Pemodelan Data Cacahan

(Count Data) dalam GLM

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Sekolah Pascasarjana Departemen Statistika IPB

Semester Genap 2017/2018

2

Pada model linear klasik, seperti regresi linear,

memerlukan asumsi bahwa peubah respon y

menyebar Normal.

Pada kenyataanya banyak ditemukan bahwa peubah

respon y tidak menyebar Normal. Misalnya menyebar

Binomial, Poisson, Gamma, Eksponensial, dsb.

Maka dikembangkan Model Linear Terampat (GLM)

untuk mengatasi masalah ini.

Pendahuluan

3

Tiga Komponen dalam GLM

1. Komponen Acak (Random Component)

Komponen acaknya adalah peubah respon y.

Dalam GLM, peubah respon diasumsikan

mempunyai sebaran yang termasuk ke dalam

keluarga eksponensial (exponential family),

yaitu :

4

lanjutan …

2. Komponen Sistematik (Systematic Component)

Komponen sistematik adalah kombinasi linear

dari kovariat x1, x2, …, xp. Sehingga dapat

dituliskan sebagai berikut:

i = (ixi)

i disebut juga sebagai penduga linear (linear

predictor), i adalah konstanta.

5

lanjutan …

3. Fungsi Hubung (Link Function)

Yaitu fungsi yang menghubungkan antara

komponen acak dengan komponen sistematik.

Misalkan E(yi) = i, selanjutnya dapat dibuat

hubungan sebagai berikut :

g(i) = i = (ixi)

g(.) disebut sebagai fungsi hubung. Fungsi ini

harus bersifat terdiferensialkan monoton

(monotonic differentiable)

6

Sebaran Keluarga

Eksponensial

Normal

Binomial

Multinomial

Poisson

Gamma

Eksponensial

Negatif Binomial

Dsb.

7

Fungsi Hubung Natural/Kanonik

Sebaran y Fungsi Hubung

Normal Identitas

Binomial Logit

Gamma Invers

Poisson Log

Multinomial Logit Kumulatif

Negatif Binomial Log

Inverse Gaussian Invers Kuadrat

8

Pendugaan Parameter

Metode Fisher Scoring

L(,y) adalah fungsi kemungkinan (likelihood), I disebut

matrik informasi Fisher. Maka penduga secara iteratif

adalah sebagai berikut :

srr

r

yLE

yLU

),( ;

),( 2

I

)1()1()1()()1( ˆˆ kkkkkUβIβI

)1()1()1()( )(ˆˆ kkkkUIββ

-

9

Pengukuran Kelayakan Model

Kelayakan model (goodness of fit) pada GLM dapatdiukur berdasarkan Deviance (D).

Deviance adalah dua kali perbedaan antara log likelihood nilai aktual dengan log likelihood nilaidugaan.

Nilai deviance dapat digunakan sebagai statistik ujimengenai kelayakan model.

Deviance merupakan peubah acak yang sebarannyamendekati sebaran 2.

10

Sebaran asimptotik bagi deviance (D) adalah

2(n-p)

dimana n adalah banyaknya data, sedangkanp adalah banyaknya parameter dalammodel.

11

Uji hipotesis untuk vektor r

Ho : r = 0 H1: r 0

p = [ r : p-r ]

12

Peubah Respon Poisson

Respon yang diukur (y) berupa banyaknya

kejadian selama selang waktu tertentu atau

dalam luas area tententu.

Misalnya, banyaknya pengunjung mal per hari,

banyaknya bakteri dalam kultur biakan, dsb.

Peubah respon y yang demikian disebut

menyebar Poisson

13

Karakteristik Sebaran Keluarga Eksponensial

14

15

GLM untuk Sebaran Poisson

16

17

18

Model Log-Linear

19

Masalah Overdispersi

20

Studi KasusMcCullagh dan Nelder (hlm. 204)

21

Data

22

Pemodelan

23

24

Implementasi dalam Program R : Syntax

## 6.3.2. A study of wave damage to cargo ships

## McCullagh dan Nelder (hlm.204)

shipku <- read.csv(file='1-data.ship.accident.mccullagh.csv',

header=TRUE)

tipe <- factor(shipku[,2]) # Kategorik

tahun <- factor(shipku[,4]) # Kategorik

periode <- factor(shipku[,6]) # Kategorik

service <- shipku[,7] # Kontinu

incidents <- shipku[,8] # Kontinu

## Menentukan kategori pembanding

tipe <- relevel(tipe, ref="A")

tahun <- relevel(tahun, ref="1960-64")

periode <- relevel(periode, ref="1960-74")

data.frame(tipe,tahun,periode,service,incidents)

25

## We model the rate of damage incidents per month of service, so

## log(service) is an offset.

## We expect overdispersion, so we fit by quasi-likelihood using

## the quasipoisson family.

## The number of damage incidents must be zero for any observation

## with zero aggregated months of service (whether they corrspond

## to "necessarily empty" or "accidentally empty cells." These

## "observations" are not useful in fitting the model, and so are

## omitted using the subset argument.

model <- glm(incidents ~ tipe + tahun + periode,

offset = log(service), family = quasipoisson("link"=log),

subset = (service != 0))

summary(model)

26

Keluaran Program R: (1)

> data.frame(tipe,tahun,periode,service,incidents)

tipe tahun periode service incidents

1 A 1960-64 1960-74 127 0

2 A 1960-64 1975-79 63 0

3 A 1965-69 1960-74 1095 3

4 A 1965-69 1975-79 1095 4

5 A 1970-74 1960-74 1512 6

6 A 1970-74 1975-79 3353 18

7 A 1975-79 1960-74 0 0

8 A 1975-79 1975-79 2244 11

.

.

.

37 E 1970-74 1960-74 1157 5

38 E 1970-74 1975-79 2161 12

39 E 1975-79 1960-74 0 0

40 E 1975-79 1975-79 542 1

27

Keluaran Program R: (2)

Deviance Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.6768 -0.8293 -0.4370 0.5058 2.7912

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -6.40590 0.28276 -22.655 < 2e-16 ***

tipeB -0.54334 0.23094 -2.353 0.02681 *

tipeC -0.68740 0.42789 -1.607 0.12072

tipeD -0.07596 0.37787 -0.201 0.84230

tipeE 0.32558 0.30674 1.061 0.29864

tahun1965-69 0.69714 0.19459 3.583 0.00143 **

tahun1970-74 0.81843 0.22077 3.707 0.00105 **

tahun1975-79 0.45343 0.30321 1.495 0.14733

periode1975-79 0.38447 0.15380 2.500 0.01935 *

----------------

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 1.691028)

Null deviance: 146.328 on 33 degrees of freedom

Residual deviance: 38.695 on 25 degrees of freedom

28

Contoh Topik Riset

dalam Jurnal

29

Contoh 1:

30

Contoh 2:

31

Contoh 3:

32

Contoh 4:

33

Contoh 5:

34

Contoh 6:

35

Contoh 7:

36

McCullagh, P. and Nelder, J.A. (1989) Generalized

Linear Models, 2nd. C&H.

Dobson and Barnett. (2008). An Introduction to

Generalized Linear Models, New York: C&H, 3rd ed.

Agresti, A. (2015). Foundations of Linear and

Generalized Linear Models. New Jersey: Wiley.

Pustaka Utama

37

Jiang, J. (2007). Linear and Generalized Linear Mixed

Models and Their Applications, Springer.

McCulloch, C.E. and Searle, S.R. (2001) Generalized,

Linear, and Mixed Models, Wiley

Pawitan, Y. (2001) In All Likelihood. Oxford.

Lee, Y., Nelder, J.A. and Pawitan, Y. (2006).

Generalized Linear Models with Random Effects. C&H.

Pustaka Tambahan

38

Materi ini bisa di-download di:

kusmansadik.wordpress.com

39