8.3 PERHITUNGAN MOMEN INERSIA

Dalam penghitungan yang sebenarnya dari momen inersia untuk benda, kita bisa mengganti penjumlahan oleh sebuah integrasi benda, seperti pada perhitungan pusat massa. Jadi untuk setiap sumbu dapat ditampilkan sebagai berikut :

(x.x.1)

Di mana dm unsur massa, diberikan oleh faktor kepadatan dikalikan dengan diferensial yang sesuai ( volume, daerah, atau panjang ). Hal yang penting untuk diingat bahwa R adalah jarak tegak lurus dari unsur massa untuk sumbu rotasi.

Dari definisi momen inersia dapat dirumuskan bahwa :

(x.x.2)

Dimana , dll adalah momen inersia dari berbagai sumbu tertentu.

Berikut adalah contoh momen inersia dari beberapa benda.

1. BATANG TIPIS

(a) Sumbu di salah satu ujung batang

(x.x.3)

(b) Sumbu ditengah batang

(x.x.4)

Keterangan : a = panjang

b = massa

(x.x.5)

2. RING ATAU SILINDER BERLUBANG

Dalam ring atau silinder berlubang, sumbu pusat terletak di jarak yang sama dari sumbu. Dengan demikian :

(x.x.5)

keterangan : a = jari-jari ()

m = massa ()

3. CAKRAM MELINGKAR ATAU SILINDER

Untuk menghitung momen inersia pada cakram melingkar menggunakan koordinat polar.

(x.x.6)

Keteragan : a = jari-jari ()

m = massa ()

= massa per satuan luas ()

Momen inersia dari cakram melingkar yang sumbunya melalui pusat cakram adalah sebagai berikut :

(x.x.7)

Dimana (x.x.8)

4. TEOREMA SUMBU TEGAK LURUS UNTUK PLAT TIPIS PESAWAT

Gambar diatas adalah gambar sebuah plat tipis dari sebagian badan pesawat. Plat tipis tersebut diletakkan pada sumbu x dan y . Maka momen inersianya dapat dirumuskan sebagai berikut :

(x.x.9)

Karena (x.x.10)

(x.x.11)

Maka(8.)

Teorema sumbu tegak lurus :

momen inersia dari plat tipis pesawat sama dengan jumlah momen inersia pada sumbu yang saling tegak lurus

Contoh : keping disc

Dari persamaan (8.22) dapat dirumuskan :

(x.x.1)

Karena maka didapatkan :

(x.x.2)

5. TEOREMA SUMBU SEJAJAR PADA BENDA TEGAR

Persamaan momen inersia untuk sumbu adalah :

(x.x.3)

Merujuk pada persamaan (8.23), dan dapat dinyatakan sebagai koordinat pusat massa dan koordinat relatif pusat massa .

(x.x.4)

(x.x.5)

Setelah mensubstitusi persamaan (x.x.4) dan (x.x.5) ke (x.x.3) maka dapat dirumuskan :

(x.x.6)

Jumlah pertama di sebelah kanan adalah momen inersia sumbu sejajar dengan sumbu z dan melewati pusat massa. Maka dapat disebut . Jumlah kedua sama dengan massa tubuh dikalikan dengan jarak antara pusat massa dan sumbu . Maka dapat disebut jarak Itulah .

(x.x.7)

Dari definisi pusat massa, dapat dirumuskan sebagai berikut :

(x.x.8)

Maka, untuk jumlah di sebelah kanan pada persamaan (8.29) menghilang. Sehingga persamaannya menjadi :

(x.x.9)

Teorema sumbu sejajar ini berlaku untuk setiap benda tegar, padat dan berlapis.

Teorema sumbu sejajar :

momen inersia pada benda tegar sama dengan momen inersia sumbu sejajar yang melewati pusat massa ditambah produk massa dan kuadrat jarak antara dua sumbu