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Matemtica para oEnsino Fundamental
So Cristvo/SE2010
der Matheus de Souza
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CapaHermeson Alves de Menezes
Elaborao de Contedoder Matheus de Souza
S729m Souza, der Matheus de.
Matemtica para o ensino fundamental/ der Matheus deSouza -- So Cristvo: Universidade Federal de Sergipe,CESAD, 2010.
1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Ttulo.
CDU 510
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Matemtica para o Ensino Fundamental
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Sumrio
Aula 1: Nmeros Naturais 13
1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Adio de Nmeros Naturais . . . . . . . . 15
1.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Aula 2: Nmeros Naturais: Continuao 21
2.0.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Multiplicao de Nmeros Naturais . . . . . . . . . 22
2.1.1 Relao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Boa Ordenao . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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Aula 3: Nmeros Inteiros 29
3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 A construo dos Nmeros Inteiros . . . . . . . . . 30
3.2.1 Adio de Nmeros Inteiros . . . . . . . . . 31
3.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Proxima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Aula 4: Ordem dos Inteiros 374.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Ordem dos Inteiros . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46
Aula 5: Nmeros Inteiros: Continuao 47
5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Propriedades Aritmticas dos Nmeros Inteiros . . 48
5.2.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 54
Aula 6: Algoritmo da Diviso 55
6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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6.1.1 Diviso Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1.2 Sistemas de Numerao Posicionais . . . . . 58
6.1.3 Critrios de Divisibilidade . . . . . . . . . . 61
6.1.4 Teorema Fundamental da Aritmtica . . . . 62
6.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 65
Aula 7: Clculo do MDC e MMC 677.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1.1 Clculo do MDC . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1.2 Mnimo mltiplo Comum . . . . . . . . . . 71
7.1.3 Diviso em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 74
Aula 8: Racionais 75
8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Construo dos Nmeros Racionais . . . . . . . . . 76
8.2.1 Adio e Multiplicao em Q . . . . . . . . 77
8.2.2 Diviso em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2.3 Somatrios e produtrios em Q . . . . . . . 80
8.2.4 Potncias de Nmeros Racionais . . . . . . 81
8.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
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ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 84
Aula 9: Ordem 859.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 Relao de Ordem em Q . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 93
Aula 10: Racionais 95
10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.1.1 Valor Absoluto de um Nmero Racional . . 96
10.1.2 A Funo Maior Inteiro . . . . . . . . . . . 98
10.1.3 Representao Decimal . . . . . . . . . . . . 100
10.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 103
Aula 11: Reais 105
11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.1.1 Cortes em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.1.2 Construo dos Nmeros Reais . . . . . . . 108
11.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
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LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 112
Aula 12: Reais - Continuao 113
12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11412.1.1 Continuao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.1.2 Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.1.3 Valor absoluto de um nmero real . . . . . 118
12.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 119
Aula 13: Reais- Continuao 121
13.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.1.1 Propriedade Arquimediana de R . . . . . . 122
13.1.2 Desigualdade de Bernolli . . . . . . . . . . . 123
13.2 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 129
Aula 14: Sistema de Numerao 131
14.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.2 Sistema de numerao egpcio . . . . . . . . . . . . 131
14.3 Sistema de numerao Babilnico . . . . . . . . . . 134
14.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 137
Aula 15: Sistema de Numerao 139
15.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14015.2 Sistema de Numerao Romano . . . . . . . . . . . 140
15.3 O Sistema de Numerao Indo-Arbico . . . . . . . 140
15.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 144
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AULA
1Nmeros NaturaisMETA:
Apresentar os nmeros naturais axiomaticamente atravs dos ax-
iomas de Peano .
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Definir nmeros naturais axiomaticamente.
Saber fazer uso do processo de Induo finita.
PR-REQUISITOS
Conjuntos; Funes; Mtodos de demonstraes.
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Nmeros Naturais
1.1 Introduo
Prezado aluno, bem vindo ao curso Matemtica para o Ensino
Fundamental. Esta nossa primeira aula e logo de incio fao-lhea seguinte pergunta: O que um nmeros natural?
At hoje estudamos nas primeiras sries do ensino fundamental,
a utilidade dos Nmeros naturais: contagem. Neste curso esta-
mos interessados em saber qual estrutura matemtica est por trs
disto. Por que 2+3=5 e no 2+3=4? Isto tem haver com a noo
de sucessor que apresentaremos nesta aula.
Nestas primeiras aulas, ser apresentado a construo dos NmerosNaturais, bem como suas propriedades, de maneira axiomtica.
Isto ser feito atravs dos Axiomas de Peano, que recebe este
nome em homenagem ao matemtico italiano Giuseppe Peano que,
em 1889, os apresentou na obra "Arithmetices Principia Nova
Methodo Exposita".
1.2 Axiomas de Peano
Toda teoria dos nmeros naturais pode ser deduzida a partir de 3
axiomas, intitulados Axiomas de Peano, que sero apresentados
a seguir.
Axioma 1.1. Axiomas de Peano: Existe um conjunto, deno-
tado porN, e uma funo s : N N que satisfaz as seguintesaxiomas:
1) O Conjunto N no-vazio;
2) s : N N injetora e o complementar de imagem de s um conjunto unitrio.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
13) Para todo subconjunto A N, tal que A contm o comple-mentar da imagem des e contm a imagem de cada elemento
de A, tem-se A = N.
OBS 1.1. O conjunto N chamado Conjunto dos Nmeros
Naturais e seus elementos so chamados nmeros naturais.
OBS 1.2. O axioma 1 garante que N no-vazio.
OBS 1.3. A imagem de cada elemento de N chamado de sucessor
deste elemento.
OBS 1.4. O axioma 2 nos diz que existe um elemento em N que
no sucessor de nenhum outro.
OBS 1.5. O ltimo axioma chamado de Princpio de Induo
e geralmente utilizado para mostrar que se uma proposio
vlida para o primeiro elemento dos naturais e tambm valida
para o sucessor de um natural arbitrrio, ento a propriedade
valida para os elementos de N.
Vamos utilizar a representao indo-arbica para os nmeros nat-urais: N = {1, 2, 3, 4, . . .}. Note que o sucessor de 1 2, sucessorde 2 3 e assim por diante. A partir dos sucessores, vamos definir
as operaes de adio e multiplicao de nmeros naturais.
1.2.1 Adio de Nmeros Naturais
Definio 1.1. SejaN o conjunto dos nmeros naturais e s : N N a funo sucessor. Definamos a soma de nmeros naturais da
seguinte maneira:
m + n := sn(m) =
n s . . . s(m)
.
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Nmeros Naturais
OBS 1.6. Note que, por definio:
n + 1 = s(n),
n + s(m) = s(m + n).
Exemplo 1.1. Para exemplificar, vamos calcular 2 + 3:
(2 + 1) = s(2) = 3
(2 + 2) = s(2 + 1) = s(3) = 4
(2 + 3) = s(2 + 2) = s(4) = 5.
Proposio 1.1. Dados n,m,p N temos:
a) m + (n + p) = (m + n) + p (Associatividade);
b) m + n = n + m (Comutatividade);
c) Dados m, n N exatamente uma das seguintes alternativasocorre: ou m = n ou existe k1 N tal que m = n + k1 ouexiste k2 N tal que n = m + k2 (Tricotomia);
d) Se m + n = m + p, ento n = p (Lei do Cancelamento);
Demonstrao.
a) Seja m, n N e A = {p N : (m + n) + p = m + (n + p)}.Mostraremos que A = N, usando o Princpio de induo.
Observe que 1 A, pois s(n) = n+1 e m+s(n) = s(m+n) =(m + n) + 1 e, portanto, (m + n) + 1 = m + (n + 1). Agora,
seja p
A. Para concluir a demonstrao usando o princpio
de induo, devemos mostrar que s(p) = p + 1 A. De fato
m + (n + s(p)) = m + s(n + p) =
= s(m + (n + p))pA= s((m + n) + p) = (m + n) + s(p).
Logo s(p) A e pelo Princpio de Induo (Axioma 3), A =N.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
1b) Inicialmente, mostraremos que m + 1 = 1 + m, m N.Considere B = {m N : m + 1 = 1 + m}. Claramente1
B. Suponha, por hiptese de induo (HI), que m
B.
Assim,
1 + s(m) = s(1 + m)HI= s(m + 1) = s(m) + 1.
Logo s(m) B e, pelo princpio de induo, B = N.Seja A = {n N : m + n = n + m}. Como 1 A, suponhan A. Afirmao: s(n) A. De fato,
m + s(n) = s(m + n)nA
= s(n + m) = n + s(m) =
= n + (m + 1)1Y= n + (1 + m)
(a)= (n + 1) + m = s(n) + m.
Assim Y = N.
c) Primeiramente, vamos mostrar que n = n + q, n, q N.Com efeito, pelo axioma 2, 1 = 1 + q. Supondo n = n + q,ainda pelo axioma 2, obtemos s(n) = s(n + q) = s(n) + q(s injetiva). Logo pelo axioma 3 (Princpio de induo),
n = n + q, n, q N.Voltamos demonstrao de c). Sejam n N e
A = {m N : m e n Satisfazem a propriedade do item c)}.
Afirmao: 1 A. Com efeito, ou m = 1 ou m = 1 e nestecaso existe n0 N tal que
1 + n0 = n0 + 1 = s(n0) = m (Axioma 2).
Suponha m A. Assim, ou m = n ou existe q N tal quem = n + q ou existe p N tal que n = m + p. Afirmao:s(m) A. De fato, caso m = n temos que (axioma 2)s(m) = s(n) = n + 1. Caso m = n + q, ainda pelo axioma 2,
s(m) = s(n + q) = (n + q) + 1 = n + (q + 1) = n + s(q).
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Nmeros Naturais
No caso em que n = m + p temos que p = 1 ou p = 1. Sep = 1, n = m + 1 = s(m). Se p = 1, pelo axioma 2, p sucessor de algum p0
N, ou seja, p = p0 + 1. Assim,
n = m + (p0 + 1) = (m + 1) + p0 = s(m) + p0.
Analisando os casos estudados vemos que ou s(m) = n ou
existe q N tal que s(m) = n + q ou existe p N talque n = s(m) + p. Portanto s(m) A e, pelo princpio deinduo, A = N.
d) Sejam m,n,p N tais que m + n = m + p. Suponha p = n.Pela tricotomia, existe q N tal que n = p + q ou existe qtal que p = n + q. Se n = p + q, temos que
m + n = m + (p + q) = (m + p) + q,
o que uma contradio (ver demonstrao de c)). O caso
em que p = n +
q deixado com exerccio.
1.3 Concluso
Na aula de hoje, apresentamos os Nmeros Naturais atravs dos
axiomas de Peano. Vimos tambm o princpio de Induo Finita,
que extremamente importante para mostrar que certas propriedades
so vlidas para os Naturais como pudemos observar na prova das
propriedades da adio dos nmeros naturais.
1.4 RESUMO
Axiomas de Peano: Existe um conjunto, denotado por N,
e uma funo s : N N que satisfaz as seguintes axiomas:
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
11) O Conjunto N no-vazio;2) s : N N injetora e o complementar de imagem de
s um conjunto unitrio.
3) Para todo subconjunto A N, tal que A contm ocomplementar da imagem de s e contm a imagem de
cada elemento de A, tem-se A = N.
Propriedades da Adio Dados n,m,p N temos:
a) m + (n + p) = (m + n) + p (Associatividade);
b) m + n = n + m (Comutatividade);
c) Dados m, n N exatamente uma das seguintes alter-nativas ocorre: ou m = n ou existe k1 N tal quem = n + k1 ou existe k2 N tal que n = m + k2(Tricotomia);
d) Se m + n = m +p, ento n = p (Lei do Cancelamento);
1.5 Proxima aula
Na prxima aula, Na prxima aula definiremos multiplicao de
nmeros naturais atravs da adio e da funo sucessor e apre-
sentaremos o Princpio da Boa Ordem.
1.6 Atividades
ATIV. 1.1. Usando a funo sucessor, mostre que 3 + 4 = 7 e
4 + 2 = 6
Sugesto: Veja exemplo 1.1.
ATIV. 1.2. Mostre que se m + n = m + p, ento p = n + q,qualquer que seja q N.Sugesto: Veja demonstrao da Lei do Cancelamento.
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Nmeros Naturais
ATIV. 1.3. Mostre usando o princpio de induo que:
a) 1 + 2 + . . . n = n(n+1)2
b) 2 + 4 . . . 2n = n(n + 1)
c) 1 + 3 + . . . (2n + 1) = (n + 1)2
ATIV. 1.4. Mostre que
p(n) : n > 1 n 2
verdadeira para todo n N. (O enunciado nos diz que no existenmero natural tal que 1 < n < 2).
1.7 Leitura Complementar
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
20
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AULA
2Nmeros Naturais:ContinuaoMETA:
Apresentar as propriedades de Multiplicao e o Princpio da Boa
Ordem .
OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:
Entender o processo de multiplicao de nmeros naturais.
Saber fazer uso do processo de Segundo Princpio de Induo finita.
PR-REQUISITOS
Axiomas de Peano.
2.0.1 Introduo
Prezado aluno, nesta aula definiremos multiplicao de Nmeros
Naturais apresentaremos propriedades que a multiplicao pos-
sui. Alm disso colocaremos uma relao de ordem no naturais
e mostraremos o Princpio da Boa Ordem que nos fala que todo
subconjunto dos Naturais possui um maior elemento.O interessante
que este Princpio equivale ao Princpio de Induo Finita.
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Nmeros Naturais: Continuao
2.1 Multiplicao de Nmeros Naturais
Antes de definir multiplicao de nmeros naturais, definamos a
funo "soma com m"
fm : N Np fm(p) = p + m
Usaremos esta funo para definir multiplicao de nmeros natu-
rais.
Definio 2.1. Seja N o conjunto dos nmeros naturais. Defini-
mos a multiplicao de dois nmeros naturais como:
m 1 = m
m (n + 1) = (fm)n(m) =n
fm . . . fm(m)
onde fm : N N a funo "soma com m".
OBS 2.1. Observe que multiplicar um nmero m por 1 no o
altera, e multiplicar m por um nmero maior que 1, ou seja, porum nmero da forma n + 1, iterar n-vezes a operao de somar
m, comeando com m.
Exemplo 2.1. Por exemplo 23 = (f2)2(2) = 2+2+2 = s(3)+2 =s(5) = 6.
OBS 2.2. Da definio de (fm)n temos que a m(n+1) = mn+m,
m, n
N. De fato, se n = 1, temos que
m 1 + m = m + m = (fm)1(m) = m(1 + 1).
Se n = 1, temos que ele sucessor de algum, digamos n0, ou seja,n = s(n0). Assim
mn+m = m(n0+1)+m = (fm)s(n0)(m) = (fm)n(m) = m(n+1)
22
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
2Proposio 2.2. Sejam m,n,p N. Entoa) m (n + p) = m n + m p e (m + n) p = m p + n p
(Distributividade);
b) m (n p) = (m n) p (Associatividade);
c) m n = n m (Comutatividade);
e) m p = n p = m = n (Lei de cancelamento).
Demonstrao. Demonstraremos o item a) deixando o restante
como exerccio.Seja A = {p N : m (n + p) = m n + m p}. Pela observao(2.2) temos que 1 A. Suponha que p A. Logo
m (n + (p + 1)) = m ((n + p) + 1)= m (n + p) + m 1 pA= (m n + m p) + m= m n + (m p + m) = m n + m (p + 1)
Assim p + 1 A e portanto, pelo princpio de induo, A = N.
2.1.1 Relao de Ordem
Nosso objetivo mostrar que N um conjunto ordenado, ou seja
que possui uma ordem. A relao de ordem do conjunto dos
Nmeros Naturais definida atravs da adio.
Definio 2.2. Seja m, n N. Dizemos que n menor que m (oum maior que n) e escrevemos n < m (ou m > n) se existe q Ntal que n + q = m
Proposio 2.3. Sejam m,n,p N.
a) Se m < n e n < p, ento m < p (Transitividade);
23
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Nmeros Naturais: Continuao
b) Exatamente uma das seguinte alternativas ocorre: m = n ;
m < n ; n < m (Tricotomia);
c) Sem < n, ento m +p < n+p (Monotonicidade da adio);
d) Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade da Multipli-cao).
Demonstrao.
a) Considere m < n e n < p. Por definio, existem q1, q2 Ntal que m + q1 = n e n + q2 = p. Portanto, substituindo n
na segunda igualdade temos:
p = (m + q1) + q2 = m + (q1 + q2) = m + x.
Como p = m + x, com x = q1 + q2 N temos que m < p.
b) Pela Proposio 1.1 item d), dados m, n N uma das trsalternativas ocorre:ou m = n ou existe k1 N tal que m =
n + k1 ou existe k2 N tal que n = m + k2. Portanto m = nou m < n ou n < m.
c) Por hiptese m < n, ou seja, n = m + q para algum q N.Assim
n + p = (m + q) + pProposio 1.1
= (m + p) + q.
Logo m + p < n + p
d) Exerccio.
OBS 2.3. Escrevemos m n, para dizer que m < n ou m = n.L-se: m menor ou igual a n.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
22.1.2 Boa OrdenaoDefinio 2.3. Seja A N. Dizemos que p A o menorelemento de A, se p
n ,
n
A.
Exemplo 2.2. 1 o menor elemento de N, pois se n = 1, ele sucessor de algum, ou seja, existe n0 N tal que n = n0 + 1.Portanto 1 n, n N.
Definio 2.4. Dizemos que p A o maior elemento de A, sep n, , n A.
Pergunta: Existe = A N que no possui elemento mximo?e mnimo? Que no possui elemento mximo basta fazer A =
N. J para mnimo, no conseguimos tal conjunto. Para isto,
mostraremos o chamado Princpio da Boa Ordenao
Teorema 2.1. (Princpio da Boa Ordenao) Todo subcon-
junto no vazio A N possui menor elemento.
Demonstrao.
Seja X = {n N : {1, 2, 3 . . . , n} N A}. Note que se 1 A,1 o menor elemento de A pois 1 o menor elemento de N (ver
exemplo 2.2). Suponha ento que 1 / A. Logo 1 X. ComoA = , temos que X = N. Assim, pelo princpio de induo, existem X tal que m + 1 / A (caso contrrio X = N). Ou seja1, 2, 3 . . . , m / A. Logo m + 1 A e m + 1 n, n A.
Teorema 2.2. (Segundo Princpio de Induo) Seja A Num conjunto com a seguinte propriedade:
1. dado n N, se A contm todos os elementos m tal que m n)
se existe q N tal que n + q = m
Propriedades da relao de ordem: Sejam m,n,p N.
a) Se m < n e n < p, ento m < p (Transitividade);
b) Exatamente uma das seguinte alternativas ocorre: m =
n ; m < n ; n < m (Tricotomia);
c) Se m < n, ento m + p < n + p (Monotonicidade da
adio);
d) Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade daMultiplicao).
Boa Ordenao: Todo subconjunto no vazio A
N possui
menor elemento
2.4 Proxima aula
Na prxima aula definiremos nmeros inteiros a partir dos nmeros
naturais. Os inteiros sero classes de equivalncia, por isso, caro
aluno bom revisar o conceito de relao de equivalncia.
2.5 Atividades
ATIV. 2.1. Usando a definio de multiplicao, mostre que 3.4 =
12 e 4.2 = 8
Sugesto: Veja exemplo 2.1.
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Nmeros Naturais: Continuao
ATIV. 2.2. Se m < n, ento m p < n p (Monotonicidade daMultiplicao)
Sugesto: Veja demonstrao da Monotonicidade da Adio.
ATIV. 2.3. Mostre que o produto de nmeros naturais possui as
seguintes propriedades:
a) Distributividade: m (n + p) = m n + n p e (m + n) p =m p + n p
b) Associatividade: (m n) p = m (n p)
c) Comutatividade: m n = n md) Lei do Cancelamento: m p = n p m = p
2.6 Leitura Complementar
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Riode Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
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AULA
3Nmeros InteirosMETA:
Apresentar os nmeros inteiros axiomaticamente atravs dos Nmeros
Naturais .
OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:
Definir nmeros inteiros axiomaticamente.
Realizar operaes com os nmeros inteiros com classes de equiv-
alncia .
PR-REQUISITOS
Nmeros naturais e suas propriedades.
3.1 Introduo
Prezado aluno, nesta aula definiremos o conjunto dos Nmeros In-
teiros como classes de equivalncia dos nmeros naturais. Ainda
no trataremos os inteiros como so tratados no ensino fundamen-
tal. Primeiramente daremos sentido a soma e multiplicao dos
inteiros como classes de equivalncia.
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Nmeros Inteiros
3.2 A construo dos Nmeros Inteiros
No conjunto N N considere a relao definida por
:= {((a, b), (c, d)) N2 N2 : a + d = b + c}, (3.1)
ou seja
(a, b) (c, d) a + d = b + c.
Proposio 3.4. A relao definida em (3.1) um relao deequivalncia.
Demonstrao. Temos que mostrar que para a relao valea reflexividade, simetria e transitividade. Para mostrar a reflex-
ividade, basta notar que para todo (a, b) N N se verificaa + b = b + a, uma vez que a adio de nmeros naturais co-
mutativa. Logo (a, b) (b, a).Considere (a, b) (c, d), ou seja a + d = b + c. Como a adio comutativa e a igualdade uma relao simtrica, temos que
c + b = d + a, ou seja, (c, d)
(a, b). Portanto vale a simetria:
(a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)
Mostraremos que a relao transitiva. Considere (a, b) (c, d)e (c, d) (e, f), ou seja,
a + d = b + c e c + f = d + e.
Assim,
(a + d) + f = (b + c) + f e b + (c + f) = b + (d + e).
Aplicando associatividade, a comutatividade, lei do corte da adio
nos nmeros naturais e a transitividade da igualdade obtemos
a + f = b + e,
30
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
3ou seja, (a, b) (e, f). Assim que a relao transitiva.Portanto uma relao de equivalncia em N N.
Como de equivalncia, determina uma partio neste conjuntoem classes de equivalncia. Representamos (a, b) a classe do ele-
mento (a, b), ou seja,
(a, b) = {(x, y) N N : a + y = b + x}.
Seja Z o conjunto de todas as classes (a, b), para qualquer (a, b) N N. Ento
Z =(N N)
= {(a, b) : (a, b) N N}.
Definio 3.1. O conjunto Z chamado Conjunto dos nmeros
inteiros e cada elemento deste conjunto dito ser um nmero in-
teiro.
3.2.1 Adio de Nmeros Inteiros
Definio 3.2. Seja Z = {(a, b) : (a, b) N N}. Chama-seadio de m = (a, b) e n = (c, d) aplicao
+ : Z Z Z((a, b), (c, d)) (a + c, b + d)
Proposio 3.5. A aplicao de adio + est bem definida.
Demonstrao. Sejam (a, b) = (c, d) e (x, y) = (e, f). Assim
a + d = b + c e x + f = y + e.
Logo
(a + d) + (x + f) = (b + c) + (y + e),
31
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Nmeros Inteiros
e portanto
(a + x) + (d + f) = (b + y) + (c + e)
(a + x, b + y) = (c + e, d + f)
(a, b) + (x, y) = (c, d) + (e, f).
Portanto a adio independe dos representantes, ou seja, est bem
definida.
Proposio 3.6. A adio de nmeros inteiros possui as seguintes
propriedades:
a) (a, b)+(c, d) = (c, d)+(a, b), (a, b), (c, d) Z(Comutatividade);
b)
(a, b) + (c,d, )
+(e, f) = (a, b)+
(c, d) + (e, f)
, (a, b), (c, d), (e, f) Z(Associatividade);
c) Existe elemento neutro da adio, denominado zero;
d) Existe inverso aditivo.
Demonstrao.
a) Por definio, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Seja (x, y) (a + c, b + d). Assim (a + c) + y = (b + d) + x e pela co-
mutatividade da adio de nmeros naturais chegamos, a
(c + a) + y = (d + b) + x. Da, conclumos que (x, y)
(c + a, d + b). Como a classe independe dos representantes,
temos que
(a, b) +(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b).
b) Exerccio.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
3c) Inicialmete note que (x + a, x + b) = (a, b), (x, x), (a, b) Z, pois b + (x + a) = a + (x + b) e, por definio, (a, b) (x + a, x + b). Por outro lado,
(x, x) + (a, b) = (x + a, x + b) = (a, b).
Portanto (x, x) elemento neutro da adio.
d) Note que
(a, b) + (b, a) = (a + b, b + a) = (a + b, a + b) = (x, x).
Assim (b, a) inverso aditivo de (a, b).
Definio 3.3. Seja Z = {(a, b) : (a, b) N N}. Chama-semultiplicao de m = (a, b) e n = (x, y) aplicao
: Z Z Z((a, b), (x, y)) (ax + by,ay + bx)
Proposio 3.7. A operao de multiplicao est bem definida.
Demonstrao. Considere (a, b) = (a1, b1) e (c, d) = (c1, d1).Ento (a, b)(c, d) = (ac + bd,ad + bc) e (a1, b1)(c1, d1) = (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1).Mas como (a, b) (a1, b1) e (c, d) (c1, d1), ento a+b1 = b+a1 ec + d1 = d + c1. Assim obtemos: c(a + b1) = c(b + a1), a1(c + d1) =
a1(d + c1), d(b + a1) = d(a + b1) e b1(d + c1) = b1(c + d1). De-
senvolvendo esses produtos, depois somando membro a membro as
igualdades obtidas, efetuando os possveis cortes, obtemos
(ac + bd) + (a1d1 + b1c1) = (bc + ad) + (a1c1 + b1d1),
ou seja,
(a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc) = (a1c1 + b1d1, a1d1 + b1c1) = (a1, b1)(c1, d1).
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Nmeros Inteiros
Proposio 3.8. Dados (a, b), (c, d), (e, f) Z temos que:
a) (a, b) (c, d) = (s, d) (a, b)(Comutatividade);
b) ((a, b) (c, d)) (e, f) = (a, b) ((c, d) (e, f))(Associatividade);
c) Existe elemento neutro da multiplicao, chamado um.
Demonstrao.
a) Observe que pela definio de multiplicao e pela comuta-
tividade da adio dos nmeros naturais temos:
(a, b) (c, d) = (ac + bd,ad + bc) == (ca + db,da + cb) =
= (c, d) (a, b).
b) Exerccio
c) Considere o nmero inteiro (x + 1, x). Note que
(x + 1, x) (a, b) = ((x + 1)a + xb, (x + 1)b + ax).
Alm disso, a+(x+1)b+ax = b+(x+1)a+xb, ou seja, (a, b) ((x + 1)a + xb, (x + 1)b + ax) Logo (x + 1, x) (a, b) = (a, b).
3.3 Concluso
Na aula de hoje, apresentamos os Nmeros Inteiros como classes de
equivalncia dos Naturais. importante salientar que faz sentido a
definio de classe de equivalncia como apresentada, pois daremos
sentido, a posteriori, a expresso do tipo 5-3 e que ela representa
o mesmo inteiro 101-99, ou seja 5 + 99 = 101 + 3 o que significa
(5, 3) = (101, 99).
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
33.4 RESUMORelao de equivalncia em N N:
:= {((a, b), (c, d)) N2 N2 : a + d = b + c},
ou seja,
(a, b) (c, d) a + d = b + c.
Definio do conjunto dos Nmeros Inteiros:
(a, b) = {(x, y) N N : a + y = b + x}.
Z =(N N)
= {(a, b) : (a, b) N N}.
Propriedades dos Nmeros Inteiros: Dados n,m,p Ztemos:
a) m + (n + p) = (m + n) + p (Associatividade);
b) m + n = n + m (Comutatividade);
c) Existe m Z tal que n + m = n, n Z (Existnciade Elemento neutro da adio)
d) Existe k Z tal que n + k = m, n Z(Existncia deElemento inverso da adio)
e) m (n + p) = m n + m p e (m + n) p = m p + n p(Distributividade);
f) m (n p) = (m n) p (Associatividade);
g) m n = n m (Comutatividade);
h) Existe q Z tal que n q = n, n Z
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Nmeros Inteiros
3.5 Proxima aula
Na prxima aula, apresentaremos uma relao de ordem nos nmeros
inteiros e "enxergaremos"os nmeros naturais como subconjuntosdos nmeros inteiros. Alm disso apresentaremos os princpios de
induo e do menor elemento para os inteiros.
3.6 Atividades
ATIV. 3.1. Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como
classes de equivalncia, que a adio dos nmeros inteiros as-
sociativa. Sugesto: Veja demonstrao da comutatividade da
adio dos nmeros inteiros.
ATIV. 3.2. Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como
classes de equivalncia, que a adio dos nmeros inteiros as-
sociativa. Sugesto: Veja demonstrao da comutatividade da
multiplicao dos nmeros inteiros.
3.7 Leitura Complementar
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
Bahiano, C. Notas de aula. UFBA
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AULA
4Ordem dos InteirosMETA:
Apresentar ordem nos nmeros inteiros e os Princpio de induo
e do Menor elemento .
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Usar o processo de induo finita dos Inteiros.
Justificar a relao de ordem dos nmeros inteiros.
PR-REQUISITOS
Construo axiomtica dos nmeros inteiros.
4.1 Introduo
Prezado aluno, assim como nos nmeros naturais, podemos definir
uma ordem e aplicar o princpio de induo para os nmeros in-
teiros. o que faremos a seguir.
4.2 Ordem
4.2.1 Ordem dos Inteiros
Teste seo apresentaremos uma relao de ordem nos nmeros
inteiros.
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Ordem dos Inteiros
Teorema 4.1. A relao OZ = {(x, y), (a, b) Z Z : x + b y + a} de ordem total emZ.
Demonstrao. Inicialmente afirmamos que a condio (x, y) (a, b) independe dos representantes. De fato, sejam (x, y) = (u, w)
e (a, b) = (e, d). Ento x + w = y + u e a + d = b + c. Desta
forma, pela comutatividade e associatividade da adio de nmeros
naturais, se x + b y + a, temos
(u + b) + (x + y) = (x + b) + (y + u)
(y + a) + (y + u) = (y + a) + (x + w)= (w + a) + (x + y).S
Pela Lei do Cancelamento, u + b w + a, o que significa (u, w) (a, b).
Como x + y = y + x, temos que (x, y) (x, y). Ou seja, OZ reflexiva.
Mostraremos agora a anti-simetria . Suponha (x, y) (a, b)(a, b)
(x, y). Assim
x + b y + a e a + y b + x,
donde conclumos que x + b = y + a, ou seja, (a, b) = (x, y).
Em OZ vale a transitividade, pois se (x, y) (a, b) e (x, y)(x, y)temos que
x + b y + a e a + d b + c.
Da,
(x + d) + (b + a) = (x + b) + (d + a)
(y + a) + (b + c)= (y + c) + (b + a),
donde segue que x + d y + c, ou seja, (x, y) (c, d).
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
4Para concluir a demonstrao do Teorema, falta mostrar que valea tricotomia. Sejam (x, y), (a, b) Z. Como a tricotomia vlidapara os naturais temos que
x + b y + a ou y + a x + b.
Assim,
(x, y) (a, b) ou (a, b) (x, y).
Proposio 4.9. Seja w (x, y) Z. Representamos o smbolo"0"a classe do elemento neutro para a adio emZ. Considerando
a ordem OZ, temos:
a) 0 w se, e somente se, x y.
b) w 0 se, e somente se, y x
Demonstrao.
a) Como o elemento neutro da adio representado pela classe
(z, z), z N. Assim
0 w (z, z) (x, y) z + y z + x y x.
b) Exerccio
Definio 4.1. Considere o conjunto dos nmeros inteiros munido
da ordem total OZ. Os conjuntos descritos abaixo so, respecti-
vamente, chamados de conjuntos dos inteiros positivos e conjunto
dos nmeros negativos:
Z+ = {w Z : 0 w e w = 0}
Z = {w Z : w 0 e w = 0}.
39
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Ordem dos Inteiros
Corolrio 4.1. A ordem OZ particiona o conjunto Z em 3 con-
juntos mutuamente disjuntos.
Demonstrao.Z = Z+ {0} Z
O Teorema a seguir caracteriza os nmeros inteiros positivos, neg-
ativos e nos permite pensar os nmeros naturais como subconjunto
dos nmeros inteiros.
Teorema 4.2. Considere o conjunto dos nmeros naturais e o
conjunto dos nmeros inteiros munidos, respectivamente, com suas
ordens (menor ou igual). Ento:
Z+ = {(x, 1) : x N e 1 < x}
Z = {(1, x) : x N e 1 < x}
Demonstrao. Note que se x N e 1 < x ento z + 1 < z + x,z N. Por outro lado assim (z, z) < (x, 1) e portanto (x, 1) Z+.Logo {(x, 1) : x N e 1 < x} Z+. Seja (a, b) Z+. Peladefinio de Z+ , b < a. Logo existe p N tal que a = b + p.Portanto a + 1 = (b + p) + 1 a + 1 = b + (p + 1) e assim(p + 1, 1) (a, b), ou seja, (a, b) = (p + 1, 1). Logo Z+ {(x, 1) :x
N e 1 < x
}, donde Z+ =
{(x, 1) : x
N e 1 < x
}.
Corolrio 4.2. Se (a, b) = (x, 1) ento o oposto aditivo de (a, b)
representado por (a, b), (1, x) = (b, a).
Corolrio 4.3. O conjunto Z+ = {(x, 1) : x N e 1 < x}satisfaz os axiomas de Peano.
40
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
4Demonstrao. Basta mostrar que existe uma bijeo que preservasoma entre N = {1, 2,...,n,...} e o conjunto Z+. Seja
: N Z+n (n + 1, 1)
Note que (n) + (m) = (n + 1, 1) + (m + 1, 1) = (m + n + 2, 2).
(n + m + 1, 1) (m + n + 2, 2). Note que (m + n + 1) + 2 =(m+n+2)+1, logo (n+m+1, 1) (m + n + 2, 2). (n)+(m) =(m + n + 1, 1) = (m + n). Alm disso, seja (n) = (m). Assim
(n + 1, 1) = (m + 1, 1) (n + 1) + 1 = 1 + (m + 1). Logo m = n.Note que (x, 1) Z+, 1
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Ordem dos Inteiros
Princpio Do Menor Inteiro 4.1. Todo subconjunto no vazio
L Z possui um menor elemento.
Demonstrao. Seja L um subconjunto no vazio limitado in-feriormente e w Z tal que w l, l L. Se w L, w omenor elemento de L. Suponha w / L e considere o conjuntoS = {l + (w); l L}. Note que S Z+. Como Z+ possui apropriedade da boa ordenao, S possui um menor elemento. Sejal w o menor elemento de S (l). Assim, l w l w l l,para todo l L. Portanto
l o menor elemento de L.
Induo sobre os Inteiros 4.1. Fixado w Z. sejaL = { Z; w }. Seja P uma proposio tal que:
1) P vlida para w.
2) Se P vlida para L, P vlida para + 1.
Ento P vlida para todo
L.
Demonstrao. Seja S o conjunto dos elementos de L tais que
a proposio P no vlida, ou seja, S = { L : P() falsa}.Suponha S = . Como S = e S limitado inferiormente, Spossui um menor elemento S. Mas w o menor elemento deL, ou seja, w .Afirmao: w = . De fato, por hiptese P(w) verdadeira, logow /
S.
Assim w 1 . Como o menor elemento de S, aproposio P vale para 1. Assim P vlida para (1)+1 = (). Portanto, S = .Antes de apresentar propriedades aritmticas dos inteiros apre-
sentaremos algumas propriedades da multiplicao.
Sejam a,b,c Z. Ento:
42
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
4a) a(b c) = ab acb) a.0 = 0
c) a(b) = (a)b = (ab)
d) (a)(b) = ab
e) ab = ac bc (a = 0)
Demonstrao.
a)
a(b c) + ac = a((b c) + c)= a(b + (c + c))
= a(b + 0) = ab
Logo a(b c) = ab ac.
b) a.0 = a.(0 0) = a.0 a.0 = 0
c) a.(
b) = a.(0
b) = a.0
(a.b) =
(ab), (
a).b = (0
a).b =
0.b (ab) = (ab)
d) (a).(b) = (a).b = ab
e) ab = ac a.ba.c = 0 a.(b c) = 0 b c = 0 b = c
4.3 Concluso
Nesta aula, aprendemos a comparar dois nmeros inteiros bem
como usar os princpios de induo e do menor elemento. Isto
muito importante, pois vemos que todo conjunto limitado inferi-
ormente dos inteiros se comporta de maneira similar aos nmeros
43
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Ordem dos Inteiros
naturais. Identificamos tambm os nmeros inteiros como o que
aprendemos no ensino fundamental.
RESUMO
A relao OZ = {(x, y), (a, b) Z Z : x + b y + a} deordem total em Z.
A ordem OZ particiona o conjunto Z em 3 conjuntos mutu-
amente disjuntos:
Z = Z+ {0} Z
a) (1 + 1, 1) = (2, 1) = +1, (2 + 1, 1) = (3, 1) = +2; e
assim sucessivamente.
b) (1, 1 + 1) = (2, 1) = 1, (1, 2 + 1) = (3, 1) = 2.Portanto torna-se vlido escrever
Z = {.., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}
Por abuso de notao, se x (a, b), ento x ((a + 1) + 1, (b + 1) + 1) =(a + 1, 1) + (1, b + 1) = (a + 1, 1) (b + 1, 1) = a b.
Princpio Do Menor Inteiro 4.2. Todo subconjunto no
vazio L Z possui um menor elemento.
Induo sobre os Inteiros 4.2. Fixado w Z. seja L ={ Z; w }. Seja P uma proposio tal que:
1) P vlida para w.
2) Se P vlida para L, P vlida para + 1.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
4Ento P vlida para todo L.PRXIMA AULA
Na prxima aula, apresentaremos a noo de divisibilidade e o
conceito de nmeros primos. Fica a pergunta: Existem quantos
nmeros primos? Aguardem!
ATIVIDADES
ATIV. 4.1. a) O que significa S ser limitado superiormente?
b) Mostre que se S limitado superiormente, ento S possui
um maior elemento.
Mostre, usando a caracterizao dos inteiros como classes de equiv-
alncia, que as seguintes afirmaes so verdadeiras:
a) Se x y, ento x + z y + z para todo z Z
b) Sejam x,y,z Z. Se x y e 0 z, ento xz yz
c) Se x y = 0, ento x = 0 ou y = 0.
ATIV. 4.2. Mostre que
p irracional para cada p primo.
Mostre que dados x, y Z ento:
a) Se x < 0 e y < 0, ento xy > 0
b) Se x < 0 e y > 0, ento xy < 0
c) Se x y = 1, ento x = y = 1 ou x = y = 1.
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Ordem dos Inteiros
ATIV. 4.3. Mostre por induo que dados a, b Z
an bn = (a b)(an1 + an2b + . . . a bn2bn1), n Z+
LEITURA COMPLEMENTAR
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, SoPaulo, 2001.
Bahiano, C. Notas de aula. UFBA
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AULA
5Nmeros Inteiros:Continuao
META:
Apresentar as propriedades aritmticas dos nmeros inteiros
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:
Entender o conceito de divisibilidade nos nmeros inteiros.Entender o conceito de nmeros primos.
PR-REQUISITOS
Propriedades de adio e multiplicao dos nmeros inteiros. In-
duo sobre os nmeros inteiros.
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Nmeros Inteiros: Continuao
5.1 Introduo
Nesta aula apresentaremos o conceito de divisibilidade entre dois
nmeros inteiros bem como o conceito de nmeros primos. Voc,caro aluno, perceber uma pequena diferena entre o conceito
aprendido no ensino fundamental e o exposto aqui.
5.2 Propriedades Aritmticas dos Nmeros
Inteiros
5.2.1 Divisibilidade
Definio 5.1. Dados dois nmeros x, y Z, dizemos que x dividey se existe z Z tal que y = x.z. Neste caso dizemos que y ummltiplo de x. (x um divisor de y).
Escrevemos x|y para dizer que x divide y.Exemplo 5.1. 1|10; 2| 2;
As seguintes propriedades seguem imediatamente da definio de
diviso.
Proposio 5.10. As seguintes afirmaes so verdadeiras para
nmeros inteiros.
a) x|x
b) x
|y e y
|x
x =
y
c) x|y e y|z x|z
d) x|y e x|z x|ay + bz, a, b Z
Demonstrao.
a) x|x pois x = x.1
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
5b) Temos que existe z1 Z tal que y = x.z1 e existe z2 Z talque x = yz2. Ento y = y(z1z2). Assim y y(z1z2) = 0 y(1
z1z2) = 0. Logo y = 0 ou z1z2 = 1. Se y = 0, x = 0. Se
z1z2 = 1, z1 = z2 = 1 ou z1 = z2 = 1 (Exerccio).
c) Existem k1 e k2 tais que y = xk1 e z = yk2. Segue-se que
z = x(k1k2). Donde x|z.
d) De x|y temos que existe k1 Z tal que y = xk1 (1). Dex|z temos que existe k2 Z tal que z = xk2 (2). Logoay + bz = x(k1a + k2b). Fazendo k3 = k1a + k2b, temos que
ay + bz = xk3, o que significa x|ay + bz.
e) Como x|y e x, y Z+, existe q Z+ tal que y = xq. Seq = 1, x = y. Se q > 1, existe q0 Z+ tal que q = q0 + 1.Logo y = x(q0 + 1) = xq0 + x > x. Em todo caso x y.
Definio 5.2. Para todo a Z, o valor absoluto de a (ou mdulode a) representado por |a| definido como:
|a| = a, a Z+ {0}a, a Z {0}
Proposio 5.11. Se a, b Z ento:
a)
|a
|=
| a
|b) |ab| = |a||b|
c) |a| a |a|
d) |a + b| |a| + |b|
Demonstrao.
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Nmeros Inteiros: Continuao
a) Se a 0, | a| = (a) = a = |a|. Se a 0, | a| = a =|a|.
b) Suponhamos que ab > 0. Ento a > 0 e b > 0 ou a < 0 eb < 0. No primeiro caso a = |a| e b = |b|. Donde |ab| = ab =|a||b|. No segundo caso |a| = a e |b| = b, donde temos|ab| = ab = (a)(b) = |a||b|.
Suponhamos agora ab < 0. Assim a < 0 e b > 0 ou a > 0
e b < 0. No primeiro destes casos |a| = a e |b| = b, donde|a||b| = (a)b = (ab) = |ab|. O outro caso fica como
exerccio. O caso ab = 0 bvio.
c) Se a > 0, |a| = a e a < 0, isto , |a| < 0. Logo |a| 0,|a + b| = a + b |a| + |b|. Se a + b < 0, |a + b| = (a + b),
isto , |a + b| = a + b |a| + (|b|) = (|a| + |b|), o queimplica |a + b| |a| + |b|.
Notao: an = aa...a nvezes
Exerccio 5.1. a) Mostre que se a < 0 entao a2n+1 < 0, para
todo n
0.
b) Mostre que x2n+1+1 = (x+1)(x2nx2n1+x2n2...x+1)
c) Se d|n ento ad|an, para todo a Z.
d) |ni=1 ai| ni=1 |ai| onde ni=1 bi = b1 + b2 + ... + bn.Soluo:
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
5a) Mostremos por induo: A sentena vlida para n=o, pois a2.0+1 = a0+1 = a 0, n Z+.ATIV. 5.2. Sejam x,y,z Z. Mostre que se x|yz, ento x|y oux|z.ATIV. 5.3. Analise cada uma das afirmaes abaixo. Demonstre
as verdadeiras e d contra exemplo para as falsas.
a) Sejam x,y,z Z. Se x|z e y|z , ento xy|z.b) Sejam x,y,z Z. Se x|(y + z), ento x|y e x|z.
c) Sejam x, y Z. Ento ||x| |y| | |x y|.
ATIV. 5.4. Se d|n ento ad|an, para todo a Z.ATIV. 5.5. |
ni=1 ai|
ni=1 |ai| onde
ni=1 bi = b1 + b2 + ...+ bn
e ai Z.LEITURA COMPLEMENTAR
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica.GONALVES, Adilson, Introduo lgebra, IMPA, Projeto Eu-
clides, 5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
HUNGERFORD, Thomas W., Abstract algebra: an introduction,
Saunders College Publishing, 1990.
Bahiano, C. Notas de aula. UFBA
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AULA
6Algoritmo da DivisoMETA:
Apresentar o algoritmo da diviso e do clculo do MDC entre dois
nmeros
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Executar de maneira correta os algoritmos da diviso e do clculo
do MDC.
Entender os critrios de divisibilidade.
PR-REQUISITOS
Divisibilidade.
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Algoritmo da Diviso
6.1 Introduo
Prezado aluno, nesta aula aprenderemos o algoritmo que real-
izamos no ensino fundamental para diviso entre 2 nmeros in-teiros. Veremos tambm os famosos critrios de divisibilidade que
exposto no ensino fundamental sem a preocupao de o porque e
saberemos com escrever o nmeros em outros sistemas de numer-
ao posicionais.
6.1.1 Diviso Euclidiana
Teorema 6.1. Dado x, y Z, y = 0, existem nicos inteiros q, rchamados respectivamente de quociente e resto, tais que
x = qy + r, 0 r < |y|
OBS 6.1. O algoritmo acima chamado Algoritmo da Diviso
de Euclides
Demonstrao.
Caso 1. y > 0: Neste caso considere B = {x ay; a Z, x ay 0}. Note que B no vazio pois x (|x|y) = x +|x|y x + |x| 0. Claramente B limitado inferiormente.Pelo Princpio d Boa Ordem B possui um menor elemento,
digamos r. Portanto existe q Z tal que r = x qy. Paramostrar que r < |y| = y, note que r = y x = (1 + q)y
r = 0 y = 0 (). r > y ; r = y + , onde0 < < r. Assim y + = x qy = x (q + 1)y B,o que um absurdo, pois r o menor elemento de B. Logo
0 r < |y|
Mostraremos agora que q, r so unicamente determinados: Suponha
que x = qy + r =
qy +
r, com 0 r,
r |y| = y. Neste caso
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
60 |r r| < y. Por outro lado, qy + r = qy + r (q q)y =r
r |q
q|y = |r
r|. Se fosse r =
r, teramos |q
q| 1. Da
y
|q
q|y = |r r| < y. (). Portanto r = r e, consequente-mente, q = q.Caso 2. y < 0. Para y < 0, aplicamos o caso anterior com x, |y|.
Assim existem nicos q, r Z tais que x = q|y| + r, com0 < r |y|. Se pomos q1 = q, ento x = q1y + r, com0 < r |y|. Claramente, q1 unicamente determinado.
Bzout 6.1. Dados dois nmeros inteiros x, y no simultanea-
mente nulos, se d = mdc(x, y), ento existem inteiros m, n tais
que d = mx + ny.
Demonstrao. Sejam x,y,d como na hiptese do teorema e
considere o conjunto A = {ax + by; a, b Z} e B = A N. B no vazio pois x, y no so simultaneamente nulos. Pelo Princpio d
Boa Ordem, B tem um menor elemento, digamos . Assim existem
m, n Z tais que = mx + ny. Como d|x e d|y, d|mx + ny, isto, d|. Assim d . Mostraremos que |x e |y. De fato, dadosa, b Z existem q, r Z tais que ax + by = q + r, 0 r < , ouseja, ax + by = q + r (a qm)x + (b qn)y = r. Logo r Ae r 0. Se fosse r > 0, ento r B, o que um absurdo, pois o menor elemento de B. Logo r = 0. Ento
|ax + by para
todo a, b Z. Em particular |x e |y, donde |d. Portanto d.Conclumos que mx + ny = = d
Propriedade Fundamental do MDC 6.1. Sejam x,y,d Z.Se x, y no so simultaneamente nulos e d Z+ um divisorcomum de x e y. As seguintes afirmaes so equivalentes:
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Algoritmo da Diviso
(i) d = mdc(x, y)
(ii) Dado z Z, se z|x e z|y ento z|d.
Demonstrao. (i) (ii): Pelo teorema de Bzout, existemm, n Z tais que d = mx + ny. Como por hiptese z|x e z|y,temos que z|mx + ny = d.(ii) (i): Seja d = mdc(x, y). Logo d|x e d|y. Por hiptese d|d eportanto d d. Mas d um divisor comum de x e y. Assim d d,donde conclumos
d = d = mdc(x, y).
6.1.2 Sistemas de Numerao Posicionais
Em nosso sistema de numerao natural n escrito na forma
n = ar10r + ar110
r1 + ... + a110 + a0
onde r 0 e ai {0, 1, 2..., 9}. O nmero que representa n n = arar1...a1a0
Exemplo 6.1. 641 = 6.102 + 4.10 + 1
O papel que o nmero 10 representa para nosso sistema apenas
uma opo.
Teorema 6.2. Sejab um nmero natural, 2, eM = {0, 1, 2,...,b1}. Ento, todo nmero natural pode ser representado de formanica da seguinte maneira:
n = arbr + ar1b
r1 + ... + a1b + a0
Onde r 0, ar = 0 e ai MNotao: n = (arar1...a1a0)b
Demonstrao.
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Algoritmo da Diviso
(3) Mostre que se a Z um dos nmeros a, a +1, a + 2 divisvelpor 3.
(4) Se n um inteiro par entomdc(n, n + 2) = 2.(5) Se n um inteiro mpar, ento mdc(n, n + 2) = 1.
(6) Seja m um inteiro cujo resto da diviso por 6 5. Mostre
que o resto da diviso de m por 3 2.
Soluo:
(1) Seja m, n Z. (): Se m par, ento m = 2k, k Z. Logo
m + 2n = 2k + 2n = 2(k + n) com k + n Z. Logo m + 2n par. (): Reciprocamente, se m + 2n par, m + 2n = 2k,com k Z. Assim, m = 2k 2n = 2(k n). Logo m par.
(2) (): Se m + n mpar, m + n = 2k + 1, com k Z. Dessemodo m + n 2n = 2k + 1 2n = 2(k n) + 1 m n =2(k n) + 1, com k n Z. Portanto, m n mpar. ():Se m n mpar, ento m n = 2k + 1, com k Z, isto ,mn+2n = 2k+1+2n = 2(k+n)+1 m+n = 2(k+n)+1,com k + n Z. Logo, m + n mpar.
(3) Pelo algoritmo da diviso, existem q, r Z tais que a =3q + r, com 0 r < 3. Se r = 0, a = 3q, portanto 3|a. Ser = 1, ento a = 3q + 1, portanto a + 2 = 3(q + 1), donde
3|a + 2. Se r = 2, a + 1 = 3(q + 1), donde 3|a + 1.
(4) Se n par ento n = 2k, k Z. Observe que 2|n e 2|2(k +1) = n + 2. Seja d = mdc(n, n + 2). Como d|n e d|n + 2,d|n + 2 n, isto , d|2. Mas, como 2|n e 2|n + 2, 2|d. Logod = 2.
(5) Se n mpar, n = 2k + 1, k Z. Seja d = mdc(n, n + 2).Pelo mesmo motivo de antes, d|2, donde d = 1 ou d = 2. Se
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
6fosse d = 2, ento, 2|2k + 1, isto , 1 = 2(j k), com j Z.Absurdo. Logo d = 1.
(6) Se m = 6q + 5 para algum q Z, ento, m = 3.2.q + 3 + 2 =3(2q + 1) + 2, donde o que queramos.
6.1.3 Critrios de Divisibilidade
(1) Critrio de divisibilidade por 2:
Dado qualquer nmero natural n podemos escrev-lo na forma
n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0. Observe que qual-
quer potncia de 10 um nmero par, ou seja, 10r = 2qr,qr N. Logo, n = ar(2qr) + ar1(2qr1) + ... + a1(2q1) + a0e portanto, n = a0 + 2(a1q1 + ... + ar1qr1 + arqr), ou seja,
podemos escrever n = a0 + 2q, com q Z. Note que se 2|n,2|n 2q, isto , 2|a0. Assim arar1...a1a0 divisvel por 2se a0 {0, 2, 4, 6, 8,...}.
(2) Critrio de Divisibilidade por 3:
J sabemos que um nmero natural n pode ser escrito na
forma n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0.
Afirmao: 10k = 3q + 1 com q Z, para todo k N.De fato, se k = 1 temos que 10 = 3.3 + 1. Suponha que
10k = 3q1 + 1 para algum q1 Z. Note que
10k+1 = 10k.10 = (3q1 + 1)(3.3 + 1)
= 3.9.q1 + 3q1 + 3.3 + 1
= 3(9q1 + q1 + 3) + 1
= 3q + 1
Portanto pelo princpio de induo 10k = 3q + 1 com q Z,para todo k N.
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Algoritmo da Diviso
Logo n = ar(3qr+1)+ar1(3qr1+1)+...+a1(3q1+1)+a0 =
3(arqr+...+a1q1)+(ar+...+a1+a0) = 3q+(ar+...+a1+a0).
Se 3
|n ento 3
|n
3q, isto 3
|(ar + ... + a1 + a0).
Exemplo 6.3. 343892 no divisvel por 3 pois 3 + 4 + 3 +
8 + 0 + 2 = 29 e 3|29 (no divide)
(3) Critrio de Divisibilidade por 4:
Seja n = ar10r + ar110r1 + ... + a110 + a0. temos que
n = 100(ar10r2 + ar110
r3 + ... + a2) + a110 + a0. Observe
que 4|100. Assim, 4|100 se, e somente se, 4|n100(ar10r2+ar110r3+...+a2), ou seja, 4|a110+a0. Logo n = arar1...a1a0 divisvel por 4 se, e somente se, a1a0 divisvel por 4.
6.1.4 Teorema Fundamental da Aritmtica
Definio 6.2. Dois nmeros x, y so ditos primos entre si se
mdc(x, y) = 1.
Exemplo 6.4. Dado aZ, temos que a e a + 1 so primos entre
si. Com efeito, seja d = mdc(a, a + 1). Assim d|a e d|a + 1, donded|a + 1 a, isto , d|1. Logo, d = 1.
Lema de Gauss 6.1. Sejam x,y,z inteiros no nulos tais que
x, y so primos entre si e x|yz. Ento x|z.
Demonstrao. Como mdc(x, y) = 1, pelo Teorema de Bzout
existem a, b
Z tais que ax + by = 1. Assim, axz + byz = z. Por
hiptese, x|yz, donde x|byz. Como x|axz, x|axz + byz, isto , x|z.
Teorema Fundamental da Aritmtica 6.1. Todo nmero in-
teiro maior ou igual a 1 pode ser representado de maneira nica
(a menos da ordem), como produto de fatores primos.
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
6Demonstrao. Falta mostrar a unicidade. Faremos isto us-ando o segundo princpio da induo. Seja n 2. Se n = 2,ok. Suponha que a afirmao sobre a unicidade seja verdadeira
para todo nmero maior que 1 e menor que n. Se n primo,
no h nada o que fazer. Suponha que n seja composto. Seja
n = p1p2...pr = q1q2...qs duas fatoraes de n. vamos mostrar
que r = s e que pi = qj para algum i e algum j. Observe
que p1|n e portanto p1|q1q2...qs. Logo, p1 divide algum qj , dig-amos q1, ou seja p1 = q1. Logo
n = p2...pr = q2...qs, pois
n =
np1 =
nq1. Observe que 1 < n < n. Logo, por hiptese
de induo, r 1 = s 1 r = s. Alm disso,p2...pr = q2...qr soiguais a menos da ordem. Portanto a decomposio n = p1...pr
nica a menos da ordem.
6.2 Concluso
Note que os critrios de divisibilidade so meras consequncias
do Algoritmo da Diviso. Alm disso importante saber, caro
aluno, que isso tem com ser explicado de maneira simples no ensino
fundamental atravs de vrios exemplos.
RESUMO
Algoritmo da Diviso
Dado x, y Z, y = 0, existem nicos inteiros q, rchamados respectivamente de quociente e resto, tais
que
x = qy + r, 0 r < |y|
Teorema Fundamental do MDC
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Algoritmo da Diviso
Sejam x,y,d Z. Se x, y no so simultaneamentenulos e d Z+ um divisor comum de x e y. Asseguintes afirmaes so equivalentes:
(i) d = mdc(x, y)
(ii) Dado z Z, se z|x e z|y ento z|d.
Teorema Fundamental da Aritmtica
Todo nmero inteiro maior ou igual a 1 pode ser rep-
resentado de maneira nica (a menos da ordem), como
produto de fatores primos.
Sistema de Numerao posicional
Seja b um nmero natural, 2, e M = {0, 1, 2,...,b 1}. Ento, todo nmero natural pode ser representadode forma nica da seguinte maneira:
n = arbr + ar1b
r1 + ... + a1b + a0
Onde r 0, ar = 0 e ai MNotao: n = (arar1...a1a0)b
PRXIMA AULA
Na prxima aula apresentaremos um algoritmo para o clculo do
MDC. Alm disso definiremos mnimo mltiplo comum (MMC)
entre 2 nmeros inteiros e um algoritmo para se calcular o MMC.
ATIVIDADES
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8/4/2019 a Para o Ensino Fundamental
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
6ATIV. 6.1. Se p um nmero primo e p|ab, onde a, b Z, entop|a ou p|b. (Compare com o exerccio 7 da lista 2. verdadeiro?)
ATIV. 6.2. Seja K um conjunto dos nmeros inteiros, no vazio,
fechado em relao a multiplicao e a adio (a + b, a b K sea, b K) e K = 0. Mostre que:
a) 0 K;
b) K contm um menor inteiro positivo, digamos m;
c) K contm todos os mltiplos positivos de m;
d) Todo elemento de K um mltiplo de m.
ATIV. 6.3. Se a|c, b|c e MDC(a, b) = d, ento ab|cd.
ATIV. 6.4. Mostre que se n 2, ento 12n divisvel por 8. Useeste fato para mostra que n = (arar1 . . . a1a0)12 divisvel por 8
se, e somente se, (a1a0)12 divisvel por 8.
ATIV. 6.5. Na diviso euclidiana de
345 por um inteiro b > 0, o
resto 12. Ache o divisor e o quociente em todos os casos possveis.
ATIV. 6.6. Seja m um inteiro mpar. Mostre que o resto da
diviso de m por 4 1 ou 3.
ATIV. 6.7. Sejam a, b e c inteiros arbitrrios. Se M DC(a, b) = 1
e c|(a + b), prove que MDC(a, c) = MDC(b, c) = 1
LEITURA COMPLEMENTAR
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
65
8/4/2019 a Para o Ensino Fundamental
64/143
Algoritmo da Diviso
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
SANTOS, J. P. O. Introduo Teoria dos Nmeros, IMPA, Rio
de Janeiro, 2007
Bahiano, C. Notas de aula. UFBA
66
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AULA
7Clculo do MDC e MMCMETA:
Apresentar o algoritmo do Clculo do MMC e do MDC entre dois
nmeros
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Executar de maneira correta os algoritmos do Clculo do MMC e
do MDC.
PR-REQUISITOS
Algoritmo da Diviso.
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Clculo do MDC e MMC
7.1 Introduo
Aprendemos na 5a srie do ensino fundamental como calcular MDC
e MMC. Faremos isto de forma rigorosa nesta aula
7.1.1 Clculo do MDC
Teorema 7.1. Sejamx,y,q,r Z, comx, y simultaneamente nonulos e x = yq + r. Ento mdc(x, y) = mdc(y, r).
Demonstrao. Sejam d = mdc(x, y) e d = mdc(y, r). Comod = mdc(x, y), d|x e d|y (d > 0). Assim d|yq e, portanto d|x yq,ou seja d|r. Logo d|d e assim d d. Agora, como d|y e d|r,temos que d|x, donde conclumos que d d. Portanto, d = d.
Corolrio 7.1. Dados 2 nmeros x, y no simultaneamente nulos
com y = 0, tem-se que mdc(x, y) = mdc(y, r), onde r o restoencontrado no algoritmo da diviso de x por y.
Demonstrao. Como y = 0, pelo algoritmo da diviso x = yq +r, com 0 < |y|. Pelo teorema anterior, mdc(x, y) = mdc(y, r).
Mtodo das Divises Sucessivas 7.1. Seja x, y inteiros no
simultaneamente nulos, com y
= 0. Defina a0 = x e a1 = y. Para
i 2 defina ai como sendo o resto da diviso de ai2 por ai1. Sean o ltimo resto no nulo da diviso, ento mdc(x, y) = an.
Demonstrao. Sem perda de generalidade podemos supor x, y >
0. Considere o conjunto A = {a Z; 0 a < y}. A finitude de Ae o algoritmo da diviso garantem a existncia de um n tal que
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
7a0 = a1q1 + a2, 0 a2 < a1
a1 = a2q2 + a3, 0 a3 < a2 < a1...
an2 = an1qn1 + an, 0 an < an1 < an2 < ... < a2 < a1an1 = anqn, 0 < an
Pelo corolrio anterior, mdc(x, y) = mdc(a0, a1) = mdc(a1, a2) =
... = mdc(an1, an) = mdc(an, 0) = an
OBS 7.1. O mtodo descrito acima ensinado na quinta srie da
seguinte forma:
Desenha-se 3 linhas horizontais (paralelas) e duas verticais.
Na segunda linha horizontal, a partir da segunda casa fi-
cam os restos da diviso, onde nas duas primeiras ficam os
nmeros tais que queremos encontrar o MDC entre eles.
q1 q2 qna0 a1 a2 an1 ana2 a3 0
Exemplo 7.1. Encontre o mdc(53, 12).
53 = 12 4 + 512 = 5 2 + 25 = 2 2 + 12 = 2 1
69
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Clculo do MDC e MMC
4 2 2 2
53 12 5 2 1
5 2 1 0
Proposio 7.12. Se d = mdc(a, b), ento mdc(sa, sb) = sd,
onde s N.
Demonstrao. Note que
sa = (sb)q + (sr1), 0 sr1 < |sb|sb = (sr1)q1 + (sr2), 0 sr2 < sr1...
(srn2) = (srn1)qn1 + (srn), 0 srn < ... < sr2 < sr1(srn1) = (srn)qn,
Pelo resultado anterior rn = d, e mdc(sa,sb) = sd.
Corolrio 7.2. Se a, b so divisores de c, c = 0, e mdc(a, b) = 1,ento ab|c
Demonstrao. mdc(a, b) = 1 mdc(ca, cb) = c. Mas ab|ac,pois b|c e por motivo anlogo ab|bc. Logo, ab|c.
Exerccio 7.1. Encontre mdc(389, 167) e o expresse na forma
389m + 167n. Os nmeros m, n so nicos?
Demonstrao. 389 = 167.2+55, 167 = 55.3 + 2, 55 = 27.2 + 1,
2 = 2.1. Segue-se que mdc(389, 167) = 1. Agora podemos escrever:
1 = 552.27 = 55(1673.55).27 = 5527.167+81.55 = 82.5527.167 = 82(389 2.167) 27.167 = 82.389 164.167 27.167 =82.389 191.167 (falta responder unicidade)
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Clculo do MDC e MMC
Demonstrao. Sem perda de generalidade, suponha x > 0 e
y > 0 (se x = 0 ou y = 0, mmc(x, y) = 0 e xy = 0; mmc(x, y) =
mmc(
|x
|,
|y
|) e mdc(x, y) = mdc(
|x
|,
|y
|)). Sejam d = mdc(x, y) e
m = mmc(x, y). Note que d|xy, isto , xy = dz para algum z Z.Afirmao: z = m
De fato
(1) x = ad e y = bd. Assim xy = abd2 = zd abd = z
(2) z = b(ad) = bx, ou seja y|z. Logo m|z. Assim m z
(3) d
|x e x
|m
m = cd , pois x = ad e m = ax.
(4) x = ad e y = bd ad|cd e bd|cd com mcd(a, b) = 1 a|c eb|c abd|cd z|m z m.
Logo z = m.
7.1.3 Diviso em Z
Dados , b Z, se a = cb podemos denotar c =a
b
OBS 7.4. mmc(x, y) = |xy|mdc(x,y)
OBS 7.5. mmc(a,b,c) = mmc(a,mmc(b, d))
OBS 7.6. mdc(a,b,c) = mdc(a, mdc(b, c))
Exerccio 7.3. Calcule mmc(26, 8)Soluo: mmc(26, 8) = |26.8|
mdc(26,8) =|208|mdc(|26|,8) =
208mdc(26,8) .
Por outro lado, 26 = 8.3 + 2, 8 = 2.4, donde mdc(26, 8) = 2. Logo
mmc(26, 8) = 208mdc(26,8) = 104
7.2 Concluso
Calcular MDC entre e MMC entre dois nmeros nada mais que
aplicar o algoritmo da diviso por diversas vezes.
72
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
7RESUMO
Clculo do MDC
O mtodo descrito acima ensinado na quinta srie da
seguinte forma:
Desenha-se 3 linhas horizontais (paralelas) e duasverticais.
Na segunda linha horizontal, a partir da segunda
casa ficam os restos da diviso, onde nas duas
primeiras ficam os nmeros tais que queremos en-
contrar o MDC entre eles.
q1 q2 qna0 a1 a2 an1 ana2 a3 0
Mnimo Mltiplo Comum - MMC
Dados x, y Z dizemos que m Z mnimo mltiplocomum de x e y se satisfaz:
(i) x|m e y|m
(ii) Para todo u Z, se x|u e y|u, ento m|u
PRXIMA AULA
Na prxima aula, apresentaremos os nmeros racionais como classe
de equivalncia dos inteiros e mostraremos suas propriedades.
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Clculo do MDC e MMC
ATIVIDADES
ATIV. 7.1. Calcule MDC(a, b) onde :
a) a = 56, b = 12;
b) a = 20,b = 144;
ATIV. 7.2. Calcule MM C(a, b) onde :
a) a = 120, b = 68;b) a = 20,b = 74;
LEITURA COMPLEMENTAR
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
SANTOS, J. P. O. Introduo Teoria dos Nmeros, IMPA, Rio
de Janeiro, 2007
Bahiano, C. Notas de aula. UFBA
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8/4/2019 a Para o Ensino Fundamental
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AULA
8RacionaisMETA:
Apresentar os nmeros racionais como classe de equivalncia de
nmeros inteiros.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Identificar nmeros racionais como Classe de equivalncia dos In-
teiros.
PR-REQUISITOS
Relao de equivalncia e nmeros inteiros.
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Racionais
8.1 Introduo
Sejam a, b Z, b = 0. Se a mltiplo de b ento existe c Z tal
que a = bc. Neste caso podemos denotar c =ab
A operao ab
s est definida em
I = {(a, b) Z Z; b = 0 e b|a}.
Vamos ento "aumentar"o conjunto onde podemos definir a oper-
ao ab
.
8.2 Construo dos Nmeros Racionais
Seja Z = {m Z; m = 0}. Consideremos ZZ = {(m, n); m Z, n Z} e a relao definida por:
(m, n) (p,q) mq = np
Proposio 8.14. A relao acima de equivalncia.
Demonstrao. A relao reflexiva pois m.n = n.m. A relao
simtrica pois (m, n) (p,q) mq = np pn = qm (p,q) (m, n). A relao transitiva pois se (m, n) (p,q) e (p,q) (s, t)ento mq = np e pt = qs. Logo mqt = npt e npt = nqs. Portanto
mqt = nqs. Como q = 0, pela lei do corte, mt = ns, isto ,(m, n)
(s, t).
A relao particiona ZZ em um conjunto de classes de equiv-alncia:
Q = {[s, m], [t, n],...}
Onde
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Racionais
(c) Existe um elemento z Q tal que a + z = a, para todoa Q.
(d) Dado um a Q, existe (a) Q tal que a + (a) = zDemonstrao.
(a) (a + b) + c = ([s, m] + [t, n]) +[p,q] = [sn + tm, mn] + [p,q] =
[(sn + tm)q + (mn)p, (mn)q] e a + (b + c) = [s, m] + ( [t, n] +
[p,q]) = [s, m] + [tq + np,nq] = [snq + m(tq + np) + m(nq)] =
[(sn+mt)q+(mn)p, (mn)q]. Portanto, (a+b)+c = a+(b+c).
(c) Seja z = [o, m]. Assim, [s, m] + [0, m] = [sm, mm].
Afirmao: [sm, mm] = [s, m].
De fato, (sm)m = (mm)s.
(d) Seja (a) = [s, m]. Assim, a + (a) = [s, m] + [s, m] =[sm + m(s), m2] = [0, m2] = z.
OBS 8.2. z = 0.
Exerccio 8.1. Mostrar que (a) nico.
Propriedades da multiplicao: Sejam a = [s, m], b = [t, n] e c =
[p,q] elementos de Q. Ento:
(a) ab = ba
(b) a(bc) = (ab)c
(c) Se ab = cb e b = 0, ento a = c.
(d) Existe a Q, tal que aa = a para todo a Q.(e) Dado a Q = Q {0}, Existe um elemento a1 Q tal
que a.a1 =
a.
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Racionais
3. ax = b x = a1b (a = 0)Demonstrao. Trivial.
8.2.2 Diviso em Q
Definamos a operao : QQ Q (diviso). Como:
QQ Q(a, b) a b1.
Propriedade: Se a, b Q e c Q, ento
(a + b) : c = a : c + b : c.
De fato,
(a + b) : c = (a + b) c1 = ac1 + bc1 = a : c + b : c.
8.2.3 Somatrios e produtrios em Q
Definimos somatrio e produtrio de nmeros racionais como:
ni=1
ai =
n1i=1
ai
+ an
eni=1
ai =
n1i=1
ai
an
Exerccio 8.3. Sejam a, a1, , an Q. Ento
a
ni=1
ai
=
ni=1
(aai)
Se n = 1 temos,
a
1i=1
a1
= a a1 =
1i=1
(aa1)
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
8Suponha que a expresso acima seja vlida para n. vamos mostrarque vlida para n + 1. De fato:
an+1i=1 ai = a ((ni=1 ai) + an+1)= a (
ni=1 ai) + aan+1 =
ni=1(aai) + aan+1
=n+1i=1 (aai)
Logo, pelo princpio de induo finita, o resultado vlido para
todo n QExerccio 8.4. Sejam a1, , an Q. Ento
ni=1
ai1
=ni=1
a1i
Se n = 1, temos
1i=1
ai
1= a1i =
ni=1
a1i
Suponha o resultado vlido para n. Vamos mostrar que ele tambm
vlido para n + 1. n+1i=1 ai
1= ((
ni=1 ai) .an+1)
1
= (ni=1 ai)
1 (an+1)1 =ni=1 a
1i
.a1n+1
=n+1i=1 a
1i
8.2.4 Potncias de Nmeros Racionais
Seja a Q
. Definimos a potncia n-sima de a como:
a0 = 1
an+1 = an a, n Z+Se n Z, defininimos a potncia como an = (a1)n.
Proposio 8.15. am+n = am an, a Q e m, n Z
81
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Racionais
Demonstrao. Note que se n < 0, an+1 = an a. De fato,se n < 0, p = n > 0. ana = (a1)pa =
(a1)p1a1
a =
(a1)p1.(a1a) = (a1)p1 = (a1)n1 = an+1
Mostraremos por induo que am+n = am an, se n 0.Se n = 0, am+0 = am = am 1 = ama0. Suponha que am+n =am an. vamos mostrar que am+(n+1) = am an+1. aman+1 =am(ana) = (aman)a = am+na = am+n+1 = am+(n+1).
Suponha m, n < 0. Logo m + n < 0. Assim am+n = (a1)mn =
(a1)ma1)m = aman. Logo se m, n Z e a Q, temos queam+n = am an.
8.3 Concluso
Os racionais surgem naturalmente dos inteiros. Justamente nos
casos em que um nmeros no divide o outro. Note tambm que
as operaes so fceis de se trabalhar.
RESUMO
Nmeros Racionais
Seja Z = {m Z; m = 0}. Consideremos Z Z ={(m, n); m Z, n Z} e a relao definida por:
(m, n) (p,q) mq = np
A relao particiona Z Z em um conjunto declasses de equivalncia:
Q = {[s, m], [t, n],...}
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
8Onde
[s, m] ={
(a, b)Z
Z; (a, b)
(s, m)
}Q chamado o conjunto dos nmeros racionais.
Propriedades
Propriedades da Adio:
Sejam a = [s, m], b = [t, n] e c = [p,q] elementos em
Q. Ento:
(a) (a + b) + c = a + (b + c)
(b) a + b = b + a
(c) Existe um elemento z Q tal que a + z = a, paratodo a Q.
(d) Dado um a Q, existe (a) Q tal que a +
(a) = zPropriedades da multiplicao: Sejam a = [s, m], b =
[t, n] e c = [p,q] elementos de Q. Ento:
(a) ab = ba
(b) a(bc) = (ab)c
(c) Se ab = cb e b = 0, ento a = c.(d) Existe a Q, tal que aa = a para todo a Q.(e) Dado a Q = Q {0}, Existe um elemento
a1 Q tal que a.a1 = a.PRXIMA AULA
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Racionais
Na prxima aula, caro aluno, mostraremos que Q ordenado e que
podemos olhar os inteiros como subconjunto dos racionais.
ATIVIDADES
ATIV. 8.1. Questo Mostre que em Q valem as seguintes pro-
priedades:
a) (a + b) = a + (b), a, b Q;
b) (ab)1
= a1
b1
, a, b Q
;
c) (am)n = amn, a Q, m, n Z;
ATIV. 8.2. Determine r Z de maneira que 10r2r1 represente umnmero inteiro.
ATIV. 8.3. Seja mn
uma frao irredutvel (m, n primos entre si).
Mostre que, se r Z, ento r + mn = rn+mm irredutvel.
ATIV. 8.4. Mostre por induo que:1
1 2 +1
2 3 + . . . +1
n (n + 1) =n
n + 1
ATIV. 8.5. Calcule [2, 4] + [5, 13] e [3, 14] [2, 5]
LEITURA COMPLEMENTAR
LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,
5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
LIPSCHUTZ , S. Teoria dos Conjuntos - Coleo Schaum
84
8/4/2019 a Para o Ensino Fundamental
83/143
AULA
9OrdemMETA:
Apresentar uma ordem para os nmeros racionais .
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:
Comparar nmeros racionais e trabalhar com relaes envolvendodesigualdades.
PR-REQUISITOS
Nmeros Racionais, inteiros e induo finita.
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Ordem
9.1 Introduo
Podemos comparar nmeros racionais? a resposta sim e como
construmos ele como relao de equivalncia de inteiros, naturalque esta ordem se de atravs da ordem dos inteiros.
9.2 Relao de Ordem em Q
Seja a = [s, m] Q. Dizemos que a > 0 se sm > 0. Neste casodizemos a Q+ (Nmeros racionais positivos). Se sm < 0 dizemosque a
Q
(Racionais negativos). Seja b = [t, n]Q. Dizemos
que
a < b b a > 0
e
b < a a b > 0
Pela tricotomia dos nmeros inteiros temos que sm > 0 ou sm < 0
ou sm = 0
Assim,
Q = Q+ Q {0}
OBS 9.1. Sem perda de generalidade podemos supor, se a =
[s, m], que m > 0. De fato, [s, m] = [s m], pois s(m) =m(
s) =
(sm) ( s
m= s
m). Dizemos que 0
a
Q, se a > 0
ou a = 0. Note que se a = [s, m] e b = [t, n] (m, n Z+) entoa b b a 0 [t.n] + [s, m] 0 [tm sn, mn] 0 (tm sn)(mn) 0 tm sn
s
m t
n sn tm
86
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
9Exemplo 9.1. 24 < 12 pois 4 < 4.OBS 9.2. a = [s, m] 0, m > 0 s 0
Proposio 9.16. Sejam a, b Q. Se a < b ento existe h Q+tal que
a + h = b.
Lema 9.1. Dados a = [s, m], b = [t, n] Q existem x,y,z Ztais que a = [x, z] e b = [y, z]
Demonstrao. Suponha [s, m] = [x, z] e [t, n] = [y, z]. Logo
sz = mx e tz = ny. Seja p = mmc(m, n). Logo p = mk e p = nk.sp = smk, tp = tmk sp = (sk)m, tp = (tk)n.
[s, m][sk,p], [t, n] = [tk, p].Logo, fazendo z = mmc(m, n), x = sk e y = tk, onde p = mk, p =nk. Temos o resultado.Demonstrao. Suponha a = [s, m], b = [t, n] com m, n > 0.
Pelo lema anterior podemos escrever a e b como segue:
a = [x, p], b = [y, p].
Temos que a < b e portanto xp < yp. Assim x < y, com x, y Z.Desta forma existe z > 0, z Z tal que y = x + z, logo
b = [y, p] = [x + z, p] = [x, p] + [z, p] = a + h
Mostraremos agora que a relao em Q de ordem total. Pelo j mencionado assumiremos que para cada elemento [s, m] Q,podemos tomar m > 0.
(a) "" reflexiva. De fato, [s, m] [s, m] pois sm ms.
87
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Ordem
(b) "" anti-simtrica. De fato, se [s, m] [t, n] e [t, n] [s, m] ento sn mt e tm ns. Logo sn = tm, ou seja,[s, m] = [t, n].
(c) "" transitiva. Com efeito, se [s, m] [t, n] e [t, n] [p,q]ento sn mt e tq np. Assim, snq mtq e mtq mnp(m > 0, q > 0). Pela transitividade de ""em Z, temos quesnq mnp. Como n > 0, nq mp, ou seja, [s, m] [p,q].
(d) Temos [s, m] [t, n] ou [t, n] [s, m], pois sn mt outm ns, m,n,s,t Z. A relao "" em Q de ordem
total.
Exerccio 9.1. 1. Se a, b Q, c Q e a < b, ento ac < bc.
2. Se a,b,c Q e a < b ento ento a + c < b + c.OBS 9.3. Suponha que sobre um corpo K, esteja definido uma
relao "" que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) a a, a k.
(b) a b e b a a = b.
(c) a b e b c a c.
(d) a b ou b a.
(e) a b e c k a + c b + c.
(f) a b e 0 c ac bc.
Dizemos que K corpo ordenado.
Imerso de Z em Q:. Seja f : Z Q definida por f(s) = [s, 1] =s1
f est bem definida. De fato, seja [s, 1] = [s, 1]. Assim s 1 =1 s s = s.Note que f injetora (exerccio).
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Ordem
Corolrio 9.1. O conjunto Q+ no possui elemento mnimo.
Demonstrao. De fato, se a > 0 ento
0 < 12 a < a.
OBS 9.4. Seja K um corpo ordenado tal que para quaisquer a, b K com a < b, existe c K onde a < c < b. Neste caso dizemosque K denso.
Proposio 9.18. Se a, b Q comb Q+ ento existe n N talque nb > a. 2
Demonstrao.
Afirmao: A proposio vale com Z+ no lugar de Q+ e Z no
lugar de Q:
Demonstrao da Afirmao: Com efeito, Dado a Q, sejan = |a| + 1. Observe que bn n (pois b 1). Assim nb n > aDemonstrao da proposio: Sem perda de generalidade suponha
a = q1p
, b = q2p
.
Onde q1 Z e q2, p Z+. Assim existe n N tal que nq2 > q1.Logo nq2
p> q1p
. Mas
n q2p
=n
1 q2
p=
nq2p
.
Portanto,
n
q2
p>
q1
p.
OBS 9.5. Temos que se m, n Z (n = 0).
m : n =m
1:
n
1=
m
1 1
n=
m
n.
2Um corpo K que satisfaz esta proposio dito arquimediano.
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Ordem
Isomorfismo
Existe um isomorfismo f : Z Im(f) Q que preserva
ordem. Assim, podemos supor Z Q.Densidade
Seja a, b Q tal que a < b. Ento existe c Q tal quea < c < b.
PRXIMA AULA
Na prxima aula apresentaremos mais propriedades dos nmeros
racionais. Mostraremos tambm que como podemos escrever um
nmero racional como um nmeros decimal (finito ou peridico) e
vice e versa.
ATIVIDADES
ATIV. 9.1. Mostre que Q fechado em relao adio, mas
no em relao multiplicao.
ATIV. 9.2. O sentena 127 >138 verdadeira? Justifique.
ATIV. 9.3. Mostre que se a, b Q+, ento a b > 0ATIV. 9.4. Seja f : Z Q definida por f(s) = [s, 1]. Mostre quef injetora.
LEITURA COMPLEMENTAR
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Matemtica para o Ensino Fundamental AULA
9LIMA, Elon L., Anlise na Reta Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides,5.ed., Rio de Janeiro, 2008.
LIMA, Elon L., Matemtica para o Ensino Mdio 1, SBM, 5.ed,Rio
de Janeiro, 2008.
DOMINGUES, H. Fundamentos de Aritmtica, Atual Editora, So
Paulo, 2001.
LIPSCHUTZ , S. Teoria dos Conjuntos - Coleo Schaum
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AULA
10RacionaisMETA:
Apresentar o conceito de mdulo de nmeros racionais e sua rep-
resentao decimal.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:Identificar a forma decimal de um nmeros racional.
Identificar o inteiros mais prximo de um racional.
PR-REQUISITOS
Nmeros Racionais, inteiros e induo finita.
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Racionais
10.1 Introduo
Prezado Aluno, nesta aula estudaremos o porqu de um nmero
decimal finito ou peridico ser um nmero racional e o porqu deum nmero racional ser finito ou peridico. Antes apresentaremos
a voc algumas propriedades modulares dos nmeros racionais e a
funo maior inteiro.
10.1.1 Valor Absoluto de um Nmero Racional
Definimos |a| com a Q como:
|a| = a , sea 0a , sea < 0Propriedades:
(a) |a| a |a|
(b) |a