1

Materi 03Pengolahan Citra Digital

Transformasi Citra

2

Tujuan

• Memberikan pemahaman kepada mahasiswa mengenai :– Transformasi Fourier 1 dimensi dan 2 dimensi– Makna representasi citra pada domain frekuensi– Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi– Keterkaitan proses filtering pada domain spasial

dengan proses filtering pada domain frekuensi– Beberapa filter penghalusan pada domain frekuensi

3

Penemu

• Ahli Matematika Prancis bernama Jean Baptiste Joseph Fourier, lahir 1768.

• Fungsi apa saja yang berulang secara periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinus dan/atau cosinus dengan frekuensi yang berbeda-beda. Masing-masing dikalikan dengan koefisien yang berbeda-beda pula. Jumlahan ini selanjutnya disebut Fourier Series.

4

Ide Fourier• Fungsi yang tidak periodik sekalipun (namun

area di bawah kurva memiliki luas berhingga) tetap dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari fungsi sinus dan/atau cosinus dengan bobot koefisien tertentu. Transformasi ini disebut Fourier Transformation (FT).

• Pengembangan FT adalah Fast Fourier Transformation (FFT).

5

Ide Fourier

6

Ide Fourier• Suatu fungsi yang diekspresikan baik

dengan deret Fourier maupun transformasi Fourier, bisa direkonstruksi kembali (secara lengkap) dengan proses kebalikannya, tanpa kehilangan informasi.

• Karakteristik ini memungkinkan kita untuk bekerja dalam “Fourier domain” dan selanjutnya kembali ke domain asal dari fungsi, tanpa kehilangan informasi.

7

Transformasi Fourier 1-D

• Transformasi Fourier dari suatu fungsi diskrit (DFT) satu variabel, f(x), x=0,1,2, … , M-1, dirumuskan sebagai berikut :

• Dari F(u), kita bisa mendapatkan kembali fungsi asal dengan menggunakan kebalikan dari transformasi Fourier diskrit (IDFT) :

1,...,1,0)(1

)(1

0

/2

MuforexfM

uFM

x

Muxj

1

0

/2 1,...,1,0)()(M

u

Muxj MxforeuFxf

8

Transformasi Fourier 1-D

• Nilai u disebut dengan domain frekuensi.• Masing-masing dari M buah of F(u) disebut

komponen frekuensi dari transformasi. • Transformasi Fourier seringkali dianalogikan

dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.

9

Transformasi Fourier 1-D

• |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 disebut magnitude atau spektrum dari transformasi Fourier dan :

disebut sudut fase atau spektrum fase dari transformasi.

)(

)(tan)( 1

uR

uIu

10

Transformasi Fourier 1-D

11

Transformasi Fourier 2-D

• DFT dari fungsi citra f(x,y) berukuran M x N diberikan dengan persamaan berikut:

untuk u=0,1,2,…,M-1 dan v=0,1,…,N-1• Dari F(u,v), kita bisa mendapatkan kembali f(x,y)

menggunakan IDFT dengan rumusan sebagai berikut:

untuk x=0,1,…,M-1 dan y=0,1,…,N-1

1

0

1

0

)//(2),(1

),(M

x

N

y

NvyMuxjeyxfMN

vuF

1

0

1

0

)//(2),(),(M

u

N

v

NvyMuxjevuFyxf

12

Transformasi Fourier 2-D

• Variabel u dan v adalah variabel transformasi atau variabel frekuensi, sedangkan x dan y adalah variabel spasial atau variabel citra.

• Spectrum Fourier, sudut fase, dan power spectrum didefinisikan sebagai berikut:

R(u,v) dan I(u,v) adalah bagian real dan imajiner dari F(u,v).

),(),(

),(),(

),(

),(tan),(

),(),(),(

22

2

1

2/122

vuIvuR

vuFvuP

vuR

vuIvu

yxIyxRvuF

13

Transformasi Fourier 2-D

• Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan transformasi Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser.

Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y [yaitu F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.

)2/,2/()1)(,( NvMuFyxf yx

14

Transformasi Fourier 2-D• Nilai transformasi pada (0,0) adalah

yang merupakan rata-rata dari f(x,y).

• Jika f(x,y) adalah citra, nilai dari Transformasi Fourier pada titik pusat menyatakan tingkat keabuan rata-rata dari citra.

• Spektrum dari transformasi Fourier transform adalah simetris, artinya:

• Sifat simetris dan pemusatan dari transformasi Fourier menyederhanakan spesifikasi dari filter simetris sirkular pada domain frekuensi.

1

0

1

0

),(1

)0,0(M

x

N

y

yxfMN

F

),(),( vuFvuF

15

Transformasi Fourier 2-D

16

Filtering pada Domain Frekuensi

• Karena frekuensi dikaitkan dengan rata-rata perubahan, maka frekuensi-frekuensi dari transformasi Fourier dikaitkan dengan pola-pola variasi intensitas dalam citra.

• Komponen frekuensi dengan variasi paling rendah (u=v=0) berkaitan dengan tingkat keabuan rata-rata dalam citra.

• Ketika agak menjauh dari titik pusat transformasi, frekuensi-frekuensi rendah berkaitan dengan komponen citra yang memiliki variasi intensitas yang rendah.

• Ketika semakin menjauh dari titik pusat transformasi, frekuensi-frekuensi yang lebih tinggi berkaitan dengan komponen citra yang memiliki variasi intensitas yang tinggi. Yaitu tepi dari objek dan komponen citra lainnya yang perubahan tingkat keabuannya cukup cepat, misalnya noise.

17

Filtering pada Domain Frekuensi

18

Comparison : Low Frequency

Low Frequency

Small variation between image’s component, major frequency is low.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing a silhoutte of spaceship (Girty Lue).

Transform View

19

Comparison : High Frequency

High Frequency

High variation between image’s component, major frequency is High.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing image of Freedom and Justice with METEOR unit also the Eternal Spaceship from Gundam SEED.

Transform View

20

Filtering pada Domain Frekuensi

• Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi adalah:

1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y untuk memusatkan transformasi.

2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1).

3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v).

4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3).

5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4)

6. Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y.

21

Filtering pada Domain Frekuensi

22

Filtering pada Domain Frekuensi

• Filter yang didefinisikan sebagai berikut:

disebut filter notch karena filter tersebut adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang (notch) di pusatnya.

otherwise

NMvuifvuH

1

)2/,2/(),(0),(

23

Filtering pada Domain Frekuensi

24

Filtering pada Domain Frekuensi

• Filter lowpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal.

• Filter highpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) kompinen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam dibandingkan citra asal.

25

Filtering pada Domain Frekuensi

26

Filtering pada Domain Frekuensi

27

Sample: Monochrome

Low Pass

High Pass

Gaussian Blur

Sharpen More

28

Sample: Color

Low Pass

High Pass

Gaussian Blur

Sharpen More

29

Original Image

Gaussian Low

Pass

Enhanced Image

Other Implementation : Low Pass Filter

“Noised” image Smooth image

Flare effect (beam) Reduced Flare effect

30

Original ImageG

aussian High P

assEnhanced Image

Other Implementation : High Pass Filter

Hard to read textEasier to read text

Flare effect (beam) More Flare Effect

Reduced Eye Point

31

Other Implementation : High Pass Filter

Original Image

Hard to read text

Sharpen

Easier to read text

Enhanced Image

Flare effect (beam)

More Flare Effect

Exposure of Eye Point

32

Other Implementation : High Boost Filtering

Original Image

Unsharp M

ask

Enhanced Image

Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself

Flare effect (beam)

Enhanced Flare Effect

Reduction of Eye Point

33

Other Implementation : Combination Filtering

Original Image

Enhanced Image

Multiplied

High Pass

Low Pass

Slight Flare Effect

Reduction of Eye Point

34

Credits• Image editing done using Adobe ® Photoshop Ver

8.0 (CS) and various filter plug-ins. • Frequency obtained by MeeSoft Image Analyzer

Ver 1.2.1.• Picture samples are taken from

– Gundam Seed Destiny Promotional Video Sunrise©2004, Source Form: MPEG

– Gundam Seed Destiny Promotional Video Sunrise©2004, Source Form: XviD

– Freedom Gundam MG Kit Artwork Bandai©2004, Source Form: Scanning

– Gundam Wing Endless Waltz O.V.A Sunrise©1997, Source Form: MPEG

35

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

• Jika kita memiliki filter pada domain frekuensi, maka kita bisa mendapatkan filter pasangannya pada domain spasial dengan cara menghitung Inverse Fourier transform (IFT) terhadap filter pada domain frekuensi. Kebalikannya juga bisa dilakukan.

• Jika kedua filter (di domain spasial dan domain frekuensi) berukuran sama, maka secara komputasional akan lebih efisien untuk melakukan filtering pada domain frekuensi.

• Kita bisa menspesifikasikan filter pada domain frekuensi, menghitung transformasi inverse-nya, dan selanjutnya menggunakan filter padanan pada domain spasial sebagai petunjuk untuk menyusun filter spasial dengan ukuran yang lebih kecil.

36

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

• Misal H(u) menyatakan fungsi filter Gaussian pada domain frekuensi dengan persamaan berikut :

dengan adalah deviasi standard dari fungsi Gaussian. Filter padanannya pada domain spasial adalah :

22 2/)( uAeuH

22222)( xAexh

37

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

• Filter highpass yang disusun dari selisih fungsi Gaussian berikut :

dengan AB dan 1>2. Filter padanannya pada domain spasial adalah :

22

221

2 2/2/)( uu BeAeuH

222

2221

2 22

21 22)( xx BeAexh

38

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

39

Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada Domain Frekuensi

• Domain frekuensi bisa dianggap sebagai sebuah laboratorium untuk mempelajari keterkaitan antara frekuensi dan bentuk citra. Beberapa tugas perbaikan citra yang sulit (atau bahkan tidak mungkin) untuk dirumuskan secara langsung pada domain spasial, akan menjadi cukup mudah untuk diselesaikan pada domain frekuensi. Begitu kita telah memilih suatu filter melalui eksperimen pada domain frekuensi, maka implementasi yang sesungguhnya dilakukan pada domain spasial. Caranya adalah dengan menspesifikasikan filter padanan pada domain spasial yang berukuran kecil dan yang mewakili “intisari” dari fungsi filter (yang berukuran lebih besar) pada domain spasial.

40

Filter Penghalusan

• Tepi objek dan transisi tajam yang lain (seperti noise) memiliki kontribusi yang cukup besar pada komponen frekuensi tinggi dalam transformasi Fourier. Sehingga penghalusan (pengkaburan) bisa dilakukan pada domain frekuensi dengan cara menurunkan range tertentu dari komponen frekuensi tinggi.

41

Filter Penghalusan

• Model filtering pada domain frekuensi adalah :G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan.

• Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).

42

Filter Penghalusan

• Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu:1. Filter Ideal fungsi filter yang sangat tajam.

2. Filter Gaussian fungsi filter yang sangat halus.

3. Filter Butterworth transisi di antara dua fungsi ekstrim. Filter Butterworth memiliki parameter yang disebut order filter. Nilai order filter tinggi mendekati filter Ideal. Nilai order filter rendah mendekati filter Gaussian.

43

Referensi

• Bab 4, “Image Enhancement in the Frequency Domain”, Digital Image Processing, edisi 2, Rafael C. Gonzales dan Richard E. Woods, Prentice Hall, 2002