Post on 30-Dec-2014
description
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Bab 3
Beberapa Distribusi Khusus
Pada Bab ini dibahas beberapa jenis distribusi yang sering digunakan pada kuliah-kuliahstatistik, yaitu
1. Distribusi binomial dan distribusi yang terkait dengan distribusi binomial (dis-tribusi Bernoulli, distribusi binomial negatif, distribusi geometrik, distribusi trino-mial, dan distribusi multinomial).
2. Distribusi Poisson.
3. Distribusi Gamma dan keluarganya (distribusi khi-kuadrat, distribusi eksponensial,dan distribusi beta).
4. Distribusi normal.
5. Distribusi normal multivariat.
6. Distribusi t dan distribusi F .
3.1 Distribusi Binomial dan Distribusi yang Berkaitan
Distribusi Bernoulli. Distribusi Bernoulli terbentuk dari percobaan Bernoulli yaitupercobaan acak yang hanya mempunyai 2 hasil yang mungkin, ”sukses” atau ”gagal”.Dalam praktek, penamaan ”sukses” atau ”gagal” dapat menyatakan suatu pasanganyang berlawanan, misalnya pria-wanita, hidup-mati, lulus-gagal, dan pasangan lainnya.
Misal S = {sukses, gagal} menyatakan ruang sampel dari percobaan Bernoulli dan Xmenyatakan varibel acak yang terdefinisi di S dengan aturan
X(c) =
{1, c = sukses0, c = gagal.
Berdasarkan sifat peluang, jika peluang sukses adalah p maka peluang gagalnya 1 − psehingga pmf dari X dapat ditulis sebagai
p(x) =
{px(1− p)1−x, x = 0, 10, x lainnya
(1)
Selanjutnya variabel acak X dengan pmf seperti pada persamaan (1) dikatakan variabelacak yang berdistribusi Bernoulli.
Mean dari distribusi Bernoulli adalah
µ = E[X] =1∑
x=0
xpx(1− p)1−x = 0 + p = p
1
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
sedangkan variansinya adalah
σ2 = Var(X) =
1∑x=0
(x− p)2px(1− p)1−x
= p2(1− p) + (1− p2)p= p(1− p).
Distribusi Binomial. Jika percobaan Bernoulli dilakukan berulang-ulang sebanyak nkali maka hasil-hasil yang mungkin akan berupa deretan n bilangan-bilangan nol dansatu. Sebagai contoh untuk n = 10, hasil yang mungkin dapat berupa
1 0 0 1 0 1 1 0 0
atau0 0 0 0 1 1 1 1 0
atau yang lainnya.
Secara umum, jika Xi menyatakan hasil yang keluar dari percobaan Bernoulli ke-i dan Xmenyatakan banyaknya sukses yang diperoleh dari n kali percobaan, maka nilai X yangmungkin adalah x = 0, 1, 2, . . . , n. Karena Xi bernilai 0 atau 1, variabel acak X jugadapat dipandang sebagai penjumlahan n variabel acak Bernoulli atau
X = X1 +X2 + . . .+Xn,
Posisi sukses dan gagal, dapat terletak pada indeks i mana saja dengan i = 1, 2, . . . , n.Dengan demikian, banyaknya komposisi yang mungkin akan berupa kombinasi dari npercobaan diambil x sukses, atau (
nx
)=
n!
x!(n− x)!
komposisi.
Jika antar percobaan bersifat independen, peluang untuk satu komposisi adalah
px(1− p)n−x.
Akibatnya, peluang terjadinya x sukses dari n percobaan Bernoulli adalah jumlahanpeluang-peluang yang dimiliki oleh masing-masing (nx) komposisi yang mungkin, yaitu
p(x) = P (X = x) =
(nx
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n (2)
Karena p ≥ 0 dan x bulat nonnegatif maka p(x) ≥ 0. Untuk menunjukkan bahwa totaljumlah persamaan (3) adalah 1, dapat digunakan sifat ekspansi binomial, yaitu
(a+ b)n =n∑
x=0
(nx
)bxan−x.
2
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Dengan menggunakan sifat tersebut,
n∑x=0
p(x) =
n∑x=0
(nx
)px(1− p)n−x
= [(1− p) + p]n = 1
Jadi, p(x) pada persamaan (2) memenuhi sifat-sifat pmf.
Selanjutnya variabel acak X dengan pmf
p(x) =
{(nx)px(1− p)n−x x = 0, 1, . . . , n0 x lainnya
(3)
dan 0 untuk x lainnya, dikatakan variabel acak yang berdistribusi Binomial denganparameter n dan p, dinotasikan dengan X ∼ B(n, p) atau X ∼ b(n, p).
Pada Bab 1 telah dibahas bahwa ada beberapa cara dalam menentukan mean dan var-iansi dari suatu distribusi, salah satunya adalah melalui mgf M(t). Distribusi binomialmempunyai mgf
M(t) = E[etx] =n∑
x=0
etxp(x) =n∑
x=0
etx(nx
)px(1− p)n−x
=
n∑x=0
(nx
)(petx)x(1− p)n−x
= [(1− p) + pet]n (4)
yang berlaku untuk setiap bilangan riil t.
KarenaM ′(t) = n[(1− p) + pet]n−1(pet)
danM ′′(t) = n[(1− p) + pet]n−1(pet) + n(n− 1)[(1− p) + pet]n−2(pet)2
makaµ = M ′(0) = np
danσ2 = M ′′(0)− µ2 = np = n(n− 1)p2 − (np)2 = np(1− p).
Contoh 3.1.1. Misal pada pelantunan satu keping koin seimbang, kejadian ”sukses”didefinisikan sebagai munculnya bagian muka. Jika X banyaknya bagian muka dari 7kali lantunan yang independen,
(a) Tentukan mgf dari X, mean dan variansinya.
(b) Tentukan P (0 ≤ X ≤ 1) dan P (X = 5).
3
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Penyelesaian
(a) Diketahui X berdistribusi binomial dengan n = 7 dan p = 12 Dari persamaan (4),
mgf dari X adalahM(t) = (12 + 1
2et)7,
Sementara itu, mean dan variansi dari X adalah
µ = np =7
2dan σ2 = np(1− p) =
7
4.
(b) Diketahui X ∼ B(7, 12) maka pmf dari X
p(x) =
{(7x)(12)x(1− 1
2)7−x x = 0, 1, . . . , 70 x lainnya
sehingga
P (0 ≤ X ≤ 1) = p(0) + p(1) =1
128+
7
128=
8
128
dan
P (X = 5) = p(5) =7!
5! 2!
(1
2
)5(1
2
)2
=21
128. �
Pembangkitan data simulasi dari distribusi B(n, p), menghitung P (X = x), menghitungP (X ≤ x), dan membuat plot pmf atau cdf yang dihasilkan, dapat dilakukan berbagaisoftware statistik, salah satunya melalui program R yang dapat diunduh secara gratisdari http://cran.r-project.org.
Contoh-contoh perintah pada R yang terkait dengan distribusi binomial, misalnya
rbinom(10,1,1/2) # membangkitkan data dari distribusi B(10,1/2)
dbinom(4,20,1/2) # menghitung P(X=4) jika X berdistribusi B(20,1/2)
pbinom(4,20,1/2) # menghitung P(X<=4) jika X berdistribusi B(20,1/2)
# Membuat plot pmf dari distribusi B(n,p)
n<-20; p<-1/2
x<-0:n
y<-dbinom(x,n,p)
plot(x,y,pch=20,col=4)
Contoh 3.1.2. Jika Y berdistribusi B(n, 13) tentukan nilai pengulangan n terkecil se-hingga P (Y ≥ 1) > 0, 8.
4
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Penyelesaian. Karena P (Y ≥ 1) = 1− P (Y = 0) = 1− (23)n, maka
P (Y ≥ 1) > 0.80 ⇔ 1− (23)n > 0, 8 ⇔ 0, 2 > (23)n
Tetapi
0, 2 > (23)n ⇔ log(0, 2) < n log(23) ⇔ n >log(0, 2)
log(23)= 0, 39693 ' 4
Jadi nilai n terkecil sehingga P (Y ≥ 1) > 0, 8 adalah n = 4. �
Contoh 3.1.3. Misal X1, X2, X3 tiga variabel acak iid dengan cdf F (x). Jika Y me-nyatakan nilai tengah dari X1, X2, X3, tentukan cdf dan pdf dari Y .
Penyelesaian. Diketahui variabel acak Y menyatakan nilai tengah dari X1, X2, X3.Peristiwa {Y ≤ y} terjadi jika dan hanya jika paling sedikit dua dari variabel acakX1, X2, X3 nilainya kurang dari atau sama dengan y. Dengan kata lain, peristiwa
{Y ≤ y} ⇔ peristiwa A atau B
dengan A menyatakan peristiwa 2 dari 3 variabel acak X1, X2, X3, nilainya masing-masing ≤ y, dan B menyatakan peristiwa {X1 ≤ y, X2 ≤ y, X3 ≤ y}.
Jika K menyatakan banyaknya variabel acak di antara X1, X2, X3 yang lebih kecil atausama dengan y, maka K dapat dipandang sebagai peubah acak binomial dengan ”sukses”didefinisikan sebagai {Xi ≤ y}, banyak pengulangan n = 3, dan peluang sukses p =P (Y ≤ y) = F (y). Akibatnya, peluang terjadinya peristiwa A adalah
P (A) = P (K = 2) =
(32
)[F (y)]2[1− F (y)].
Sementara itu, karenaX1, X2, X3 independen maka peluang terjadinya peristiwaB adalah
P (B) = P (X1 ≤ y, X2 ≤ y, X3 ≤ y) = P (X1 ≤ y)P (X2 ≤ y)P (X3 ≤ y) = [F (y)]3
Jadi, cdf dari Y adalah
G(y) = P (Y ≤ y) = P (A) + P (B) =
(32
)[F (y)]2[1− F (y)] + [F (y)]3
= 3 [F (y)]2[1− F (y)] + [F (y)]3
dan jika F (x) kontinu maka pdf dari X adalah
g(y) = G′(y) = 6F (y)[1− F (y)]f(y). �
5
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Latihan
1. Jika mgf dari variabel acak X adalah M(t) = (13 + 23)5, tentukan P (X = 2atau3).
2. Jika mgf dari variabel acak X adalah M(t) = (23 + 13)9, tunjukkan bahwa
P (µ− 2σ < X < µ+ 2σ) =5∑
x=1
(9x
)(1
3
)x(2
3
)9−x.
3. Jika X ∼ B(n, p), tunjukkan bahwa
E
[X
n
]= p dan E
[(X
n− p)2]
=p(1− p)
n
4. Misal variabel acak X1, X2, X3 iid dengan pdf f(x) = 3x2, 0 < x < 1, dan 0untuk x lainnya. Tentukan peluang bahwa tepat 2 dari 3 variabel acak tersebutpeluangnya lebih dari 1
2 .
5. Misal Y ∼ B(n, 23). Jika n = 3, hitung P (2 ≤ Y ). Jika n = 5, hitung P (3 ≤ Y ).
6. Misal Y ∼ B(n, 14). Tentukan n terkecil sehingga P (Y ≥ 1) ≥ 0, 7.
7. Misal X1 ∼ B(3, 23) dan X2 ∼ B(4, 12). Hitung P (X1 = X2).
8. Bagi pembaca yang mempunyai program R atau S-PLUS:
(a) Gambarkan plot pmf dari distribusinya B(15; 0, 2) dengan perintah berikut:
n<-15; p<-0.2
x<-0:n
y<-dbinom(x,n,p)
plot(x,y,pch=20,col=4)
(b) Ulangi bagian (a) untuk n = 15 dan untuk beberapa nilai p yaitu p = 0.1,p = 0.2, . . . , p = 0.9. Bagaimana perilaku plot pmf jika peluang sukses pdiperbesar?
(c) Ulangi bagian (a) untuk p = 0.05 dan untuk beberapa nilai n yaitu n =10, 20, 50, 200. Bagaimana perilaku plot pmf ketika pengulangan n diper-banyak? Apakah plot pmf mempunyai kecenderungan konvergen mendekatikurva/grafik tertentu?
6