Post on 19-Nov-2015
description
Sistem Bilangan
1
Bab I
SISTEM BILANGAN
1.1 Pengantar logika dan Himpunan
Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik,
penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan
berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan
dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan
masalah yang rumit. Matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan
masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan Matematika, suatu masalah nyata
dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya
kompak (singkat dan padat).
Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif dan
induktif. Penalaran deduktif bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan
pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan fakta dan
fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi
perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan
kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif. Proses induktif-deduktif dapat
digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelajari suatu konsep matematika.
1.1.1. Sistem Aksioma
Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah
dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu sistem
matematika merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika
atas sekelompok unsur, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang
dibuat konsisten akan menentukan suatu sistem secara utuh. Dalam proses
Sistem Bilangan
2
penalaran matematika, suatu rumus (Teorema) matematika terdiri dari beberapa
hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik sistem logika dapat dipahami
berdasarkan sifat sistem dan operasi yang dirancang didalamnya.
Sistem Aksioma terdiri dari empat bagian penting yaitu istilah tak terdefinisi,
terdefinisi, aksioma dan Teorema.
Istilah tak terdefinisi Istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun
istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada
suatu sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi, seperti titik,
garis, bidang, himpunan dan sebagainya.
Istilah terdefinisi Istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan
dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya
menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi, istilah jika - maka
berarti jika dan hanya jika.
Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut :
jelas, tepat dan mempunyai suatu makna;
hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya
konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama
jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin
objek dari sistem.
Aksioma atau Postulat Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar
pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah
dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya.
Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun
sistem tersebut dan tidak saling bertentangan.
Teorema Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara
logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi,
aksioma dan pernyataan benar lainnya.
Pernyataan Suatu pernyataan matematika (disingkat pernyataan) adalah
rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah.
Sistem Bilangan
3
Diantara benar dan salah hanya berlaku salah satu: benar saja atau salah saja dan
tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan
tidak didasarkan atas opini atau pendapat.
Contoh 1.1
(a) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B)
(b) Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B)
(c) Jika 3maka,92 xx (S)
(d) Pada sistem bilangan riil, persamaan 0432 xx tidak mempunyai
jawab (B)
(e) Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka, bukan pernyataan)
(f) 83x (kalimat terbuka, bukan pernyataan)
Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut bukan
pernyataan (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat tanya, kalimat perintah,
kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak
diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar
atau salahnya.
Hasil penting dalam Matematika disebut teorema, dan kita akan menemukan
banyak teorema dalam diktat ini. Teorema dapat dinyatakan dalam bentuk jika P
maka Q . Seringkali disingkat dengan QP . Kita namakan P sebagai hipotesis
dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut. Perhatikan kedua pernyataan QP
dan PQ , kedua pernyataan tersebut tidak setara. Sebagai contoh : Jika
Wahyu adalah orang Pinrang, maka Ia adalah orang Indonesia, merupakan
pernyataan yang benar, akan tetapi kebalikannya, Jika Wahyu adalah orang
Indonesia, maka ia adalah orang Pinrang, merupakan pernyataan yang salah.
1.1.2 Himpunan
Kemudian Salah satu dasar dalam Matematika yang harus dipahami adalah
konsep sebuah himpunan. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek
Sistem Bilangan
4
yang berbeda. Mahasiswa-mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika
dasar, buku-buku yang dijual dalam suatu toko, hewan-hewan yang ada di kebun
binatang, dan lain-lain adalah contoh suatu himpunan. Biasanya himpunan
dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, dan seterusnya. Objek dalam
himpunan disebut elemen/anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf
kecil, a, b, dan lainnya. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan
digunakan simbol yang dibaca anggota dari.
Contoh 1.2
menyatakan sebuah himpunan yang kita sebut dan mempunyai
empat anggota yaitu dan .
, ini berarti merupakan anggota dari .
1.2 Sistem Bilangan Riil
Kita sudah cukup mengenal jenis-jenis bilangan berikut :
1. Bilangan Asli, yakni 1, 2, 3, 4, 5, ... Dengan bilangan ini kita dapat
menghitung: buku-buku kita, uang kita. Himpunan bilangan asli
dinyatakan dengan notasi baku yakni N = ,3,2,1 . Penjumlahan dua
buah bilangan asli dan perkalian dua buah bilangan asli sembarang juga
sebuah bilangan asli. Hal ini seringkali dinyatakan dengan mengatakan
bahwa himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan dan
operasi perkalian.
2. Bilangan nol dan negatif, yakni 0 dan -1, -2, -3, ... , bilangan ini muncul
untuk mencari penyelesaian persamaan seperti abx , dimana a, b
sembarang bilangan asli. Dengan persamaan ini dimungkinkan adanya
operasi pengurangan yang merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan,
dimana kita dapat menuliskan .
Himpunan yang anggotanya bilangan asli, bilangan negatif dan nol
dinamakan himpunan Bilangan Bulat. Himpunan bilangan bulat
dinyatakan dengan notasi baku yakni .
Sistem Bilangan
5
3. Bilangan rasional yakni hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat
yaitu bilangan-bilangan seperti
Bilangan ini muncul untuk memecahkan persamaan seperti , dimana dan adalah bilangan bulat dan . Dengan persamaan ini dimungkinkan adanya operasi pembagian yang merupakan kebalikan dari
operasi perkalian, kita dapat menuliskan
disebut pembilang dan disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dinyatakan dengan notasi baku, yaitu
{
}
4. Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang?
Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani Kuno
beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun
merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi-
sisi tegak 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
dari dua bilangan bulat. jadi adalah suatu bilangan tak rasional.
Demikian juga dan sekelompok bilangan lain.
Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut
Bilangan Riil. Himpunan bilangan riil dinyatakan dengan notasi .
Bilangan-bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik
sepanjang sebuah garis mendatar ataupun tegak (garis riil).
Dari pengenalan beberapa bilangan, maka diperoleh bahwa bilangan asli termuat
pada bilangan Bulat, kemudian bilangan bulat termuat dalam bilangan rasional,
dan bilangan riil memuat ketiga himpunan tersebut. Hal ini cukup dinyatakan
sebagai
disini adalah lambang himpunan bagian, dibaca adalah himpunan bagian dari.
Sistem Bilangan
6
Operasi Aritmetika
Diberikan dua bilangan real dan , kita dapat menambahkan atau mengalikan
keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni dan .
Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut (yang kita kenal dengan
sifat-sifat medan).
Sifat-sifat Medan
1. Sifat komutatif, dan .
2. Sifat asosiatif, dan .
3. Sifat distributif, .
4. Unsur identitas, hanya bilangan riil 0 dan 1 yang memenuhi dan
.
5. Balikan (invers), setiap bilangan mempunyai balikan penambahan, yaitu
. Juga untuk setiap bilangan . Setiap bilangan x mempunyai balikan
penambahan, yakni x , yang memenuhi .0)( xx Juga , setiap
bilangan mempunyai balikan perkalian, yang memenuhi
.
Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dari operasi tambah dan kali yang
dijabarkan dari sifat medan. Jadi yang dimaksud dengan adalah
dan
.
Urutan
Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah,
yakni bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita
memperkenalkan relasi urutan (dibaca kecil dariatau kurang dari).
Bilangan kecil dari menyatakan bahwa adalah sebuah bilangan positif.
Tafsiran geometri bahwa yx berarti bahwa x berada di sebelah kiri y pada
garis riil mendatar.
Sifat-sifat urutan dua buah bilangan dapat disebutkan antara lain:
Sistem Bilangan
7
1. Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti satu diantara
berikut berlaku: atau atau .
2. Transitif, jika dan , maka .
3. Mempertahankan urutan untuk operasi tambah. Jika , maka untuk
sembarang bilangan riil berlaku .
4. Mempertahankan urutan untuk operasi kali dengan sebuah bilangan
positif. Misalkan positif, jika , maka . Mengubah urutan
untuk perkalian dengan sebuah bilangan negatif. Jika , maka untuk
negatif berlaku .
Relasi urutan yang lain mengadopsi sifat urutan di atas. Misalkan relasi dibaca
kurang dari atau sama dengan didefinisikan jika dan hanya jika
positif atau nol.
Cara lain untuk menyatakan bilangan riil adalah dengan menggambarkan sebuah
garis bilangan. Himpunan bagian dari bilangan riil akan ditandai sebagai segmen
garis atau selang/interval. Ketidaksamaan bxa mendeskripsikan selang buka
yang terdiri dari semua bilangan antara dan , tidak termasuk titik-titik ujung
dan . Selang ini dilambangkan dengan notasi . Sebaliknya, ketaksamaan
mendeskripsikan sebuah selang tutup yang nilai-nilai yang mungkin
adalah semua bilangan di antara dan , termasuk titik ujung dan . Selang
tutup ini dilambangkan oleh .
Contoh 1.3
menyatakan sebuah himpunan semua bilangan riil yang
lebih besar dari 1 tapi lebih kecil dari 5, hal ini sama saja dinyatakan dengan
selang buka . Pada garis bilangan, maka selang itu adalah segmen garis yang
berada di antara titik 1 dan titik 5.
Himpunan semua nilai yang lebih besar atau sama dengan 1 dinyatakan oleh
atau dalam bentuk selang (notasi bukanlah merujuk ke
1 50
Sistem Bilangan
8
a b
sebuah bilangan tertentu). Bentuk selangnya di garis riil dapat dilihat sebagai
berikut:
Jika selangnya adalah selang buka, maka ditandai dengan bulatan putih pada
ujungnya. Sebaliknya jika selangnya adalah selang tutup, maka ujungnya diberi
bulatan hitam. Untuk beberapa referensi lain, yang dipakai adalah tanda kurung
biasa untuk selang buka dan tanda kurung siku untuk selang tutup. Tabel 1.1
memperlihatkan sejumlah besar kemungkinan selang dalam notasi himpunan,
interval ataupun grafiknya pada garis riil.
Tabel 1.1. Selang Berhingga
Notasi Himpunan Notasi Selang Grafik
[a,b]
Untuk menggambarkan selang dengan salah satu ujungnya mempunyai titik batas
dapat dilihat pada contoh 1.3 dan tabel 1.2 memberikan dua bentuk selang dengan
salah satu ujungnya tidak mempunyai batas.
1 0
a b
1
a b
1
a b
1
Sistem Bilangan
9
a
a
Tabel 1.2. Selang Berhingga
Notasi Himpunan Notasi Selang Grafik
Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, oleh karenanya perlu
terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan real , dinyatakan
dengan | |dan didefinisikan sebagai
| | {
Misalnya, 5)5(5,00,55 . Dari definisi terlihat bahwa, untuk
setiap bilangan real x , berlaku .0x
Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah jarak (tak
berarah). Khususnya, x adalah jarak antara x dengan titik asal, 0. Demikian
juga, ax adalah jarak antara x dengan a .
Sifat-sifat nilai mutlak
i. Nilai mutlak dari perkalian dua bilangan sama dengan perkalian nilai
mutlak masing-masing bilangan, | | | || |.
ii. Nilai mutlak dari pembagian dua bilangan sama dengan pembagian nilai
mutlak kedua bilangan,
|
|
| |
| |
Sistem Bilangan
10
iii. Penjumlahan dua bilangan yang dimutlakkan selalu kurang dari atau sama
dengan penjumlahan nilai mutlak kedua bilangan (dikenal dengan nama
ketaksamaan segitiga),
| | | | | |
iv. Nilai mutlak dari selisih dua bilangan sama dengan nilai mutlak dari
selisih nilai mutlak kedua bilangan,
| | || | | ||
Hal yang penting untuk diingat mengenai nilai mutlak adalah | | berarti
sebuah selang buka dari nilai-nilai yang titik-titik ujungnya adalah dan ,
. Sebaliknya, bentuk | | mengandung makna bahwa
atau . Kita dapat menggunakan fakta tersebut untuk menyelesaikan
ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Contoh 1.4
Selesaikan ketaksamaan | | .
Penyelesaian: | | berarti bahwa . Kemudian masing-
masing ruas ditambahkan 4 maka ketidaksamaan menjadi . Hal ini
berarti nilai-nilai yang memenuhi ketaksamaan adalah semua bilangan yang
terletak di selang buka . Himpunan penyelesaiannya adalah .
Contoh 1.5
Selesaikan ketaksamaan 153 x
Peyelesaian: Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai
atau
atau
Sistem Bilangan
11
atau .
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah berupa gabungan dua buah selang yaitu
(
]
Contoh 1.6
Misalkan suatu bilangan positif. Carilah bilangan positif sehingga | |
| | .
Penyelesaian: Kita akan mencari bilangan yang bergantung pada . Perhatikan
bahwa | | dapat dibuat sebagai perkalian dua bentuk bilangan dalam nilai
mutlak, yaitu | | atau | |.
Karena untuk positif berlaku | | maka | | . Sehingga
dengan memilih adalah semua bilangan yang lebih kecil dari dan positif
berarti pernyataan | | | | menjadi kalimat yang benar.
Akar kuadrat
Misalkan adalah bilangan riil tak negatif. Akar dari (ditulis: ) adalah
bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan . Karena hanya ada satu
bilangan tak negatif yang memenuhi ini, definisi ini dikatakan well-defined.
Jangan mendefinisikan dengan sebagai penyelesaian dari .
Karena penyelesaian persamaan ini bisa bernilai negatif, yaitu dan
. Tetapi kita bisa mendefinisikannya sebagai penyelesaian tak negatif
dari persamaan tersebut. Perhatikan pula bahwa setiap bilangan non negatif ,
berlaku dan .
Sifat-sifat Akar kudrat
i. Perkalian dua bilangan riil tak negatif dalam akar sama saja dengan
mengalikan akar-akar dari kedua bilangan, .
Sistem Bilangan
12
ii. jika dan hanya jika .
Contoh 1.7
Manakah bilangan yang terbesar dan terkecil dari ketiga bilangan real berikut?
Penyelesaian: Untuk menjawab pertanyaan ini, Perhatikan bentuk ketiga bilangan
di bawah
Urutan ketiga bilangan itu adalah
Setelah kita akarkan ketiga bilangan tersebut, mka urutan dari akar ketiga
bilangan tidak berubah (lihat sifat ii dari akar kuadrat),
Berikut kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat | |.
Kuadrat
Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa | | , hal ini berdasarkan sifat
bahwa senantiasa tak negatif dan | | | || |.
Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan? Secara umum
jawabannya adalah tidak. Misalnya tetapi . Sebaliknya 2 < 3
dan . Jadi untuk dan bilangan-bilangan tak negatif, berlaku
. Salah satu varian dari bentuk ini adalah | | | | .
Sistem Bilangan
13
LATIHAN
1. Bilangan
dan
yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi bilangan bulat
disebut bilangan?
2. Apa yang disebut bilangan riil?
3. Sederhanakan bentuk berikut:
a.
b.
(
)
4. Sederhanakan bentuk berikut:
(
)
(
)
5. Cari nilai dari 0/0, 0/15, dan 2/0, jika tidak ada katakan demikian.
6. Misalkan , perlihatkan bahwa tidak mempunyai arti (tak terdefinisi)
dan tidak tentu.
7. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat matematika berikut:
a.
b.
c.
8. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis riil.
a.
b.
c.
d.
Sistem Bilangan
14
9. Tuliskan dalam notasi selang, himpunan-himpunan berikut:
a.
b.
c.
10. Carilah himpunan penyelesaian
a. | |
b. | |
c. |
|
d. |
|