₯π yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri
dalam baris dan kolom π dari π΄π΅, memilih baris π dari matriks π΄ dan kolom π dari
matriks π΅. Mengalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut
bersama-sama dan kemudian menambahkan hasil kali yang dihasilkan.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-8
(7.26)
Jika A adalah sebarang matriks π Γ π , maka transpos π΄ dinyatakan oleh π΄π dan
difinisikan dengan matriks π Γ π yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari
π΄ , kolom keduanya adalah baris kedua dari π΄, demikian juga dengan kolom ketiga
adalah baris ketiga dari π΄ , dan seterusnya.
(7.27)
Jika π΄ adalah sebuah matriks, dan jika dapat mencari matriks π΅ sehingga π΄π΅ = π΅π΄
= I , maka π΄ dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse)
dari π΄ .
Jika dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol π΄-1, maka:
(7.28)
8. Pembangkit Bilangan Random
Dalam sistem nyata, faktor keacakan menyebabkan sesuatu tidak sepenuhnya dapat
diramalkan. Dalam metode Monte Carlo faktor kerandoman dimasukkan ke dalam
model dengan melibatkan satu atau lebih variabel random.
Sebuah metode untuk membangkitkan bilangan random dikatakan baik jika bilangan
random yang dihasilkan memenuhi sifat kerandoman, saling independen, memenuhi
distribusi statistik yang diharapkan, dan dapat direproduksi.
C. METODE SIMULASI MONTE CARLO
Metode Simulasi Monte Carlo adalah suatu metode untuk mengevaluasi suatu model
deterministik yang melibatkan bilangan acak sebagai salah satu input. Metode ini
sering digunakan jika model yang digunakan cukup kompleks, non linear atau
melibatkan lebih dari sepasang parameter tidak pasti. Sebuah simulasi Monte Carlo
dapat melibatkan 10.000 evaluasi atas sebuah model, suatu pekerjaan di masa lalu
hanya bisa dikerjakan oleh sebuah software komputer.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-9
Suatu model memerlukan parameter input dan beberapa persamaan yang digunakan
untuk menghasilkan output (atau variabel respon).
Dengan menggunakan parameter input berupa bilangan random, maka dapat
mengubah suatu model deterministik menjadi model stokastik, dimana model
deterministik merupakan suatu model pendekatan yang diketahui dengan pasti
sedangkan model stokastik tidak pasti.
Simulasi Monte Carlo adalah metode untuk menganalisa perambatan ketidakpastian,
dimana tujuannya adalah untuk menentukan bagaimana variasi random atau error
mempengaruhi sensitivitas, performa atau reliabilitas dari sistem yang sedang
dimodelkan. Simulasi Monte Carlo digolongkan sebagai metode sampling karena
input dibangkitkan secara random dari suatu distribusi probabilitas untuk proses
sampling dari suatu populasi nyata. Oleh karena itu, suatu model harus memilih
suatu distribusi input yang paling mendekati data yang dimiliki (Rubinstein, 1981).
D. CONTOH APLIKASI
1. Aplikasi Metode Simulasi Monte Carlo untuk Menduga Debit
Aliran Sungai
Dalam perencanaan suatu proyek irigasi, aliran sungai merupakan sumberdaya air
yang sangat potensial untuk dimanfaatkan. Pernberdayaan aliran sungai dapat
dilakukan dengan cara rnembendung atau menampung di dalam sebuah waduk,
tergantung kepada skala proyek irigasi dan besar debit aliran sunga i. Ketersediaan
debit aliran sungai sepanjang waktu perlu dianalisis secara seksama. Banyak rnetode
yang dapat digunakan, salah satunya adalah metode simulasi.
Debit aliran sungai merupakan salah satu kejadian hidrologi yang bersifat stokastik,
oleh sebab itu analisis terhadap debit aliran sungai dapat dilakukan dengan cara
menggunakan metode stokastik. Aplikasi metode stokastik dalam bidang hidrologi
pertama kali digunakan untuk mengatasi permasalahan di dalam perancangan suatu
waduk (Linsley, Kohler, and Paulhus, 1986).
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-10
Secara garis besar, analisis kejadian hidrologi yang bersifat stokastik (seperti debit
aliran sungai) dapat dilakukan dengan dua cara, yakni dengan menggunakan: (1)
Model Stokastik Analitik dan (2) Metode Simulasi Monte Carlo (Haan, Johson, and
Brakensiek, 1982).
Pada Model Stokastik Analitik, setiap proses yang terjadi Stokastik Analitik sering
lebih memuaskan, akan tetapi mernbutuhkan biaya yang lebih besar jika
dibandingkan dengan Metode Sirnuiasi Monte Carlo.
Simulasi terhadap debit aliran sungai (debit rata-rata mingguan, setengah bulanan,
dan bulanan) dengan menggunakan Model Stokastik Analitik telah pemah
dilakukan, yakni dengan menggunakan Model Box-Jenkins, dengan hasil simulasi
sangat memuaskan (Oktafri, 1994). Bertiiik tolak kepada hasil penelitian tersebut,
perlu kiya untuk rnencoba Metode Simulasi . Monte Carlo sebagai perluasan
altematif metode yang dapat digunakan untuk analisis keadaan debit aliran sungai
pada suatu waktu.
Dalam contoh ini akan diinformasikan dan direkornendasikan hasil simulasi debit
aliran sungai dengan menggunakan Metode Simulasi Monte Carlo.
Hal pertama yang harus ditentukanldiketahui sebeiurn melakukan simulasi dengan
rnetode Simulasi Monte Carlo adalah sebaran peluang dari peubah yang akan
disimulasi. Berdasarkan kepada sebaran peluang tersebut nantinya akan diperdeh
data, yakni dengan menggunakan bilangan acak. Banyak cara dapat digunakan untuk
membangkitkan biiangan acak, misalnya dengan menggunakan dadu (cata manual)
atau program komputer (cara mekanis). Penggunaan program komputer sangat
menunjang untuk meningkatkan efektifitas dan efisiensi proses simulasi (Pramudya
dan Djojomartono, 1993).
Cara yang umum digunakan untuk membangkitkan bilangan acak pada simulasi
kornputer adalah dengan rnenggunakan Pseudo Random Generator, yang telah
menjadi fungsi pustaka pada bahasa pemograman komputer. Pada bahasa BASIC,
pembangkit bilangan acak dinyatalran dengan RND, sedangkan pada bahasa
FORTRAN dinyatakan dengen fungsi RAN(X) atau RANF(-1). Secara bertahap,
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-11
langkah-langkah utama yang harus dilakukan di dalam proses simulasi Monte Carlo
adalah sebagai berikut:
1. Penentuan sebaran peluang untuk peubah acak pokok dari sistem yang
dianalisis atau diiimulasi. Sebaran peluang suatu peubah dapat dipedeh dari
data historis, percobaan, atau dari suatu pilihan yang bersifat apriori
(perkiraan). Sebaran peluang yang sering digunakan pada simulasi Monte
Carlo dapat dibedakan atas dua macam, yahi: (1) sebaran tiikrit dan (2)
sebaran kontinu. Beberapa sebaran diiskrit standar yang sering digunakan
adalah sebaran: (a) Binomial. (b) Poisson, (c) Geomettik, dan (d) Hyper-
Geometrik. Selain itu, sebaran diskrit tidak standar juga dapat dinah untuk
kondisi tertentu. Sedangkan sebaran kontinu yang sering diiunakan adalah
sebaran: (a) Normal, (b) Eksponensial, (c) Gamma, (d) Erlang, dan (8)
Uniform. Sebaran tidak standar juga dapat dinakan untuk kondisi tertmtu
(Djojamato, 1993). Fungsi yang menyatakan sebaran peluang di atss dikenal
dengan ktilah Fungsi Kepekatan Peluang (Probability Density Funtion -
PDF). Mengubah PDF ke dalam bentuk kurnulatifnya, sehingga diperdeh
Fungsi Ditribmi Kumulatif (Cumulative Distribution Function - CDF) dari
peubah sistsm yang diiknulasi. Hal ini akan menjarnin bahwa hanya ada satu
ni!ai peubah yang bemubungan dengan satu nilai biigan acak.
2. Mengambii satu contoh dari CDF dengan menggunakan bilangan acak, untuk
rnenentukan nilai spesifik dari peubah yang akan tiiunakan pada ulangan
simulasi.
3. Melakukan sirnulasi dengan ulangan yang cukup. Simulasi dengan bantuan
komputer dapat dilakukan dengan ulangan yang lebih banyak tanpa ada
masalah.
SISTEM SIMULASI
Data yang digunakan adalah deret data debit aliran sungai selama 12 tahun. Data 10
tahun pertama digunakan untuk proses simulasi, sedangkan data 2 tahun tersisa
(terakhir) digunakan untuk validasi hasil simulasi.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-12
Berdasarkan aplikasi di lapang - pendugaan ketersediaan air irigasi biasanya
dilakukan untuk selang waktu satu minggu - mslka simulasi dilakukan terhadap
debit rata -rata mingguan.
Deret data debit rata-rata mingguan sungai Cikapundung diduga mengikuti sebaran
Nmai, yang dalam proses simulasi dihitung dengan persamaan :
π = π π β
β
Keterangan:
X = debit rata-rata mingguan pada suatu waktu (m /dt)
π = rata-rata dari debit rerata mingguan (m3/dt)
π = standar deviasi dari debit rerata mingguan (m3/dt)
i = 1, 2, 3, β¦. N
N = Banyaknya iterasi
Z(i) = bilangan acak ke - i
Simulasi dilakukan pada buian Desember 2000 dengan menggunakan Personal
Computer (PC) dengan Bahasa Program QBASIC. Bagan alir proses simulasi tertera
pada Gambar 1. Siufasi dilakukan sebanyak 20 kali ulangan. Dari hasil simulasi 20
kali ulangan tersebut, dihitung rata -ratanya secara aritmetika. Nilai rata-rata tersebut
merupakan nilai akhir dari hasil simulasi, yang akan digunakan pada aplikasi di
lapang. Validasi hasil simulasi dilakukan dengan rnenggunakan rata -rata dari
Persentase Kesalahan Absolut Rata- Rata (Mean Absolute Percentage Error-
MAPE) (Persamaan 2). Jika MAPE < 25% maka hasii simulasi dapat diterima secara
memuaskan, sebaliknya jika MAPE > 25% maka has4 simulasi kurang memuaskan
(Makridakii, Wheelwright, and McGee, 1983).
π΄ππΈ =β| |
Keterangan:
Yi = hasil simulasi pada waktu ke - t
At = data aktual pada waktu ke - t
M = jumlah data hasil simulasi (dalarn ha1 ini M = 48)
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-13
Uji Kenormalan
Uji kenormalan data dilakukan dengan uji Liliefors (Nasoetion dan Barizi, 1976).
Hasil pengujian membuktikan bahwa deret data debi rata-rata mingguan sungai
mengikuti sebaran Normal.
Contoh Kasus Simulasi ini menyimpulkan:
Metode Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan secara memuaskan untuk
menduga (mensimulasi) debit aliran sungai pada suatu waktu (dalam ha1 ini debit
rata -rata mingguan).
Metode Simulasi Monte Carlo seyogyanya dapat digunakan sebagai salah satu
metode ahematif untuk menganalisis debit aliran sungai.
Untuk rnengetahui aplikasi yang lebih luas dari Metode Simulasi Monte Carlo pada
bidang hidrologi, perlu kiranya dilakukan analisis lain terhadap kejadian hidrologi
lainnya yang bersifat stokastik, seperti curah hujan, evaporasi, evapotranspirasi, dan
sebagainya untuk dijadikan pembanding dalam pengambilan keputusan uuntuk
tujuan kebijakan dan perencanaan sumber daya air.
2. APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO DALAM ESTIMASI BIAYA
PROYEK
Manajemen resiko belakangan ini telah mualai mendapatkan perhatian di bidang
manajemen proyek (Kwak & Stoddard, 2004). Metode yang kerap digunakan oleh
manajer proyek dalam proses analisa resiko adalah simulasi Monte Carlo. Metode
ini sudah lama digunakan dalam berbagai macam aplikasi matematika dan sains, dan
juga disebutkan dalam A Guide to the Project Management Body of Knowledge
(Project Management Institute, 2004). Meskipun demikian, dalam praktiknya
simulasi Monte Carlo ini belum umum digunakan oleh praktisi manajemen proyek
dibandingkan metode-metode yang lain, seperti CPM dan PERT misalnya. Kondisi
yang ada pada saat ini, simulasi Monte Carlo hanya sering digunakan dalam batas
dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam manajemen proyek. Tulisan ini
membahas aplikasi simulasi Monte Carlo dalam mengestimasi biaya sebuah proyek
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-14
dengan menggunakan program Microsoft Excel dengan mengambil contoh sebuah
proyek sederhana yang terdiri dari enam aktifitas. Meskipun jumlah aktifitas dari
contoh proyek ini relatif kecil, prosedur simulasi Monte Carlo yang ditunjukkan
dalam tulisan ini dapat diterapkan untuk proyek yang melibatkan aktifitas yang lebih
banyak.
Simulasi Monte Carlo didefinisikan sebagai semua teknik sampling statistik yang
digunakan untuk memperkirakan solusi terhadap masalah-masalah kuantitatif
(Monte Carlo Method, 2008). Dalam simulasi Monte Carlo sebuah model dibangun
berdasarkan sistem yang sebenarnya. Setiap variabel dalam model tersebut memiliki
nilai yang memiliki probabilitas yang berbeda, yang ditunjukkan oleh distribusi
probabilitas atau biasa disebut dengan probability distribution function (pdf) dari
setiap variabel. Metode Monte Carlo mengsimulasikan sistem tersebut berulang-
ulang kali, ratusan bahkan sampai ribuan kali tergantung sistem yang ditinjau,
dengan cara memilih sebuah nilai random untuk setiap variabel dari distribusi
probabilitasnya. Hasil yang didapatkan dari simulasi tersebut adalah sebuah
distribusi probabilitas dari nilai sebuah sistem secara keseluruhan. Sejak pertama
kali digunakan untuk keperluan militer pada Manhattan Project (Eckhardt, 1987),
simulasi Monte Carlo telah diaplikasikan pada berbagai bidang antara lain;
manajemen proyek, transportasi, desain komputer, finansial, meteorologi, biologi
dan biokimia (Kwak & Ingall, 2007). Dalam bidang manajemen proyek simulasi
Monte Carlo digunakan untuk menghitung atau mengiterasi biaya dan waktu sebuah
proyek dengan menggunakan nilai-nilai yang dipilih secara random dari distribusi
probabilitas biaya dan waktu yang mungkin terjadi, dengan tujuan untuk
menghitung distribusi kemungkinan biaya dan waktu total dari sebuah proyek
(Project Management Institute, 2004. Pada umumnya literatur-literatur manajemen
proyek menempatkan simulasi Monte Carlo dibawah topik manajemen resiko, atau
kadang berada pada topik manajemen waktu dan manajemen biaya. Project
Management Institute (2004) menerapkan sebuah pendekatan standar manajemen
resiko yang meliputi enam proses; Perencanaan Manajemen Resiko, Identifikasi
Resiko, Kualifikasi Resiko, Kuantifikasi Resiko, Perencanaan Respon Resiko, dan
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-15
Pemantauan & Evaluasi Resiko, simulasi Monte Carlo ditempatkan sebagai bagian
dari proses Kuantifikasi Resiko.
Meskipun simulasi Monte Carlo adalah sebuah metode yang sangat bermanfaat
untuk diaplikasikan dalam bidang manajemen proyek, simulasi jadwal proyek
(McCabe, 2003) dan simulasi perataan sumberdaya (Hanna & Ruwanpura, 2007)
contohnya, dalam praktiknya metode ini belum banyak digunakan oleh para manajer
proyek kecuali disyaratkan oleh organisasi atau perusahaannya. Kwak & Ingall
(2007) berpendapat bahwa alasan utama simulasi Monte Carlo jarang digunakan
oleh kebanyakan manajer proyek adalah: kurangnya pemahaman terhadap metode
Monte Carlo dan statistik; alih-alih sebagai manfaat, manajer proyek umumnya
menganggap penggunaan metode ini lebih sebagai beban terhadap organisasi atau
perusahaannya. Alasan lainnya adalah software khusus simulasi Monte Carlo pada
proyek baru ada belakangan ini, @RISK for Project (www.palisade.com) adalah
salah satunya, software ini tersedia dalam bentuk add-in pada program Microsoft
Project. Meskipun demikian, Microsoft Excel sebenarnya dapat digunakan untuk
simulasi Monte Carlo dengan menggunakan fungsi RAND seperti yang ditunjukkan
pada contoh ini.
1. Desain simulasi
Yang akan disimulasikan adalah sebuah proyek yang terdiri dari enam aktifitas.
Setiap aktifitas memiliki total biaya dalam batasan yang telah ditentukan seperti
yang ditunjukkan pada Tabel 7.1. Setiap variabel tersebut dapat saja mempunyai
distribusi tertentu yang unik, tetapi untuk proyek ini dapat diasumsikan bahwa setiap
variabel memiliki distribusi seragam (uniform distribution) tanpa mengurangi
validitas hasil simulasi.
Tabel 7.1. Aktifitas dan Estimasi Biaya (dalam ribuan rupiah)
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-16
Estimasi terhadap total biaya proyek tersebut adalah sebuah variabel random dengan
nilai yang terletak antara nilai total biaya minimum dan maksimum. Karena nilai
variabel ini adalah jumlah dari beberapa variabel random lainnya yaitu biaya dari
setiap aktifitas, variabel ini akan memiliki distribusi normal. Ini menjelaskan
mengapa penggunaan distribusi tertentu yang unik untuk setiap variabel dapat
diabaikan.
2 Angka random
Karena alasan praktis, metode yang sering digunakan untuk menghasilkan angka
random antara 0 dan 1 dalam simulasi adalah multiplicative congrueantal method
(Taha, 1997). Angka yang dihasilkan oleh metode tersebut sebenarnya tidak dapat
dikatakan sebagai angka random yang sebenarnya karena menggunakan operasi
aritmetika yang hasilnya dapat diketahui sehingga lebih tepat jika dikatakan sebagai
angka random semu (pseudorandom numbers). Jika parameter u0 , b, c dan m
diberikan maka sebuah angka random semu Rn dapat dihasilkan dengan
menggunakan rumus berikut.
Nilai awal u0 biasanya disebut dengan seed
Dalam tulisan ini, angka random dihasilkan dengan menggunakan fungsi RAND
yang ada pada Microsoft Excel. Sebagai contoh, biaya random untuk aktifitas A
akan terlihat sebagai berikut: =RAND()*(20.000-15.000)+15.000, formula ini akan
menghasilkan angka random yang nilainya terletak antara 15.000 dan 20.000. Jika
biaya setiap aktifitas disimulasikan dengan formula tersebut, maka biaya total dari
proyek adalah jumlah dari biaya semua aktifitas. Hasil dari 5 iterasi pertama dari
simulasi tersebut dapat terlihat Tabel 7.2.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-17
Tabel 7.2. Hasil Simulasi @5 iterasi (dalam ribuan rupiah)
3. Penentuan nilai iterasi
Metode Monte Carlo dapat meprediksi kesalahan (error) dari simulasi, yang mana
proporsional terhadap jumlah iterasinya. Total error dihitung dengan formula:
,
Ο adalah deviasi standar dari variabel random dan N adalah jumlah iterasi. Deviasi
standar Ο dihitung berdasarkan seluruh populasi, yang dalam simulasi ini
anggotanya hanya dua yaitu nilai minimum (79.700) dan maksimum (104.800),
dengan menggunakan formula:
Ο = didapatkan =12.250. Jika diinginkan nilai absolute error yang kurang dari 2%,
maka nilai tersebut didapatkan dengan menggunakan formula:
didapatkan Ξ΅ =1.845 1
Jadi jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan hasil dengan error yang
kurang dari 2% adalah:
Nilai rata-rata dari variabel random biaya proyek tersebut setelah 416 iterasi terlihat
pada pada Tabel 7.3.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-18
Tabel 7.3 Hasil Simulasi Monte Carlo @416 iterasi (dalam ribuan rupiah)
Setelah dilakukan iterasi sebanyak 416 kali diperoleh parameter-parameter dari hasil
simulasi Monte Carlo seperti yang terdapat pada Tabel 7.4. Setelah deviasi standar
populasi dari hasil simulasi diketahui, error yang sebenarnya (true error) dihitung
dengan menggunakan formula berikut.
Karena random variabel dari biaya total terdistribusi secara normal, maka median
seharusnya tidak jauh berbeda dengan rata-rata, hal ini terlihat pada Tabel 7.4
dimana selisih antara median dan rata-rata hanya 0,22%. Akurasi simulasi Monte
Carlo ini cukup tinggi sebagaimana terlihat pada Tabel 7.4 dimana % errornya
hanya 0,56%. Gambar 7.1 menunjukkan probability distribution function (pdf) dan
cumulative distribution function (cdf) dari hasil simulasi Monte Carlo setelah
dilakukan iterasi sebanyak 416 kali.
Tabel 7.4 Parameter-parameter Hasil Simulasi Monte Carlo
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-19
Gambar 7.1. PDF dan CDF dari hasil simulasi Monte Carlo (dalam ribuan rupiah)
Informasi penting lainnya yang didapatkan dari distribusi hasil simulasi adalah
Kurtosis dan Skewness. Kurtosis adalah ukuran relatif dari kurva dibandingkan
dengan bentuk kurva distribusi normal. Nilai Kurtosis distribusi normal adalah 0,
sementara nilai Kurtosis hasil simulasi Monte Carlo adalah -0,437. Nilai Kurtosis
negatif mengindikasikan bahwa bentuk kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo
seperti yang terlihat pada Gambar 7.1 memiliki puncak yang lebih rata (platykurtic)
dibanding distribusi normal. Skewness adalah ukuran simetri bentuk kurva, dimana
pada distribusi normal nilainya adalah 0. Nilai Skewness negatif (-0,199) Tabel 7.3,
mengindikasikan bahwa ekor dari kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo ini
lebih condong ke arah kiri sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2. Cumulative
distribution function pada Gambar 2 digunakan untuk mengetahui probabilitas biaya
total proyek tersebut. Sebagai contoh, jika aggaran yang tersedia untuk proyek
tersebut adalah Rp. 90 juta maka probabilitas proyek tersebut dapat dilaksanakan
dengan sukses adalah sekitar 25%. Jika pemilik proyek bersikap moderat dengan
menginginkan probabilitas 50%, maka anggaran yang harus disiapkan tidak kurang
dari Rp. 93 juta. Jika pemilik proyek ingin lebih behati-hati maka dana yang harus
disiapkan adalah sekitar Rp. 95 juta untuk mendapatkan probabilitas sebesar 75%.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-20
Hasil Belajar Dasi Simulasi
Sebagaimana metode-metode simulasi lainnya, akurasi dari hasil simulasi Monte
Carlo ini sangat dipengaruhi oleh akurasi variabel-variabel inputnya yang dalam
contoh kasus pada tulisan ini adalah estimasi awal dari biaya minimum dan
biaya maksimum setiap aktifitas. Juga perlu dicatat simulasi Monte Carlo
bukanlah sebuah penyedia solusi, metode ini hanya membantu kita dalam
memprediksi perilaku sebuah sistem dengan memperhitungkan unsurunsur yang
mengandung resiko dan ketidak-pastian. Solusi sebenarnya tetap berada di
tangan para manajer dengan mempertimbangkan berbagai aspek, termasuk aspek
kualitatif yang ada dalam sebuah proyek. Simulasi Monte Carlo dapat menjadi
alat yang handal bagi manajer proyek dalam menganalisa resiko dan ketidak-
pastian yang umum terjadi dalam pembiayaan proyek. Hasil simulasi Monte
Carlo dapat membantu manajer proyek dalam menentukan ekspektasi
pembiayaan proyek yang lebih realistis. Dengan kemampuan komputer dan
software yang semakin berkembang, simulasi Monte Carlo ini sudah selayaknya
lebih banyak digunakan oleh para manajer proyek. Melalui edukasi dan
pelatihan yang menjelaskan dan mendemonstrasikan kegunaan simulasi Monte
Carlo, para manajer proyek akan menyadari bahwa tidak diperlukan pengetahuan
statistik tingkat tinggi untuk dapat memahami implementasi dan interpretasi
simulasi Monte Carlo. Sehingga secara perlahan metode Monte Carlo ini dapat
diterima di kalangan praktisi manajemen proyek dan tidak hanya sebatas
digunakan dalam dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam
manajemen proyek.
3. Teknik Simulasi Untuk memprediksi Keandalan Lendutan Balok
Statis Tertentu
Permasalahan mengenai ketidakpastian berhubungan erat dalam perencanaan suatu
struktur. Parameter-parameter dalam pemodelan suatu elemen struktur bukanlah
suatu jumlah yang benar-benar diketahui, tetapi nilai prediksi atau bilangan acak.
Sebagai contoh adalah beban yang bekerja pada struktur, modulus elastisitas,
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-21
dimensi penampang, dan sebagainya. Maka dalam perencanaan struktur diperlukan
pula perhitungan keandalan atau probabilitas terhadap kegagalan.
Pada saat ini terdapat beberapa teknik simulasi yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan numerik yang berhubungan dengan keandalan struktur.
Sebagai contoh teknik simulasi Monte Carlo, simulasi Latin Hypercube Sampling,
dan simulasi rosenbluethβs 2K+1 point estimate. Dalam beberapa hal mungkin saja
suatu persamaan numerik ternyata sangatlah kompleks dan waktu yang dibutuhkan
untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam satu kali trial dibutuhkan waktu
lama. Maka hasilnya, untuk ribuan bahkan jutaan simulasi tentu menjadi sangat
lama. Oleh karena itu, diperlukan suatu teknik untuk menyelesaikan hal ini, dengan
menghasilkan jawaban yang rasional dan memiliki tingkat ketelitian yang cukup
baik. Tahapan dalam contoh ini adalah: 1. melakukan simulasi Metode Elemen
Hingga untuk menentukan lendutan balok, 2. melakukan simulasi Monte Carlo
untuk memprediksi keandalan lendutan balok.
Contoh ini memuat beberapa hal: 1. model struktur yang ditinjau adalah balok
kantilever statis tertentu, 2. asumsi tumpuan yang digunakan adalah jepit-bebas pada
ujung-ujung balok, 3. beban yang bekerja adalah beban terpusat di ujung bebas, 4.
asumsi berat sendiri balok dan deformasi geser diabaikan, 5. simulasi menggunakan
beban terpusat sebagai parameter bilangan acak dengan distribusi seragam dan
normal.
Teknik simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik spesial dimana kita dapat
membangkitkan beberapa hasil numerik tanpa secara aktual melakukan suatu tes
eksperimen. Kita dapat menggunakan hasil dari tes sebelumnya yang pernah
dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari parameter-parameter yang
ditinjau dalam kasus tersebut. Kemudian kita menggunakan informasi ini untuk
membangkitkan parameter-paramater data numerik.
Dasar dari prosedur teknik simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan
acak yang terdistribusi seragam antara 0 dan 1.
Metode monte carlo seringkali diterapkan dalam tiga situasi:
1. untuk menyelesaikan suatu problem kompleks dengan solusi pendekatan,
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-22
2. untuk menyelesaikan suatu problem kompleks yang pada umumnya dalam
penyelesaiannya dilakukan penyederhanaan asumsi. Dengan simulasi
Monte Carlo, problem asli dapat dipelajari tanpa asumsi tersebut,
3. untuk digunakan dalam cek hasil dari teknik simulasi yang lain.
Pada bilangan acak dengan distribusi seragam, fungsi PDF (probability density
function) bernilai konstan untuk semua kemungkinan nilai dari bilangan acak
dengan a dan b adalah batas. Persamaan PDF, mean dan variansi kemudian
dihitung. Bilangan acak dengan distribusi seragam merupakan komponen penting
dalam teori keandalan struktur. Fungsi PDF dan CDF, dan pembangkit bilangan
acak juga ditentukan melalui hitungan.
Metode elemen hingga (MEH) merupakan suatu simulasi numerik untuk
mendapatkan suatu hasil pendekatan, dari suatu masalah dengan syarat-syarat batas
tertentu. Banyak dijumpai permasalahan yang berhubungan dengan perhitungan
numerik. Pada suatu tingkat-tingkat permasalahan tertentu, penyelesaian tidak dapat
diselesaikan dengan metode analitis, sehingga perlu digunakan pendekatan metode
elemen hingga sebagai solusinya. Konsep elemen hingga merupakan bagian-bagian
kecil dari struktur aktual. Namun, secara umum struktur actual perilakunya tidaklah
demikian. Pemodelan MEH hanyalah merupakan sebuah model elemen hingga
βyang mungkinβ pada struktur aktualnya.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-23
Gambar 7.5. Skema Metode Elemen Hingga [Cook, et al., 2004]
Suatu balok dengan sumbu longitudinal lurus dibebani oleh gaya-gaya lateral, maka
sumbu tersebut akan terdeformasi menjadi suatu lengkungan, yang disebut kurva
defleksi balok [Gere, 2001].
Gambar 7.6. (a). Free-body diagrams, (b). Lendutan balok, dan (c). Model 3D balok
kantilever
Beberapa metode analitis dapat dilakukan untuk mendapatkan persamaan lendutan,
yaitu antara lain metode integrasi momen lentur, metode balok konjugasi, dan lain
sebagainya. Untuk balok kantilever statis tertentu dengan beban terpusat diujung
bebas, seperti terlihat pada Gambar 7.6.a dan Gambar 7.6.c, persamaan umum
lendutan dapat dihitung dengan Persamaan 7.29.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-24
(7.29)
Contoh ini menggunakan kasus berupa balok kantilever statis tertentu (tumpuan :
jepitbebas) dengan beban terpusat pada ujung bebas, bentuk penampang segiempat
dengan dimensi dan ukuran penampang b = 300 mm dan h = 600 mm. Panjang
bentang balok 4 meter. Beban terpusat (P) sebesar 1500 N. Asumsi modulus
elastisitas (E) sebesar 20000 MPa.
Asumsi: Simulasi menggunakan parameter bilangan acak beban terpusat, dengan
distribusi seragam dan normal masing-masing 4 set data yaitu ; 10, 100, 10000, dan
100000 data.
Gambar 7.7. Bilangan acak dengan disribusi seragam
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-25
Gambar 7.8. Bilangan acak dengan disribusi normal
Data sintetik yang digunakan pada masing-masing set data tersebut dibangkitkan
dengan range beban antara 1000 N sampai dengan 2000 N, baik pada bilangan acak
seragam dan bilangan acak normal.
Penyelesaian secara analitis dapat dihitung dengan Persamaan 7.29. Lendutan
maksimum terjadi pada ujung bebas balok, atau x = 4 meter.
Simulasi numerik MEH dilakukan dengan software SAP2000 [CSI, 2006], dengan
model balok menggunakan properti solid. Untuk mendapatkan hasil dengan tingkat
ketelitian yang cukup baik (konvergen), maka dilakukan simulasi pada beberapa
pemodelan dengan variasi jumlah elemen yang berbeda. Model-model yang
digunakan dalam simulasi dapat dilihat pada Gambar 7.9.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-26
Gambar 7.9. Beberapa model untuk simulasi MEH.
Selanjutnya dilakukan simulasi dengan software SAP2000. Hasil simulasi
selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.3.
Tabel 7.3. Simulasi numerik MEH.
Hasil simulasi memperlihatkan bahwa tingkat % relatif pada model dengan jumlah
elemen yang semakin banyak (atau model dengan ukuran elemen yang semakin
diperkecil) menjadi semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa pada model balok-
M6, hasil lendutan dapat dianggap konvergen karena tingkat % relatif sebesar
0,43%.
Simulasi Monte Carlo
Analisis keandalan lendutan dilakukan dengan menggunakan persamaan lendutan
dari metode analitis (Persamaan 7.29). Data sintetik berupa bilangan-bilangan acak
distribusi seragam dan normal dibangkitkan masing-masing 4 set data, yaitu 10, 100,
10000, dan 100000 data dengan menggunakan software MATLAB [Mathworks,
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-27
2005]. Selanjutnya dilakukan simulasi untuk tiap set data. Hasil simulasi
selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.4 dan Tabel 7.5.
Tabel 7.4. Hasil simulasi untuk bilangan acak seragam
Tabel 7.5. Hasil simulasi untuk bilangan acak normal
Secara umum, dapat dilihat bahwa hasil perhitungan lendutan secara analitis
diperoleh sebesar 0,296296 meter, hasil simulasi numerik MEH diperoleh sebesar
0,30071 meter. Perbedaan hasil antara simulasi MEH dengan analitis sebesar 1,49
%. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan
100000 data bilangan acak seragam berturutturut 4,46 %, 1,48 %, 0,47 %, dan 0,018
%. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan
100000 data bilangan acak normal berturut-turut 0,008%, 0,008%, 0,062%, dan
0,025%.
Kesimpulan dari contoh simulasi ini adalah:
1. simulasi numerik MEH menghasilkan tingkat ketelitian semakin tinggi
sampai dengan konvergen, dengan membagi elemen semakin kecil / jumlah
elemen diperbanyak pada model balok,
2. simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak terdistribusi seragam
memberikan perbedaan hasil berkisar antar 0,018 % - 4,46 %,
3. simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak terdistribusi normal memberikan
perbedaan hasil berkisar antar 0,008 % - 0,025 %,
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-28
4. simulasi numerik MEH cukup baik digunakan untuk menghitung lendutan
balok, hal ini dapat dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang semakin baik
(konvergen),
5. simulasi Monte Carlo cukup baik dan rasional untuk memprediksi keandalan
lendutan balok, hal ini dapat dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang cukup
tinggi.
E. SOAL DAN LATIHAN
Soal:
1. Cari materi sejarah Monte Carlo dan jelaskan uraiannya.
2. Jelaskan apa perbedaan PDF dan CDF dalam sistem Monte Carlo
Latihan:
Setelah menyimak 3 contoh model simulasi Monte Carlo dalam Modul ini maka:
1. Cari suatu kasus dalam system keteknikan pertanian yang memiliki
komponen acak dalam kejadiannya.
2. Lakukan formulasi dan tentukan variable acak.
3. Lakukan simulasi dengan Metode Monte Carlo.
4. Cetak keluaran program dan hasil simulasi anda dengan menggunakan
perangkat lunak yang anda kuasai (misal: MS-Excel, Matlab, FEMLAB)
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1991. Aljabar Linear Elementer. Alih bahasa Hari Suminto. Jakarta:
Erlangga
Bain, L J & Engelhardt, M. 1992. Introduction To Probability and Mathematical
Statistics. Second Edition. California. Duxbury Press.
Computer and Structures, Inc. (2006), SAP2000 Advanced Tutorials, Computer and
Structures, Inc., Berkeley, CA.
Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. (2004), Concepts and
Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, Inc.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-29
Djojomartono, M. 1993. Pengantar Umum Analisis Sistem. Fakultas Teknologi
Pertanian, lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.
Eckhardt, R. ,1987, Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo Method.
Los Alamos Science (Special Issue 15), 131-137.
Gere, J.M. (2001), Mechanics of Materials β 5th Edition, Brooks/Cole, Thomson
Learning.
Haan, C. T., H. P. Johnson, and D. L. Brakensiek. 1982. Hydrologic Modeling of
Small Watersheds. American Society of Agricultural Engineers. Michigan
USA.
Hanna, M., & Ruwanpura, J. Y. ,2007, Simulation Tool for Manpower Forecast
Loading and Resource Leveling. Paper presented at the Proceedings of the
2007 Winter Simulation Conference
Johnson, R A & Wichern, D W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis.
Yogyakarta: BPFE.
Kwak, Y. H., & Ingall, L. ,2007, Exploring Monte Carlo Simulation Applications
For Project Management. Risk Management, 9, 44-57.
Kwak, Y. H., & Stoddard, J. ,2004, Project Risk Management: Lessons Learned
from Software Development Environment. Technovation: An International
Journal of Technical Innovation, Entrepreneurship and Technology
Management, 24(11), 915-920.
Linsley, R. K., M. A. Kohler, and J. L. H. Paulhus. 1986. Terjemahan. Hidrologi
untuk Insinyur. Penertbit Erlangga, Jakarta. 3rd ed.
Makridakis, S., S. C. Wheelwright, and V. E. McGee. 1983. Forecasting (Methods
and Applications). John Wiley and Sons Inc., New York USA. 2nd ed.
McCabe, B. ,2003, Monte Carlo Simulation For Schedule Risks. Paper presented at
the Proceedings of the 2003 Winter Simulation Conference.
Monte Carlo Method ,2008, Online. http://www.riskglossary.com/link/
monte_carlo_method.htm Diakses pada tanggal 16 Oktober 2008.
Teknik Simulasi dan Pemodelan
Mahmud Achmad 7-30
Nasoetion. A. H. dan Barizi. 1976. Metode Statistika. P.T. Gramedia, Jakarta.
Nowak, A.S., Collins, K.R. (2000), Reliability of Structures, McGraw-Hill Book Co,
Singapore.
Oktafri. 1994.Perumusan Model Perarnalan Box Jenkins Debit Sungai, Curah
Hujan, dan Evapotranspirasi Sub DAS Cigulung-Cikapundung Bandung
Utara. Program Pascasa rjana lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.
Pramudya, B. dan M. Djojomartono. 1993. Sistem Stokastik. Fakultas Teknologi
Pertanian, lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.
Project Management Institute ,2004, A Guide to the Project Management Body of
Knowledge: PMBOK Guide (3rd ed.). Newton Square, Pennsylvania: Project
Management Institute.
Rubinstein, R Y. 1981. Simulation and Monte Carlo Method. Willey & Sons, New
York
Setiawan, S. (2006), Keandalan Struktur Balok Sederhana dengan Simulasi Monte
Carlo, Tugas Akhir, Universitas Kristen Maranatha.
Taha, H. A. ,1997, Operation Research An Introduction (6th ed.). Upper Saddle
River, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
The Mathworks, Inc. (2005), Matlab Documentation β Release 14 with service pack
3, The Mathworks, Inc.
Todinov, M. (2005), Reliability and Risk Models : Setting Reliability Requirements,
John Wiley and Sons, Inc.