FAKTORISASI ALJABAR

Pemfaktoran

Pemfaktoran

A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis bentuk aljabar yang lain disebut faktor dari bentuk aljabar yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar memiliki minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Pemfaktoran merupakan proses menyatakan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.

A.1 Pemfaktoran dengan Hukum Distributif

Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat menyatakan bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap a,b,dan c bilangan real.

Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan dari suku-suku yang mempunyai faktor persekutuan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian.

Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalianBentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif

b + c

a(b + c)

a

Contoh:

Faktorkan bentuk-bentuk berikut :

a. 4a+8 b. 6ab-4a²

Jawab :

b. 4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka:

4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2)

b. 6ab dan 4a² = 2a(3b)-2a(2a)=2a(3b-2a)

A.2 Pemfaktoran Bentuk x²+2xy+y² dan x²-2xy+y²

Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku dua dapat dijabarkan sebagai berikut :

1. (x+3)²= x²+6x+9

2. (3x-4)²= 9x²-24x+6

Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciri-ciri sebagai berikut :

I. Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat.

II. Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.

x² + 6x + 9 9x² – 24x + 16

Dengan demikian, kedua bentuk penjumlahan di atas dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut :

1. x² + 6x + 9 = (x²)+2(x)(3)+(3)² = (x+3)²2. 9x² – 24x + 16 = (3x) ² - 2(3x)(4)+(4)² =

(3x-4)²

(x²)(3) ²

2(x) (3)

(3x) ²

2(3x) (4)

(4) ²

x² + 2xy + y² = (x + y) ²x² - 2xy + y² = (x - y) ²

Contoh

Faktorkan Bentuk aljabar berikut! x²+10xy+25y²

Jawab:

x²+10xy+25y² = x²+5xy+5xy+ (5y)² = x(x+5y) + 5y(x+5y)

= (x+5y)(x+5y)

c. Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat

Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di jabarkan sebagai berikut:(x+y)(x-y)= x²+xy-xy-y²

= x²-y²

Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.

Pemfaktoran selisih dua kuadrat adalah:

x²-y² = (x+y)(x-y)

Contoh:

Faktorkan bentuk berikut!a. 9p²-25q² b. 4x²-16y²

Jawab:

b. 9p²-25q² =3(p)²-(5q)²

=(3p+5q)(3p-5q)b. 4x²-16y² = (2x)²-(4y)²

= (2x+4y)(2x-4y)

d. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c dengan a = 1

Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1. Misalnya bentuk seperti berikut :

x² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21

Pada bentuk ax²+bx+c, a disebut koefisien x², b koefisien x dan c bilangan konstan (tetap)

Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x²+bx+c.

perhatikanlah uraian beikut :(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12

= x² + 7x +12Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut :

x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4) 3+4 3x4Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagi berikut.a. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.b. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.

Pemfaktoran bentuk x²+bx+c adalah:x²+bx+c = (x+p)(x+q)

Dengan syarat c = p x q dan b = p + q

e. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c dengan a=1

Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a≠1 seperti berikut : 8 x 15 = 120

10 X 12 = 120 (2x+3)(4x+5) = 8x² + 10x +12x + 15

= 8x² + 22x + 15

Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk memfaktorkan 8x²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut :

a. Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan koefisien x

b. Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien x² dengan bilangan konstan.

Contoh:

Faktorkan bentuk aljabar berikut!2p²-20p+18

Jawab:

2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9)

Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10 dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga

2p²-20p+18= 2(p²-10p+9)=2(p-1)(p-9) =(2p-2)(p-9)