DTH1B3 - MATEMATIKA

TELEKOMUNIKASI I

Turunan Fungsi

By : Dwi Andi Nurmantris

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Mampu memahami definisi turunan, aturan dasar turunan dan mampu mencari turunan dari berbagai bentuk fungsi.

MATERI PEMBELAJARAN

Turunan Fungsi a. Definisi Turunan dan Differensial b. Aturan Dasar Turunan c. Turunan Fungsi d. Turunan Tingkat Tinggi

DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL

x

f(x) P

X+∆x

f(x+∆x) Q

∆x

∆y =f(x+∆x)-f(x)

Kemiringan garis PQ (titik potong pada busur PQ) adalah :

x

xfxxf

x

ymPQ

)()(

Jika ∆x 0 , maka garis PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

x

xfxxf

dx

dym

x

)()(lim

0

DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL

x

f(x) P

X+∆x

f(x+∆x) Q

∆x

∆y =f(x+∆x)-f(x)

x

xfxxf

dx

dym

x

)()(lim

0

dx

dy • Disebut Turunan Fungsi dari f(x)

• Biasanya ditulis dengan f’(x) (dibaca “f(x) aksen”)

Mencari Gradien Garis Singgung pada suatu titik pada fungsi

Mencari perubahan y terhadap perubahan x

dy = deferensial dari variabel y dx = deferensial dari variabel x

DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh :

Jika f(x) = x2, tentukan f’(x)

Jawab :

x

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxxxx

x

xfxxf

x

x

x

x

x

2

02

2lim

)2(lim

2lim

2lim

)()(lim

0

0

2

0

222

0

0

2xxf

22

2

2

)(

xxxx

xxxxf

xf '

DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Ilustrasi tambahan

4 2 6

(2,4)

x

y

f’(x)= 2x f(x) = x2

0

4

Luas persegi = f(x) = y = x2

x

x

dx

dx

DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Hakekat dari Turunan

4 2 6

(2,4)

x

y

0

4

Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.

f’(a) = m = 4

f’(a) = m = 0

(-2,4)

f(x) = x2

f’(x)= 2x

f’(a) = m = -4

f ’(a) > 0, maka f(x) menaik

f ’(a) < 0, maka f(x) menurun

f ’(a) = 0, titik ekstrim (maksimum/minimum)

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 1

0(x)' f

: maka

konstan k dengan k f(x) Jika

KONSTAN FUNGSI

) (Terbukti 00Limit

x

k-kLimit

x

f(x)-x)f(xLimit(x)' f

:BUKTI

0 x

0 x

0 x

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 2

1(x)' f maka

x,f(x) Jika

IDENTITAS FUNGSI

) (Terbukti 11 Limit

x

xLimit

x

x-xx Limit

x

f(x)x)f(xLimit (x)' f

: BUKTI

0 x

0 x

0 x

0 x

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 3

1-n

n

nx(x)' f

:maka

rasional,bilangan n dan xf(x) Jika

PANGKAT FUNGSI

ATURAN TURUNAN FUNGSI

250xx50.5nx(x)' f maka50,n,5xf(x) c.

100x100xnx(x)' f maka 100,n,xf(x) b.

3x3xnx(x)' f maka 3n ,xf(x) a. : SOLUSINYA

5xf(x) c.

xf(x) b.

xf(x) a.

: berikut fungsi-fungsi dari fungsi Turunan Carilah

491-501-n50

9911001-n100

2131-n3

50

100

3

Contoh :

LATIHAN SOAL

41

xf(x) f. xf(x) c.

xf(x) e. xf(x) b.

xf(x) d. 4f(x) a.

:berikut fungsi-fungsi dariTurunan Tentukan

3-

2-5

10

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 4

(x)' c.f(x)' g

: maka ada, (x)' fdan c.f(x)g(x)oleh kan didefinisi

yang fungsi gdan konstanta,suatu cfungsi,suatu f Jika

FUNGSI DENGANKONSTANTA KALI HASIL

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Contoh :

66x

55x .5

6

(x)' .g5

6(x)' f ,x

5

6f(x) c.

9000x

100.90x

(x)' 100.g(x)' f ,100x f(x) b.

250x x5

6f(x) c.

5.50x 100x f(x) b.

(x)' 5.g(x)' f ,5x f(x) a. :SOLUSINYA 5x f(x) a.

:berikut f(x) fungsiTurunan Tentukan

54

54

55

89

89

90

4955

4990

5050

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 5

(x)V'(x)U'(x)' f'y maka

V(x),U(x)f(x)ydan diturunkandapat yang

x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika

FUNGSIDUA JUMLAH

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 6

(x)V'-(x)U'(x)' f'y

makaV(x),-U(x)f(x)ydan diturunkan

dapat yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika

FUNGSIDUA SELISIH

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Contoh :

7-12x

07.1-6.2x

(2)dx

d(x)

dx

d7)(x

dx

d6

(2)dx

d)7(

dx

d)6(

dx

d(x)' f 276xf(x)

:SOLUSINYA

276xf(x) dari Turunan Tentukan

2

22

2

xxx

x

LATIHAN SOAL

2

2

2

23

x

22xf(x) c.

2x)-(6f(x) b.

524xf(x) a.

:BERIKUT FUNGSI-FUNGSI TURUNAN CARILAH

xx

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 7

(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f maka

U(x).V(x),f(x)dan diturunkandapat yang

x dari fungsi-fungsi Vdan UJika

FUNGSI.DUA PERKALIAN

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Contoh :

29x8x18x

6x6x23x8x12x

x)x)(6()12).(4x(3x

(x).V(x)U'(x)U(x).V'(x)' f

:didapat 7 teoremadalam keMasukan

14x(x)V'dan 6x (x) U'

xx V(x)dan 23xU(x)Misalkan

: SOLUSINYA

x)2)(x(3xf(x) dari pertamarunan Carilah tu

235

25235

432

3

42

42

x

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 8

V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f

maka 0,V(x),V(x)

U(x)f(x)dan

,diturunkandapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika

FUNGSI.DUA PEMBAGIAN

2

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Contoh :

23

24

23

244

23

223

2

23

2

9)(x

54x30x-3x-

9)(x

30x9x54x6x

9)(x

)10).(3x(3x-9)(6x)(x

V(x)

(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f

:didapat 8 Teoreman Berdasarka

3x(x)V' 9xV(x)

6x(x) U' 103xU(x)Misalkan

:SOLUSINYA

9x

103xf(x)

darirunan Carilah tu

3

2

LATIHAN SOAL

5x

x

1-3

f(x) b.

25

123xf(x) a.

:berikut fungsi-FungsiTurunan Hitunglah

1

2

x

x

ATURAN TURUNAN FUNGSI

TEOREMA 9

dx

du.

du

dy

dx

dyatau

(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx

d (x)y'

: maka

diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan f(g(x))y serta

diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan g(x)udan

diturunkandapat yangu dari fungsimerupakan f(u) vJika

RANTAI DALIL

xgf

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Contoh :

52

52

525

62

62

3)5x)(4x 30-48x(

58x.3)5x6(4x

dx

du.

du

dy

dx

dy 58x

dx

du

3)5x6(4x6Udu

dy

U ymaka 35 4xU

:SOLUSINYA

)35(4x y

: dari Turunan Tentukan

x

x

LATIHAN SOAL

23

13xf(x) b.

52x-7xf(x) a.

:berikut fungsiTurunan Tentukan

2

2

x

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

xdx

dyyxy

xdx

dyyxy

xdx

dyyxy

2sec'tan

sin'cos

cos'sin

xdx

dyyxy

xxdx

dyyxy

xxdx

dyyxy

2seccos'cot

tansec'sec

cotseccos'seccos

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh :

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1. f(x) = 4sinx – 2cosx 2. f(x) = 2sinxcosx

SOLUSINYA 1. f(x) = 4sinx – 2cosx

f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx

=4cosx+2sinx

2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x

f ‘(x) = d2x.dsin2x

=2cos2x

LATIHAN SOAL

4-x4cosy 5.

xsin x cos y 4.

12sin- y 3.

sin-1 y 2.

4cos2x 2sinx y 1.

:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan

2

22

2

2

x

x

TURUNAN FUNGSI HYPERBOLIC

xhdx

dyyxy

xdx

dyyxy

xdx

dyyxy

2sec'tanh

sinh'cosh

cosh'sinh

xdx

dyyxy

xxdx

dyyxy

xxdx

dyyxy

2cossech'coth

tanhsech'sech

cothcossech'cossech

LATIHAN SOAL

cosh1-x y c.

cosh - sinh y b.

3)-(xsinh y a.

:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan

2

x

xxx

TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

xx

xx

edx

dyyey

aadx

dyyay

'

ln'

xdx

dyyxxy

axdx

dyyxy

e

a

1'lnlog

ln

1'log

TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

Contoh :

ex-ex- f(x)

:berikut FungsiTurunan Tentukan

x357 x

f’(x) = 7x6 – 5x4 + 0 –1 + ex

= 7x6 – 5x4 –1 + ex

SOLUSINYA

TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

Contoh :

ln100-10 f(x)

:berikut FungsiTurunan Tentukan

3 xx

SOLUSINYA

xx

xxxf

10030

110030)'( 22

LATIHAN SOAL

log6log y c.

10 y b.

lnln y a.

:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan

52

10

25

xx

x

eex

x

x

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).

Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi turunan pertama, dst.

Turunan Kedua, Ketiga, Keempat dst disebut Turunan Tingkat Tinggi

0/

6/'''

86/''

583/'

754)(

:

44)4(

33

22

2

23

dxydy

dxydy

xdxydy

xxdxdyy

xxxxfy

contoh

Turunan dari turunan

TURUNAN TINGKAT TINGGI

TURUNAN NOTASI f’ NOTASI LEIBNIZ

Turunan Pertama

Turunan Kedua

Turunan Ketiga

Turunan Keempat

.... .... ....

Turunan Ke-n

)(' xf

)(" xf

)('" xf

)(4 xf

)(xf n

dx

dy

2

2

dx

yd

3

3

dx

yd

4

4

dx

yd

n

n

dx

yd

LATIHAN SOAL

y x sin 2 1

y x 2 3 4

yx

x

1

y x cos2

Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

3.

4.