Post on 28-Feb-2018
7/25/2019 Kalvar for OC
1/59
0
KONTROL OPTIMAL BERDASARKAN PADA
KALKULUS VARIASI
Tugas Akhir
Diajukan untuk memenuhi persyaratan
Sidang Sarjana Matematika
Oleh:
VANESSA SARAH GRISELDA
10104017
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2010
7/25/2019 Kalvar for OC
2/59
1
PRAKATA
Puji syukur penulis haturkan sedalam-dalamnya ke hadirat Allah SWT yang telah
memberikan limpahan anugerah, bimbingan, dan kekuatan sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini sejak Maret 2009 hingga Februari 2010. Tanpa
masukan berharga, kepercayaan, dan dukungan yang diberikan oleh Dr. Janson
Naiborhu selaku pembimbing, maka penulis tidak akan dapat menyelesaikan tugas
akhir ini dengan hasil memuaskan. Penulis berterima kasih sebesar-besarnya kepadakedua orang tua penulis yang telah memberikan endless supportdan courageselama
penulis berkuliah di ITB. Terima kasih penulis sampaikan Dr. Agus Yodi selaku
dosen penguji atas segala pelajaran dan bimbingan dalam tugas akhir ini, serta Dr.
Hanni Garminia selaku dosen penguji tugas akhir dan juga dosen wali selama 5 tahun
terakhir. Tidak lupa penulis berterima kasih kepada Heru Tjahjana atas bantuan
dalam menyelesaikan fundamental codes Matlab untuk hampiran numerik. Pada
akhirnya, penulis ingin mengucapkan terima kasih setulusnya kepada Hutama G.
Soediredja atas seluruh dukungannya setiap hari, setiap saat.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih memiliki beberapa kekurangan. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca
untuk perbaikan selanjutnya. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kemajuan
ilmu pengetahuan dan bagi siapapun yang membacanya.
Bandung, Februari 2010
Penulis
7/25/2019 Kalvar for OC
3/59
2
ABSTRAK
Kontrol Optimal berhubungan dengan permasalahan dalam menentukan hukum
kontrol untuk suatu sistem sehingga kriteria keoptimalan tertentu dapat terpenuhi.
Permasalahan kontrol optimal melibatkan fungsi biaya yang merupakan fungsional
atas state dan variabel kontrol. Kontrol optimal adalah himpunan dari persamaan
diferensial yang merupakan lintasan dari variabel kontrol yang meminimalkan fungsi
biaya. Dalam tugas akhir ini, Pontryagins Maximum Principle digunakan untuk
menurunkan hukum kontrol dan solusi umum diperoleh dengan menerapkanpendekatan Kalkulus Variasi. Lebih jauh lagi, beberapa permasalahan kontrol optimal
sederhana serta solusi analitik telah ditampilkan. Selain itu, algoritma Steepest
Descentdigunakan sebagai hampiran numerik bagi solusi optimal.
7/25/2019 Kalvar for OC
4/59
3
ABSTRACT
Optimal Control deals with the problem of finding a control law for a given system
such that a certain optimality criterion is achieved. A control problem includes a cost
functional that is a function of state and control variables. An optimal control is a set
of differential equations describing the paths of the control variables that minimize
the cost functional. In this final project, Pontryagins Maximum Principle is used for
deriving control policies and general solutions are obtained by using Calculus of
Variations approach. Furthermore, several simple optimal control problems and their
analytical solutions are presented. In addition, Steepest Descent algorithm is being
used as numerical approach to optimal solutions.
7/25/2019 Kalvar for OC
5/59
4
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Sebagian besar sistem dalam bidang fisika, kimia, biologi, dan ekonomi dapat
dimodelkan dengan persamaan matematika, salah satu bentuknya adalah model
persamaan diferensial stokastik atau deterministik. Keadaan dari sistem-sistem ini
kemudian mengalami perubahan nilai terhadap waktu atau variabel bebas lainnya,
tergantung pada persamaan dinamik tertentu. Lebih jauh lagi, sistem-sistem ini akan
membawa satu state ke state yang lainnya dengan cara menerapkan beberapa input
dari luar sistem, atau disebut juga kontrol input. Jika hal ini dapat dilakukan, maka
ada beberapa cara yang berbeda untuk mencapai nilai tertentu. Dan jika demikian,
maka ada cara yang terbaik di antara seluruh cara yang memungkinkan. Input yang
menghasilkan cara terbaik ini disebut kontrol optimal. Untuk mengukur seberapa baik
cara tersebut, digunakan indeks performa atau fungsi biaya sebagai parameter.
1.2. Rumusan Masalah
Bentuk umum dari permasalahan kontrol optimal diberikan sebagai berikut. Sistem
dinamik nonlinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan diferensial
() = ,, (1.2.1)denganstate() , kontrol input () , dan indeks performa
7/25/2019 Kalvar for OC
6/59
5
() = , + ,, 0 (1.2.2)dimana :
0adalah waktu awal (tetap),adalah waktu akhir (bebas),,, adalah fungsi biaya pada selang waktu antara [0,],,adalah fungsi biaya pada waktu akhir yang bergantung hanya pada dan().Permasalahan kontrol optimal adalah untuk mencari input pada selang waktu[0,]yang membawa persamaan (1.2.1) sepanjang lintasan sehingga nilai dariindeks performa (1.2.2) menjadi minimal, dan
, = 0 (1.2.3)dimana
,
merupakan fungsi pembatas pada state akhir dengan
diberikan.
1.3. Tujuan
Tujuan dari tugas akhir ini adalah menurunkan kondisi keoptimalan bagi
permasalahan kontrol optimal dengan menggunakan pendekatan kalkulus variasi.
Kondisi keoptimalan yang diperoleh bersifat umum, oleh karena itu penulis akan
menerapkannya pada beberapa sistem kontrol optimal sederhana sebagai gambaran
khusus. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan kondisi keoptimalan tersebut akan
ditentukan solusi analitik dan numerik bagi beberapa permasalahan.
7/25/2019 Kalvar for OC
7/59
6
1.4. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini, penulis memfokuskan permasalahan pada sistem kontrol yang
kontinu. Lebih jauh lagi, pembahasan hanya terfokus pada sistem deterministik,
bukan pada sistem stokastik.
1.5. Sistematika Penulisan
Tugas akhir ini dibagi menjadi beberapa bab. Bab I menjelaskan tentang latar
belakang, rumusan masalah, tujuan, batasan masalah, dan sistematika penulisan dari
tugas akhir. Pada bab II dijelaskan pemaparan mengenai kontrol optimal dan kalkulus
variasi, serta bagaimana menentukan kondisi keoptimalan bagi sistem kontinu. Bab
III menyajikan tentang penerapan teori kontrol optimal dalam sistem nonlinear
sederhana dan penentuan solusi analitik serta numerik atas beberapa permasalahan.
Pada Bab IV, penulis memberikan kesimpulan atas tugas akhir ini.
7/25/2019 Kalvar for OC
8/59
7
BAB 2
KONTROL OPTIMAL BERDASARKAN PADA
KALKULUS VARIASI
Titik berat dari kontrol optimal adalah menentukan kontrol input (tanda (*)menandakan kondisi optimal) yang akan membawa suatu proses (plant) ()daristate awal ke state akhir yang memenuhi kondisi batas dan mengekstrimkan
(memaksimumkan atau meminimumkan) indeks performa .
Gambar 2.1 Permasalahan Kontrol Optimal
7/25/2019 Kalvar for OC
9/59
8
Terdapat dua metode yang umum digunakan untuk mencari kontrol input. Metode
pertama adalah metode dynamic programming yang dikembangkan oleh R.E.
Bellman, sedangkan metode kedua menggunakan Maximum Principle yang
dikemukakan oleh L.S. Pontryagin. Pontryagin Maximum Principle menyatakan
bahwa lintasan state yang optimal , kontrol optimal , dan faktor pengaliLagrange yang bersesuaian harus meminimumkan Hamiltonian. Pada tugas akhirini, pendekatan kalkulus variasi berdasarkan Pontryagin Maximum Principle akan
digunakan untuk menurunkan kondisi keoptimalan.
Dalam penurunan kondisi keoptimalan akan disinggung mengenai permasalahan
meminimalkan indeks performa dengan cara mencari variasi pertama dari fungsional
tertentu. Oleh karena itu, penulis merasa perlu untuk memaparkan beberapa konsep
dasar dari kalkulus variasi yang berguna untuk mencari kondisi keoptimalan.
2.1. Kalkulus Variasi
Definisi 1 : Suatu variabel
dikatakan fungsi atas
, dituliskan
(
) , jika peta
(range) dari setiap nilai berkorespondensi dengan suatu nilai .
Definisi 2 : Suatu variabel dikatakan fungsional atas fungsi , dituliskan = , jika untuk setiap fungsi ()berkorespondensi suatu nilai .
Definisi 3 : Jika dan + adalah elemen-elemen dimana fungsi terdefinisi,maka incrementdari fungsi, dinotasikan dengan , adalah + ()
bergantung pada dan , untuk lebih eksplisit, notasikan (,).
7/25/2019 Kalvar for OC
10/59
9
Definisi 4 : Jika dan + adalah fungsi-fungsi dimana fungsional terdefinisi,maka incrementdari fungsional, dinotasikan , adalah + ()
Untuk lebih eksplisit, notasikan (, ), sedangan disebut variasi dari fungsi .
Definisi 5: Misalkan incrementpada fungsi
saat
dideskripsikan sebagai
+ ()Dengan mengekspansi + dengan deret Taylor di sekitar , diperoleh
= + + 12!2 2 2 + ()
dimana
= = disebut diferensial atas fungsi pada titik , sedangkan adalah turunanatau slope dari pada titik . Dengan kata lain, diferensial adalah aproksimasiorde pertama (linear) terhadap increment.
7/25/2019 Kalvar for OC
11/59
10
Gambar 2.1.1 Increment , Diferensial , dan Turunan dari Fungsi ()
Definisi 6: Misalkan incrementpada fungsional dideskripsikan sebagai + (()
dengan mengekspansi
+
menggunakan deret Taylor, diperoleh
= + + 12! 22 2 + = + 12! 22 2 +
= + 2 + dimana,
= dan 2 = 12! 22 2
7/25/2019 Kalvar for OC
12/59
11
disebut variasi pertama dan variasi kedua dari fungsional . Variasi adalahaproksimasi orde pertama (linear) dari increment
.
Gambar 2.1.2 Incrementdan Variasi Pertama dari Fungsional
Lema 1 : Hubungan antara variasi dan diferensial
Misalkan () adalah fungsi kontinu dalam waktu , dan diferensial ()dan tidak independen. Namun dapat didefinisikan perubahan kecil dalam () yangindependen terhadap . Definisikan variasi dalam () , yaitu () , sebagaiperubahan (increment) dalam ()saat dibuat tetap.Untuk mengilustrasikan hubungan antara , , dan , dapat diperhatikan gambarberikut.
7/25/2019 Kalvar for OC
13/59
12
Gambar 2.1.2 Hubungan antara Variasi dan Diferensial
Pada gambar ditunjukkan fungsi asal ()dan fungsi yang bertetangga + ()dalam selang [0,].Hubungan antara variasi dan diferensial dinyatakan dalam persamaan berikut
=
+
(2.1.1)
Lema 2 : Aturan Leibniz untuk fungsional
Jika () adalah fungsi dari dan = , 0 maka
=
,
0
,
0
0 +
(
,
)
(
)
0
dengan notasi
7/25/2019 Kalvar for OC
14/59
13
Definisi 7 : Suatu fungsional dikatakan memiliki nilai optimum relatifdi jikaterdapat suatu sehingga untuk setiap fungsi dalam domain memenuhi < . Dengan kata lain, jika = () 0
maka ()adalah nilai minimum relatif. Dan sebaliknya, jika
=
(
)
0
maka () adalah nilai maksimum relatif. Jika hubungan di atas terpenuhi untuk yang cukup besar, maka ()adalah nilai optimum global.
Teorema 1 : Teorema Dasar Kalkulus Variasi
Supaya suatu nilai () menjadi suatu nilai yang optimum, variasi pertama dari harus bernilai 0 pada saat (), dalam hal ini (,) = 0, untuk semuanilai yang memungkinkan dari .
2.2. Kontrol Optimal Berdasarkan pada Kalkulus Variasi
Tinjau sistem dinamik nonlinear (1.2.1)() = ,, dengan indeks performa (1.2.2)
(0) = , + ,, 0 serta fungsi pembatas padastateakhir (1.2.3), = 0
7/25/2019 Kalvar for OC
15/59
14
Berikut akan diturunkan kondisi yang diperlukan untuk keoptimalan dengan
menerapkan kalkulus variasi terhadap indeks performa yang merupakan subjek bagi
fungsi pembatas (1.2.1) dan (1.2.3).
Untuk mendekatkan fungsi pembatas (1.2.1) dan (1.2.3) dengan indeks performa
maka persamaan (1.2.2) dimodifikasi dengan faktor pengali Lagrange. Karena() = ,, berlaku untuk setiap [0,] maka dibutuhkan faktorpengali Lagrange yang bersesuaian, yaitu () yang merupakan fungsi dalam .Sedangkan untuk , yang hanya berlaku saat , faktor pengali Lagrangeyang bersesuaian adalah
.
Modifikasi indeks performa (1.2.2) dengan menggunakan faktor pengali Lagrange
tersebut dan diperoleh
= , + ,+ [,, +(),, ()]0 (2.2.1)
Definisikan Hamiltonian
(
,
,
) untuk mendekatkan fungsi biaya dengan
fungsi pembatas
,, = ,, + (,, ) (2.2.2)Indeks performa (2.2.1) dapat dituliskan ulang sebagai
= , + , + [,, ()]0 (2.2.3)Untuk menerapkan kondisi yang diperlukan bagi keoptimalan, dalam hal ini
= 0,
terlebih dahulu perlu dihitung variasi . Dengan menggunakan aturan Leibniz padaLema 2 dan dengan mengasumsikan variasi independen dalam ( ),,, ,dan diperoleh variasi pertama dari persamaan (2.2.3), yaitu
7/25/2019 Kalvar for OC
16/59
15
= , + ,() + , + ,+, + () 0(0)0+ + + ( () 0
Disusun ulang menjadi
= , + ,+
,
+
,
+
+
,
000+ + + ( () 0 (2.2.4)
Dengan menggunakan pengintegralan parsial untuk 0 ,penyederhanaan pada variasi dapat dilakukan.
0=
+
0
0
+
0 (2.2.5)
Berdasarkan persamaan (2.1.1), hubungan antara variasi dan diferensial adalah =
dimana () fungsi kontinu atas , serta turunan () dan salingbergantung. () adalah variasi dari () , increment kecil dalam () saat dianggap tetap, yang saling bebas dengan
. Term dalam
=
bergantung pada
()dan .didefinisikan dalam dan , begitu pula dengan 0didefinisikandalam 0dan 0, menjadi
= + (2.2.6)
7/25/2019 Kalvar for OC
17/59
16
00 = 00 000 (2.2.7)Substitusikan persamaan (2.2.6) dan (2.2.7) ke persamaan (2.2.5), maka akan
diperoleh
0 = + + 00000 + 0 (2.2.8)
Kemudian substitusikan penyederhanaan pada persamaan (2.2.8) ke persamaan
(2.2.4).
= , + , +, + , + + +, 00 + 000 + 00+
(
+
)
+
+ (
)
(
)
0
Disederhanakan kembali menjadi
= , + , + ,+, + , + 0 + 00+
(
+
)
+
+ (
)
(
)
0
Berdasarkan teori Lagrange, nilai minimum (ekstremum) dari dicapai pada keadaanyang sama dengan nilai minimum dari , yaitu saat = 0. Untuk memenuhi keadaanini, nilai-nilai dari semua koefisien pada incrementbebas , ,, , ,()dijadikan 0.
7/25/2019 Kalvar for OC
18/59
17
= 0 , = 0 = 0 = 0 = = = 0 + = 0
=
= 0
0 =
=
= 0 , + , = 0, = ,
= 0 , + , + = 0 + , = ,
7/25/2019 Kalvar for OC
19/59
18
Tabel 1 Syarat keoptimalan bagi fungsi kontinu
Persamaan Variasi
Model
Pertumbuhan
Sistem
() = ,, 0, 0Indeks Performa (0) = , + ,,
0
Fungsi pembatas
bagistateakhir , = 0 Persamaan State = Persamaan
Costate
=
Kondisi
Kestasioneran
Input
= 0
Kondisi Pembatas
pada waktu akhir
, + , +
,
+
,
+
= 0
()
7/25/2019 Kalvar for OC
20/59
19
BAB 3
APLIKASI KONTROL OPTIMAL
DALAM SISTEM KONTINU
3.1. Prinsip Hamilton dalam Dinamika Klasik
Dinamika klasik adalah salah satu cabang ilmu Mekanika klasik, yang mempelajari
ilmu fisika tentang gaya yang bekerja pada benda. Dinamika partikel dideskripsikan
oleh hukum-hukum Newton tentang gerak, terutama oleh hukum kedua Newton.
Hukum ini menyatakan, "Sebuah benda yang memperoleh pengaruh gaya atau
interaksi akan bergerak sedemikian rupa sehingga laju perubahan waktu dari
momentum sama dengan gaya tersebut".
Jika ditinjau gerak partikel pada suatu permukaan bidang, dapat diperhatikan bahwa
diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan
kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun tak selamanya gaya
konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newtonian
memerlukan informasi gaya total yang bekerja pada partikel. Gaya total ini
merupakan total dari keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga
gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tidakdapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tidak berlaku, sehingga diperlukan
pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik
partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan
prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange dapat diturunkan dari prinsip tersebut.
7/25/2019 Kalvar for OC
21/59
20
Prinsip Hamilton untuk sistem konservatif yang seringkali ditemukan dalam fisika
klasik menyatakan bahwa Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamik
untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten
dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah
lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan
energi potensial. (Marion 1965).
Sesuai dengan prinsip Hamiltonian, persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh
persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi
potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energikinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi
potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari
posisi.
Lebih jauh lagi, Lagrangian didefinisikan sebagai selisih antara energi kinetik dan
energi potensial. Dari prinsip Hamilton, dapat diturunkan persamaan Lagrange
dengan menggunakan kondisi kestasioneran. Persamaan Lagrange merupakan
persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat, kecepatan, dan waktu.
Fungsi Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari fungsi konstrain
terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan
koordinat kartesian dan koordinat umum memuat fungsi atas waktu.
a. Persamaan Gerak Lagrange
Persamaan Lagrange untuk pergerakan dapat diturunkan dari Prinsip Hamilton
dengan mendefinisikan
vektor koordinat,
7/25/2019 Kalvar for OC
22/59
21
= vektor kecepatan,() energi potensial,(,) energi kinetik,
, , (), Lagrangian dari sistem.Model pertumbuhan dideskripsikan dengan
= (,) (3.1.1)dimana fungsi diberikan oleh bagian fisika dari permasalahan. Untuk mencarilintasan gerak, prinsip Hamilton mengatakan bahwa indeks performa berikutharus diminimalkan
0 = ,0
(3.1.2)
dengan Hamiltonian
=
+
(3.1.3)
Berdasarkan tabel keoptimalan, untuk meminimalkan indeks performa maka
kondisi-kondisi berikut harus dipenuhi
= = (3.1.4)0 =
=
+ (3.1.5)
Setelah mengkombinasikan kedua persamaan di atas diperoleh Persamaan Gerak
Lagrange
= 0 (3.1.6)
7/25/2019 Kalvar for OC
23/59
22
Perlu ditekankan bahwa dalam konteks ini, persamaan costate dan kondisi
kestasioneran ekivalen dengan Persamaan Lagrange. Dalam konteks yang lebih
umum dari permasalahan variasi, persamaan di atas disebut Persamaan Euler.
Persamaan costate dan kondisi kestasioneran pada tabel keoptimalan adalah
formulasi alternatif dari persamaan Euler.
b. Persamaan Gerak Hamilton
Jika vektor momentum didefinisikan dengan
= (3.1.7)maka persamaan gerak dapat dituliskan dalam bentuk Hamiltonian dengan
= (3.1.8)
= (3.1.9)Jadi, dalam permasalahan kontrol optimal, persamaan state dan costate adalah
generalisasi dari Persamaan Gerak Hamilton.
7/25/2019 Kalvar for OC
24/59
23
3.2. Jarak Terdekat antara Dua Titik
Persamaan panjang kurva ()yang bergantung pada parameter dengan diberikan oleh = 1 + 2() (3.2.1)
Untuk menyatakan bahwa kurva ()menghubungkan dua titik di bidang, , dan(,), maka perlu ditetapkan kondisi-kondisi batas berikut
=
(3.2.2)
= (3.2.3)Berikutnya, akan dicari kurva () yang menghubungkan , dan (,) sertameminimalkan .Model pertumbuhan didefinisikan dengan
=
(3.2.4)
dan jika dituliskan dalam akan menjadi = 1 + 2 (3.2.5)
dengan Hamiltonian
= 1 + 2 + (3.2.6)Tabel keoptimalan memberikan kondisi
= = (3.2.7) = = 0 (3.2.8)
7/25/2019 Kalvar for OC
25/59
24
0 = = +
1 +
2
(3.2.9)
Untuk mencari yang optimal, dari persamaan terakhir diperoleh = 1 + 2 (3.2.10)
namun dari persamaan (3.2.8) diketahui bahwa konstan, dengan demikian maka yang bernilai konstan merupakan solusi optimal.
Kurva
(
)yang optimal memiliki persamaan
= 1 + 2 (3.2.11)Untuk mencari nilai 1dan 2 dapat digunakan kondisi batas yang telah ditetapkansebelumnya, dan diperoleh
= + (3.2.12)yang merupakan persamaan garis lurus sebagai lintasan optimal antara dua titik.
3.3. Kontrol Temperatur dalam Ruangan
Misalkan suatu keadaan dimana dibutuhkan energi seminimal mungkin untuk
memanaskan ruangan. Jika () adalah temperatur ruangan pada saat , adalahtemperatur udara di luar ruangan (konstan), dan () adalah laju perubahantemperatur ke dalam ruangan, maka model dinamiknya adalah
= + (3.3.1)untuk suatu konstanta dan , yang bergantung pada redaman panas di ruangan, dansebagainya. Dengan menuliskanstatesebagai
7/25/2019 Kalvar for OC
26/59
25
(3.3.2)persamaanstatedapat pula dinyatakan dengan
= + (3.3.3)Untuk mengontrol temperatur ruangan pada suatu interval waktu tetap [0, ]denganenergi seminimal mungkin, definisikan indeks performa sebagai berikut
0 = 12 2
0 (3.3.4)
Hamiltonian yang digunakan adalah
= 22
+ + (3.3.5)Berdasarkan tabel keoptimalan, kontrol optimal () dapat ditentukan denganmenyelesaikan
= = + (3.3.6) = = (3.3.7)
0 = = + (3.3.8)Kondisi kestasioneran mengatakan bahwa kontrol optimal diberikan oleh
= () (3.3.9)sehingga untuk menetukan () diperlukan untuk mencari costate yang optimal()terlebih dahulu.Substitusikan (3.3.9) ke (3.3.6) dan diperoleh persamaanstatedan costate
= 2 (3.3.10a)
7/25/2019 Kalvar for OC
27/59
26
= (3.3.10b)yang harus diselesaikan untuk ()dan lintasanstateyang optimal ().Walaupun final costate () belum diketahui, namun persamaan di atas dapatdiselesaikan dengan mengasumsikan () telah diketahui. Solusi untuk (3.3.10b)adalah
= () (3.3.11)dan dengan menggunakan hasil ini untuk (3.3.10a), diperoleh
= 2()() (3.3.12)Terapkan transformasi Laplace pada persamaan ini, dan dihasilkan
= (0) + 2() + ( )
=
(0)
+ 2
12
+ +
12
(3.3.13)
sehingga
= 0 2 sinh (3.3.14)Persamaan (3.3.11) dan (3.3.14) memberikan costate yang optimal ()dan stateyang optimal
(
)dengan catatan bahwa final costate
(
)belum diketahui. State
awal 0diberikan.Lebih jauh lagi, objektif dari permasalahan kontrol perlu diklasifikasikan menjadi dua
kasus, yang masing-masing akan memberikan nilai ().
7/25/2019 Kalvar for OC
28/59
27
a. State Akhir Tetap
Misalkan temperatur awal ruangan sama dengan = 60. Kemudian0 = 0 (3.3.15)Diasumsikan bahwa objektif dari permasalahan kontrol adalah untuk membawa
temperatur akhir ()tepat ke 70selama detik, sehingga state akhir bernilaitetap yaitu
= 10 (3.3.16)
Karena waktu akhir dan stateakhir keduanya bernilai tetap, maka dan ()keduanya bernilai 0, dan kondisi batas (pada tabel keoptimalan) terpenuhi.
Dengan menggunakan persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) akan ditentukan ();kemudian akan dicari ()dengan menggunakan persamaan (3.3.11) dan mencarikontrol optimal dengan memakai persamaan (3.3.9). Untuk mencari () ,gunakan persamaan (3.3.14) untuk mendapatkan
= 0 22 1 2 (3.3.17)Substitusikan persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) dan diperolehfinal costate
= 2021 2 (3.3.18)maka lintasan costateyang optimal adalah
= 102 sinh (3.3.19)
7/25/2019 Kalvar for OC
29/59
28
dan akhirnya laju perubahan temperatur yang optimal diberikan oleh (3.3.9) atau
= 10 sinh 0 (3.3.20)Untuk memeriksa solusi, terapkan ke dalam sistem (3.3.3). Kemudianselesaikan untuk lintasanstate, diperoleh
= 10 sinhsinh (3.3.21)
= 10
sesuai dengan hasil yang diharapkan.
b. State Akhir Bebas
Misalkan state akhir tidak ditetapkan bernilai 10 seperti kasus sebelumnya.Yang diharapkan adalah fungsi kontrol
(
)meminimalkan
0 = 12( 10)2 + 1
2 2
0
(3.3.22)
untuk suatu bobot (misal ) yang dipilih kemudian. Jika nilai cukupbesar, maka solusi optimal akan memiliki nilai () mendekati 10 , karenaberikutnya termpertama akan berkontribusi kecil terhadap biaya.
Berdasarkan tabel keoptimalan, persamaan state dan costate diberikan oleh
(3.3.10), dan kontrol optimal oleh (3.3.9). Dengan demikian, (3.3.11) dan (3.3.14)
tetap valid.
Kondisi awal tetap diberikan oleh (3.3.15), namun kondisi akhir harus ditentukan
dengan menggunakan kondisi batas. Waktu akhir bernilai tetap, sehingga
7/25/2019 Kalvar for OC
30/59
29
= 0 dan term ke dua dari kondisi batas (pada tabel) otomatis bernilai 0.Karena
(
)tidak tetap,
(
) tidak nol (sama seperti pada kasus state akhir
tetap).
Dengan memandang kondisi di atas, dibutuhkan bahwa
= = 10 (3.3.23)Dari (3.3.15) dan (3.3.23) akan ditentukan ().Untuk itu, perhatikan bahwa
= + 10 (3.3.24)Kombinasikan (3.3.24), (3.3.15), dan (3.3.17) kemudian selesaikan untuk final
costatediperoleh
=
202
+
2
1
2
(3.3.25)
Dengan menggunakan (3.3.11) didapatkan lintasan costateyang optimal
= 10 + 2 sinh (3.3.26)Akhirnya diperoleh kontrol optimal
=
10
+
2 sinh
(3.3.27)
Untuk memeriksa kebenaran solusi, simulasikan fungsi kontrol dengan
menggunakan dalam model pertumbuhan (3.3.3). Dengan menyelesaikanuntuk lintasanstateyang optimal diperoleh
7/25/2019 Kalvar for OC
31/59
30
= 102 sinh
+
2 sinh
(3.3.28)
Pada waktu akhir,
= 102 sinh + 2 sinh (3.3.29)
3.4. Permasalahan Titik Potong dan Titik Temu
a.
Formulasi Masalah
Geometri dari permasalahan ditunjukkan pada gambar, dimana () dan ()masing-masing adalah posisi vertikal dan kecepatan dari pesawat pengejar relatif terhadap pesawat target , yang diasumsikan sedang beristirahat. Jarakhorisontal awal pesawat pengejar terhadap pesawat target adalah . Kecepatanhorisontal pengejar relatif terhadap target adalah ; sehingga waktu akhir ,dimana kedua pesawat akan memiliki jarak horisontal yang sama, adalah tetap
dan diketahui bernilai
= 0 + (3.4.1)dengan sudut penglihatan ().Dalam permasalahan titik temu, diinginkan agar posisi akhir ()dan kecepatanakhir
(
) keduanya bernilai 0. Namun dalam permasalahan titik potong,
kecepatan akhir tidak dipentingkan, meskipun diharapkan bahwa posisi akhir()adalah 0.
7/25/2019 Kalvar for OC
32/59
31
Gambar 3.4.1 Geometri dari Permasalahan Titik Potong dan Titik Temu
Persamaan dinamik dari pergerakan vertikal dinyatakan oleh persamaanstate
= (3.4.2) = (3.4.3)
dimana () adalah percepatan vertikal. Kemudian indeks performa yangdigunakan adalah
0 = 2()2 + 2()2 + 12 20 (3.4.4)Untuk titik potong, = 0dan dibuat bernilai cukup besar sehingga kontroloptimal akan menghasilkan 2() yang kecil. Untuk titik temu, dan keduanya dipilih bernilai besar.
b. Solusi Permasalahan
Kontrol optimal akan dipilih sedemikian rupa sehingga meminimalkan (3.4.4).
7/25/2019 Kalvar for OC
33/59
32
Setiap komponen pada state harus memiliki faktor pengali Lagrange yang
bersesuaian; oleh karena itu ambil
[
,
]
dan Hamiltonian
= 122 + + (3.4.5)
maka persamaan costateadalah
= = 0 (3.4.6)
= = (3.4.7)Kondisi kestasioneran adalah
0 = = + (3.4.8)
sehingga kontrol optimal adalah negatif dari faktor pengali kecepatan
=
(
) (3.4.9)
Kondisi awal adalah
0,0 diberikan. (3.4.10)Kondisi akhir ditentukan oleh kondisi batas pada tabel keoptimalan. Karena
waktu akhir tetap, = 0, maka hanya termpertama yang memberikan kondisimengikat.
= = (3.4.11) = = (3.4.12)
7/25/2019 Kalvar for OC
34/59
33
Berikutnya akan diselesaikan permasalahan nilai batas yang didefinisikan oleh
persamaan state dan costate dengan
seperti pada (3.4.9) dan kondisi batas
(3.4.10) (3.4.12). Seperti pada 3.3, dan diasumsikan telahdiketahui. Persamaan costate diselesaikan secara mundur terhadap waktu, dan
persamaan state kemudian diselesaikan secara maju terhadap waktu.
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada (3.4.6) dari hingga diperolehkonstanta komponen costate, yaitu
=
(3.4.13)
Integralkan (3.4.7), memberikan
= ( ) atau
= + ( ) (3.4.14)Selanjutnya, untuk menyederhanakan diasumsikan bahwa
0 = 0 . Kemudian
substitusikan kontrol (3.4.9) ke (3.4.3) dan dihasilkan
= (3.4.15)Dengan menggunakan (3.4.14) dan mengintegralkan kedua ruas untuk [0, ]diperoleh persamaan kuadrat
=
0
+
+22
(3.4.16)
Substitusikan hasil ini ke dalam perhitungan dan integralkan (3.4.2) lalu diperoleh
persamaan kubik
= 0 + 0 22 + + 3
6 (3.4.17)
7/25/2019 Kalvar for OC
35/59
34
Persamaan state dan costate telah diselesaikan dalam term()dan 0,(0)yang diberikan. Namun, final costatebelum diketahui. Untuk mencarinya, dapat
digunakan hubungan (3.4.11) dan (3.4.12) antara final state dan final costate.
Setelah menggabungkan hubungan ini dengan (3.4.16) dan (3.4.17) didapat
= 0 + 0 22 + + 36 (3.4.18)dan
= 0 + + 2
2 (3.4.19)Kedua persamaan ini dapat dituliskan ulang sebagai
1 +3
3
222
21 +
= 0 00 (3.4.20)Menyelesaikan persamaan ini dan diperolehfinal costate
= 1 + +
2
22
36
00 (3.4.21)dimana
=
+33
+
44
(3.4.22)
bobot akhir diperoleh
1 (3.4.23)
7/25/2019 Kalvar for OC
36/59
35
1
(3.4.23)Pada faktanya, waktu awal 0tidak bernilai 0. Karena persamaanstatedan costatelinear, untuk mengoreksi dibutuhkan untuk mensubstitusi ( 0)ke dalam pada ruas kanan persamaan (3.4.21). Sebelumnya, perlu diingat bahwa pada saat nilai dan ()telah diketahui, sehingga dapat diambil sebagai waktuawal. Hal ini berkorespondensi dengan meminimalkan (), yaitu remaining costpada selang [,].Dengan mensubstitusikan ( )untuk dalam persamaan (3.4.21) diperolehpersamaan untukfinal costatedalam variabelstatesaat ini :
= 1 + +
2
22
36 (3.4.24)
Pada akhirnya, kontrol optimal dapat dihitung dengan mendasarkan perhitungan
pada (9) dan (14)
= 1 (3.4.25)Dengan turut memperhitungkan (24) diperoleh kontrol optimal
= + 2
2
+ 2 + 33 (3.4.26)Hasil ini merupakan hukum kontrol feedbackkarena kontrol yang sesungguhnya
hanya diberikan dalamstatesaat ini.
7/25/2019 Kalvar for OC
37/59
36
c. Navigasi Proporsional
Untuk permasalahan titik potong, pilih = 0dan . Dengan mengambillimit dari (26) diperoleh = 3 2 3 (3.4.27)
sebagai kontrol optimal titik potong.
Perlu diperhatikan bahwa untuk sudut penglihatan yang kecil
= tan = (3.4.28)sehingga
= () + 2 (3.4.29)maka kontrol optimalnya adalah
= 3 (3.4.30)Persamaan ini adalah hukum kontrol untuk navigasi proporsional. Setiap pilot
mengetahui bahwa untuk melakukan perpotongan hanya diperlukan untuk
menjaga sudut terhadap target tetap konsan sehingga tidak akan ada pergerakan
terhadap posisi relatif.
3.5. Keoptimalan Sudut Gaya Dorong
Contoh ini bertujuan untuk menekankan bahwa kondisi keoptimalan pada tabel dapat
diterapkan pada sistem tak linear umumnya.
7/25/2019 Kalvar for OC
38/59
37
a. Hukum Tangent Bilinear
Sebuah partikel dengan massa digerakkan oleh gaya dorong konstan dandikenakan pada variabel sudut () . Posisi partikel adalah (,) dankecepatan pada sumbu dan masing-masing adalah ()dan (). Perhatikangambar. Persamaanstatetak linear untuk = (, , )adalah
= (3.5.1) = (3.5.2)
= cos (3.5.3) = sin (3.5.4)dimana vektor untuk state adalah = , dan / adalahpercepatan gaya dorong yang telah diketahui. Sudut gaya dorong ()merupakankontrol input.
Indeks performa yang digunakan berupa fungsi atas waktu akhir
danstate
= (,) (3.5.5)Misalkan suatu fungsi atasstateakhir harus bernilai 0, sehingga
, = 0 (3.5.6)Akan dicari bentuk dari () yang meminimalkan dan memenuhi (3.5.6).Hamiltonian adalah
= + = + + cos + sin (3.5.7)dimana faktor pengali Lagrange = memiliki komponenyang berasosiasi dengan komponen setiapstate.
7/25/2019 Kalvar for OC
39/59
38
Gambar 3.5.1 Keoptimalan Sudut Gaya Dorong
Berdasarkan tabel keoptimalan, persamaan costateadalah = atau = = 0 (3.5.8) = = 0 (3.5.9)
= = (3.5.10) = = (3.5.11)(Perhatikan bahwa subskrip pada menotasikan turunan parsial, sedangkansubskrip pada menotasikan komponen dari persamaan costate.)Kondisi kestasioneran adalah
0 =
=
sin
+
cos
(3.5.12)
atau
tan () = (3.5.13)
7/25/2019 Kalvar for OC
40/59
39
Dengan mengintegralkan persamaan costate secara mundur dari waktu akhir diperoleh
= () (3.5.14) = () (3.5.15)
= + 1 (3.5.16) = + 2 (3.5.17)
Kemudian substitusikan ke persamaan (3.5.13) dan diperoleh hukum kontroloptimal
tan = 2 1 (3.5.18)Persamaan ini disebut hukum tangent bilinear untuk arah gaya dorong optimal.Untuk menentukan konstanta
,
,
1, dan
2, dapat dilakukan dengan cara
mensubstitusikan persamaan (3.5.18) ke persamaan state, menyelesaikannya, dan
menerapkan kondisi batas. Untuk menentukan kondisi batas, diperlukan untuk
mengetahui dan , yang bergantung pada objektif kontrol tertentu. Ada banyakobjektif permasalahan kontrol yang memungkinkan mengingat bahwa seluruhnya
bergantung pada sifat dari partikel . Salah satu contoh yang memiliki solusisederhana dan menarik akan dibahas berikut ini.
b. Titik Potong dengan Waktu Minimum
Misalkan merepresentasikan sebuah pesawat yang diharapkan berpotongandengan target dalam waktu yang minimum. memiliki posisi awal 1 dan
7/25/2019 Kalvar for OC
41/59
40
kecepatan konstan terhadap sumbu , yaitu 1 , sehingga persamaan posisipesawat terhadap sumbu
pada saat
adalah
1 +
1
. Sedangkan posisi
terhadap sumbu bernilai konstan.Karena objektif permasalahan ini adalah meminimalkan waktu, maka diharapkan
bahwa kontrol optimal dapat meminimalkan
= = 1 0
(3.5.19)
dan karena = 1, maka Hamiltonian menjadi = 1 + + + cos + sin (3.5.20)
Bagaimanapun, karena nilai konstan, hasil yang diperolah pada bagian a tetapvalid.
Jika mulai bergerak saat 0 = 0dan dimulai dari titik awal, kondisi awal dariadalah
0
= 0,
0
= 0,
0
= 0,
0
= 0 (3.5.21)
Fungsi untukfinal stateadalah
, = (1 + 1) = 0 (3.5.22)sehingga
= 1 + 1 (3.5.23) = (3.5.24)
Untuk mencari kondisi akhir yang tersisa diperlukan untuk menggunakan syarat
kondisi batas pada tabel keoptimalan.
7/25/2019 Kalvar for OC
42/59
41
Stateakhir dan waktu akhir keduanya bernilai bebas. Oleh karena itu 0dan
0 . Bagaimanapun, dalam permasalahan ini
dan
saling
independen sehingga syarat kondisi batas pada tabel keoptimalan menghasilkan
dua kondisi batas yang terpisah yaitu
( + ) = 0 (3.5.25)( + + ) = 0 (3.5.26)
dimana = adalah faktor pengali Lagrange yang baru.Dengan memperhitungkan (3.5.22) dan memperhatikan bahwa , = 0,maka persamaan (3.5.25) menjadi
= 1 00 10 00 0
atau
= (3.5.27) = (3.5.28) = 0 (3.5.29) = 0 (3.5.30)
Perlu diperhatikan bahwa komponen-komponen dari yang berkorespondensidengan komponen final state yang tetap, yaitu
()dan
(), adalah variabel-
variabel yang belum diketahui, sedangkan komponen-komponen dari yangberkorespondensi dengan komponenfinal stateyang bebas, yaitu ()dan (),memiliki nilai tetap pada 0.
7/25/2019 Kalvar for OC
43/59
42
Dengan menggunakan kondisi (3.5.20) dan (3.5.22), kondisi akhir (3.5.26)
menjadi
= = 1 0 atau dengan menggunakan (3.5.27)(3.5.30)
1 + + = 1 (3.5.31)Kemudian persamaan state (3.5.1) (3.5.4) akan diselesaikan dengan
memperhitungkan (3.5.18) dan solusi costate (3.5.14) (3.5.17) serta kondisi
batas (3.5.21), (3.5.23), (3.5.24), (3.5.27) (3.5.30). Kondisi (3.5.31) juga
diperlukan untuk menyelesaikan waktu akhir optimal yang belum diketahui.Dari persamaan (3.5.27)(3.5.30) solusi costateadalah
= (3.5.32) = (3.5.33)
= ( ) (3.5.34) = ( ) (3.5.35)Dimana faktor pengali terakhir , perlu ditentukan. Dengan demikian, hukumtangent bilinear (3.5.18) dapat dibuat dalam bentuk yang lebih sederhana
tan =
(3.5.36)
Untuk permasalahan titik potong dengan waktu minimum ini, sudut gaya dorong
yang optimal bernilai konstan.
7/25/2019 Kalvar for OC
44/59
43
Untuk mencari kontrol optimal atas sudut gaya dorong (), yang tersisa adalahuntuk mencari
dan
.
Karena bernilai konstan, sangat mudah untuk melakukan proses integrasi secaramaju dari 0 = 0hingga diperoleh
= sin (3.5.37)
=
cos
(3.5.38)
= 22
sin (3.5.39) = 2
2cos (3.5.40)
dimana kondisi awal (3.5.21) telah dimasukkan dalam perhitungan.
Dengan menyelesaikan persamaan (3.5.39) dan (3.5.40) pada saat
=
tan = (3.5.41)dan kondisi akhir (3.5.23) dan (3.5.24) kemudian memberikan persamaan untuk
kontrol dalam kondisi akhir :
tan = 1 + 1 (3.5.42)Bagaimanapun, masih perlu ditentukan waktu akhir yang optimal untukdigunakan dalam (3.5.42). Peran dari persamaan (3.5.31) adalah untuk
menyelesaikan , namun untuk menggunakannya dibutuhkan untuk mencari
7/25/2019 Kalvar for OC
45/59
44
dan . Khusus dalam permasalahan ini dapat digunakan cara singkat dimana ,
tidak diperlukan.
Dapat diperhatikan bahwa (3.5.39), (3.5.40), (3.5.23), dan (3.5.24) menghasilkan
sin = 2()2 = 22 (3.5.43)cos = 22 = 21 + 12 (3.5.44)
Kemudian, sin2
+cos2
= 1, atau
42 + 4(1 + 1)2 = 24 (3.5.45)yang mana
244
+ 122 + 211 + 12 + 2 = 0 (3.5.46)Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan untuk dengan kondisi awal di sekitartarget 1,1, diberikan. Hanya ada satu solusi untuk persamaan (3.5.46) yangmasuk akal secara fisis.Kontrol optimal ditentukan dengan menyelesaikan persamaan (3.5.46) untuk dan kemudian menyelesaikan persamaan (3.5.42) untuk sudut gaya dorong
optimal .Gambar di bawah ini merepreentasikan bahwa sisi miring dari segitiga
digambarkan dalam persamaan gerak target, sebagai
2 = 2 + (1 + 1)2 (3.5.47)atau dalam persamaan gerak pesawat pengejar sebagai
7/25/2019 Kalvar for OC
46/59
45
2 =
1
2
2
2
(3.5.48)
Gambar 3.5.2 Kontrol Input bagi Permasalahan Titik Potong dengan Waktu Minimum
Persamaan (3.5.45) hanyalah sebuah persamaan yang harus dipenuhi agar kedua
pesawat berada pada titik yang sama pada waktu akhir.
Tanpa melalui penurunan yang detail dari (3.5.45) maka tidak dapat disimpulkan
dari gambar apakah solusinya merupakan waktu akhir yang optimal.
7/25/2019 Kalvar for OC
47/59
46
3.6. Solusi Numerik Sistem Hamiltonian untuk Hukum Newton
Misalkan model pertumbuhan yang mengikuti Hukum Newton, dimana
= = (3.6.1)
dengan adalah vektor posisi, adalah vektor kecepatan, dan adalah inputpercepatan. Vektorstateadalah = [ ] .Kemudian pilih indeks performa :
=1
2 20 (3.6.2)Model pertumbuhan akan dibawa mendekati final state () = [ ]tanpamenggunakan terlalu banyak energi. Nilai sesungguhnya dari final state tidaklah
tetap, meskipun waktu akhir tetap.Dalam 3.2. telah dibangun controlleruntuk model pertumbuhan ini, dan dalam 3.4.
telah dicari ekspresi analitik untuk controller feedbackyang kontinu. Pada bagian ini
akan dicari kontrol optimal dengan menggunakan solusi numerik atas persamaan
statecostate.
Hamiltonian dan persamaan Euler sama seperti yang diberikan pada 3.4. yaitu
= 122 + +
=
= 0
= =
7/25/2019 Kalvar for OC
48/59
47
Kontrol optimal adalah
= () (3.6.3)Dengan menggunakan kontrol optimal di atas dalam persamaan state, diperoleh
Hamiltonian dari sistem, yaitu
= =
= 0
= (3.6.4)Dengan menggunakan persamaan terakhir, diperoleh
= = exp
untuk suatu konstanta dan .Kondisi batas yang digunakan adalah
0 = diberikan,0 = diberikan,
= 0 = 0 (3.6.5)
dengan dan merupakan tebakan untukstate awal, atau notasikan 0 = [ ]sedangkan untukstateakhir, diinginkan agar = [0 0] .
7/25/2019 Kalvar for OC
49/59
48
Karena kondisi awal dari persamaan costate tidak diketahui, maka akan dibangun
suatu metode aproksimasi terhadap kondisi awal costateyang sesuai.
Misalkan = [ ] = [0 0] adalah vektor tebakan untuk costateawaluntuk suatu , didapatkan
= = exp (3.6.6)
Jika kita mengkhususkan perhatian pada final state
(
) dengan
0
=
,
diperoleh
; = exp()0
Tentu saja, lintasan dari () secara umum tidak berakhir pada = [0 0] .Dengan kata lain, secara umum () ().Untuk menebak
yang sesuai yang membuat
dimulai tepat pada
0
= [
]
dan berakhir di = [0 0] tidaklah mudah. Oleh karena itu, akan digunakanalgoritma berikut untuk menghampiri nilai yang sesuai. Algoritma tidak bertujuanuntuk mencari nilai yang presisi, namun diharapkan algoritma dapat menemukan yang meminimalkan fungsional berikut
= ()2 (3.6.7)dimana
(
) adalah evaluasi atas
saat
dan (
,
) adalah solusi atas sistem
persamaan diferensial (3.6.4) dengan kondisi awal 0,0 = 0,0 .Fungsional akan diminimalkan dengan menggunakan metode Steepest Descent.Program yang digunakan adalah MATLAB. Kemudian akan diperoleh lintasan state
7/25/2019 Kalvar for OC
50/59
49
dan costate () dan () , sehingga kontrol input dapat ditentukan denganmenggunakan persamaan (3.6.3).
Algoritma untuk metode Steepest Descent dapat dideskripsikan sebagai berikut.
Pertama, pilih sebarang bilangan positif dan , serta sebarang vektor0 = [ ]
Dengan menggunakan nilai-nilai ini dan kondisi awal 0 = [ ] permasalahannilai awal berikut dapat diselesaikan
= = = 0 =
dimana (0,0) = (0,0). Kemudian, dapat dihitung final state()untuk
0tersebut. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan nilai
(
) ini, nilai skalar dari
(0) dapat dihitung dengan persamaan (3.6.7). Berikutnya, akan dicari nilai 1yang baru yang akan membuat nilai (1) < (0).Turunan parsial dari terhadap masing-masing dan di 0 diaproksimasidengan
0
1
0 + (1,0) (0)
0 2 0 + (0,1) (0)
Sehingga, gradient dari di 0diaproksimasi dengan
7/25/2019 Kalvar for OC
51/59
50
0
=
0
,
0
(
1 ,
2)
Berikutnya, bentuk
1 = 0 1 ,22 = 0
21 ,2
Jika
1 toleransi
L10_lama = L10(i);
L20_lama = L20(i);
% Initial condition partial
L10partial = L10_lama + epsilon;
ic = [a b L10partial L20_lama];
[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);
ujung = length(T);
partialL1 = ((Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2 - F(i)) / epsilon;
% Initial condition partial
L20partial = L20_lama + epsilon;
ic = [a b L10_lama L20partial];
[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);
ujung = length(T);
partialL2 = ((Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2 - F(i)) / epsilon;
7/25/2019 Kalvar for OC
54/59
53
normF = sqrt(partialL1^2 + partialL2^2);
% Initial condition
L10_baru = L10_lama - alpha * partialL1 / normF;
L20_baru = L20_lama - alpha * partialL2 / normF;
ic = [a b L10_baru L20_baru];
[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);ujung = length(T);
i=i+1;
F(i)= (Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2;
if F(i)>=F(i-1)
alpha = alpha2;
epsilon = epsilon2;
else
alpha = alpha1;
epsilon = epsilon2;end
L10 = [L10; L10_baru];
L20 = [L20; L20_baru];
end
figure(1)
plot(T, Y(:,1))
xlabel('t (s)')
ylabel('y (m)')
axis([0 10 0 10])
figure(2)
plot(T,Y(:,2))
xlabel('t (s)')
ylabel('v (m/s)')
7/25/2019 Kalvar for OC
55/59
54
figure (3)
plot(T,Y(:,1:2))
xlabel('t (s)')ylabel('y (m) dan v (m/s)')
% Transpose
F = F.';
Hasil =[F L10 L20];
*********************************************************
7/25/2019 Kalvar for OC
56/59
55
Dengan menjalankan program di atas, diperoleh hasil plot lintasanstateyang optimal
sebagai berikut
Gambar 3.6.1 Plot Lintasan terhadap t
Gambar 3.6.2 Plot Lintasan terhadap t
7/25/2019 Kalvar for OC
57/59
56
Gambar 3.6.3 Plot Lintasan dan terhadap t
Nilai costateyang optimal adalah
= 0.0738
= 0.4662
0.0738
Sehingga diperoleh kontrol input = 0.4662 + 0.0738
7/25/2019 Kalvar for OC
58/59
57
BAB 4
KESIMPULAN
Dalam tugas akhir ini, beberapa konsep dasar dari kalkulus variasi telah dipaparkan
dan kondisi keoptimalan telah diturunkan dengan menggunakan Pontryagin
Maximum Principle. Variasi pertama dari indeks performa telah dicari, dan nilai dari
setiap increment bebas pada saat nol adalah syarat perlu bagi persamaan state dan
costateuntuk mencapai keoptimalan. Tabel 1 merangkum syarat perlu bagi kondisi
keoptimalan tersebut.
Beberapa contoh permasalahan sistemn kontinu nonlinear yang diselesaikan dengan
menggunakan kontrol optimal telah diselesaikan dengan cara mencari solusi analitik
dan solusi numerik. Pendekatan solusi numerik yang digunakan adalah metode
Steepest Descent.
7/25/2019 Kalvar for OC
59/59
DAFTAR PUSTAKA
1. Athans, M and P. Falb, Optimal Control, New York : McGraw-Hill, 1966
2. Bryson, A. E. and Ho, Y-C., Applied Optimal Control, Blaisdell Publishing
Company, Waltham, 1969
3. Kirk, D., Optimal Control Theory : An Introduction, Prentice Hall, 1970
4. Lewis, F. L., Optimal Control, New York : Wiley, 1995
5. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J., On The Optimal
Control Computation of Linear Systems, J. Indonesian Math. Society Vol. 15,
No. 1 (2009), pp. 1320
6. Tomlin, C. J.,Lecture Notes 8 : Optimal Control and Dynamic Games, (2005)